Métodos Matemáticos para Engenharia UENF

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Norte Fluminense
Me´todos Matema´ticos
Liliana A. L. Mescua
Rigoberto G. S. Castro
Abril de 2012
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
1 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias 3
2 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a Ordem 6
2.1 Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou Problema de Cauchy . . . . . . . 6
2.2 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Equac¸o˜es de Varia´veis Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Equac¸o˜es Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Equac¸o˜es Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Me´todos de Substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9 Equac¸o˜es Redut´ıveis a um dos Tipos Anteriores . . . . . . . . . . . . . 29
ii
2.9.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 EDO’s Lineares de Ordem Superior 35
3.1 EDO Incompleta com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Caso I: Ra´ızes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Caso II: Ra´ızes Reais Repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Caso III: Ra´ızes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 EDO Completa com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar (MCD). . . . . . . . . . . 41
3.3 EDO Completa com Coeficientes Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Me´todo de Variac¸a˜o de Paraˆmetros (MVP) . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Sistema de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares 52
4.1 Sistemas Homogeˆneos de 1ra Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Autovalores Reais Distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2 Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 Autovalores Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Sistemas Na˜o Homogeˆneos de 1ra Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Variac¸a˜o de Paraˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Sistemas Homogeˆneos de 2da Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1 Aplicac¸o˜es a` Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Sistemas Na˜o Homogeˆneos de 2da Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
5 Transformada de Laplace 73
5.1 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Teoremas de Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Derivada e Integral de uma Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Func¸a˜o Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 A Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6 Aplicac¸a˜o as Equac¸o˜es Lineares com Coeficientes Constantes . . . . . . 88
6 Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 93
6.1 Se´ries Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1 Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.2 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Equac¸o˜es Diferenciais em Derivadas Parciais (EDP) . . . . . . . . . . . 108
6.3 Equac¸o˜es Fundamentais da F´ısica-Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3.1 Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.2 Equac¸a˜o de Onda ou da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.3 A Soluc¸a˜o Geral da Eq. de Onda. Me´todo de D’Alembert . . . 131
6.3.4 Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A 137
A.1 Nu´meros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
iv
Introduc¸a˜o
Ao estudar um fenoˆmeno f´ısico com frequencia na˜o e´ poss´ıvel achar de imediato
as leis f´ısicas que relacionam as magnitudes que caraterizam dito fenoˆmento. Assim,
obtemos equac¸o˜es que conte´m as func¸o˜es desconhecidas, escalares ou vetoriais sob o
sinal da derivada ou da diferencial.
As equac¸o˜es nas quais a func¸a˜o desconhecida, escalar ou vetorial se encontra sob
o sinal da derivada ou da diferencial, se chamam equac¸o˜es diferenciais. Vejamos
alguns exemplos de equac¸o˜es diferenciais.
1.
d x
dt
= kx e´ a equac¸a˜o da desintegrac¸a˜o radioactiva, onde k < 0 e´ a constante
de desintegrac¸a˜o; x = x(t) e´ a quantidade da substaˆncia na˜o desintegrada no
tempo t. Em outras palavras, a velocidade de desintegrac¸a˜o
dx
dt
e´ proporcional a`
quantidade de substaˆncia que se desintegra.
2. m
d2r
dt2
= F
(
t, r,
dr
dt
)
e´ a equac¸a˜o do movimento de um ponto de massa m, sobre
a influeˆncia de uma forc¸a F dependente do tempo, do vetor posic¸a˜o r e de sua
velocidade
dr
dt
. A forc¸a e´ igual ao produto da massa pela acelerac¸a˜o.
3.
∂2u
∂t2
−a2
(∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)
= 0 e´ a equac¸a˜o de ondas que modela a propagac¸a˜o
de som, da luz ou de outros fenoˆmenos ondulato´rios.
A busca das func¸o˜es inco´gnitas, determinadas pelas equac¸o˜es diferenciais, e´ precisa-
mente o problema fundamental da teoria das equac¸o˜es diferenciais.
Se na equac¸a˜o diferencial as func¸o˜es desconhecidas, escalares ou vetoriais, sa˜o
func¸o˜es de uma so´ varia´vel, a equac¸a˜o e´ chamada de Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
1
(por exemplo as equac¸o˜es 1. e 2.). Por outro lado, se a func¸a˜o desconhecida e´ func¸a˜o
de duas ou mais varia´veis independentes, a equac¸a˜o diferencial se chama Equac¸a˜o
Diferencial Parcial (por exemplo a equac¸a˜o 3.).
