Fundamentos de Matemática Aplicada EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2

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Ministério da Educação 
Universidade Federal de Pelotas – Centro de Educação a Distância 
Curso de Licenciatura em Matemática a Distância 
 
Gabarito dos Exercícios orientados para a Segunda Prova Escrita de Fundamentos de 
Matemática Aplicada C 
 
1. Nos exercícios a seguir, desenhe a região R e calcule a integral ∫∫
R
dAyxf ),( : 
a. dxdyyx∫ ∫ ++
2
0
1
0
)221( ; 
Solução: 
A região está definida pelas desigualdades 10 ≤≤ y , 20 ≤≤ x , que define um 
retângulo, como é mostrado na figura a seguir: 
 
Calculamos as integrais iteradas: 
( )
( ) ( )[ ]
( )
( )
( ) ( ) )0 e 2 para (avaliamos 8002222
2
) a relação em s(integramo 
2
22
22
)0 e 1 para (avaliamos 00201121
2
) a relação em integramos (aqui, 
2
22
)221()221(
22
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
22
2
0
1
0
2
2
0
1
0
2
2
0
1
0
2
0
1
0
===+⋅−+⋅=
+=






+=
+=
==+⋅+−+⋅+=
++=






++=




 ++=++
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
xx
xx
x
x
x
dxx
yydxxx
dxyxyy
ydxyxyy
dxdyyxdxdyyx
x
x
x
x
y
y
y
y
 
Portanto 8)221(2
0
1
0
=++∫ ∫ dxdyyx 
b. dydxyx
y∫ ∫ +
6
0
3
2/
)( ; 
Solução: 
A região está definida pelas desigualdades 3
2
≤≤ xy , 60 ≤≤ y , que define um 
triângulo, como é mostrado na figura a seguir 
 
dyyy
yxxdyyyyy
xdyxyx
dydxyxdydxyx
x
yx
yy
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫




−+=
==











⋅+−





+=






+=




 +=+
=
=
6
0
2
6
0
22
6
0
3
2/
2
6
0
3
2/
6
0
3
2/
8
53
2
9
)2/ e 3 para (avaliamos 
22
)2/(3
2
3
) a relação em integramos (aqui, 
2
)()(
 
36455427
0 e 6 para avaliamos 0
24
50
2
30
2
96
24
56
2
36
2
9
, a relação em integramos 
38
5
2
3
2
9
 
8
53
2
9
3232
6y
0y
32
6
0
2
=−+=
==



⋅−⋅+⋅−



⋅−⋅+⋅=






⋅−+=




−+=
=
=
∫
yy
yyyy
dyyy
Assim, 36)(6
0
3
2/
=+∫ ∫ dydxyxy . 
c. dydxyx
y
y∫ ∫
4
0 2/
22 ; 
Solução: 
A região está definida pelas desigualdades yxy ≤≤
2
, 40 ≤≤ y , como é mostrado 
na figura a seguir 
 
Calculamos as integrais iteradas: 
( )
 
27
256
)0 e 4 para (avaliamos 0
144
10
27
24
144
14
27
2
) a relação em s(integramo 
624
1
2/93
1
 
24
1
3
1
)y/2 e para (avaliamos 
3
)2/(
3
) a relação em integramos (aqui, 
3
6962/9
4
0
62/9
4
0
52/7
4
0
2
3
2
3
4
0
2/
2
3
4
0 2/
224
0 2/
22
=
==





+⋅−





+⋅=






−=




−=
==














−








=






=






=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
yy
yyy
dyyy
xyxdyyyyy
xdyyx
dydxyxdydxyx
y
y
yx
yx
y
y
y
y
Enfim, 
27
2564
0 2/
22
=∫ ∫ dydxyx
y
y
. 
d. dydxedydxe
y yx
y
yx
∫ ∫∫ ∫
−
+
−
+ +
1
0
1
0
1
0
0
1
. 
Solução: 
A região está definida pelas desigualdades 01 ≤≤− xy , 10 ≤≤ y junto com 
10 −≤≤ yx , 10 ≤≤ y , como é mostrado na figura a seguir 
 
 
 01 ≤≤− xy , 10 ≤≤ y 10 −≤≤ yx , 10 ≤≤ y 
Ou seja, a região de integração fica a união das regiões mostradas: 
 
