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Universidade Estadual do Norte Fluminense Ca´lculo Diferencial e Integral III Liliana A. L. Mescua Rigoberto G. S. Castro Suma´rio 1 Func¸o˜es Vetoriais 2 1.1 Func¸a˜o Vetorial de Varia´vel Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada . . 7 1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas . . . . . . . 8 1.2 Func¸o˜es Vetoriais de Varias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Parametrizac¸a˜o 13 2.1 Parametrizac¸a˜o de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Parametrizac¸a˜o de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Integrais de Linha 22 3.1 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Integral de Linha de uma Func¸a˜o Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.1 Construc¸a˜o de uma Func¸a˜o Potencial usando Integrais Indefinidas 30 ii 3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Integrais Multiplas 34 4.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.1 Integrais Duplas sobre um Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.2 Ca´lculo da Integral Dupla pelo Me´todo das Somas de Riemann . 35 4.1.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.4 Integrac¸a˜o sobre Regio˜es mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Integrais Triplas sobre um Paralelep´ıpedo Retaˆngular . . . . . . 42 4.2.2 Integrac¸a˜o Triplas sobre Regio˜es mais Gerais . . . . . . . . . . . 44 4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5 Transformac¸o˜es 52 5.1 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.1 Transformac¸a˜o em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Coordenadas Cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.1 Transformac¸a˜o em Coordenadas Cilindricas . . . . . . . . . . . 57 5.3 Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3.1 Transformac¸a˜o em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.4.1 Mudanc¸a em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.5 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 Mudanc¸a de Varia´veis Cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.7 Mudanc¸a de Varia´veis Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 iii 6 Integrais de Superf´ıcie 76 6.1 A´rea de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2 Integral de Superf´ıcie de uma Func¸a˜o Escalar . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 Integral de Superf´ıcie de uma Func¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 82 6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7 Teoremas de Green, Stokes e Gauss 88 7.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3 Teorema de Gauss (Teorema da Divergeˆncia) . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 A presente apostilha serve como material complementar e de modo nenhum como substituto as aulas ministradas pelo professor. Campos dos Goytacazes, Junho de 2011 1 Cap´ıtulo 1 Func¸o˜es Vetoriais Ate´ o presente momento estudamos apenas func¸o˜es do tipo f : D : Rn → R, que a cada ponto x ∈ D associa um u´nico nu´mero real z = f(x). Este tipo de func¸o˜es sa˜o chamadas de func¸a˜o escalar ou campo escalar. A seguir vamos a estender o nosso estudo para func¸o˜es cujo contradomı´nio (imagem) e´ Rn. 1.1 Func¸a˜o Vetorial de Varia´vel Real Um primeiro exemplo muito importante de uma func¸a˜o vetorial e´ dado pela definic¸a˜o de curva parametrizada que nada mais e´ do que uma func¸a˜o vetorial de varia´vel real, denotada por: α : I ⊂ R −→ Rm (1.1) t −→ α(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), . . . , xm(t)) cujo domı´nio e´ um intervalo aberto I em R e o contradomı´nio e´ Rn. Curvas parametrizadas sa˜o utilizadas para se modelar m quantidades (posic¸a˜o de um objeto, trabalho, ca- pital de empresa, etc) que variam no tempo. A varia´vel t e´ chamada de para´metro e x1 = x1(t), x2 = x2(t), x3 = x3(t), . . . , xm = xm(t), sa˜o chamadas de equac¸o˜es parame´tricas da curva α. 2 A representac¸a˜o mais importante de uma curva parametrizada e´ o seu trac¸o. Definic¸a˜o 1.1. (Trac¸o de uma curva parametrizada). Seja α : I ⊂ R → Rm uma curva parametrizada. O trac¸o de α e´ o conjunto C = {α(t), t ∈ I} (tambe´m chamado de curva C). Para cada instante de tempo t, α(t) e´ um ponto de Rm. O trac¸o de uma curva parametrizada α nada mais e´ do que unia˜o de todos estes pontos de C. Se por exemplo, α(t) representa a posic¸a˜o de um objeto no instante de tempo t, o trac¸o da curva representa, neste caso, a trajeto´ria do objeto. Exemplo 1.1. Suponha que a posic¸a˜o de um objeto (um ponto material) movendo-se no plano R2 seja descrita pela curva parametrizada α : R → R2 (1.2) t→ α(t) = (1 + t, 3− 2t) a) Qual e´ a posic¸a˜o inicial do objeto?. b) Qual e´ a posic¸a˜o do objeto no instante de tempo t = 1?. c) O objeto passa pela origem (0, 0)?. d) Fac¸a o esboc¸o da trajeto´ria do objeto. Sol.: a) A posic¸a˜o inicial do objeto e´ a posic¸a˜o do objeto no instante de tempo t = 0. Assim, para sabermos a posic¸a˜o inicial do objeto basta calcularmos α(0) = (1 + 0, 3− 2.0) = (1, 3) b) Para sabermos a posic¸a˜o do objeto no instante de tempo t = 1 basta calcularmos α(1) = (1 + 1, 3− 2.1) = (2, 1) c) Queremos saber se existe um instante de tempo t tal que α(t) = (1+t, 3−2.t) = (0, 0). Como o sistema 1 + t = 03− 2t = 0 na˜o possui soluc¸a˜o, segue-se que o objeto nunca passa pela origem (0, 0). 3 d) Para fazer um esboc¸o do gra´fico da curva parametrizada α vamos tentar determinar uma equac¸a˜o nas varia´veis cartesianas x e y em R2 que e´ satisfeita pelos pontos α(t) = (1 + t, 3− 2t). Escrevendo: x = 1 + ty = 3− 2t podemos isolar t na primeira equac¸a˜o, t = x − 1, e substituir o valor de t na segunda equac¸a˜o y = 3− 2t = 3− 2(x− 1) = −2x+ 5, isto e´ temos a equac¸a˜o y = −2x+ 5. Assim o trac¸o da curva α ( e portanto a trajeto´ria do objeto) e´ a reta y = −2x+ 5 no plano cartesiano R2. Desta maneira a trajeto´ria do objeto pode ser descrita de duas Figura 1.1: Trac¸o da curva α(t) = (1 + t, 3− 2t). maneiras diferentes: 1. Como o trac¸o da curva parametrizada α(t) = (1 + t, 3− 2t), e 2. Como a curva de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y) = 2x + y − 5 associado ao n´ıvel 0, (2x+ y − 5 = 0). 4 No primeiro caso estamos dizendo que estamos descrevendo a curva parametrica- mente e no segundo caso implicitamente. Exemplo 1.2. Fac¸a o esboc¸o do trac¸o da curva parametrizada β : R → R2 (1.3) t→ β(t) = (cos t, sen t) Sol.: Ja que β(0) = (cos 0, sen 0) = (1, 0), em t = 0, o mo´vel esta na posic¸a˜o (1, 0). Analogamente, evaluando temosque β(π/4) = (cosπ/4, sen π/4) = ( √ 2/2, √ 2/2), β(π/2) = (cosπ/2, sen π/2) = (0, 1). Mas ao inve´s de tentar obter um esboc¸o do trac¸o de β atrave´s de alguns poucos pontos, vamos utilizar a mesma te´cnica desenvolvida no exerc´ıcio resolvido anterior, isto e´, vamos tentar obter uma equac¸a˜o nas varia´veis x e y que e´ satisfeita pelos pontos β(t), com t ∈ R. Escrevendo: x = cos t y = sen t ⇒ x2 + y2 = cos2 t+ sen2t = 1 Portanto, o trac¸o da curva β e´ a circunsfereˆncia de centro na origem (0, 0) e raio 1. Figura 1.2: Trac¸o da curva β(t) = (cos t, sen t) Exemplo 1.3. Fac¸a um esboc¸o do trac¸o da curva parametrizada β : [0,∞)→ R2 (1.4) t→ β(t) = (t cos t, t sen t) 5 Sol.: Fazendo x = t cos t y = t sen t ⇒ x2 + y2 = t2 ⇒ t = √ x2 + y2 Portanto, a eq. cartesiana e´ y = √ x2 + y2 sen √ x2 + y2, da qual e´ muito dif´ıcil obter informac¸o˜es geome´tricas a partir desta formulac¸a˜o impl´ıcita. Observe que β(t) = (t cos t, t sen t). Assim, para cada t ∈ [0,∞), a expressa˜o (cos t, sen t) representa um pinto sobre a circunsfereˆncia de centro a origem e raio 1. Observe tambe´m que t representa o aˆngulo orientado entre o segmento de reta unindo a origem (0, 0) e o ponto (cos t, sen t) e o eixo x. Agora, como estamos multiplicando (cos t, sen t) por t, o raio deixa de ser 1 e fica sendo t. A medida que variamos o aˆngulo t, mudamos o valor do raio para t. O trac¸o da curva β tem a forma Figura 1.3: Trac¸o da Espiral Exemplo 1.4. A he´lice e´ o trac¸o da curva parametrizada α : R → R3 (1.5) t→ α(t) = (cos t, sen t, t) Sol.: Para fazer um esboc¸o do desenho da he´lice, observe que: x = cos t y = sen t z = t. 6 Segue-se que x2+ y2 = cos2 t+sen2t = 1, isto e´, as duas primeiras coordenadas de α(t) satisfazem a equac¸a˜o da circunsfereˆncia de centro na origem e raio 1. Concluimos que o trac¸o da curva α esta´ cont´ıdo no cilindro circular reto x2 + y2 = 1 em R3 e que a altura z = t cresce com o tempo t. Figura 1.4: Trac¸o da He´lice. 1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada Seja α : [a, b] ⊂ R −→ Rm uma func¸a˜o vetorial que representa a posic¸a˜o no espac¸o Rm (m=2, 3), de um determinado corpo num certo instante t, dada por: α(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), . . . , xm(t)). Diremos que α e´ cont´ınua se e somente se cada uma de suas componentes xi e´ cont´ınua em todos os pontos [a, b]. Diremos que α e´ diferencia´vel se e somente se cada uma de suas componentes xi e´ diferencia´vel em todos os pontos (a, b). Denotando por x′j(t) = dxj dt (t) a velocidade instantaˆnea da j-e´sima coordenada ao longo da curva no instante t, definimos o vetor velocidade da curva em t como: α′(t) = (x′1(t), x ′ 2(t), x ′ 3(t), . . . , x ′ m(t)) α′(t) e´ tambe´m chamado vetor tangente a` curva α. 7 Exemplo 1.5. Considere a curva α : R → R2 (1.6) t→ α(t) = (cos t, sen t). O vetor tangente e´ α′(t) = (− sen t, cos t). Quando t = 0 temos que α(0) = (1, 0) e α′(0) = (0, 1). Observemos que α(t) · α′(t) = (cos t, sen t) · (− sen t, cos t) = 0. Figura 1.5: Vetor derivada α′(t). 