2
Cap´ıtulo 1
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Definic¸a˜o 1.1. Chama-se equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) a uma equac¸a˜o
que estabelece uma relac¸a˜o entre a varia´vel independente x, a func¸a˜o desconhecida y(x)
e suas derivadas y′, y′′, y′′′, . . . , y(n)
(
y′ =
dy
dx
= Dy, y′′ =
d2y
dx2
= D2y, y′′′ =
d3y
dx3
=
D3y, . . . , y(n) =
dny
dxn
= Dny
)
.
Simbolicamente, pode-se escrever:
F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
sendo, x ∈ I (I intervalo aberto em R).
Exemplo 1.1. A seguir algumas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
a) y′ = x b) y′′ + y = 0 c) (1 + x2)y′ = arctan x d) y′ =
xy
x2 + y2
.
Equac¸o˜es diferenciais sa˜o classificadas de acordo a ordem e linearidade:
Definic¸a˜o 1.2. A ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ o maior ordem (grau) da
derivada que figura nessa equac¸a˜o.
Exemplo 1.2. Do exemplo anterior concluimos que
i) As equac¸o˜es a), c), d) sa˜o de ordem 1. Diz-se que sa˜o equac¸o˜es de 1ra ordem.
ii) A equac¸a˜o b) e´ de ordem 2. Equac¸a˜o de 2da ordem.
iii) y(4) + y′′ − y3 = sen x, com x ∈ R e´ de 4a ordem.
3
Definic¸a˜o 1.3. (EDO Linear) Sejam as func¸o˜es ai(x), i = 1, 2, . . . , n, e b(x)
cont´ınuas em (a, b) e a0(x) 6= 0, ∀ x ∈ (a,b). Uma equac¸a˜o da forma
a0(x) y
(n) + a1(x) y
(n−1) + a2(x) y
(n−2) + · · ·+ an−1(x) y′ + an(x) y = b(x), (1.1)
chama-se equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de ordem n (n ≥ 1).
Pode-se escrever a equac¸a˜o (1.1) na forma:
y(n) + p1(x) y
(n−1) + p2(x) y
(n−2) + · · ·+ pn−1(x) y′ + pn(x) y = q(x), (1.2)
ou
[
D(n) + p1(x) D
(n−1) + p2(x) D
(n−2) + · · ·+ pn−1(x) D + pn(x)
]
y = q(x). (1.3)
Observac¸a˜o 1.1. Denotando a expressa˜o a esquerda de (1.3) pelo operador linear
L(D) y, obtemos L(D) y = q(x), ou abreviadamente
L(y) = q(x). (1.4)
Se q(x) = 0 para todo x, a equac¸a˜o (1.4) e´ chamada homogeˆnea ou incompleta.
Se q(x) 6= 0 para algum x, a equac¸a˜o (1.4) se diz na˜o homogeˆnea ou completa.
Exemplo 1.3. A equac¸a˜o y′′− 2y′+ y = 0 e´ uma EDO de 2da ordem linear homogenea
Exemplo 1.4. As equac¸o˜es yy′′ − 2y = x e y′′′ + y2 = 0 sa˜o EDO’s na˜o
lineares, de 2da e 3a ordem respectivamente (a EDO e´ na˜o-linear quando na˜o for de
primeiro grau em y ou em suas derivadas).
Definic¸a˜o 1.4. A EDO dada na definic¸a˜o (1.1) esta´ na forma normal quando se
encontra explicitada em relac¸a˜o a` derivada de maior ordem que nela figura, isto e´
y(n) = G(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)).
As equac¸o˜es diferenciais a) e d) do exemplo (1.1) esta˜o na forma normal. As outras
na˜o o esta˜o, mas e´ poss´ıvel poˆ-las escrevendo y′′ = −y e y′ = arctan x
1 + x2
. A equac¸a˜o
do item (iii) do exemplo (1.2) em sua forma normal escreve-se y(4) = sen x− y′′ + y3.
Observac¸a˜o 1.2. Nem sempre e´ poss´ıvel escrever uma equac¸a˜o em sua forma normal.