Calculamos cada parcela: 
( )
( ) ( )[ ]
1
2
1
2
1
 
)0 e 1 para (avaliamos 
2
11
2
1
) a relação em s(integramo 
2
1
 )1 e 0 para (avaliamos 
) a relação em integramos (aqui, 
1
1
1
0
12
1
0
12
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
−+=
==





−−





−=






−=
−==−=
=





=
−
−
=
=
−
−
=
−=
+
−
+
−
+
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
ee
yyeee
yee
yxxdyee
xdye
dydxedydxe
y
y
yy
yy
x
yx
yx
y
yx
y
yx
 
Agora: 
( )
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
1 
)0 e 1 para (avaliamos 0
) a relação em s(integramo 
 )0 e 1 para (avaliamos 
) a relação em integramos (aqui, 
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
=
==−−−=
−=
=−=−=
=





=
=
=
−=
=
+
− +− +
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
yyeee
yeye
xyxdyee
xdye
dydxedydxe
y
y
y
y
yx
x
yx
y yxy yx
 
Logo, 11
1
0
1
0
1
0
0
1 2
1
2
111
2
1
2
1
−−
− +
−
+ +=+−+=+ ∫ ∫∫ ∫ eeeedydxedydxe
y yx
y
yx
. 
2. Escreva as integrais iteradas usando ambas as ordens de integração e utilize 
mais adequada para avaliar a integral sobre a região R : 
a. ∫∫
R
dAxy , R retângulo com vértices )0,0( , )5,0( , )5,3( , )0,3( ; 
Solução: 
Primeiro, desenhamos a região de integração: 
 
Como se trata de um retângulo, a ordem de integração é indiferente; por exemplo 
( )
( )
4
225
 
)3 e 0 para (avaliamos 09
4
25
) a relação em s(integramo 
22
25
2
25
 )5 e 0 para (avaliamos 0
2
25
) a relação em integramos (aqui, 
2
3
0
2
3
0
3
0
3
0
5
0
2
3
0
5
0
=
==−





⋅=






⋅=
=
==





−





=






=





=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫∫∫
xx
x
x
dxx
yydxx
ydxyx
dxdyxydAxy
x
x
y
y
R
 
Assim, 
4
225
=∫∫
R
dAxy 
b. ∫∫ +R
dA
yx
y
22 , R trapézio limitado por xy = , xy 2= , 1=x , 2=x ; 
Solução: 
Primeiro, desenhamos a região de integração: 
 
Neste caso, é melhor escolher a ordem dxdy , pois fixando x , vemos que y varia de 
x a x2 , ou seja, xyx 2≤≤ , 21 ≤≤ x : 
[ ]
)1 e 0 para (avaliamos 
2
5ln
2
1
) a relação em s(integramo 
2
5ln
2
1
2
5ln
2
1
2
5ln
2
1
 )5 e 0 para (avaliamos )2ln()5ln(
2
1
) a relação em integramos (aqui, )ln(
2
1
1
0
1
0
1
0 2
2
1
0
22
1
0
2
22
1
0
2
22
1
0
2
2222
==





=






=






=





=
==−=






+=






+
=
+
=
+
=
=
=
=
∫∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
xx
xx
dxdx
x
x
yydxxx
ydxyx
dxdy
yx
ydxdy
yx
ydA
yx
y
x
x
xy
xy
x
x
x
x
R
 
c. ∫∫−
R
dAy2 , R região limitada por 24 xy −= , xy −= 4 ; 
Solução: 
Desenhamos a região de integração: 
 
Para saber os valores de x nos pontos de interseção das curvas 24 xy −= e xy −= 4 , 
resolvemos a equação xx −=− 44 2 , que dá 0=x ou 1=x . 
Neste caso, é melhor escolher a ordem de integração dxdy , pois se fixamos x , então 
y varia de x−4 (reta) a 24 x− (parábola). 
Ou seja, a região de integração fica determinada pelas desigualdades 
244 xyx −≤≤− , 10 ≤≤ x . 
Assim, 
( )
[ ]
)1 e 0 para (avaliamos 
4
5
) a relação em s(integramo 
4
34
)98(
 )4 e 4 para (avaliamos )4()4(
) a relação em integramos (aqui, 
)2()2(2
1
0
4
32
1
0
42
21
0
222
1
0
44
2
1
0
4
4
1
0
4
4
2
22
==−=