1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas Sejam as seguintes func¸o˜es: α : R → Rm, β : R → Rm, h : R → R. Enta˜o: 1. (α(t)± β(t))′ = α′(t)± β ′(t) 2. (α(t) · β(t))′ = α′(t) · β(t) + α(t) · β ′(t) 3. ( α ( h(t) ))′ = d dt ( α ( h(t) )) = α′ ( h(t) ) · h′(t) = d dt α ( h(t) ) · d dt h(t). 4. (‖α(t)‖)′ = α(t) · α ′(t) ‖α(t)‖ , se α(t) 6= 0. Lembre que ‖v‖ = √ v · v. 5. (h(t)α(t))′ = h′(t)α(t) + h(t)α′(t) 8 6. ( α(t) h(t) )′ = α′(t)h(t)− h′(t)α(t)( h(t) )2 1.2 Func¸o˜es Vetoriais de Varias Varia´veis Definic¸a˜o 1.2. Seja F : Rn → Rm uma aplicac¸a˜o cujo domı´nio e´ Rn e cuja imagem e´ um conjunto de vetores de Rm. Podemos representar F pelas func¸o˜es coordenadas. Em outras palavras, existem func¸o˜es f1, f2, . . . , fm tais que F (X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)), onde X = (x1, x2, . . . , xm) ∈ Rm e cada func¸a˜o fi : Rn → R. Definic¸a˜o 1.3. Dizemos que F e´ cont´ınua em X0 ∈ Rn se cada func¸a˜o coordenada fi e´ cont´ınua em X0. Em outras palavras: lim X→X0 F (X) = F (X0) ⇔ lim X→X0 fi(X) = fi(X0), para i = 1, 2, . . . , m. (1.7) Exemplo 1.6. Seja F : R2 → R3 definida por F (x, y) = (xy, x+ y, x2). F e´ cont´ınua em (0, 0) ∈ R2?. Sol. De fato, F e´ cont´ınua em (0, 0) ja que cada func¸a˜o coordenada f1(x, y) = xy, f2(x, y) = x+y, f3(x, y) = x 2 e´ cont´ınua em (0, 0). Assim, observa-se que F e´ cont´ınua em todo R2. Definic¸a˜o 1.4. Seja F : Rn → Rm tal que F (X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)). Suponhamos que as derivadas parciais de cada func¸a˜o coordenada fi (i = 1, 2, . . . , m) existem. Definimos e denotamos a matriz das derivadas parciais por DF (X) = JF (X) = ∂(f1, f2, . . . , fm) ∂(x1, x2, . . . , xn) = ∂f1 ∂x1 (X) ∂f1 ∂x2 (X) . . . ∂f1 ∂xm (X) ∂f2 ∂x1 (X) ∂f2 ∂x2 (X) . . . ∂f2 ∂xm (X) ... ... ... ∂fm ∂x1 (X) ∂fm ∂x2 (X) . . . ∂fm ∂xm (X) mxn que e´ chamada a matriz Jacobiana de F . 9 Para o exemplo anterior onde F (x, y) = (xy, x+ y, x2) possui suas func¸o˜es coorde- nadas diferencia´veis temos que a matriz Jacobiana e´ dada por: JF (X) = ∂(f1, f2, f3) ∂(x, y) = y x 1 1 2x 0 3x2 Observac¸a˜o 1.1. Se F : Rn → Rm, enta˜o: 1. Se m = 1 temos que F : Rn → R e´ uma func¸a˜o real de n varia´veis (Ca´lculo II). 2. Se m = n temos que F : Rn → Rn e´ chamado campo vetorial. 3. Se n = 1 temos que F : R → Rm e´ chamado func¸a˜o vetorial. Observac¸a˜o 1.2. Tenha-se em conta que: 1. Se F : Rn → R, (m = 1) tem-se quea matriz Jacobiana definida anteriormente e´ o gradiente de F , isto e´ JF (X) = [ ∂F ∂x1 (X), ∂F ∂x2 (X), . . . , ∂F ∂xn (X) ] = ∇F (X) 2. Se F : R → Rm, (n = 1) tem-se quea matriz Jacobiana de F e´ a derivada da func¸a˜o vetorial denotada por F ′(X), isto e´ JF (X) = f ′1(X) f ′2(X) ... f ′m(X) mx1 Exemplo 1.7. Seja F : R2 → R2 tal que F (x, y) = (x, y). Para cada ponto (x, y) no plano, F (x, y) e´ simplesmente seu vetor posic¸a˜o que aponta diretamente a partir da origem e tem comprimento ‖F (x, y)‖ = √ x2 + y2 = d ( (0, 0), (x, y) ) . Exemplo 1.8. Seja F : R2 → R2 tal que F (x, y) = (−y, x), um campo vetorial bidimensional que aponta na direc¸a˜o anti-hora´ria, cujo comprimento e´ r = √ x2 + y2. Mais ainda, (x, y) · F (x, y) = (x, y) · (−y, x) = −xy + yx = 0, de forma que F (x, y) e´ tangente ao c´ırculo que passa pelo ponto (x, y). 10 Figura 1.6: Campo Vetorial F (x, y) = (x, y). Figura 1.7: Campo Vetorial F (x, y) = (−y, x). 1.3 Exerc´ıcios 1. Ilustre o campo vetorial F dado, esboc¸ando va´rios vetores t´ıpicos do campo. a) F (x, y) = (x, y) b) F (x, y) = (x,−y) c) F (x, y) = (3x,−2y) d) F (x, y) = (2x− y, y) e) F (x, y, z) = (x2, y2, z2) f) F (x, y, z) = (xy2, yz2, zx2) 2. Determine onde as func¸o˜es vetoriais F sa˜o cont´ınuas. a) F (t) = (5t2, 3t+ 1, 2− t3) b) F (t) = ((1− t)2, sin t, 3− t2) c) F (t) = ( √ t, e−t, 1/t) d) F (t) = (lnt, |t− 1|, tan t) 3. Determine o Jacobiano de todos os exercicios do item 1 e as derivadas dos exer- cicios a) e b) do item 2. 4. Para cada um dos seguintes pares de equac¸o˜es parame´tricas, esboce a curva e determine sua equac¸a˜o cartesiana. 11 a) x = 2− 3t, y = −4t, t ∈ R b) x = 2t, y = −3, z = 1 + 3t, t ∈ R c) x = −t, y = t, z = t2, t ∈ [−1, 1] d) x = 3 sin 2t, y = 3 cos 2t, t ∈ [0, π] e) x = 2 sin2 t, y = 3 cos2 t, t ∈ R f) x = sec t, y = 2 tan t, t ∈ (− pi 2 , pi 2 ) 5. Fac¸a um esboc¸o das curvas definidas pelas seguintes func¸o˜es vetoriais: a) F (t)= (cosh t, sinh t), t ∈ R b) F (t) = (1 + cos t, 3− sin t), t ∈ [0,∞) c) F (t) = (t, |t|), t ∈ R d) F (t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π) 12 Cap´ıtulo 2 Parametrizac¸a˜o 2.1 Parametrizac¸a˜o de Curvas Em geral as curvas na˜o esta˜o dadas na sua forma parame´trica, enta˜o e´ conveniente parametrizar-las. Exemplo 2.1. Seja C uma curva de R2 que e´ gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua y = f(x), x ∈ I ⊂ R. Encontre uma parametrizac¸a˜o natural de C. A seguir, parametrize a reta y = mx+ b. Sol.: Uma parametrizac¸a˜o natural de C e´ obtida considerando x = t e y = f(t), deste modo α(t) = (t, f(t)), com t ∈ I representa os pontos da curva. Analogamente, uma parametrizac¸a˜o da reta y = mx+ b natural e´ α(t) = (t,mt+ b). Exemplo 2.2. Sejam α(t) = (t, t2) e β(t) = (t2, t4), t ∈ R equac¸o˜es parame´tricas das curvas C1 e C2 respectivamente. Elas possuem a mesma equac¸a˜o cartesiana, embora sejam curvas diferentes. Sol.: De fato, para C1 temos que sua eq. parame´trica e´ x = t,y = t2, ⇒ x = √ y ⇒ y = x2. (2.1) 13 Para C2 sua eq. parame´trica e´ x = t 2, y = t4, ⇒ t2 = √y ⇒ y = x2, x ≥ 0. (2.2) Observamos que C1 esta representada pela para´bola y = x2, x ∈ R e quanto que a curva C2 esta representada pela porc¸a˜o de para´bola y = x2, x ≥ 0. Exemplo 2.3. Seja L a reta de R2 que passa pelo ponto P0 = (x0, y0),paralela ao vetor v = (v1, v2). Encontre uma parametrizac¸a˜o da reta L. Sol.: Seja P = (x, y) ∈ L, enta˜o usando a algebra de vetores temos que −→OP = −−→OP0+t~v para algum t ∈ R, isto e´ (x, y) = (x0, y0) + t(v1, v2). Assim, uma parametrizac¸a˜o de L e´ α(t) = (x0 + tv1, y0 + tv2), com t ∈ R. Logo, suas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o: x(t) = x0 + tv1, t ∈ R, y(t) = y0 + tv2, t ∈ R. (2.3) Por outro lado, podemos eliminar o paraˆmetro t nas equac¸o˜es parame´tricas para obter uma expressa˜o cartesiana da reta L. Se v1, v2, sa˜o na˜o nulos, enta˜o x− x0 v1 = y − y0 v2 , (2.4) e´ uma expressa˜o cartesiana da reta L. Observac¸a˜o 2.1. Uma aplicac¸a˜o importante das equac¸o˜es parametricas e´ que com elas e´ poss´ıvel estudar uma maior variedade de curvas que na˜o podem ser expresadas como o gra´fico de uma func¸a˜o. Por exemplo, o c´ırculo, a elipse e a hiperbole. Revise suas notas de Calculo II, e fac¸a os exerc´ıcios propostos ao final deste cap´ıtulo!!, na duvida pergunte ao professor. 14 2.2 Parametrizac¸a˜o de Superf´ıcies Podemos descrever uma superf´ıcie em R3 por fo´rmulas matema´ticas. Uma delas e´ a representac¸a˜o impl´ıcita na qual descrevemos a superf´ıcie como um conjunto de pontos (x, y, z) satisfazendo a equac¸aˆo da forma F (x, y, z) = 0. Algumas vezes podemos resolver esta equac¸a˜o para uma das varia´veis em termos das outras duas, por exemplo, z em termos de x e y. Quando isto e´ poss´ıvel obtemos uma representac¸a˜o explicita da superf´ıcie dada por uma ou mais equac¸o˜es da forma z = f(x, y). Por exemplo, a esfera de raio 1, centrada na origem tem representac¸a˜o impl´ıcita F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0. Figura 2.1: Quando esta equac¸a˜o e´ resolvida para z em termos de x e y, obtemos duas soluc¸o˜es: z = √ 1− x2 − y2 e z = − √ 1− x2 − y2 Outro modo de descrever uma superf´ıcie u´til no estudo das integrais de superf´ıcie, e´ a representac¸a˜o para´metrica, onde as coordenadas x, y e z dos pontos da superf´ıcie sa˜o expressas em termos de dois paraˆmetros. Definic¸a˜o 2.1. Consideremos uma func¸a˜o ϕ : D ⊆ R2 −→ R3, definida num subcon- junto aberto D ⊆ R2. A imagem de D por ϕ, ϕ(D), e´ dita uma superf´ıcie parametrizada e sua representac¸a˜o parame´trica e´: ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D. 15 A func¸a˜o ϕ e´ diferencia´vel se x(u, v), y(u, v) e z(u, v) e´ diferencia´vel. Exemplo 2.4. Seja S uma superf´ıcie cuja representac¸a˜o expl´ıcita e´ dada por z = f(x, y), (x, y) ∈ D. Enta˜o, S pode ser parametrizada de modo natural considerando x e y como paraˆmetros, ou seja, ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)). Em particular, o cone superior z = √ x2 + y2, e´ parametrizado por ϕ(x, y) = (x, y, √ x2 + y2), (x, y) ∈ R2 Figura 2.2: Equac¸a˜o do Plano Tangente Seja S uma superf´ıcie diferencia´vel em (u0, v0) com representac¸a˜o parame´trica ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D Fixando u = u0, obtemos uma func¸a˜o g : I ⊂ R −→ R3 v −→ g(v) = ϕ(u0, v), que define uma curva na superf´ıcie (chamada curva v) . Se o vetor g′(v) = ∂ϕ ∂v (u0, v) = ( ∂x ∂v (u0, v), ∂y ∂v (u0, v), ∂z ∂v (u0, v) ) , 16 e´ na˜o nulo, enta˜o em pa´rticular ∂ϕ ∂v (u0, v0) e´ um vetor tangente a curva v, no ponto ϕ(u0, v0). Analogamente, fixado v = v0, temos a func¸a˜o: h : J ⊂ R −→ R3 u −→ ϕ(u, v0), h(u) = ϕ(u, v0) que define uma curva na superf´ıcie (chamada curva u). Se o vetor h′(u) = ∂ϕ ∂u (u, v0) = ( ∂x ∂u (u, v0), ∂y ∂u (u, v0), ∂z ∂u (u, v0) ) , e´ na˜o nulo, enta˜o em particular ∂ϕ ∂u (u0, v0) e´ um vetor tangente a esta curva no ponto ϕ(u0, v0). Como ∂ϕ ∂u (u0, v0) e ∂ϕ ∂v (u0, v0) definem duas direc¸o˜es tangenciais, teremos que a normal a superf´ıcie estara´ dada pelo produto vetorial destas duas direc¸o˜es. N(u0, v0) = ∂ϕ ∂u (u0, v0)× ∂ϕ ∂v (u0, v0) 6= ~0 Figura 2.3: Definic¸a˜o 2.2. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ : D ⊆ R2 −→ R3. Suponhamos que as derivadas parciais ∂ϕ ∂u e ∂ϕ ∂v sejam cont´ınuas em (u0, v0) ∈ D. Se N(u0, v0) = ∂ϕ ∂u (u0, v0) × ∂ϕ ∂v (u0, v0) e´ na˜o nulo, dizemos que S e´ regular em ϕ(u0, v0) ∈ S. Neste caso definimos o plano tangente a S em ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) 17 como sendo o plano gerado pelos vetores ∂ϕ ∂u (u0, v0) e ∂ϕ ∂v (u0, v0), cuja equac¸a˜o e´ dada por: (x− x0, y − y0, z − z0) ·N(u0, v0) = 0. Seja S uma superf´ıcie cuja representac¸a˜o expl´ıcita e´ dada por z = f(x, y) com (x, y) ∈ D. Se f e´ de classe C1, enta˜o uma representac¸a˜o parame´trica natural e´ ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)) com (x, y) ∈ D onde, ∂ϕ ∂x (x, y)× ∂ϕ ∂y (x, y) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ i j k 1 0 ∂f ∂x (x, y) 0 1 ∂f ∂y (x, y) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ( − ∂f ∂x (x, y),−∂f ∂y (x, y), 1 ) e´ na˜o nulo para todo (x, y) ∈ D. Portanto S e´ regular. O Plano tangente a S em (x0, y0, z0) e´ dado por (x− x0, y − y0, z − z0) · ( − ∂f ∂x (x, y),−∂f ∂y (x, y), 1 ) = 0. Exemplo 2.5. O superf´ıcie superior S do cone, na˜o e´ regular em (0, 0, 0), pois f(x, y) =√ x2 + y2 na˜o possui derivadas parciais em (x, y) = (0, 0). 2.2.1 Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Em geral, e´ poss´ıvel obter S girando a curva C situada no plano xz em torno do eixo z. Se C tem equac¸o˜es parameˆtricas x = x(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b e x(t) ≥ 0 a superf´ıcie de revoluc¸a˜o assim gerada tem uma representac¸a˜o parameˆtrica ϕ(θ, t) = (x(t) cos θ, x(t) sin θ, z(t)), (θ, t) ∈ [0, 2π]× [a, b]. 18 Figura 2.4: 2.3 Exerc´ıcios 1. De uma parametrizac¸a˜o para cada uma das curvas a) a reta 5x− y = 1 b) a para´bola x2 = 4ay c) a circunsfereˆncia (x− a)2 + (y − b)2 = r2 d) a elipse x2 a2 + y2 b2 = 1, x ≥ 0. e) o ramo da hipe´rbole x2 a2 − y 2 b2 = 1, x ≥ 0. c) a esfera (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 b) a para´bola x2 = 4ay 2. Encontre uma parametrizac¸a˜o da reta L de R3 que passa pelo ponto P0 = (x0, y0, z0) e e´ paralela ao vetor v = (v1, v2, v3). 3. Encontre uma parametrizac¸a˜o que descreva os caminhos abaixo apresentados: (a) A parte do c´ırculo que esta no terceiro quadrante orientada no sentido anti- hora´rio. (b) A elipse x2 4 + y2 9 = 1 orientada no sentido anti-hora´rio. (c) O c´ırculo de raio 4, centrado em (1,−3), orientado no sentido anti-hora´rio. (d) O quadrado que passa pelos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0,1), orientado no sentido anti-hora´rio. 19 (e) O triaˆngulo que passa pelos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1), orientado no sentido hora´rio. 4. Parametrize a curva C no espac¸o que resulta da intersec¸a˜o de duas superf´ıcies dadas pelas equac¸o˜es: y = x2 e z = y, com −2 ≤ x ≤ 2. 5. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v) = (v cosu, v sin u, 1− v2); 0 ≤ u ≤ 2π, v ≥ 0 a) Identifique esta superf´ıcie. Esta superf´ıcie e´ regular? b) Trace as curvas na superf´ıcie S, definidas por ϕ(u0, v) e ϕ(u, v0), onde i) u0 = 0, ii) u0 = π/2, iii) v0 = 0, iv) v0 = 1. c) Encontre um vetor tangente a` curva, definida por ϕ(0, v), no ponto ϕ(0, 1). d) Encontre um vetor tangente a` curva, definida por ϕ(u, 1), no ponto ϕ(0, 1). e) Encontre uma equac¸a˜o da reta normal e a equac¸a˜o do plano tangente a S em ϕ(0, 1). 6. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a superf´ıcie obtida girando-se o c´ırculo (x − a)2 + z2 = r2, 0 < r < a, em torno do eixo z. Esta superf´ıcie e´ chamada toro. b) Encontre um vetor normal a esta superf´ıcie. c) Esta superf´ıcie e´ regular? 7. Considere a superf´ıcie S1 e S2 parametrizadas por ϕ1(u, v) = (u, v, 0) e ϕ2(u, v) = (u 3, v3, 0) , (u, v) ∈ R2, respectivamente. a) Mostre que S1 e S2 sa˜o o plano xy. b) Mostre que S1 e´ regular e que S2 na˜o e´. Conclua que a regularidade de uma superf´ıcie S depende da existeˆncia de pelo menos uma parametrizac¸a˜o na qual S seja regular. c) E´ poss´ıvel encontrar uma parametrizac¸a˜o na qual o cone seja regular em (0,0,0)? 20 8. Dada a esfera de raio 2, centrada na origem. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a ela no ponto (1, 1, √ 2), considerando a esfera como: a) Uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v) = (2 sinφ cos θ, 2 sinφ sin θ, 2 cosφ), 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π b) Uma superf´ıcie de n´ıvel de F (x, y, z) = x2 + y2 + z2. c) O gra´fico de g(x, y) = √ 4− x2 − y2. 9. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o hiperbolo´ide x2 + y2 − z2 = 1, e encontre um vetor normal a esta superf´ıcie. 10. Dada a superf´ıcie parametrizada ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, θ) , 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 4π. a) Esboce esta superf´ıcie. b) Encontre uma expressa˜o para um vetor normal a` superf´ıcie. c) Esta superf´ıcie e´ regular? 21 Cap´ıtulo 3 Integrais de Linha 3.1 Comprimento de Arco Seja C uma curva em R3 parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Pode- mos pensar que esta curva e´ a trajetoria descrita por uma part´ıcula se movendo com velocidade v(t) = ‖α′(t)‖. Qual e´ o comprimento desta curva quando t varia de a ate´ b?. Intuitivamente, isto nada mais e´ do que o espac¸o percorrido pela part´ıcula no intervalo do tempo [a, b], isto e´ ∫ b a v(t) dt. Vejamos: Figura 3.1: 22 Seja P uma partic¸a˜o do intervalo [a, b], isto e´, P = {t0, t1, . . . , tn} onde a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = b e △t = ti+1 − ti = b− a n O comprimento do segmento de reta α(ti) ate´ α(ti+1) e´ ‖α(ti+1)− α(ti)‖ = √ (x(ti+1)− x(ti))2 + (y(ti+1)− y(ti))2 + (z(ti+1)− z(ti))2. Aplicando o teorema de valor me´dio as func¸o˜es x(t), y(t) e z(t) no intervalo [ti, ti+1], obtemos t1i , t 2 i , t 3 i ∈ [ti, ti+1] tais que x(ti+1)− x(ti) = x′(t1i ) (ti+1 − ti) (3.1) y(ti+1)− y(ti) = y′(t2i ) (ti+1 − ti) (3.2) z(ti+1)− z(ti) = z′(t3i ) (ti+1 − ti) (3.3) Logo o comprimento total da linha poligonal e´ Sn = n−1∑ i=0 ‖α(ti+1)− α(ti)‖ = n−1∑ i=0 √ (x′(t1i )) 2 + (y′(t2i )) 2 + (z′(t3i )) 2 (ti+1 − ti) (soma de Riemann) Portanto, o comprimento da curva C e´ o limite de Sn quando n→∞, isto e´, L(C) = lim n→∞ Sn = ∫ b a √ (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt Definic¸a˜o 3.1. O comprimento da curva C ⊂ R3 e´ definido por L(C) = ∫ b a ‖α′(t)‖ dt = ∫ b a √ (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt. (3.4) Observac¸a˜o 3.1. Analogamente ao feito, definiremos o comprimento de uma curva C ⊂ R2 parametrizada por α(t) = (x(t), y(t)) com t ∈ [a, b], por: L(C) = ∫ b a √ (x′(t))2 + (y′(t))2 dt. (3.5) Exemplo 3.1. O comprimento de uma circunfereˆncia de raio r e´ igual a 2πr. Sol: De fato, seja C a circunfereˆncia de raio r com centro na origem, parametrizada por α(t) = (r cos t, r sen t), t ∈ [0, 2π]. 23 E´ simples veˆr que α′(t) = (−r sen t, r cos t) e ‖α′(t)‖ = r, logo L(C) = ∫ 2pi 0 r dt = 2πr. Podemos tambe´m calcular o comprimento de C usando a parametrizac¸a˜o β(t) = (r cos 2πt, r sen 2πt), t ∈ [0, 1] Neste caso, β ′(t) = (−2πr sen 2πt, 2πr cos 2πt) e ‖β ′(t)‖ = 2πr, logo L(C) = ∫ 1 0 2πr dt = 2πr. 3.2 Integral de Linha de uma Func¸a˜o Escalar Sejam f : R3 → R uma func¸a˜o real e C uma curva em R3 que e´ parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Podemos supor que C representa um arame e f(x, y, z) a densidade (massa por unidade de comprimento) em cada ponto (x, y, z) ∈ C, o objetivo sera´ calcular a massa total do arame. Para isto, dividamos o intervalo I = [a, b] por meio de uma partic¸a˜o regular, a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = b e △t = ti+1 − ti = b− a n , Obtendo assim uma decomposic¸a˜o de C em curvas Ci definidas em [ti, ti+1] Denotemos por △si o comprimento da curva Ci, isto e´ △si = ∫ ti+1 ti ‖α′(t)‖ dt. Pelo Teorema de valor me´dio para integrais, existe ui ∈ [ti, ti+1] tal que △si = ‖α′(ui)‖ (ti+1 − ti) = ‖α′(ui)‖ △ti Quando n e´ grande, △si e´ pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante em Ci e igual a f(α(ui)). Portanto, a massa total M e´ aproximada por Sn = n−1∑ i=0 f(α(ui))‖α′(ui)‖△ti, (soma de Riemann) 24 Figura 3.2: onde Sn e´ a soma de Riemann da func¸a˜o f(α(t))‖α′(t)‖ dt no intevalo [a, b]. Logo, a massa M e´ calculada por M = ∫ b a f(α(t))‖α′(t)‖ dt. Definic¸a˜o 3.2. A integral de linha ao longo da curva C ⊂ R3 e´ definido por∫ C f ds = ∫ C f(x, y, z) ds = ∫ b a f(α(t))‖α′(t)‖ dt. (3.6) Exemplo 3.2. Calcule ∫ C (x2+y2+z2) ds, onde C e´ a he´lice parametrizada pela func¸a˜o α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π]. Sol. Ja que α(t) e´ de