4
Exemplo 1.5. As equac¸o˜es
a) y = xy′ − 1
4
(y′)2
b) (y′)4 − (x+ 2y + 1)(y′)3 − 2xyy′ = 0
sa˜o equac¸o˜es de 1ra ordem, em que y′ na˜o pode ser explicitada em func¸a˜o de y e de x.
Definic¸a˜o 1.5. Soluc¸a˜o de uma EDO F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 num intervalo I, e´ uma
func¸a˜o y = φ(x) tal que
F (x, φ(x), φ′(x), . . . , φ(n)(x)) = 0, ∀ x ∈ I
Dependendo do contexto do problema, I pode ser un intervalo aberto (a, b), um
intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (a,∞), etc.
Exemplo 1.6. A func¸a˜o y = x2 e´ soluc¸a˜o em (−∞,∞), da equac¸a˜o y′ = 2x. Mais
ainda y = x2+1, y = x2+π, y = x2+ln 3 sa˜o tambe´m soluc¸o˜es de y′ = 2x. A soluc¸a˜o
y = x2+C e´ chamada de soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y′ = 2x onde C e´ uma
constante arbitra´ria.
Exemplo 1.7. A func¸a˜o y = sen x e´ soluc¸a˜o de y′′ + y = 0. De fato, se y′ = cosx,
enta˜o y′′ = − sen x. Logo, − sen x+ sen x = 0, ∀ x ∈ R.
5
Cap´ıtulo 2
Equac¸o˜es Diferenciais de 1a Ordem
As EDO’s de primeira ordem se apresentam sob duas formas equivalentes:
1. Forma Normal: y′ = f(x, y).
2. Forma Diferencial: P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0.
2.1 Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou Problema
de Cauchy
Trata de resolver uma EDO de primeira ordem
dy
dx
= f(x, y)
sujeita a condic¸a˜o inicial
y(x0) = y0.
Em termos geome´tricos, procuramos uma soluc¸a˜o para uma EDO, definida em algum
intervalo I tal que o gra´fico da soluc¸a˜o passe por um ponto (x0, y0) ∈ I determinado
apriori.
Exemplo 2.1. Resolver o problema de valor inicial em I = (−∞,∞).
 y
′ = y,
y(0) = 3.
(2.1)
6
Sol.: E´ simples de ver que y = Cex satisfaz a equac¸a˜o y′ = y em I, onde C e´ uma
constante arbitra´ria (Ver Fig. 2.1). Embora, y = 3ex e´ a u´nica func¸a˜o da famı´lia que
satisfaz a condic¸a˜o y(0) = 3e0 = 3.
Figura 2.1: Famı´lia de Soluc¸o˜es de y′ = y.
Observac¸a˜o 2.1. O exemplo anterior, levanta duas questo˜es funtamentais:
1. Existe sempre uma soluc¸a˜o para o problema de Cauchy?
2. Se existe ela e´ u´nica?
Em outras palavras, por cada ponto fixo (x0, y0) passa uma u´nica soluc¸a˜o y = y(x)?.
O seguinte exemplo, mostra que a resposta a segunda pergunta as vezes e´ na˜o.
Exemplo 2.2. Uma simples substituic¸a˜o permite verificar que as func¸o˜es y =
x4
16
e
y = 0 satisfazem o P.V.I,
 y
′ = xy1/2,
y(0) = 0.
(2.2)
7
Figura 2.2: Soluc¸o˜es de y′ = xy1/2.
O Teorema de Picard nos garante as condic¸o˜es de existeˆncia e unicidade das soluc¸o˜es
do P.V.I.
Teorema 2.1. (Existeˆncia e Unicidade) Seja o problema de valor inicial
 y
′ = f(x, y)
y(x0) = y0
(2.3)
onde (x0, y0) ∈ R = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Se f(x, y) e ∂f/∂x sa˜o
cont´ınuas em R, enta˜o existe um intervalo I centrado em x0 e uma u´nica func¸a˜o y(x)
definida em I que satisfaz o problema de valor inicial (2.3) (Veja a Figura 2.3).