+−−=
+−−=
−=−=−−−−=
−=






−=−=−
=
=
−=
−=
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
xx
x
x
xx
dxxxx
xyxydxxx
ydxy
dxdyydxdyydAy
x
x
xy
xy
x
x
x
x
R
 
d. ∫∫ +
R
dAyx )( , R região limitada por 2xy = , xy = . 
Solução: 
Primeiro, desenhamos a região de integração 
 
Para saber os valores de x nos pontos de interseção das curvas 2xy = e xy = , 
resolvemos a equação xx =2 , que dá 0=x ou 1=x . 
Ou seja, a região de integração fica determinada pelas desigualdades xyx ≤≤2 , 
10 ≤≤ x . 
Assim, 
10
7
)1 e 0 para (avaliamos 
10
1
4
1
2
1
) a relação em s(integramo 
1042
22
3
 ) e para (avaliamos 
22
) a relação em integramos (aqui, 
2
)()()(
1
0
543
1
0
4
3
2
21
0
4
3
2
2
1
0
2
1
0
1
0
2
22
=
==





−−=






−−=






−−=
==











+−





+=






+=




 +=+=+
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
xx
x
xxx
dxxxx
xyxydxxxxx
ydxyxy
dxdyyxdxdyyxdAyx
x
x
xy
xy
x
x
x
x
R
 
Assim, 
10
7)( =+∫∫
R
dAyx . 
 
3. Utilize a integração dupla para calcular o volume dos sólidos a seguir: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. f. 
Solução: 
a. O volume está dado pela integral ∫∫ 





R
dAy
2
 onde R é o retângulo 
mostrado na figura e dado pelas desigualdades 20 ≤≤ y , 40 ≤≤ x : 
 
Agora calculamos a integral dupla: 
( ) ( )[ ]
( )
4
)4 e 0 para (avaliamos 04
) a relação em s(integramo 
 )1 e 0 para (avaliamos 01
) a relação em integramos (aqui, 
4
222
4
0
4
0
4
0
4
0
2
0
2
4
0
2
0
4
0
2
0
=
==−=
=
=
==−=






=












=





=





=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
xx
xx
dx
yydx
ydxy
dxdyydxdyydAy
x
x
y
y
R
 
Assim, o volume do sólido é 4
2
=





∫∫
R
dAy unidades de volume. 
b. O volume está dado pela integral ( )∫∫ −−
R
dAyx4 onde R é o triângulo 
mostrado na figura e dado pelas desigualdades 2≤≤ yx , 20 ≤≤ x : 
 
 Agora calculamos a integral dupla escolhendo da ordem de integração 
dxdy : 
( ) ( ) ( )
( )
4
)2 e 0 para (avaliamos 0)41212(
) a relação em s(integramo 
2
36
2
366
 )2 e para (avaliamos 
2
4228
) a relação em integramos (aqui, 
2
4
444
2
0
3
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
22
2
0
22
0
2
=
==−+−=






+−=






+−=
==











−−−−−=






−−=





−−=−−=−−
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
xx
x
x
xx
dxxx
yxydxxxxx
ydxyxyy
dxdyyxdxdyyxdAyx
x
x
y
xy
xx
R
 
 Assim, o volume do sólido é ( ) 44 =−−∫∫
R
dAyx unidades de volume. 
c. O volume está dado pela integral ∫∫ −−
R
dAyx )3212(
4
1
 onde R é o 
triângulo mostrado na figura e dado pelas desigualdades 






−≤≤
6
140 xy , 60 ≤≤ x : 
 
 Agora calculamos a integral dupla escolhendo da ordem de integração 
dxdy : 
( ) ( )
) a relação em integramos (aqui, 
2
3212
4
1
3212
4
13212
4
1)3212(
4
1
6
0
)
6
1(4
0
2
6
0
)
6
1(4
0
6
0
)
6
1(4
0
ydxyxyy
dxdyyxdxdyyxdAyx
x
y
y
xx
R
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
−=
=
−−