classe C1 em [0, 2π] e α′(t) = (− sen t, cos t, 1). Logo, ds = ‖α′(t)‖ dt = √ sen2t+ cos2 t+ 1 dt = √ 2 dt Como f e´ cont´ınua, enta˜o∫ C (x2 + y2 + z2) ds = ∫ 2pi 0 (cos2 t+ sen2t+ t2) √ 2 dt = √ 2 ∫ 2pi 0 (1 + t2) dt = √ 2 [ t+ t3 3 ]2pi 0 = 2 √ 2π 3 (3 + 4π2) (3.7) Se pensarmos na he´lice como um arame e f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 como a densidade de massa no arame, enta˜o a massa total do arame´ e´ 2 √ 2π 3 (3 + 4π2) 25 Definic¸a˜o 3.3. A integral de linha ao longo de uma curva C ⊂ R2 definida por uma func¸a˜o α(t) = (x(t), y(t)) de classe C1 em [a, b] e f(x, y) uma func¸a˜o real cont´ınua definida em C, e´∫ C f ds = ∫ C f(x, y) ds = ∫ b a f(α(t))‖α′(t)‖ dt. (3.8) Exemplo 3.3. Calcule ∫ C xy ds, onde C e´ o quarto de c´ırculo do primeiro quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, pi 2 ]. Sol. Ja que α(t) e´ de classe C1 em [0, π/2] e α′(t) = (− sen t, cos t). Logo, ds = ‖α′(t)‖ dt = √ sen2t+ cos2 t dt = dt Como f e´ cont´ınua, enta˜o∫ C xy ds = ∫ pi 2 0 cos t sen t dt = 1 2 sen2t ]pi 2 0 = 1 2 . (3.9) Observac¸a˜o 3.2. Quando f(x, y) ≥ 0 , a formula (3.8) tem como interpretac¸a˜o geome´trica a a´rea de uma cerca que tem como base a curva C e altura f(x, y) em cada (x, y) ∈ C. 3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial Sejam F : R3 −→ R3, F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo veto- rial e C uma curva em R3, definida por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Para motivar a definic¸a˜o de integral de linha de F ao longo de C, suponhamos que F representa um campo de forc¸as e calculemos o trabalho realizado pela forc¸a F ao deslocar uma part´ıcula ao longo de C. Quando Ce´ um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e F e´ uma forc¸a constante, sabemos que o trabalho realizado pela forc¸a F ao deslocar uma part´ıcula ao longo de C e´ dado por W = F · −→AB = forc¸a × deslocamento. 26 Figura 3.3: Quando C na˜o e´ um segmento de reta, podemos aproxima´la por uma linha poligonal com veˆrtices em C, de modo que para n grande △ti = ti+1 − ti seja pequeno. Assim, Figura 3.4: o deslocamento da part´ıcula de α(ti) a α(ti+1) e´ aproximado pelo vetor △si = α(ti+1)− α(ti), logo F pode ser considerado constante e igual a F (α(ti)) no intervalo [ti, ti+1]. Supondo que α′(t) existe para todo t ∈ [a, b], enta˜o pela definic¸a˜o de derivada, temos que △si ≈ α′(ti) △ti Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma part´ıcula de α(ti) ate´ α(ti+1) e´ aprox- imadamente F (α(ti))△si ≈ F (α(ti)) α′(ti) △ti. Assim, o trabalho W realizado pela forc¸a F ao deslocar uma part´ıcula ao longo de C e´: W = lim n−→∞ (n−1∑ i=0 F (α(ti)) α ′(ti) △ti ) (3.10) 27 Logo, W = ∫ b a F (α(t)) · α′(t) dt. (3.11) Definic¸a˜o 3.4. Seja C ⊂ R3 uma curva parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)) com t ∈ [a, b], onde α e´ de classe C1, e F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial cont´ınuo definido em C. Definimos a integral de linha de F ao longo de C por∫ C F · dr = ∫ b a F (α(t)) · α′(t) dt. (3.12) Se a curva C e´ fechada, isto e´ α(a) = α(b) a integral de linha e´ denotada por ∮ C F · dr. Note que ao usarmos as componentes de F e de α, a equac¸a˜o (3.12) se escreve∫ C F · dr = ∫ b a F1(α(t)) x ′(t) dt+ ∫ b a F2(α(t)) y ′(t) dt+ ∫ b a F3(α(t)) z ′(t) dt. = ∫ C F1 dx+ ∫ C F2 dy + ∫ C F3 dz (3.13) Observac¸a˜o 3.3. Se C e´ uma curva no plano xy parametrizada por α(t) = (x(t), y(t)) com t ∈ [a, b], a integral de linha de F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) ao longo de C e´ dada por ∫ C F · dr = ∫ C F1 dx+ ∫ C F2 dy (3.14) Exemplo 3.4. Calcule ∫ C F · dr, onde F (x, y, z) = (x, y, z) e C e´ a curva parametrizada por α(t) = (sen t, cos t, t), t ∈ [0, 2π]. Sol. Ja que F e´ cont´ınua em R3 e α′(t) = (cos t,− sen t, 1), temos∫ C F · dr = ∫ 2pi 0 (sen t, cos t, t) · (cos t,− sen t, 1) dt = ∫ 2pi 0 t dt = 2π2 (3.15) Propriedades 1. ∫ C F · dr = − ∫ C− F · dr, onde C− e´ a curva C com orientac¸a˜o oposta. 2. ∫ C (aF + bG) · dr = a ∫ C F · dr + b ∫ C G · dr 28 3. Se C admite uma decomposic¸a˜o num nu´mero finito de curvas C1, C2, . . . , Cn, isto e´, C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn, enta˜o:∫ C F · dr = ∫ C1 F · dr + ∫ C2 F · dr + · · ·+ ∫ Cn F · dr Exemplo 3.5. Considere C a fronteira de um quadrado no plano xy de ve´rtices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), orientada no sentido anti-hora´rio. Calcule a integral de linha∫ C x2 dx+ xy dy = ∫ C x2 dx+ ∫ C xy dy. Sol. A curva C e´ decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametriza- dos por: α1(t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1 α2(t) = (1, t), 0 ≤ t ≤ 1 α3(t) = (−t, 1), −1 ≤ t ≤ 0 α4(t) = (0,−t), −1 ≤ t ≤ 0. Assim, para F (x, y) = (x2, xy) e dr = (dx, dy), temos Figura 3.5:∫ C1 x2 dx+ xy dy = ∫ 1 0 t2 dt = 1 3∫ C2 x2 dx+ xy dy = ∫ 1 0 t dt = 1 2∫ C3 x2 dx+ xy dy = ∫ 0 −1 −t2 dt = −1 3∫ C4 x2 dx+ xy dy = ∫ 0 −1 0 dt = 0. 29 Logo, ∫ C x2 dx+ xy dy = 1 3 + 1 2 − 1 3 = 1 2 3.4 Campos Conservativos Definic¸a˜o 3.5. Um campo vetorial F : Ω ⊂ Rn −→ Rn denomina-se conservativo se existe um campo escalar diferencia´vel f : Ω ⊂ Rn −→ R tal que: ▽f = F, em Ω. Teorema 3.1. Seja F um campo vetorial cont´ınuo definido num subconjunto aberto U ⊂ R3 para o qual existe uma func¸a˜o real f tal que ▽f = F, em U . Se C e´ uma curva em U com ponto inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma func¸a˜o α(t) de classe C1 por partes, enta˜o∫ C F · dr = ∫ C ∇f · dr = f(B)− f(A) O campo vetorial F do teorema anterior e´ chamado campo gradiente ou campo conservativo e a func¸a˜o f , uma func¸a˜o potencial. 3.4.1 Construc¸a˜o de uma Func¸a˜o Potencial usando Integrais Indefinidas Se F = (F1, F2, F3) e´ um campo vetorial gradiente de uma func¸a˜o potencial f num aberto U ⊂ R3, enta˜o: ∇f = F ou ∂f ∂x = F1 (3.16) ∂f ∂y = F2 (3.17) ∂f ∂z = F3 (3.18) 30 Usando integrais indefinidas e integrando (3.16) em relac¸a˜o a x (mantendo y e z cons- tantes) obtemos: f(x, y, z) = ∫ F1(x, y, z) dx+ A(y, z), (3.19) onde A(x, y) e´ uma constante de integrac¸a˜o a ser determinada. Analogamente inte- grando (3.17) e (3.18) em relac¸a˜o a y e z respectivamente, obtemos f(x, y, z) = ∫ F2(x, y, z) dy +B(x, z), (3.20) e f(x, y, z) = ∫ F3(x, y, z) dz + C(x, y), (3.21) onde B(x, z) e C(x, y) sa˜o func¸o˜es a serem determinadas. Para encontrar f devemos determinar A(y, z), B(x, z) e C(x, y) de modo que as equac¸o˜es (3.19), (3.20) e (3.21) tenham o mesmo lado direito. Exemplo 3.6. Considere o campo gradiente F (x, y) = (e−y−2x,−xe−y−sen y). Calcule∫ C F ·dr, onde C e´ qualquer curva de classe C1 por partes de A = (π, 0) ate´ B = (0, π). Sol. Se existe f tal que ∇f = F , pelo Teorema anterior,∫ C F · dr = f(0, π)− f(π, 0) (3.22) temos que ∂f ∂x (x, y) = e−y − 2x (3.23) ∂f ∂y (x, y) = −xe−y − sen y. (3.24) Integrando em relac¸a˜o a x e y respectivamente obtemos: f(x, y) = xe−y − x2 + A(y) (3.25) f(x, y) = xe−y + cos y +B(x) (3.26) Por inspec¸a˜o, resulta que A(y) = cos y e B(x) = −x2 verificam as equac¸o˜es (3.23) e (3.24). Portanto, a func¸a˜o potencial e´ f(x, y) = xe−y + cos y − x2. Logo, ∫ C F · dr = f(0, π)− f(π, 0) = −1− (π + 1− π2) = π2 − π − 2. 31 3.5 Exerc´ıcios 1. Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado: (a) α(t) = (et cos t, et sen t) t ∈ [0, 2] (b) α(t) = (a(cos t+ t sen t), a(sen t− t cos t)) t ∈ [0, 2π] (c) α(t) = (sen t, t, 1− cos t) t ∈ [0, 2π] (d) α(t) = (t, 3t2, 6t3) t ∈ [0, 2] 2. Calcule ∫ C fds, onde a) f(x, y) = x+ y e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0,0), (1,0) e (0,1). b) f(x, y) = x2 − y2 e C e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 4. c) f(x, y) = y2 e C tem equac¸o˜es parame´tricas x = t − sen t, y = 1 − cos t, 0 ≤ t ≤ 2π. d) f(x, y) = e √ z e C e´ definida por σ(t) = (1, 2, t2), 0 ≤ t ≤ 1. e) f(x, y) = x + y e C e´ a curva obtida como a intersec¸a˜o do semiplano x = y, y ≥ 0, com o paraboloide z = x2 + y2, z ≤ 2. 3. Um arame tem a forma da curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera x2+y2+ z2 = 4, y ≥ 0, com o plano x+ z = 2. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame e´ dada por f(x, y, z) = xy, calcule massa total do arame. 4. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superf´ıcie do cilindro x2 + y2 = 4, comprendida entre os planos z = 0 e x + y + z = 2, z ≥ 0. se o metro quadrado de zinco custa M reais, calcule o prec¸o total da pec¸a. 5. Calcule ∫ C F.dr, onde a) F (x, y) = (x2 − 2xy, y2 − 2xy) e C e´ a para´bola y = x2 de (-2,4) a (1,1). b) F (x, y) = ( x√ x2 + y2 , y√ x2 + y2 ) e C e´ a circunfereˆncia de centro na origem e raio a, percorrida no sentido anti-hora´rio. 32 c) F (x, y) = (y + 3x, 2y − x) e C e´ a elipse 4x2 + y2 = 4, percorrida no sentido anti-hora´rio. d) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) e C e´ a curva de equac¸a˜o y = 1− |1− x| de (0,0) a (2,0). e) F (x, y, z) = (yz, xz, x(y + 1) e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0,0,0), (1,1,1) e (-1,1,,-1), percorrida nesta ordem. f) F (x, y, z) = (xy, x2 + z, y2 − x) e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cone x2 + y2 = z2, z ≥ 0, com o cilindro x = y2 de (0,0,0) a (1, 1,√2). 