2.2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
O ponto de vista geome´trico e´ u´til no caso de equac¸o˜es de primeira ordem, isto e´,
equac¸o˜es da forma:
y′ = f(x, y) (2.4)
Uma vez que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (2.4) e´ uma func¸a˜o y = y(x), a repre-
sentac¸a˜o geome´trica de uma soluc¸a˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o. Geometricamente
a equac¸a˜o (2.4) afirma que em qualquer ponto (x, y), o coeficiente angular y′ da
8
Figura 2.3:
soluc¸a˜o neste ponto e´ dado por f(x, y). Podemos representar graficamente esta situac¸a˜o
trac¸ando um pequeno segmento de reta no ponto (x, y) com coeficiente angular f(x, y).
O conjunto de segmentos de reta e´ conhecida como o campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o
diferencial (2.4).
Exemplo 2.3. Seja a equac¸a˜o diferencial y′ = y, onde f(x, y) = y. O campo de
direc¸o˜es desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrada na Figura 2.4. Note que a soluc¸a˜o e´ a
func¸a˜o y(x) = Cex, onde C ∈ R.
Figura 2.4: Campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o y′ = y.
Exemplo 2.4. Seja a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
=
√
x2 + y2. Para a construc¸a˜o do
campo de direc¸o˜es desta equac¸a˜o, acha-se o lugar geome´trico dos pontos nos quais as
tangentes as curvas integrais (ou gra´fico das soluc¸o˜es) procuradas conservam
9
Figura 2.5: Campo de Direc¸o˜es e Iso´clinas da eq.
dy
dx
=
√
x2 + y2.
uma direc¸a˜o constante. Tais linhas chamam-se iso´clinas (Fig. 2.5). A equac¸a˜o
das iso´clinas obtem-se considerando
dy
dx
= k, onde k e´ uma constante. Logo, para
este exemplo temos
√
x2 + y2 = k, ou x2 + y2 = k2. Consequ¨entemente as iso´clinas
sa˜o circunfereˆncias com centro na origem de coordenadas, e o coeficiente angular da
tangente a`s curvas integrais procuradas e´ igual ao raio de ditas circunfereˆncias. Para
construir o campo de direc¸o˜es, damos a constante k certos valores determinados.
2.3 Equac¸o˜es de Varia´veis Separa´veis
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de 1ra ordem e´ separa´vel se for poss´ıvel, por mani-
pulac¸o˜es alge´bricas elementares, reescrever a equac¸a˜o na forma diferencial
M(x) dx+N(y) dy = 0 (2.5)
ou equivalentemente
N(y) dy = −M(x) dx. (2.6)
Para resolver (2.6) simplesmente se reduz a uma integrac¸a˜o em cada varia´vel.
Exemplo 2.5. Resolva a EDO y′ = 2x e−y.
Sol.: Como dy/dx = 2x e−y, enta˜o podemos escrever ey dy = 2x dx. Assim, integrando
temos ey = x2 + C. Observemos que devido a que ey > 0 teremos que x2 + C deve ser
10
positivo. Logo, tomando o logaritmo neperiano resulta que
y(x) = ln(x2 + C), onde x2 + C > 0. (2.7)
Exemplo 2.6. Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)
 y
′ = 2
√
y
y(−1) = 0
(2.8)
Sol.: Como dy/dx = 2
√
y, enta˜o
dy
2
√
y
= dx. Logo,
√
y = x + C. Fazendo x = −1 e
y = 0 temos que C = 1. Logo,
√
y = x + 1, ( note que x + 1 ≥ 0 e o domı´nio de y e´
[−1,∞]). Portanto, a soluc¸a˜o e´
y(x) = (x+ 1)2, x ≥ −1. (2.9)
Exemplo 2.7. Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)
 y
′ = y2 − 4
y(0) = −2
(2.10)
Sol.: Se y2 − 4 6= 0 enta˜o dy/(y2 − 4) = dx, enta˜o integrando∫
dy
(y − 2)(y + 2) =
∫
dx
1
4
∫ ( 1
y − 2 −
1
y + 2
)
dy =
∫
dx
ln
(y − 2)
(y + 2)
= 4x+ C
(y − 2)
(y + 2)
= e4x+C . (2.11)
Portanto,
y(x) = 2
1 + Ce4x
1− Ce4x (2.12)
Fazendo x = 0 e y = −2 chegmos a que 1 = −1.Observamos que y deve ser distinto
de −2 (condic¸a˜o imposta) em (2.12).