−−=






−−=−−=−−
 
4
)6 e 0 para (avaliamos 0)123636(
) a relação em s(integramo 
18
6
6
126
 )
6
1(4
2
3)
6
1(8)
6
1(48
4
1
6
0
3
2
6
0
2
6
0
2
=
==−+−=






+−=






+−=














−−−−−=
=
=
∫
∫
xx
x
x
xx
dxxx
dxxxxx
x
x
 
Assim, o volume do sólido é 12)3212(
4
1
=−−∫∫
R
dAyx unidades de volume. 
d. O volume está dado pela integral ∫∫ −
R
dAxy)1( onde R é o triângulo 
mostrado na figura e dado pelas desigualdades yx ≤≤0 , 10 ≤≤ y : 
 
Agora calculamos a integral dupla escolhendo da ordem de integração 
dydx : 
( ) ( ) ( )
( ) ) e 0 para (avaliamos 0
2
) a relação em integramos (aqui, 
2
111
1
0
3
1
0
0
2
1
0 0
1
0 0
yxxdyyy
xdyxyx
dydxxydydxxydAxy
yx
x
yy
R
==





−





−=






−=





−=−=−
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
=
=
 
8
3
)1 e 0 para (avaliamos 0
8
1
2
1
) a relação em s(integramo 
82
2
1
0
42
1
0
3
=
==−





−=






−=






−=
=
=
∫
yy
yyy
dyyy
y
y 
Então o volume está dado por ( )
8
31 =−∫∫
R
dAxy unidades de volume. 
e. O volume está dado pela integral ( )∫∫ −
R
dAy24 onde R é o triângulo 
mostrado na figura e dado pelas desigualdades 2≤≤ yx , 20 ≤≤ x : 
 
 Agora calculamos a integral dupla escolhendo da ordem de integração 
dxdy : 
( ) ( ) ( )
4
)2 e 0 para (avaliamos 0)
3
48
3
32(
) a relação em s(integramo 
12
2
3
16
3
4
3
16
 )2 e para (avaliamos 
3
4
3
88
) a relação em integramos (aqui, 
3
4
444
2
0
4
2
2
0
3
2
0
3
2
0
23
2
0
2 22
0
2 22
=
==−+−=






+−=






+−=
==











−−





−=






−=





−=−=−
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫∫
xx
x
x
xx
dxxx
yxydxxx
ydxyy
dxdyydxdyydAy
x
x
y
xy
xx
R
 
 Assim, o volume do sólido é ( ) 44 2 =−∫∫
R
dAy unidades de volume. 
f. O volume está dado pela integral ( ) ( )[ ]∫∫ −−−−
R
dAxyx 244 22 , ou, 
( )∫∫ −−
R
dAyxx 222 onde R é o círculo mostrado na figura e dado pela 
interseção das superfícies, ou seja, limitada pela equação 
xyx 244 22 −=−− , ou seja, 02 22 =+− yxx : 
 
 Agora construímos a integral dupla escolhendo da ordem de integração 
dxdy : 
( ) ( )∫ ∫∫∫ −
−−
−−=−−
2
0
2
2
2222
2
2
22 dxdyyxxdAyxx
xx
xx
R
 
Esta integral será calculada posteriormente, utilizando coordenadas polares. 
 
4. Calcule a integral iterada, trocando a ordem de integração: 
a. dydxyx
y∫ ∫
1
0
2/1
2/
22
; 
Solução: 
A região de integração está dada pelas desigualdades 
2
1
2
≤≤ xy , 10 ≤≤ y , 
cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Então podemos ver que a região também está delimitada pelas 
desigualdades xy 20 ≤≤ , 
2
10 ≤≤ x , que dá origem à igualdade: 
144
1
18
8
3
8
3
2/1
0
62/1
0
52/1
0
2
0
3
2
2/1
0
2
0
222/1
0
2
0
221
0
2/1
2/
22
=





=





=





=





==
=
=
=
=
∫∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
x
x
xy
y
xx
y
xdxxdxyx
dxdyyxdxdyyxdydxyx
 
b. dxdyy
x
x∫ ∫−
−
−−
−
2
2
4
4
2
2
2 4 ; 
Solução:A região de integração está dada pelas desigualdades 
22 44 xyx −≤≤−− , 22 ≤≤− x , cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Se invertemos a ordem de integração, vemos que as desigualdades ficam 
22 44 yxy −≤≤−− , 22 ≤≤− y , e a integral dupla fica 
( )
( )
3
64
3
1616
3
1616
3
2842
444
2
2
32
2
2
2
2
4
4
22
2
4
4
22
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
=