6. Calcule o trabalhorealizado pelo campo de forc¸as F (x, y) = (x2 − y2, 2xy) ao mover uma part´ıcula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = a e y = a (a > 0) no sentido anti-hora´rio. 7. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as F (x, y, z) = (y2, z2, x2) ao longo da curva obtida como intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = a2 com o cilindro x2 + y2 = ax, onde z ≥ 0 e a ≥ 0. A curva e percorrida em sentido anti-hora´rio quando vista do plano xy. 8. Determine a func¸a˜o potencial para cada campo gradiente F dado. a) F (x, y) = (ex sen y, ex cos y). b) F (x, y) = (2xy2 − y3, 2x2y − 3xy2 + 2). c) F (x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y). d) F (x, y, z) = (y sen z, x sen z, xy cos z). 33 Cap´ıtulo 4 Integrais Multiplas 4.1 Integrais Duplas 4.1.1 Integrais Duplas sobre um Retaˆngulo Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o definida no retaˆngulo R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Seja f(x, y) ≥ 0 em R, isto e´, o gra´fico de z = f(x, y) e´ uma superf´ıcie situada acima do retaˆngulo R. Esta superf´ıcie, o retaˆngulo R e os quatro planos x = a, x = b, y = c e y = d formam a fronteira de uma regia˜o W do espac¸o Assumindo que a regia˜o W Figura 4.1: assim definida possui um volume, chamamos este volume de integral dupla de f sobre 34 o retaˆngulo R e o denotamos por∫ ∫ R f(x, y) dx dy ou ∫ ∫ R f(x, y) dA. 4.1.2 Ca´lculo da Integral Dupla pelo Me´todo das Somas de Riemann Consideremos P1 e P2 duas partic¸o˜es regulares de ordem n de [a, b] e [c, d] respectiva- mente, isto e´ P1 = {x0, x1, x2 . . . , xn} e P2 = {y0, y1, y2 . . . , yn}, onde a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b com △x = xi+1 − xi = b− a n e c = y0 ≤ y1 ≤ · · · ≤ yn = d com △y = yj+1 − yj = d− c n O produto cartesiano P1×P2 e´ dita uma partic¸a˜o regular de ordem n do retaˆngulo R = [a, b]× [c, d]. Esta partic¸a˜o decompo˜e o retaˆngulo R em n2 subretaˆngulos. Figura 4.2: Partic¸a˜o de ordem n = 4 Suponhamos que z = f(x, y) e´ uma func¸a˜o real limitada em R, (isto e´, existe M > 0, tal que |f(x, y)| ≤ M , para todo (x, y) ∈ R). Denotemos por Rjk o subretaˆngulo [xj , xj+1]× [yk, yk+1] e cjk um ponto qualquer em Rjk. Formemos a soma Sn = n−1∑ k=0 (n−1∑ j=0 f(cjk) △ x △y ) = n−1∑ j,k=0 f(cjk)△x △y = n−1∑ j,k=0 f(cjk) dA, 35 onde △x = xi+1 − xi = b− a n , △y = yj+1 − yj = d− c n e △A = △x △y. Sn e´ chamada soma de Riemann de f sobre R. Definic¸a˜o 4.1. Se lim n−→∞ n−1∑ j,k=0 f(cjk) dA existe dizemos que f e´ integra´vel sobre R e escrevemos∫ ∫ R f(x, y) dx dy = lim n−→∞ n−1∑ j,k=0 f(cjk) dA (4.1) 4.1.3 Integrais Iteradas Teorema 4.1. (Teorema de Fubini). Se a func¸a˜o z = f(x, y) e´ cont´ınua no retaˆngulo R = [a, b]×[c, d] enta˜o a integral dupla de f sobre R pode ser obtida atrave´s de integrais iteradas, ou seja∫ ∫ R f(x, y) dx dy = ∫ b a (∫ d c f(x, y) dy ) dx = ∫ d c (∫ b a f(x, y) dx ) dy Este Teorema indica como calcular uma integral dupla por meio de duas integrac¸o˜es simples sucessivas (ou iteradas) que podem ser calculadas aplicando-se o teorema fun- damental do ca´lculo. Exemplo 4.1. Calcule ∫∫ R (4x3 + 6xy2) dy dx no retaˆngulo R = [1, 3]× [−2, 1]. Sol. Usando o Teorema de Fubini temos no retaˆngulo R = [1, 3]× [−2, 1] que: Figura 4.3: 36 ∫ ∫ R (4x3 + 6xy2) dy dx = ∫ 3 1 (∫ 1 −2 (4x3 + 6xy2) dy ) dx = ∫ 3 1 [ (4x3y + 2xy3) ]1 −2 dx = ∫ 3 1 [ (4x3 + 2x)− (−8x3 − 16x) ] dx = ∫ 3 1 (12x3 + 18x) dx = [ 3x4 + 9x2 ]3 1 = 312 (4.2) ou ∫ ∫ R (4x3 + 6xy2) dy dx = ∫ 1 −2 (∫ 3 1 (4x3 + 6xy2) dx ) dy = ∫ 1 −2 [ (x4 + 3x2y2) ]3 1 dy = ∫ 1 −2 [ (81 + 27y2)− (1 + 3y2) ] dy = ∫ 1 −2 (80 + 24y2) dy = [ 80y + 8y3 ]1 −2 = 312. (4.3) Exemplo 4.2. Calcule as seguintes integrais 1. ∫ pi 0 ∫ pi/2 0 cosx cos y dy dx 2. ∫ 1 0 ∫ pi/2 0 (ey + sen x) dx dy. Sol. Usando o Teorema de Fubini na primeira integral, temos que:∫ pi 0 ∫ pi/2 0 cosx cos y dy dx = ∫ pi 0 (∫ pi/2 0 cosx cos y dy ) dx = ∫ pi 0 [ cosx sen y ]pi/2 0 dx = ∫ pi 0 [ cosx− 0 ] dx = ∫ pi 0 cosx dx = [ sen x ]pi 0 = 0. (4.4) 37 Figura 4.4: Domı´nio da primeira integral Usando o Teorema de Fubini na segunda integral, temos que:∫ 1 0 ∫ pi/2 0 (ey + sen x) dx dy = ∫ 1 0 (∫ pi/2 0 (ey + sen x) dx ) dy = ∫ 1 0 [ (xey − cosx) ]pi/2 0 dy = ∫ 1 0 [( π 2 ey − 0 ) − (0− 1) ] dy = ∫ 1 0 [ π 2 ey + 1 ] dy = [ π 2 ey + y ]1 0 = π 2 e+ 1− π 2 = π 2 (e− 1) + 1. (4.5) Figura 4.5: Domı´nio da segunda integral 38 4.1.4 Integrac¸a˜o sobre Regio˜es mais Gerais Definic¸a˜o 4.2. Uma regia˜o D do plano xy e´ chamada regia˜o de tipo I ou regia˜o verticalmente simples se e´ descrita do seguinte modo D = {(x, y) ∈ R2 / a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}, (4.6) onde ϕ1 e ϕ2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [a, b] e ϕ1 ≤ ϕ2 Definic¸a˜o 4.3. Uma regia˜o D do plano xy e´ chamada regia˜o de tipo II ou regia˜o horizontalmente simples se e´ descrita do seguinte modo D = {(x, y) ∈ R2 / c ≤ y ≤ d e ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}, (4.7) onde ψ1 e ψ2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [c, d] e ψ1 ≤ ψ2 39 Teorema 4.2. Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua num subconjunto limitado e fechado D ⊂ R2. (i) Se D e´ uma regia˜o de tipo I, enta˜o:∫ ∫ D f(x, y) dx dy = ∫ b a (∫ ϕ2(x) ϕ1(x) f(x, y) dy ) dx. (ii) Se D e´ uma regia˜o de tipo II, enta˜o:∫ ∫ D f(x, y) dx dy = ∫ d c (∫ ψ2(y) ψ1(y) f(x, y) dx ) dy. Observac¸a˜o 4.1. Se f(x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, enta˜o a integral ∫ ∫ D 1 dx dy e´ a a´rea de D. Exemplo 4.3. Calcule de duas maneiras diferentes a integral ∫∫ D xy2 dx dy, onde D e´ uma regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas curvas y = √ x e y = x3. Sol. Consideremos por separado as regio˜es: Tipo I: D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 e x3 ≤ y ≤ √x}. Enta˜o, Figura 4.6: Regia˜o de tipo I ∫ ∫ D xy2 dx dy = ∫ 1 0 ∫ √x x3 xy2 dy dx = ∫ 1 0 [ x y3 3 ]√x x3 dx = ∫ 1 0 [ x ( √ x)3 3 − x x 9 3 ] dx = ∫ 1 0 [ x5/2 3 − x 10 3 ] dx = 1 3 [ 2 7 x7/2 − 1 11 x11 ]1 0 = 1 3 [ 2 7 − 1 11 ] = 5 77 . (4.8) 40 Tipo II: D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ y ≤ 1 e y2 ≤ x ≤ 3√y}. Enta˜o, Figura 4.7: Regia˜o de tipo II ∫ ∫ D xy2 dx dy = ∫ 1 0 ∫ 3√y y2 xy2 dx dy = ∫ 1 0 [ x2 2 y2 ] 3√y y2 dy = ∫ 1 0 [ y2/3 2 y2 − y 2 2 y4 ] dy = ∫ 1 0 [ y8/3 2 − y 6 2 ] dy = 1 2 [ 3 11 y11/3 − y 7 7 ]1 0 = 1 2 [ 3 11 − 1 7 ] = 5 77 . (4.9) Exemplo 4.4. Calcule a integral ∫∫ D y dy dx, onde D e´ uma regia˜o do primeiro qua- drante limitada pelas curvas y = 0 e y = sen x, quando x ∈ [0, π]. Sol. Consideremos D como uma regia˜o de tipo I D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ sen x}. 41 Enta˜o, ja que sen2x = 1− cos 2x 2 temos ∫ ∫ D y dy dx = ∫ pi 0 ∫ sen x 0 y dy dx = ∫ pi 0 [ y2 2 ]senx 0 dx = ∫ pi 0 sen2x 2 dx = 1 4 ∫ pi 0 (1− cos 2x) dx = 1 4 [ x− sen 2x 2 ]pi 0 = 1 4 (π − 0) = π 4 . (4.10) 4.2 Integrais Triplas 4.2.1 Integrais Triplas sobre um Paralelep´ıpedo Retaˆngular Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o definida na caixa retaˆngular R = [a, b]× [c, d]× [p, q] = {(x, y, z) ∈ R3/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q} Se P1 = {x0, x1, x2 . . . , xn}, P2 = {y0, y1, y2 . . . , yn}, e P3 = {z0, z1, z2. . . , zn} sa˜o partic¸o˜es regulares de [a, b], [c, d] e [p, q] respectivamente, isto e´ a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b com △x = xi+1 − xi = b− a n , c = y0 ≤ y1 ≤ · · · ≤ yn = d com △y = yj+1 − yj = d− c n e p = z0 ≤ z1 ≤ · · · ≤ zn = q com △z = zk+1 − zk = p− q n 42 O produto cartesiano P1×P2×P3 e´ dita uma partic¸a˜o regular de ordem n da caixa R = [a, b]× [c, d]× [p, q]. Esta partic¸a˜o subdivide R em n3 caixas denotadas por Rijk. Definic¸a˜o 4.4. Se lim n−→∞ n−1∑ i,j,k=0 f(x˜i, y˜j, z˜k) △xi △yj △zk = lim n−→∞ n−1∑ i,j,k=0 f(x˜i, y˜j, z˜k) dV e´ um nu´mero real que na˜o depende da escolha de (x˜i, y˜j, z˜k) em Rijk, chamamos este limite de integral tripla de f sobre R, e o denotamos por:∫ ∫ ∫ R f(x, y, z) dx dy dz ou ∫ ∫ ∫ R f(x, y, z) dV (4.11) Teorema 4.3. (Teorema de Fubini). Se a func¸a˜o w = f(x, y, z) e´ cont´ınua no retaˆngulo R = [a, b]× [c, d]× [p, q] enta˜o a integral tripla de f sobre R pode ser obtida atrave´s de integrais iteradas, ou seja∫ ∫ ∫ R f(x, y, z) dV = ∫ b a ∫ d c ∫ q p f(x, y, z) dz dy dx = ∫ d c ∫ b a ∫ q p f(x, y, z) dz dx dy = ... = ∫ q p ∫ b a ∫ d c f(x, y, z) dy dx dz. (4.12) Este Teorema indica como calcular uma integral tripla por meio de treˆs integrac¸o˜es simples sucessivas (ou iteradas) que podem ser calculadas aplicando-se o teorema fun- damental do ca´lculo. Exemplo 4.5. Calcule ∫ ∫ ∫ R (x+ y + z) dx dy dz em R = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1]. Sol. Usando o Teorema de Fubini temos na caixa retangular R = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1] que: 43 Figura 4.8: ∫ ∫ ∫ R (x+ y + z) dx dy dz = ∫ 1 0 (∫ 3 0 [ x2 2 + xy + xz ]2 0 dy ) dz = ∫ 1 0 (∫ 3 0 ( 2 + 2y + 2z ) dy ) dz = ∫ 1 0 [ 2y + y2 + 2zy ]3 0 dz = ∫ 1 0 ( (6 + 9 + 6z)− 0 ) dz = ∫ 1 0 (15 + 6z) dz = [ 15z + 3z2 ]1 0 = 18 (4.13) 4.2.2 Integrac¸a˜o Triplas sobre Regio˜es mais Gerais Definic¸a˜o 4.5. Uma regia˜o R do espac¸o xyz e´ chamada regia˜o de tipo I ou z simples se e´ descrita do seguinte modo R = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D e f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)}, (4.14) onde D e´ uma regia˜o limitada e fechada, projec¸a˜o de R no plano xy, e f1 e f2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em D, com f1 ≤ f2. Neste caso,∫ ∫ ∫ R f(x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ D (∫ f2(x,y) f1(x,y) f(x, y, z) dz ) dx dy 44 Definic¸a˜o 4.6. Uma regia˜o R do espac¸o xyz e´ chamada regia˜o de tipo II ou y simples se e´ descrita do seguinte modo R = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, z) ∈ D e g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)}, (4.15) onde D e´ uma regia˜o limitada e fechada, projec¸a˜o de R no plano xz, e g1 e g2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em D, com g1 ≤ g2. Neste caso,∫ ∫ ∫ R f(x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ D (∫ g2(x,z) g1(x,z) f(x, y, z) dy ) dx dz Definic¸a˜o 4.7. Uma regia˜o R do espac¸o xyz e´ chamada regia˜o de tipo III ou x simples se e´ descrita do seguinte modo R = {(x, y, z) ∈ R3 / (y, z) ∈ D e h1(y, z) ≤ x ≤ h2(y, z)}, (4.16) 45 onde D e´ uma regia˜o limitada e fechada, projec¸a˜o de R no plano yz, e h1 e h2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em D, com h1 ≤ h2. Neste caso,∫ ∫ ∫ R f(x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ D (∫ h2(y,z) h1(y,z) f(x, y, z) dx ) dy dz Observac¸a˜o 4.2. Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ R, enta˜o a integral ∫ ∫ ∫ R 1 dx dy dz e´ o volume de R. Exemplo 4.6. Calcular o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies cujas equac¸o˜es sa˜o x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1 + x+ y. Sol. Consideremos a regia˜o: D = {(x, y, z) ∈ R3 / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 + x+ y}. 46 Enta˜o,∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1+x+y 0 dz dx dy = ∫ 1 0 ∫ 1 0 [ z ]1+x+y 0 dx dy = ∫ 1 0 ∫ 1 0 (1 + x+ y) dx = ∫ 1 0 [ x+ x2 2 + xy ]1 0 dy = ∫ 1 0 ( 3 2 + y ) dy = [ 3 2 y + y2 2 ]1 0 = 2. (4.17) Exemplo 4.7. Calcule a integral ∫ 1 0 ∫ 3 0 ∫ 1 0 (x2 + y2 + z2) dx dy dz. Sol. Integrando temos que∫ 1 0 ∫ 3 0 ∫ 1 0 (x2 + y2 + z2) dx dy dz = ∫ 1 0 ∫ 3 0 [ x3 3 + xy2 + xz2 ]1 0 dy dz = ∫ 1 0 ∫ 3 0 ( 1 3 + y2 + z2 ) dy dz = ∫ 1 0 [ y 3 + y3 3 + yz2 ]3 0 dz = ∫ 1 0 (1 + 9 + 3z2) dz = [ 10z + z3 ]1 0 = 11. Exemplo 4.8. Calcule a integral ∫ ∫ ∫ R z dx dy dz, onde R e´ uma regia˜o do primeiro octante limitada pelos planos y = 0, z = 0, x+ y = 2, 2y + x = 6 e y2 + z2 = 4. 47 Sol. ∫ ∫ ∫ R z dx dy dz = ∫ ∫ D ∫ √4−y2 0 z dz dx dy = ∫ ∫ D [ z2 2 ]√4−y2 0 dx dy = ∫ 2 0 ∫ 6−2y 2−y ( 4− y2 2 ) dx dy = 1 2 ∫ 2 0 [ 4x− y2x ]6−2y 2−y dy = 1 2 ∫ 2 0 [ (24− 8y − 6y2 + 2y3)− (8− 4y − 2y2 + y3) ] dy = 1 2 ∫ 2 0 (16− 4y − 4y2 + y3) dy = 1 2 [ 16y − 2y2 − 4 y 3 3 + y4 4 ]2 0 = 1 2 ( 32− 8− 32 3 + 4 ) = 26 3 . (4.18) Exemplo 4.9. Calcule o volume do so´lido R limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es y = 0, y = 4, y + z = 4 e x2 + z = 9. Sol. V ol(W ) = ∫ ∫ ∫ R dz dx dy = ∫ 4 0 ∫ √y+5 −√y+5 ∫ 9−x2 4−y dz dx dy = ∫ 4 0 ∫ √y+5 −√y+5 (9− x2 − 4 + y) dx dy = ∫ 4 0 [ 9x− x 3 3 − 4x+ yx ]√y+5 −√y+5 dy = ∫ 4 0 ( 10(y + 5)1/2 − 2 3 (y + 5)3/2 + 2y(y + 5)1/2 ) dy 48 = [ 20 3 (y + 5)3/2 − 4 15 (y + 5)5/2 ]4 0 + ∫ 4 0 2y(y + 5)1/2 dy = 20 3 (93/2 − 53/2)− 4 15 (95/2 − 55/2) + ∫ 9 5 2(w − 5)w1/2 dw = 180− 100 3 51/2 − 324 5 + 20 3 51/2 + 2 ∫ 9 5 (w3/2 − 5w1/2) dw = 576 5 − 80 3 √ 5 + 2 [ 2 5 w5/2 − 10 3 w3/2 ]9 5 = 576 5 − 80 3 √ 5 + 4 5 (95/2 − 55/2)− 20 3 (93/2 − 53/2) = 576 5 − 80 3 √ 5 + 72 5 + 40 3 √ 5 = 648 5 − 40 3 √ 5 = 8 ( 81 5 − 5 3 √ 5 ) = 8 15 (243− 25 √ 5). (4.19) 4.3 Exerc´ıcios 1. Determine as regio˜es de integrac¸a˜o e calcule as integrais iteradas dos seguintes problemas a) ∫ 2 −1 ∫ 3 1 3x+ 4y dx dy b) ∫ 3 0 ∫ 3 0 xy + 7x+ y dx dy c) ∫ 2 0 ∫ 4 2 x2y2 − 17 dx dy d) ∫ 3 1 ∫ 1 −3 x 3y − xy3 dx dy e) ∫ pi/2 0 ∫ pi/2 0 sen x cos y dx dy f) ∫ pi/2 0 ∫ pi/2 0 cosx sen y dy dx g) ∫ 1 0 ∫ pi 0 ex sen y dy dx h) ∫ pi/2 0 ∫ pi/2 0 (y − 1) cosx dx dy i) ∫ pi/2 0 ∫ e 1 sen y x dx dy 2. Calcular o valor das integrais duplas das seguintes func¸o˜es nas regio˜es indicadas 49 a) f(x, y) = x+ y; R = [0, 1]× [1, 2] b) f(x, y) = ex+y; R = [0, ln 2]× [0, ln 3] c) f(x, y) = 2xy − 3y2; R = [−1, 1]× [−2, 2] 3. Calcule as integrais, para as regio˜es dadas a) ∫∫ R y2 sen(x2); R limitada por y = x1/3; y = −x1/3 e x = 8. b) ∫∫ R cos(y3) dx dy; R limitada por y = x1/2; y = 2 e x = 0. c) ∫∫ R (x+ 2y) dx dy; R limitada por y = x−2; y = 1 e y = 4. d) ∫∫ R y−2ex/ √ y dx dy; R e´ o quadrado [0, 1]× [1, 2] 4. As integrais abaixo na˜o podem ser calculadas exatamente, em termos de func¸o˜es elementares, com a ordem de integrac¸a˜o dada. Inverta a ordem de integrac¸a˜o e fac¸a os ca´lculos. a) ∫ 1 0 ∫ 1 y ex 2 dx dy b) ∫ 1 0 ∫ 1 x sen y y dy dx 5. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas a) y = x2, y = 2x+ 3 b) y = 6x− x2, y = 2x+ 3 c) y = x2 + 1, y = 2x+ 3 d) y = 2x2 − 3, y = 2x+ 3 e) y = x2 + 1, y = 2x+ 3 f) y = x, y = 2x, xy = 2 6. Determine o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = f(x, y) e acima da regia˜o do plano xy delimitada pelas curvas dadas a) z = 1 + x+ y, x = 0, x = 1, y = 0, y = 1. b) z = 2x+3y, x = 0, x = 3, y = 0, y = 2. c) z = x2 + y2, x = 0, x = 1, y = 0, y = 2. 7. Calcular o valor da integral tripla das seguintes func¸o˜es a) f(x, y, z) = x+ y + z, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1 b) f(x, y, z) = xy sen z, 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π, 0 ≤ z ≤ π c) f(x, y, z) = xyz, −1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, −2 ≤ z ≤ 6 8. Calcular a) ∫∫∫ D y cos(x + z), onde D e´ a regia˜o limitada pelas superf´ıcies x = y2, z = 0, x+ z = π/2. 50 b) ∫∫∫ D z, onde D e´ a regia˜o no primeiro octante limitada pelos planos y = 0, z = 0, x+ y = 2, 2y + x = 6 e o cilindro y2 + z2 = 4. 9. Esboce o solido delimitado pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas. Ache enta˜o seu volume por integrac¸a˜o tripla. a) 2x+ 3y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 b) z = y, y = x2, y = 4, z = 0 51 Cap´ıtulo 5 Transformac¸o˜es 5.1 Coordenadas Polares Um sistema de coordenadas polares no plano consiste de um ponto O fixo, chamado de po´lo (ou origem) e de um raio que parte do po´lo chamado eixo polar. Em tal sistema de coordenadas podemos associar a cada ponto P do plano um par de coorde- nadas polares (r, θ), onde r e´ chamado de coordenada radial de P enquanto θ e´ a coordenada angular (ou aˆngulo polar) de P Exemplo 5.1. Determine os pontos (6, 45o), (5, 120o), (3, 225o). Observac¸a˜o 5.1. Por convenieˆncia tomaremos a origem do sistema de coordenadas cartesianas como o po´lo e o semi-eixo na˜o negativo x como o eixo polar. 52 Observac¸a˜o 5.2. Ao contra´rio do sistema de coordenadas cartesianas um ponto P tem muitas representac¸o˜es diferentes no sistema de coordenadas polares. Exemplo 5.2. O ponto P = (3, π/6) pode-se determinar de diferentes formas, P = ( − 3, 7π 6 ) = ( − 3,−5π 6 ) = ( 3,−11π 6 ) . 5.1.1 Transformac¸a˜o em Coordenadas Polares A relac¸a˜o entre as coordenadas polares e um sistema retaˆngular e´ dado por x = r cos θy = r sen θ. (5.1) 53 Estas equac¸o˜es permitem encontrar x e y quando forem dados r e θ. Entretanto, para encontrar r e θ a partir de x e y e´ prefer´ıvel usar as identidades sen2θ + cos2 θ = 1 e tan θ = sen θ cos θ . de modo que (5.1) pode-se reescrever como r2 = x2 + y2 e tan θ = y x . (5.2) Exemplo 5.3. Ache as coordenadas retangulares do ponto polar P = (6, 2π/3). Sol. Ja que r = 6 e θ = 2π/3, de (5.1) temos que x = 6 cos 2π 3 = 6 ( − 1 2 ) = −3 e y = 6 sen 2π 3 = 6 (√ 3 2 ) = 3 √ 3 Exemplo 5.4. Ache as coordenadas polares do ponto cartesiano P = (−2, 2√3). Sol. Ja que tan θ = 2 √ 3 −2 = − √ 3 e P pertence ao II quadrante, enta˜o θ = 2π 3 . Logo, de (5.2) temos que r = √ 4 + 4(3) = 4 e θ = 2π 3 Exemplo 5.5. Esboce o gra´fico da equac¸a˜o r = sen θ em coordenadas polares. Sol. Dando valores para θ na equac¸a˜o obtemos o gra´fico 54 θ 0 π/6 π/2 2π/3 5π/6 π r = sen θ 0 1/2 1 √ 3/2 1/2 0 (θ, r) (0, 0) (1/2, π/6) (1, π/2) ( √ 3/2, 2π/3) (1/2, 5π/6) (0, 2π) Devido a que r2 = r sen θ, tem-se que sua equac¸a˜o cartesiana e´: x2 + y2 = r2 = r sen θ = y ou que implica que x2 + ( y − 1 2 )2 = 1 4 Famı´lia de Retas Se θ0 for um aˆngulo fixo, enta˜o para todos os valores de r os pontos (r, θ0) esta˜o sobre uma u´nica reta que forma com o eixo polar um aˆngulo θ0. Portanto, a equac¸a˜o de uma reta em coordenadas polares e´ θ = θ0. Variando-se θ a equac¸a˜o produz uma famı´lia de retas que forma com o eixo polar um aˆngulo θ. Famı´lia de Cı´rculos 1. Em coordenadas polares a equac¸a˜o r = a, 55 representa um c´ırculo de raio a com centro no po´lo. Assim, variando-se a a equac¸a˜o produz uma famı´lia de c´ırculos com centro no po´lo. 2. A equac¸a˜o r = 2a cos θ, representa um c´ırculo de raio a com centro sobre o eixo x e tangente na origem ao eixo y. 3. equac¸a˜o r = 2a sen θ, representa um c´ırculo de raio a com centro sobre o eixo y e tangente na origem ao eixo x. 56 5.2 Coordenadas Cilindricas As coordenadas cil´ındricas de um ponto P no espac¸o R3 e´ uma extensa˜o natural das coordenadas polares. Podem-se usar as coordenadas polares (r, θ) para descrever a projec¸a˜o do ponto P no plano XY , e a mesma coordenada z do sistema retaˆngular. 