Pore´m y = −2 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada. Mais ainda, de (2.12) observamos:
1. Soluc¸o˜es limitadas quando C < 0, −2 < y(x) < 2, x ∈ R.
2. Soluc¸o˜es ilimitadas quando C > 0. Veja a Figura 2.6.
11
Figura 2.6:
2.3.1 Exerc´ıcios
1. Usando varia´veis separa´veis determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
(a) y
√
1− x2 y′ = x
(b) x5y′ + y5 = 0
(c) x dy = (1− 2x2) tan y dx;
(d) e−xdy + (xey + e−x+y)dx = 0
(e) xyy′ = y + 2 ; y(0) = −2
(f) y′ − y = 3 ; y(1) = −3
(g) y′(1 + y) = (1− x2); y(−1) = −2
(h)
dy
dx
=
3x2
3y2 − 4 ; y(1) = 0
2. A equac¸a˜o diferencial p dv + kv dp = 0 descreve a variac¸a˜o adiaba´tica (processo
de transformac¸a˜o de um sistema no qual no ha´ trocas te´rmicas com o exterior)
do estado do ar, com p = pressa˜o; v = volume; k = constante. Exprima p como
func¸a˜o de v.
3. O planeamento dum sistema de abastecimento de a´gua para uma povoac¸a˜o baseia-
se no modelo matema´tico
dp
dt
= kp(pM − p)
em que k = 10−6 habitante/ano; pM = 10
5 habitantes; p = populac¸a˜o no instante
t. A populac¸a˜o inicial e´ de 104 habitantes. Determine o tempo aproximado,
necessa´rio para a populac¸a˜o atingir 15000 habitantes.
12
4. Sabendo que a velocidade de resfriamento de um corpo, num ambiente de temper-
atura constante, e´ proporcional a` diferenc¸a entre a sua temperatura T (t) em cada
instante e a temperatura do meio ambiente Tm (Lei do resfriamento de Newton),
isto e´:
dT
dt
= k(T − Tm)
Resolva o seguinte problema: Um objecto meta´lico a` temperatura de 100o e´ mer-
gulhado num rio. Ao fim de cinco minutos a temperatura do objecto desceu para
60o. Determine o instante em que a temperatura do objecto e´ de 31o, sabendo
que a temperatura da a´gua do rio e´ de 30o.
5. A velocidade de desintegrac¸a˜o radioactiva de um elemento e´ proporcional a` sua
concentrac¸a˜o em cada instante:
dA
dt
= kA. Sabendo que a meia vida (o tempo
gasto para metade dos a´tomos de uma quantidade inicial A0 se desintegrar ou se
transmutar em a´tomos de outros elemento) do ra´dio e´ de 1590 anos, determine a
percentagem de massa que se desintegra ao fim de 100 anos.
6. A populac¸a˜o de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero
de pessoas presentes em qualquer instante. Se a populac¸a˜o duplicou em 5 anos,
quando ela triplicara´?. Quando quadriplicara´?
7. Use o campo de direc¸o˜es gerado pelo computador para esboc¸ar, a ma˜o, uma curva
integral aproximada que passe pelos pontos indicados.
a) dy
dx
= x
y
; y(4) = 2.
b) dy
dx
= e−0,001xy
2
; y(0) = −4.
c) dy
dx
= sen x cos y; y(1) = 0.
d) dy
dx
= 1− xy; y(−1) = 0.
2.4 Equac¸o˜es Lineares
Uma equac¸a˜o diferencial da forma
a0(x)y
′ + a1(x)y = g(x) (2.13)
e´ chamada de equac¸a˜o linear de primeira ordem.
Dividindo pelo coeficiente a0(x) obtemos a forma mais u´til de uma equac¸a˜o linear
y′ + p(x)y = q(x) (2.14)
13
Para resolver esta equac¸a˜o multiplicamos a equac¸a˜o diferencial por um fator inte-
grante µ(x) apropriado e assim coloca´-la em uma forma integra´vel. Temos enta˜o
µ(x)y′ + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x) (2.15)
e queremos reconhecer o lado esquerdo de (2.15) como a derivada de alguma func¸a˜o.