+−−





−=






−=−=
−=−=−
=
−=
−
−
−=
−−=
−
−
−−−
−
−−
∫
∫∫ ∫∫ ∫
y
y
yx
yx
y
y
x
x
yydyy
dyxydydxydxdyy
 
c. dydxxx
y
∫ ∫ +
1
0
)arccos(
0
2 )(sen1)sen( . 
Solução: 
A região de integração está dada pelas desigualdades )arccos(0 yx ≤≤ , 10 ≤≤ x , cujo 
gráfico é mostrado a seguir: 
 
Esta região também é descrita pelas desigualdades )cos(0 xy ≤≤ , 
2
0 pi≤≤ x , o que 
conduz à igualdade das integrais duplas 
( )
( )
( ) ( )122
3
1)(sen1
3
2
2
1
)cos()sen()(sen1
)(sen1)sen(
)(sen1)sen()(sen1)sen(
2/
0
2/32
2/
0
2/12
2/
0
)cos(
0
2
2/
0
)cos(
0
21
0
)arccos(
0
2
−=+⋅=
+=
+=
+=+
=
=
=
=
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
pi
pi
pi
pi
x
x
xy
y
xy
x
dxxxx
dxyxx
dxdyxxdydxxx
 
5. Calcule as integrais a seguir utilizando coordenadas polares: 
a. dydxy
y
∫ ∫
−1
0
1
0
2
; 
Solução: 
A região de integração fica definida pelas desigualdades 210 yx −≤≤ , 10 ≤≤ y 
cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Esta região em coordenadas polares está dada por 10 ≤≤ r , 
2
0 piθ ≤≤ , e temos a 
igualdade de integrais: 
( )
( )( )
3
1
3
0
)(cos)(sen)(sen
1
0
31
0
21
0
2
1
0
2/
0
21
0
2/
0
21
0
2/
0
1
0
1
0
2
=





==−−=
−=




=⋅=
=
=
=
=
−
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
r
r
y
rdrrdrr
drrdrdrdrdrrdydxy
piθ
θ
pipi
θθθθθ
 
b. dxdyyx
x
∫ ∫
−
−
+
2
2
4
0
22
2
)( ; 
Solução: 
A região de integração fica definida pelas desigualdades 240 xy −≤≤ , 22 ≤≤− x 
cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Esta região em coordenadas polares está dada por 20 ≤≤ r , piθ ≤≤0 , e temos a 
igualdade de integrais: 
piθθ
θθθ
piθ
θ
pi
pipipi
444
4
)(
00
0
2
0
4
0
2
0
3
0
2
0
22
2
4
0
22
2
===






=




=⋅=+
=
=
=
=
−
−
∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
d
drddrrddrrrdxdyyx
r
r
x
 
c. dxdyyx
x
∫ ∫
−
+
3
0
9
0
2/322
2
)( ; 
Solução: 
A região de integração fica definida pelas desigualdades 290 xy −≤≤ , 30 ≤≤ x 
cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Esta região em coordenadas polares está dada por 30 ≤≤ r , 
2
0 piθ ≤≤ , e temos a 
igualdade de integrais: 
piθθ
θθθ
piθ
θ
pi
pipipi
10
243
5
243
5
243
5
)(
2/
0
2/
0
2/
0
3
0
52/
0
3
0
42/
0
3
0
33
0
9
0
2/322
2
===






=




=⋅=+
=
=
=
=
−
∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
d
drddrrddrrrdxdyyx
r
r
x
 
d. dxdyxy
xx
∫ ∫
−2
0
2
0
2
; 
Solução: 
A região de integração fica definida pelas desigualdades 220 xxy −≤≤ , 20 ≤≤ x 
cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Esta região em coordenadas polares está dada por )cos(20 θ≤≤ r , 
2
0 piθ ≤≤ , desde 
que a igualdade 22 xxy −= significa que xyx 222 =+ , ou seja, )cos(22 θrr = , do 
qual resulta que )cos(2 θ=r . Então temos a igualdade de integrais: 
( )
3
2)(cos
6
4)(sen)(cos4
4
)cos()(sen)cos()(sen
)cos()(sen
2/
0
62/
0
5
2/
0
)cos(2
0
42/
0
)cos(2
0
3
2/
0
)cos(2
0
22
0
2
0
2
=−==






