Cap2 V4

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DIMENSIONAMENTO À
FLEXO-TRAÇÃO NORMAL
Volume 4 – Capítulo 2
2
2.1- APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA
 
h/2
h/2
h c
Nd
e
Md
c
Nd
LN
x
dN = esforço normal de tração eNM dd = = momento fletor 
Domínios de dimensionamento
 
3
2.2- ROTEIRO PARA DIMENSIONAMENTO COM 
ARMADURAS ASSIMÉTRICAS
 
h d
b
d'
A's
As
d'
Dados do problema: 
a) dimensões da seção transversal: 
b , h , d , d ′; 
 
b) propriedades dos materiais: ckf , ykf ; 
 
c) esforços solicitantes de serviço: kM , kN . 
 
Valores requeridos: sA e sA′ . 
4
Solução no domínio 1: 
Se ( )νδμ −≤ 15,0 ⇓ 
( )
( )δ
μνδω −
−−=′
1
15,0 ( )( )δ
μνδω −
+−=
1
15,0 
 
4,1ckcd ff = cdccd fασ = 15,1ykyd ff = 
50≤ckf MPa 85,0=cα 8,0=λ 
50>ckf MPa ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
200
50
185,0 ckc
fα ( )
400
50
8,0
−−= ckfλ 
kd NN 4,1= kd MM 4,1= 
d
d ′=δ 
cd
d
bd
N
σν = cd
d
bd
M
σμ 2= 
 
 
5
Solução nos domínios 2 e 3: ( )νδμ −> 15,0 
( )νδμμ −−= 15,0sd 
limμ (dado na tabela 2.4.1) sdσ ′ (tabela 2.4.2) 
Armadura simples: 
Se limμμ ≤sd ⇒ λ
μξ sd211 −−= 
νλξω += ; 0=′ω 
Armadura dupla: 
Se limμμ >sd ⇒ 
( )
( ) sd
ydsd f
σδ
μμω ′−
−=′
1
lim 
νδ
μμλξω +−
−+=
1
lim
lim
sd 
yd
cd
s f
bdA σω= 
yd
cd
s f
bdA σω′=′ 
6
Armaduras mínimas 
Em tração simples: css AAA min,1ρ≥′+ 
Nos domínios 2 e 3: cs AA min,2ρ≥ 
 
 
50≤ckf MPa yd
ck
f
f 32
min,1
39,0=ρ 
%15,0
078,0 32
min,2 ≥=
yd
ck
f
fρ 
 
 
50>ckf MPa 
 
( )
yd
ck
f
f11,01ln756,2
min,1
+=ρ 
( )
yd
ck
f
f11,01ln5512,0
min,2
+=ρ 
com ckf e ydf dados em MPa. 
 
7
 ρmin
ρ1,min
ρ2,min
μo μ
Domínio 1 Domínios 2 e 3
0
Interpolação linear no domínio 1
 ( )νδμ −= 15,0o
8
Tabela 2.4.1 - Valores de limξ e limμ 
(para análise linear sem redistribuição de esforços) 
Grupo I 35≤ckf MPa 5035 ≤< ckf MPa 
limξ 0,45 0,35 
limμ 0,2952 0,2408 
Grupo II C55 C60 C70 C80 C90 
limξ 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 
limμ 0,2376 0,2344 0,2280 0,2215 0,2149 
 
9
Tabela 2.4.2 - Tensão sdσ ′ (kN/cm2) na armadura de compressão 
Concreto 35≤ckf MPa 5035 ≤< ckf MPa 
δ CA-50 CA-60 CA-50 CA-60 
0,01 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,02 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,03 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,04 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,05 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,06 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,07 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,08 43,48 52,17 43,48 52,17 
0,09 43,48 52,17 43,48 52,00 
0,10 43,48 52,17 43,48 50,00 
 
10
Tabela válida para concretos do grupo I 
Tabela 2.4.2 - Continuação 
Concreto 35≤ckf MPa 5035 ≤< ckf MPa 
δ CA-50 CA-60 CA-50 CA-60 
0,11 43,48 52,17 43,48 48,00 
0,12 43,48 51,33 43,48 46,00 
0,13 43,48 49,78 43,48 44,00 
0,14 43,48 48,22 42,00 42,00 
0,15 43,48 46,67 40,00 40,00 
0,16 43,48 45,11 38,00 38,00 
0,17 43,48 43,56 36,00 36,00 
0,18 42,00 42,00 34,00 34,00 
0,19 40,44 40,44 32,00 32,00 
0,20 38,89 38,89 30,00 30,00 
 
11
2.3- EXEMPLO DE CÁLCULO
 
h=40 d=36
b=15cm
A's
As
d'=4
4
Exemplo 1: 40=dM kNm 
 
11,0
36
4 =⇒=′= δδ
d
d
Concreto: 20=ckf MPa 
85,0=cα ; 8,0=λ ; 
21,1=cdσ kN/cm2 
Aço: CA-50 
 
300=dN kN 
46,0
21,13615
300 =⇒== νσν xxbd
N
cd
d 
 
17,0
21,13615
4000
22 =⇒== μσμ xxbd
M
cd
d
12
 ( ) ( ) 205,046,011,015,015,0 =−=−= νδμo
 205,0=< oμμ Domínio 1
 ( ) ( )
11,01
17,046,011,015,0
1
15,0
−
−−=−
−−=′ δ
μνδω
 ( ) ( )
11,01
17,046,011,015,0
1
15,0
−
+−=−
+−= δ
μνδω
 039,0=′ω
 421,0=ω
59,0
48,43
21,13615039,0 =′⇒=′=′ s
yd
cd
s Axxxf
bdA
σω cm2 
33,6
48,43
21,13615421,0 =⇒== s
yd
cd
s Axxxf
bdA
σω cm2 
13
 ρ2 0 15%, ,min =
Interpolando para 17,0=μ , resulta %24,0min =ρ . 
( ) 44,14015
100
24,0
minmin ===′+ xxAAA css ρ cm2. 
 
85,6=′+ ss AA cm 2 é maior que 1,44cm2. 
Logo, prevalecem as armaduras calculadas. 
Armadura mínima: 
 
( ) %66,0
8,434
2039,039,0 32
32
min,1 ===
yd
ck
f
fρ 
 
( ) %13,0
8,434
20078,0078,0 32
32
min,2 ===
yd
ck
f
fρ 
6,92
14
Exemplo 2: 80=dM kNm 
A A x xs min min c, ,
,
,= = =ρ2 0 15100 15 40 0 90 cm
2 
Como a área calculada sA é maior que 0,90cm
2, prevalece a 
armadura calculada. 
34,0=μ ; ( ) 205,015,0 =−> νδμ 
( ) 135,015,0 =⇒−−= sdsd μνδμμ 
2952,0lim =< μμsd (armadura simples) 
 
18,0
211 =⇒−−= ξλ
μξ sd
 60,046,018,08,0 =⇒+=+= ωνλξω x
02,9
48,43
21,1361560,0 =⇒= ss AxxxA cm2