Como um dos termos e´ µ(x)y′ sugere que o lado esquerdo da eq. (2.15) pode ser a
derivada do produto µ(x)y. Para que seja verdade µ′(x)y = µ(x)p(x)y que por sua
vez significa que µ(x) deve satisfazer a equac¸a˜o diferencial
µ′(x) = p(x) µ(x). (2.16)
Se µ(x) > 0 a equac¸a˜o (2.16) pode ser escrita como
µ′(x)
µ(x)
= p(x), ou (2.17)
(lnµ(x))′ = p(x). (2.18)
Enta˜o, integrando ambos os termos temos
lnµ(x) =
∫
p(x) dx+ k. (2.19)
Escolhendo k = 0 obtemos a func¸a˜o µ na sua forma mais simples, ou seja
µ(x) = e
∫
p(x) dx. (2.20)
Uma vez determinado µ voltamos a eq. (2.15) e obtemos que
(e
∫
p(x) dx y)′ = e
∫
p(x) dxq(x). (2.21)
Integrando ambos membros de (2.21) obtemos
e
∫
p(x) dx y =
∫
e
∫
p(x) dx q(x) dx+ C, ou
y(x) = e−
∫
p(x) dx
[ ∫
e
∫
p(x) dx q(x) dx+ C
]
(2.22)
Portanto, esta e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (2.15).
Exemplo 2.8. Ache uma soluc¸a˜o geral de (x2 + 1)y′ + 3xy = 6x.
14
Sol.: Dividindo por (x2 + 1) a anterior equac¸a˜o fica
y′ +
3x
x2 + 1
y =
6x
x2 + 1
.
Enta˜o, p(x) =
3x
x2 + 1
e q(x) =
6x
x2 + 1
.
O fator integrante e´ dado por:
µ(x) = e
∫
3x
x2 + 1
dx
= e
3 ln(x2 + 1)
2 = (x2 + 1)3/2.
Logo, a soluc¸a˜o e´ dada por
y(x) = (x2 + 1)−3/2
[ ∫
(x2 + 1)3/2
6x
x2 + 1
dx+ C
]
= (x2 + 1)−3/2
[ ∫
6x(x2 + 1)1/2 dx+ C
]
= (x2 + 1)−3/2 [2(x2 + 1)3/2 + C]
= 2 + C (x2 + 1)−3/2, C ∈ R (2.23)
Exemplo 2.9. Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)
 y
′ − 3y = e2x
y(0) = 3
(2.24)
Sol.: Temos que p(x) = −3 e q(x) = e2x. O fator integrante e´ µ(x) = e
∫
−3 dx = e−3x.
Logo, a soluc¸a˜o e´ dada por
y(x) =
(∫
e−3x e2x dx+ C
)
e3x =
(∫
e−x dx+ C
)
e3x (2.25)
=
(
− e−x + C
)
e3x = −e2x + C e3x. (2.26)
Pela condic¸a˜o inicial temos
y(0) = −1 + C = 3 =⇒ C = 4.
Logo, a soluc¸a˜o do PVI e´ dado por y(x) = 4e3x − e2x.
Exemplo 2.10. Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)
 x
2 y′ + x y = sen x
y(1) = 2
(2.27)
15
Sol.: Dividindo por x2 temos que y′+ y/x = sen x/x2, de modo que o fator integrante
e´ µ(x) = e
∫
1
x dx = elnx = x. Assim, a soluc¸a˜o e´
y(x) =
(∫
x
sen x
x2
dx+ C
)
x−1 =
(∫ sen x
x
dx+ C
)
x−1. (2.28)
Observamos que a antiderivada de sen x/x na˜o e´ possivel calcular. Podemos usar
o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escrever uma antiderivada de uma func¸a˜o
cont´ınua arbitra´ria f(x) na forma F (x) =
∫ x
a
f(t) dt. Logo, temos que:
y(x) =
(∫ x
0
sen t
t
dt+ C
)
x−1. (2.29)
O limite de integrac¸a˜o a = 0 e´ permiss´ıvel porque sen t/t→ 1 quando t→ 0.
Aplicando a condic¸a˜o inicial temos
y(1) =
∫ 1
0
sen t
t
dt+ C = 2.
Logo, C = 2− ∫ 1
0
sen t
t
dt, de onde substituindo em (2.29) obtemos
y(x) =
(∫ x
0
sen t
t
dt+ 2−
∫ 1
0
sen t
t
dt
)
x−1.