5.2.1 Transformac¸a˜o em Coordenadas Cilindricas A relac¸a˜o entre as coordenadas retaˆngulares do ponto P = (x, y, z) e suas coordenadas cil´ındricas (r, θ, z) e´ x = r cos θ y = r sen θ z = z =⇒ r = x2 + y2 tan θ = y x z = z Por meio destas equac¸o˜es e´ poss´ıvel transformar coordenadas retangulares em coorde- nadas cil´ındricas e vice-versa. Observac¸a˜o 5.3. O nome de coordenadas cil´ındricas decorre do fato de que o gra´fico, no espac¸o, da equac¸a˜o r = c (c constante) e´ um cil´ındro de raio c sime´trico ao eixo z. Isto sugere o emprego das coordenadas cil´ındricas para resolver problemas que envolvam simetr´ıa circular em relac¸a˜o ao eixo z. A tabela seguinte da a`s coordenadas retangulares e as coordenadas cil´ındricas para alguns pontos do espac¸o 57 (x,y,z) (r, θ, z) (1, 0, 0) (1,0,0) (−1, 0, 0)) (1, π, 0) (0, 2, 3) (2, π/2, 3) (1, 1, 2) ( √ 2, π/4, 2) Exemplo 5.6. A esfera x2 + y2 + z2 = a2 em coordenadas cil´ındricas tem equac¸a˜o r2 + z2 = a2. Exemplo 5.7. O cone z2 = x2 + y2 em coordenadas cil´ındricas tem equac¸a˜o z = ± r. Exemplo 5.8. Fac¸a um esboc¸o da regia˜o delimitada pelas equac¸o˜es cil´ındricas z = r2 e z = 8− r2. Sol. Temos que r2 = x2+y2. Logo, as equac¸o˜es cartesianas representam paraboloides, z = x2 + y2 e z = 8− x2 − y2. 58 5.3 Coordenadas Esfe´ricas Se P ∈ R3, enta˜o ele admite uma representac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas P = (ρ, φ, θ), onde ρ = |OP |, distaˆncia da origem O ate´ o ponto P φ, Aˆngulo entre o segmento OP e o eixo z positivo, 0 ≤ φ ≤ π θ, aˆngulo das coordenadas cil´ındricas, 0 ≤ θ ≤ 2π 5.3.1 Transformac¸a˜o em Coordenadas Esfe´ricas A relac¸a˜o entre as coordenadas retaˆngulares do ponto P == (x, y, z) e suas coordenadas esfe´ricas (ρ, φ, θ) e´: x = ρ senφ cos θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ cosφ =⇒ ρ2 = x2 + y2 + z2 φ = arccos z√ x2 + y2 + z2 tan θ = y x Por meio destas equac¸o˜es e´ poss´ıvel transformar coordenadas retangulares em coorde- nadas esfe´ricas e vice-versa. Observac¸a˜o 5.4. O nome de coordenadas esfe´ricas decorre do fato de que o gra´fico, no espac¸o, da equac¸a˜o ρ = c (c constante) e´ uma esfera de raio c. Exemplo 5.9. O cone z2 = x2 + y2 em coordenadas esfe´ricas tem as equac¸o˜es φ = π 4 , folha superior. φ = −π 4 , folha inferior. 59 Exemplo 5.10. O plano xy em coordenadas esfe´ricas tem equac¸a˜o φ = π 2 . A tabela seguinte da a`s coordenadas retangulares e as coordenadas esfe´ricas para alguns pontos do espac¸o (x,y,z) (ρ, φ, θ) (1, 0, 0) (1, π/2, 0) (0, 1, 0)) (1, π/2, π/2) (0, 0, 1) (1, 0, θ) (1, 1, √ 2) (2, π/4, π/4) Exemplo 5.11. Estabelec¸a a equac¸a˜o esfe´rica do paraboloide z = x2 + y2. Sol. Usando a relac¸a˜o entre as coordenadas retangulares e esfe´ricas, obtemos: ρ cosφ = ρ2sen2φ =⇒ ρ = cotφ csc φ. 60 5.4 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Dupla Motivac¸a˜o: Na integrac¸a˜o de func¸o˜es de uma varia´vel, usamos o me´todo de substi- tuic¸a˜o para simplificar a integral ∫ b a f(x) dx. Este me´todo e´ baseado na fo´rmula ∫ b a f(x) dx = ∫ d c f(T (u))T ′(u) du, (5.3) onde x = T (u) e dx = T ′(u) du. Exemplo 5.12. Em (5.3) para f(x) = 1√ 1− x2 , temos:∫ 1 0 dx√ 1− x2 = ∫ pi/2 0 cos u du√ 1− sen2 u = ∫ pi/2 0 du = π 2 ; sempre que T : [0, π/2] −→ [0, 1], com T (u) = sen u = x, T ′(u) = cosu du = dx. Para func¸o˜es de duas varia´veis uma mudanc¸ade varia´veis fica determinada por uma transformac¸a˜o T do plano uv para o plano xy. Suponha-se que se queira calcular a integral dupla ∫ ∫ D f(x, y) dx dy Definamos uma transformac¸a˜o T de uma regia˜o Q do plano uv tal que T (Q) = D definida por T : Q −→ D, T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A condic¸a˜o de T e´ que ela seja uma transformac¸a˜o injetiva (ou um a um), isto e´, dois pontos diferentes no plano uv nunca tem o mesmo ponto imagem no plano xy. 61 Teorema 5.1. (Mudanc¸a de Varia´veis) Seja T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) uma trans- formac¸a˜o, onde x e y sa˜o func¸o˜es de classe C1 num subconjunto Q de R2 tal que 1. T e´ injetora em Q. 2. O determinante do jacobiano da transformac¸a˜o T e´ diferente de zero, i.e: det JT (u, v) = ∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 em Q. Se f e´ integra´vel em T (Q), enta˜o:∫ ∫ T(Q)=D f(x, y) dx dy = ∫ ∫ Q f(T (u, v)) |det JT (u, v)| du dv = ∫ ∫ Q f(x(u, v), y(u, v)) |det JT (u, v)| du dv. (5.4) Exemplo 5.13. Calcule ∫ ∫ D e y−x y+x dx dy onde D e´ a regia˜o triangular limitada pela reta y + x = 2 e os eixos coordenados. Sol. Se u = y − x,v = y + x, =⇒ x = v − u 2 e y = u+ v 2 . Deste modo, T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) = ( v − u 2 , u+ v 2 ) T−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (y − x, y + x). 62 Por outro lado, sabemos por propriedade de determinantes que det JT (u, v) = 1 det JT−1(x, y) . Logo, det JT−1(x, y) = ∣∣∣∣∣∣ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ −1 1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = −2 6= 0 e det JT (u, v) = ∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ −1 2 1 2 1 2 1 2 ∣∣∣∣∣∣ = − 1 2 6= 0. Consequentemente, para f(x, y) = e y−x y+x temos de (5.4) que:∫ ∫ D e y−x y+x dx dy = 1 2 ∫ ∫ Q e u v du dv = 1 2 ∫ 2 0 ∫ v −v e u v du dv = 1 2 ∫ 2 0 v(e− e−1) dv = e− e−1. Exemplo 5.14. Calcule ∫ ∫ D (x2 + y2) dx dy onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas curvas (hiperboles) xy = 1, xy = 3, x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 4. Sol. Se u = xy,v = x2 − y2, =⇒ (x2+y2)2 = 4u2+v2 =⇒ x2+y2 = √ 4u2 + v2. 63 E´ claro que T−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (xy, x2 − y2) e det JT−1(x, y) = ∣∣∣∣∣∣ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ −y x 2x −2y ∣∣∣∣∣∣ = −2(x2 + y2) 6= 0 Logo, por propriedade de determinantes det JT (u, v) = 1 det JT−1(x, y) = − 1 2(x2 + y2) = − 1 2(4u2 + v2) 6= 0. Consequentemente, para f(x, y) = x2 + y2 temos de (5.4) que:∫ ∫ D (x2 + y2) dx dy = ∫ 3 1 ∫ 4 1 √ 4u2 + v2 1 2 √ 4u2 + v2 dv du = ∫ 3 1 ∫ 4 1 1 2 dv du = 3. 5.4.1 Mudanc¸a em Coordenadas Polares Seja a transformac¸a˜o T : (0,∞)× [θ0, θ0 + 2π] −→ R2, dada por T (r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) onde x = r cos θ e y = r sen θ. T ass´ım definida e´ injetora e det JT (u, v) = ∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ cos θ −r sen θ sen θ r cos θ ∣∣∣∣∣∣ = r(cos2 θ + sen2θ) = r. 64 Enta˜o, de (5.4)∫ ∫ T(Q)=D f(x, y) dx dy = ∫ ∫ Q f ( x(r, θ), y(r, θ) ) r dr dθ = ∫ ∫ Q f ( r cos θ, r sen θ ) r dr dθ. (5.5) Exemplo 5.15. Calcule ∫ ∫ D ln(x2+y2) dx dy onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. Sol. Usando a mudanc¸a polar x = r cos θ e y = r sen θ temos que Q = {(r, θ) ∈ R2/ 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π 2 } e D = T (Q) Logo, de (5.5), temos:∫ ∫ D ln(x2 + y2) dx dy = ∫ ∫ Q ln(r2) r dr dθ = ∫ 2 1 ∫ pi/2 0 ln(r2) r dθ dr = π 2 ∫ 2 1 ln(r2) r dr = π ∫ 2 1 r ln(r) dr = π ( r2 2 ln r ∣∣∣∣ 2 1 − ∫ 2 1 r 2 dr ) integrac¸a˜o por partes = π ( 2 ln 2− 3 4 ) = π 4 (8 ln 2− 3). 65 Exemplo 5.16. Calcule o volume do so´lidoW acima do plano xy limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = 2y. Sol. Completando quadrados na equac¸a˜o do cilindro x2 + y2 − 2y = 0 obtem-se x2 + (y − 1)2 = 1. Portanto, se (x, y, z) ∈W , enta˜o 0 ≤ z ≤ x2 + y2, sempre que (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R2/ x2 + (y − 1)2 ≤ 1}. Usando a mudanc¸a polar temos que a fronteira deD cuja equac¸a˜o e´ x2+(y−1)2 = 1 e´ a imagem da curva r = 2 sen θ e 0 ≤ θ ≤ π. 66 Logo, de (5.5) temos que o volume de W e´ vol (W ) = ∫ ∫ D (x2 + y2) dx dy = ∫ ∫ Q r3 dr dθ, onde Q = {(r, θ) ∈ R2/ 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ π}. Assim, vol (W ) = ∫ pi 0 ∫ 2 sen θ 0 r3 dr dθ = ∫ pi 0 r4 4 ∣∣∣∣ 2 sen θ 0 dθ = ∫ pi 0 4 sen4θ dθ = 3π 2 . Observac¸a˜o 5.5. Ao integrar ∫ sen4θ dθ so´ usar o fato que sen4θ = sen2θ sen2θ = (1− cos 2θ) 2 (1− cos 2θ) 2 = 1 4 (1− 2 cos 2θ + cos2 2θ) = 1 4 ( 1− 2 cos 2θ + 1 + cos 4θ 2 ) = 1 8 ( 2− 4 cos 2θ + 1 + cos 4θ ) = 1 8 ( 3− 4 cos 2θ + cos 4θ ) 5.5 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Tripla A mudanc¸a de varia´veis na integral dupla pode ser estendida a integrais triplas. Seja a transformac¸a˜o T : R3 −→ R3 definida por T (u, v, s) = (x(u, v, s), y(u, v, s), z(u, v, s)). 67 onde x = x(u, v, s), y = y(u, v, s), z = z(u, v, s) sa˜o func¸o˜es com derivadas parciais cont´ınuas num subconjunto aberto U ⊂ R3. Enta˜o, o determinante do jacobiano da transformac¸a˜o T e´ det JT (u, v) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂s ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂s ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂s ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Se T e´ uma transformac¸a˜o injetiva num subconjunto fechado Q ⊂ U e det JT (u, v, s) 6= 0, em Q, enta˜o:∫ ∫ ∫ T(Q)=D f(x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ ∫ Q f(T (u, v, s)) |det JT (u, v, s)| du dv ds = ∫ ∫ ∫ Q f(x(u, v, s), y(u, v, s), z(u, v, s)) |det JT (u, v, s)| du dv ds. (5.6) 5.6 Mudanc¸a de Varia´veis Cilindricas As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e cilindricas do ponto P esta˜o relaciona- dos por: x = r cos θ y = r sen θ z = z. onde r ≥ 0, θ ∈ [0, 2π) e z ∈ (−∞,∞). Estas equac¸o˜es definem uma aplicac¸a˜o T : R3 −→ R3 definida por T (r, θ, z) = (x(r, θ, z), y(r, θ, z), z(r, θ, z)) = (r cos θ, r sen θ, z) (5.7) O determinante do Jacobiano de T e´ det JT (r, θ, z) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ cos θ −r sen θ 0 sen θ r cos θ 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = r (cos2 θ + sen2θ) = r (5.8) 68 Portanto, de (5.6)∫ ∫ ∫ T(Q)=D f(x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ ∫ Q f(r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz (5.9) Exemplo 5.17. Calcule ∫ ∫ ∫ W z dx dy dz, onde W e´ o so´lido limitado pelas superf´ıcies z = √ 8− x2 − y2 e x2 + y2 = 2z. Sol. Se (x, y, z) ∈W enta˜o x2 + y2 2 ≤ z ≤ √ 8− x2 − y2, ∀ (x, y) ∈ D onde D e´ a projec¸a˜o de W no plano XY . De fato, a intersec¸a˜o das superf´ıcies e´ a curva cuja equac¸a˜o obtem-se fazendo z = √ 8− 2z =⇒ z2 = 8− 2z =⇒ (z + 1)2 = 9 =⇒ z = 2x2 + y2 = 4. Portanto, fazendo a projec¸a˜o desta curva sobre o plano XY obtemos o conjunto D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 4}. Usando mudanc¸a de varia´veis cil´ındricas observamos queW e´ a imagem do conjunto Q, onde Q = { (r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, r 2 2 ≤ z ≤ √ 8− r2 } . 