=




=
⋅=
=
=
=
=
−
∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
piθ
θ
pi
pi
θ
pi θ
pi θ
θθθθ
θθθθθθ
θθθ
d
drddrr
ddrrrdxdyxy
r
r
xx
 
e. dxdyyx
x
∫ ∫
−
−
+
1
1
1
0
22
2
)cos( . 
Solução: 
A região de integração fica definida pelas desigualdades 210 xy −≤≤ , 11 ≤≤− x 
cujo gráfico é mostrado a seguir: 
 
Esta região em coordenadas polares está dada por 10 ≤≤ r , piθ ≤≤0 . Então temos a 
igualdade de integrais: 
( )
( ) )1(sen
2
)1(sen
2
1)1(sen
2
1
)(sen
2
1)cos(
)cos()cos(
00
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
21
1
1
0
22
2
piθθ
θθ
θ
piθ
θ
pi
pipi
pi
===
=




⋅=
⋅=+
=
=
=
=
−
−
∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
d
drddrrr
ddrrrdxdyyx
r
r
x
 
Cálculo do volume ( ) ( )∫ ∫∫∫ −
−−
−−=−−
2
0
2
2
2222
2
2
22 dxdyyxxdAyxx
xx
xx
R
 da questão 3 f: 
Lembremos que a região de integração R é o círculo mostrado na figura, limitada pela 
equação 02 22 =+− yxx : 
 
A partir da discussão do exercício 5 d, podemos ver que a região pode ser descrita 
pelas desigualdades em coordenadas polares )cos(20 θ≤≤ r , 
22
piθpi ≤≤− , o que 
origina a integral 
( ) ( )
( )
28
3
3
4
8
3)sen()cos(
8
3)(sen)(cos
4
1
3
4
)(cos
3
4)(cos4)(cos
3
16
4
)cos(
3
2)cos(2
)cos(22
2/
2/
3
2/
2/
42/
2/
44
2/
2/
)cos(2
0
4
32/
2/
)cos(2
0
32
2/
2/
)cos(2
0
22
0
2
2
22
2
2
pi
piθθθθθ
θθθθθ
θθθθ
θθ
piθ
piθ
pi
pi
pi
pi
pi
pi
θ
pi
pi
θ
pi
pi
θ
=⋅=




 ++=






=





−=






−=




−=
⋅−=−−
=
−=
−−
−
=
=
−
−
−
−−
∫∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
dd
drrddrrr
ddrrrrdxdyyxx
r
r
xx
xx
 
Assim, o volume está dado por ( ) ( )
2
22
2
0
2
2
2222
2
2
pi
=−−=−− ∫ ∫∫∫
−
−−
dxdyyxxdAyxx
xx
xx
R
 
unidades de volume. 
 
6. Calcule a massa e o centro de massa da lâmina descrita pelas desigualdades, 
sabendo que sua densidade por unidade de área é xyyx =),(ρ . 
a. 20 ≤≤ x , 20 ≤≤ y ; 
Solução: 
A lâmina em questão é um quadrado como mostra a figura: 
 
A massa está dada por 
( ) ( ) 42
2
),( 2
0
22
0
2
0
2
0
22
0
2
0
===





===
=
=
=
∫∫∫ ∫∫∫
x
x
yR
xdxxdxyxdxdyxydAyxm ρ . 
Agora, calculamos o centro de massa: 
( )
3
16
3
22
2
),(
2
0
32
0
22
0
2
0
22
0
2
0
2
=





==





==
=
==
∫∫∫ ∫∫∫
x
xyR
xdxxdxyxdxdyyxdAyxx ρ ; 
( )
3
16
3
4
3
8
3
),(
2
0
22
0
2
0
2
0
32
0
2
0
2
=





==





==
=
==
∫∫∫ ∫∫∫
x
xyR
xdxxdxyxdxdyxydAyxy ρ ; 
 