Portanto, y(x) =
2
x
+
1
x
∫ x
1
sen t
t
dt e´ a soluc¸a˜o do PVI.
2.4.1 Exerc´ıcios
1. Determine a soluc¸a˜o geral para os problemas seguintes
(a) y′ − xy = 0
(b) y′ + xy = x
(c) y′ + y = 1
1+e2x
(d) y′ + y = 2xe−x + x2
(e) (1 + x2)y′ + 2xy = cot x
(f) y′ + y = 5 sen 2t
(g) y′ − 2y = t2e2t
(h) y′ + (1/x)y = 3 cos 2x
(i) ty′ + 2y = sen t , t > 0
(j) (1 + t2)y′ + 4ty = (1 + t2)−2 , t > 0
(k) ty′ − y = t2e−t
(l) 2y′ + y = 3t2
2. Ache a soluc¸a˜o do problema de valor inicial proposto
16
(a) xy′ + y = 3xy ; y(1) = 0
(b) xy′ + 3y = 2x5 ; y(2) = 1
(c) y′ + y = ex ; y(0) = 1
(d) xy′ − 3y = x3 ; y(1) = 10
(e) y′ + 2xy = x ; y(0) = −2
(f) y′ = (1− y) cosx ; y(π) = 2
(g) (1 + x)y′ + y = cosx ; y(0) = 1
(h) y′ = 1 + x+ y + xy ; y(0) = 0
(i) xy′ = 3y + x4 cosx ; y(2π) = 0
(j) y′ = 2xy + 3x2ex
2
; y(0) = 5
(k) (x2 + 4)y′ + 3xy = x ; y(0) = 1
(l) 2xy′ = y + 2x cosx ; y(1) = 0
3. Expresse a soluc¸a˜o geral de y′ = 1 + 2xy em termos da func¸a˜o de erro
erro(x) =
2√
π
∫ x
0
e−t
2
dt
4. Em um circuito em se´rie contendo somente um resistor e um indutor, a segunda
lei de kirchhoff diz que a soma da queda de tensa˜o L (di/dt) e da queda de tensa˜o
do resistor iR e´ igual a` voltagem E(t) no circuito, isto e´:
L
di
dt
+Ri = E(t)
onde L e R sa˜o conhecidas como a indutaˆncia e a resiteˆncia, respectivamente. A
corrente i(t) e´ a chamada resposta do sistema.
Resolva o seguinte problema: Uma bateria de 12 volts e´ conectada a um circuito
em se´rie no qual a indutaˆncia e´ de 1/2 henry e a resisteˆncia, 10ohms. Determine
a correntei se a corrente inicial e´ zero.
5. Se A e´ a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t. A taxa de
variac¸a˜o de A(t) e´ dada por:
dA
dt
= (taxa de entrada de sal)− (taxa de sa´ıda de sal) = R1 −R2
sendo que:
• taxa de entrada de sal = concentrac¸a˜o (g/l) × velocidade de entrada (l/min)
• taxa de sa´ıda de sal = concentrac¸a˜o (g/l) × velocidade de sa´ida (l/min)
Resolva o seguinte problema: Um tanque conte´m 200 litros de fluido no qual
foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma salmoura contendo 1 grama de sal por
litro e´ enta˜o bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 L/min; a soluc¸a˜o
17
bem misturada e´ bombeada para fora a` mesma taxa. Ache o nu´mero A(t) de
gramas de sal no tanque no instante t.
6. Forma-se um lago quando a´ agua e´ recolhida numa depressa˜o coˆnica de raio a
e profundidade h. Suponhamos que a a´gua aflutua a` vaza˜o constante k e que o
lago sofra evaporac¸a˜o a uma taxa proporcional a` a´rea superficial da a´gua.
a) Mostrar que o volume V (t) da a´gua no lago, no instante t, satisfaz a` equac¸a˜o
diferencial
dV/dt = k − απ(3a/πh)2/3V 2/3
b) Achar a profundidade de equil´ıbrio da a`gua no lago.
c) Achar a condic¸a˜o para que o lago na˜o transborde.