69 Logo, ∫ ∫ ∫ W z dx dy dz = ∫ ∫ ∫ Q rz dr dθ dz = ∫ 2 0 ∫ 2pi 0 ∫ √8−r2 r2/2 rz dz dθ dr ∫ 2 0 ∫ 2pi 0 r z2 2 ∣∣∣∣ √ 8−r2 r2/2 dθ dr = ∫ 2 0 ∫ 2pi 0 r 2 ( 8− r2 − r 4 4 ) dθ dr = π ( 4r2 − r 4 4 − r 6 24 )∣∣∣∣ 2 0 = 28π 3 (5.10) 5.7 Mudanc¸a de Varia´veis Esfe´ricas As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e esfe´ricas do ponto P esta˜o relacionados por: x = ρ senφ cos θ y = ρ senφ sen θ z = ρ cosφ. onde ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π)e φ ∈ [0, π). Estas equac¸o˜es definem uma aplicac¸a˜o T : U ⊂ R3 −→ R3 (Q ⊆ U) tal que T (ρ, φ, θ) = (x(ρ, φ, θ), y(ρ, φ, θ), z(ρ, φ, θ)) = (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) (5.11) 70 O determinante do Jacobiano de T e´ det JT (ρ, φ, θ) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ sen φ cos θ ρ cosφ cos θ −ρ sen φ sen θ sen φ sen θ ρ cosφ sen θ ρ senφ cos θ cosφ −ρ sen φ 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 sen2φ. (5.12) Portanto, de (5.6)∫ ∫ ∫ T(Q)=D f(x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ ∫ Q f(ρ senφ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) ρ2 sen2φ dρ dφ dθ. Exemplo 5.18. Calcule ∫ ∫ ∫ W e(x 2+y2+z2)3/2 dx dy dz, onde W e´ o so´lido no primeiro octante limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 16, e os cones z = √ 3(x2 + y2) e z = √ x2 + y2 3 . Sol. 71 ∫ ∫ ∫ W e(x 2+y2+z2)3/2 dx dy dz = ∫ ∫ ∫ Q eρ 3 ρ2 sen φ dρ dφ dθ = ∫ 4 0 ∫ pi/3 pi/6 ∫ pi/2 0 eρ 3 ρ2 sen φ ; dθ dφ dρ = π 2 ∫ 4 0 eρ 3 ρ2 ( − cosφ ∣∣∣∣ pi/3 pi/6 dρ = π 2 (√ 3 2 − 1 2 ) ∫ 4 0 eρ 3 ρ2 dρ = π 2 (√ 3 2 − 1 2 ) 1 3 eρ 3 ∣∣∣∣ 4 0 = π 12 ( √ 3− 1)(e64 − 1). (5.13) 5.8 Exerc´ıcios 1. Expresse em coordenadas polares as equac¸o˜es retangulares dadas. a) x = 4 b) x = 3y c) xy = 1 d) y = x2 e) y = 6 f) x2 + y2 = 25 g) x2 − y2 = 1 h) x+ y = 4 2. Expresse em coordenadas retangulares a equac¸a˜o polar dada. a) r = 3 b) r = −5 cos θ c) r = 1− cos 2θ d) r = 3 sec θ e) θ = 3π/4 f) r = sen 2θ g) r = 2 + sen θ h) r2 = cos 2θ 3. Transforme as equac¸o˜es dadas para coordenadas cil´ındricas e esfe´ricas. a) x2 + y2 + z2 = 25 b) x+ y + z = 1 c) x2 + y2 + z2 = x+ y + z d) z = x2 − y2 e) x2 + y2 = 2x f) x+ y = 4 4. Calcule a integral dada, transformando-a primeiro em coordenadas polares. a) ∫ 1 0 ∫ √1−y2 0 1 1 + x2 + y2 dx dy b) ∫ 1 0 ∫ √4−x2 0 (x2+y2)3/2 dy dx c) ∫ 1 0 ∫ √1−y2 0 sen(x2 + y2) dx dy d) ∫ 2 1 ∫ √2x−x2 0 1√ x2 + y2 dy dx. 5. Considere a aplicac¸a˜o definida por x = uv e y = v − u a) Determine a imagem D no plano xy do retaˆngulo Q no plano uv de ve´rtices (0, 1), (1, 1), (1, 2) e (0, 2). b) Calcule a a´rea de D. 72 6. Considere transformac¸a˜o T definida pelas equac¸o˜es x = u+ v e y = v − u2. a) Utilizando T calcule ∫∫ D ( x− y + 1 4 )−1/2 dxdy, onde D e´ a imagem no plano xy da regia˜o Q no plano uv limitada pelas retas u = 0, v = 0 e u+ v = 2. b) Descreva e esboce a regia˜o D. 7. Calcular ∫ ∫ D cos (x− y x+ y ) dxdy, onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada por x+ y = 1, x = 0 e y = 0. 8. Calcular ∫ ∫ D y + 2x√ y − 2x− 1 dxdy, onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada pelas retas y − 2x = 2, y + 2x = 2, y − 2x = 1 e y + 2x = 1. 9. Calcule ∫ ∫ D (2x+1) dxdy, onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante do plano xy limitada pelas curvas y = x2, y = x2 + 1, x+ y = 1 e x+ y = 2. 10. Calcule ∫ ∫ D x dxdy, onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada pelas para´bolas x = y2 − 1, x = 1 − y2, e x = 4 − y2/4. (sugesta˜o: use a mudanc¸a de varia´veis x = u2 − v2, y = uv). 11. Determine a a´rea da regia˜o D do plano xy definida por D = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 2)2 ≤ 4 e x2 + y2 ≥ 4}. 12. Resolva os problemas seguintes por integrac¸a˜o tripla em coordenadas cil´ındricas a) Determine o volume do so´lido delimitado acima pelo plano z = 4 e abaixo pelo paraboloide z = r2 b) Ache o volume da regia˜o interior a` esfera x2+y2+z2 = 4 e ao cilindro x2+y2 = 1 b) Calcule o volume da regia˜o delimitada pelos parabolo´ides z = 2x2 + y2 e z = 12− x2 − 2y2 13. Calcular a a´rea limitada pela elipse (x − 2y + 3)2 + (3x + 4y − 1)2 = 100. (Sugesta˜o: considerar a mudanc¸a de varia´vel u = x− 2y e v = 3x+ 4y). 14. Calcular a a´rea do quadrila´tero curvil´ıneo limitado pelos arcos das para´bolas x2 = ay, x2 = by, y2 = αx, y2 = βx (0 < a < b, 0 < α < β). (Sugesta˜o: Fazer a mudanc¸a de varia´veis u = x2/y e v = y2/x). 73 15. Determine o volume dos so´lidos W abaixo a) W e´ limitado pelas superf´ıcies z = x2 + y2, x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9 e o plano z = 10. b) W = { (x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ 25 e x2 + y2 + z2 ≥ 9 } . c) W e´ limitado pelas superf´ıcies z = 0, x2 + y2 = 2y e z = √ x2 + y2. d)W e´ o so´lido acima do plano xy limitado pelas superf´ıcies z = 0, x+y+z = 1 e x2 + y2 = 1. 16. Calcule ∫ ∫ D ex+y/(x−y) (x− y)2 dx dy, onde D = { (x, y) ∈ R2/ 1 ≤ (x− y)2 + (x+ y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x+ y ≥ 0 } . 17. Calcule as integrais triplas abaixo, usando a mudanc¸a de varia´veis conveniente a) ∫ ∫ ∫ D z dx dy dz, onde D = { (x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0, x2 + y2 ≥ 1/4 } . b) ∫ ∫ ∫ D dx dy dz z2 , onde D e´ o so´lido limitado pelas superf´ıcies z = √ x2 + y2, z = √ 1− x2 − y2, e z = √ 4− x2 − y2. c) ∫ ∫ ∫ D z dx dy dz, onde D e´ o so´lido limitado pelas superf´ıcies z = √ x2 + y2, e z = √ 3(x2 + y2), e x2 + y2 + z2 = 4. d) ∫ ∫ ∫ D xyz dx dy dz, onde: D = { (x, y, z) ∈ R3/ x 2 a + y2 b + z2 c ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 } . e) ∫ ∫ ∫ D (x2 + y2 + z2)1/2 dx dy dz, onde D e´ a regia˜o dada por (i) D = { (x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ a2 } . (ii) D = { (x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ x } f) ∫ ∫ ∫ D dx dy dz x2 + y2 + z2 , onde D e´ o so´lido definido por D = { (x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ 2y, z ≤ √ x2 + y2, y ≥ x e x ≥ 0 } . 74 g) ∫ ∫ ∫ D x dx dy dz, onde D = { (x, y, z) ∈ R3/ 4 ≤ x2 + (y − 1)2 + z2 ≤ 9, x ≥ 0, z ≥ 0 } . 75 Cap´ıtulo 6 Integrais de Superf´ıcie Lembremos que uma superf´ıcie em R3 pode-se representar de treˆs formas 1. Expl´ıcitamente, se z = f(x, y). 2. Impl´ıcitamente, quando a equac¸a˜o e´ da forma F (x, y, z) = 0. 3. Parametricamente , se as coordenadas x, y, z dos pontos da superf´ıcie sa˜o expressas em termos de dois paraˆmetros. 6.1 A´rea de Superf´ıcies Consideremos uma superf´ıcie S que e´ imagem de uma func¸a˜o ϕ : D ⊂ R2 −→ R3 tal que 1. D e´ um subconjunto limitado e fechado do plano 2. ϕ e´ injetora, exceto possivelmente na fronteira de D. 3. A superf´ıcie e´ regular, exceto possivelmente num nu´mero finito de pontos. Definic¸a˜o 6.1. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v), onde (u, v) ∈ D. Definimos a a´rea A(S) de S pela fo´rmula A(S) = ∫ ∫ D ∥∥∥∥∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ∂v (u, v) ∥∥∥∥ du dv (6.1) 76 Observac¸a˜o 6.1. Se S e´ uma superf´ıcie com representac¸a˜o expl´ıcita, enta˜o z = f(x, y), logo uma parametrizac¸a˜o e´ ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)), com (x, y) ∈ D. Portanto, ‖N‖ = ∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂y ∥∥∥∥ = √( ∂f ∂x )2 + ( ∂f ∂y )2 + 1 e consequentemente A(S) = ∫ ∫ D √( ∂f ∂x )2 + ( ∂f ∂y )2 + 1 dx dy (6.2) Observac¸a˜o 6.2. Se S e´ decomposta como unia˜o finita de superf´ıcies Si, sua a´rea e´ a soma das a´reas Si. Exemplo 6.1. Considere γ o arco da para´bola z = 3 − y2 no plano yz comprendido entre as semi-retas z = 2y, z = 11 2 y, com y ≥ 0. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se γ em torno do eixo z. Encontre: 1. Uma parametrizac¸a˜o de S. 2. A a´rea de S 77 Sol. A parametrizac¸a˜o de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela curva (0, t, 3− t2) e´ dada por ϕ(t, θ) = (t sen θ, t cos θ, 3− t2) Fazendo a intersec¸a˜o das retas com a curva (0, t, 3− t2) obtemos os pontos P = (0, 1, 2) e P ′ = ( 0, 1 2 , 11 4 ) , de onde segue que t ∈ [ 1 2 , 1 ] , θ ∈ [0, 2π]. Assim, calculando as derivadas parciais temos ∂ϕ ∂t = (sen θ, cos θ,−2t) ∂ϕ ∂θ = (t cos θ,−t sen θ, 0). Logo, o vetor normal e´ N = (−2t2 sen θ,−2t2 cos θ,−t) A(S) = ∫ 2pi 0 ∫ 1 1/2 √ t2 (4t2 + 1) dt dθ
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