Enfim, as coordenadas do centro de massa são 
3
4
4
316),(1 === ∫∫
R
dAyxx
m
x ρ e 
3
4
4
316),(1 === ∫∫
R
dAyxy
m
y ρ . 
b. 10 ≤≤ x , 210 xy −≤≤ . 
Solução: 
A lâmina em questão é um quadrado como mostra a figura: 
 
A massa está dada por 
( )
( ) ( )
8
1)(sen
8
1)cos()(sen
4
1
4
)cos()(sen
)cos()(sen)cos()(sen
polares scoordenada usamos onde ),(
2/
0
22/
0
2/
0
1
0
4
2/
0
1
0
32/
0
1
0
2
1
0
1
0
2
===





=
=⋅=
==
=
=
=
=
−
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
piθ
θ
pipi
pipi
θθθθθθθ
θθθθθθ
ρ
ddr
ddrrddrrr
dxdyxydAyxmr
r
x
R
. 
Agora, calculamos o centro de massa: 
( )
( ) ( )
12
1)(sen
12
1)cos()(sen
4
1
4
)cos()(sen
)cos()(sen)cos()(sen
polares scoordenada usamos onde ),(
2/
0
32/
0
22/
0
1
0
4
2
2/
0
1
0
232/
0
1
0
22
1
0
1
0
2
2
===





=
=⋅=
=
=
=
=
=
−
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
piθ
θ
pipi
pipi
θθθθθθθ
θθθθθθ
ρ
ddr
ddrrddrrr
dxdyxydAyxy
r
r
x
R
; 
( )
( ) ( )
( )
12
1)(cos
12
1)(cos)(sen
4
1
4
)(cos)(sen
)cos()(sen)(cos)(sen
polares scoordenada usamos onde ),(
2/
0
32/
0
22/
0
1
0
4
2
2/
0
1
0
32/
0
1
0
22
1
0
1
0
2
2
=−==





=
=⋅=
=
=
=
=
=
−
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
piθ
θ
pipi
pipi
θθθθθθθ
θθθθθθ
ρ
ddr
ddrrddrrr
dxdyyxdAyxx
r
r
x
R
; 
Enfim, as coordenadas do centro de massa são 
3
2
8/1
12/1),(1 === ∫∫
R
dAyxx
m
x ρ e 
3
2
8/1
12/1),(1 === ∫∫
R
dAyxy
m
y ρ . 
7. Calcule os momentos de inércia de cada lâmina sabendo que a densidade é 
1=ρ grama por cm2 
a. b. 
Solução: 
a. A massa da lâmina é bhdxhdxdydAyxm
bb h
R
==== ∫∫ ∫∫∫ 00 0 1),(ρ . 
Agora, os momentos de inércia são 
3
0
3
0
0
3
0 0
22
3
1
33
),( bhdxhdxydxdyydAyxyI bb
hy
y
b h
R
x ==





=== ∫∫∫ ∫∫∫
=
=
ρ ; 
( ) ( ) hbxhdxhxdxyxdxdyxdAyxxI bx
x
bb hy
y
b h
R
y
3
0
3
0
2
0 0
2
0 0
22
3
1
3
1),( ====== =
=
=
=
∫∫∫ ∫∫∫ ρ . 
b. A massa da lâmina é 
bhx
b
xhdxbxhdxdydAyxm
bx
x
bb bxh
R 2
1
2
1)/1(1),(
0
2
00
)/1(
0
=





−=−===
=
=
−
∫∫ ∫∫∫ρ . 
Agora, os momentos de inércia são 
33
0
3
3
0
33
0
)/1(
0
3
0
)/1(
0
22
12
1))1(0(
12
11
12
1
1
33
),(
bhbh
b
xbh
dx
b
xhdxydxdyydAyxyI
bx
x
bb
bxhy
y
b bxh
R
x
=−−=














−−=






−=





===
=
=
−=
=
−
∫∫∫ ∫∫∫ ρ
; 
( )
hbhbhbx
b
hhx
dx
b
xhxdxyxdxdyxdAyxxI
bx
x
bb bxhy
y
b bxh
R
y
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4
3
0
2
0
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0
2
0
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0
22
12
1
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3
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1
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
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∫∫∫ ∫∫∫ ρ
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