2.5 Equac¸o˜es Exatas
Definic¸a˜o 2.1. Uma expressa˜o diferencial
M(x, y) dx+N(x, y) dy
e´ uma diferencial exata em uma regia˜o R do plano xy se ela corresponde a` diferen-
cial total de alguma func¸a˜o f(x, y). Isto e´, df = M(x, y) dx + N(x, y) dy onde
∂f
∂x
= M e
∂f
∂y
= N .
Definic¸a˜o 2.2. Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (2.30)
e´ chamada uma equac¸a˜o exata se a expressa˜o do lado esquerdo e´ uma diferencial
exata.
Observac¸a˜o 2.2. Dizemos que (2.30) e´ uma equac¸a˜o exata se existe f(x, y) tal que
∂f
∂x
= M,
∂f
∂y
= N,
e a soluc¸a˜o e´ dada impl´ıcitamente por f(x, y) = C .
18
Exemplo 2.11. A equac¸a˜o diferencial x2y3 dx+ x3y2 dy = 0 e´ exata. De fato,
d
(1
3
x3y3
)
= x2y3 dx + x3y2 dy. Logo, a soluc¸a˜o e´ impl´ıcitamente pela equac¸a˜o
1
3
x3y3 = C.
Teorema 2.2. (Crite´rio para uma Diferencial Exata) SejamM(x, y) e N(x, y) func¸o˜es
cont´ınuas com derivadas parciais cont´ınuas numa regia˜o R = [a, b]× [c, d]. Enta˜o,
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (A equac¸a˜o e´ exata)⇐⇒ ∂M
∂y
=
∂N
∂x
(2.31)
Demonstrac¸a˜o: ⇒) Se M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 e´ uma equac¸a˜o exata, enta˜o
existe uma func¸a˜o f = f(x, y) tal que
df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy = M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0, ∀ (x, y) ∈ R = [a, b]× [c, d].
Logo,
∂f
∂x
=M(x, y) e
∂f
∂y
= N(x, y) (2.32)
Portanto,
∂M
∂y
=
∂
∂y
(∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y ∂x
(2.33)
∂N
∂x
=
∂
∂x
(∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x ∂y
. (2.34)
Como M e N sa˜o func¸o˜es cont´ınuas com derivadas cont´ınuas (veˆr (2.32-2.34), temos
que:
∂M
∂y
=
∂2f
∂y ∂x
=
∂2f
∂x ∂y
=
∂N
∂x
. (2.35)
⇐) Devemos provar que existe uma func¸a˜o f = f(x, y) tal que
∂f
∂x
=M(x, y) e
∂f
∂y
= N(x, y). (2.36)
Integrando
∂f
∂x
= M obtemos f(x, y) =
∫
M(x, y) dx+ ϕ(y). Note que ϕ e´ tal que
∂f
∂y
=
∂
∂y
(∫
M(x, y) dx
)
+ ϕ′(y) = N(x, y). (2.37)
Logo, ϕ′(y) = N(x, y)− ∂
∂y
( ∫
M(x, y) dx
)
.
19
Devemos provar que ϕ′ e´ uma func¸a˜o que depende de y. Derivando em relac¸a˜o a x,
temos
∂ϕ′
∂x
=
∂
∂x
N(x, y)− ∂
∂x
[
∂
∂y
( ∫
M(x, y) dx
)]
=
∂
∂x
N(x, y)− ∂
∂y
[
∂
∂x
(∫
M(x, y) dx
)]
=
∂
∂x
N(x, y)− ∂
∂y
M(x, y)
= 0 (2.38)
Portanto, integrando (2.37) obtemos:
f(x, y) =
∫
M(x, y) dx+
∫
N(x, y) dy −
∫
M(x, y) dx =
∫
N(x, y) dy.
Consequentemente,
∂f
∂y
= N(x, y).
Analogamente se prova que
∂f(x, y)
∂x
= M(x, y).
Exemplo 2.12. Determine se a equac¸a˜o 2xy dx+ (x2 − 1) dy = 0 e´ exata.
Figura 2.7: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o 2xy dx + (x2 − 1) dy = 0.
Sol. Com M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x2 − 1 temos:
∂M
∂y
= 2x =
∂N
∂x
.
Logo, pelo Teorema anterior existe uma func¸a˜o f(x, y) tal que
∂f
∂x
= 2xy e
∂f
∂y
= x2 − 1 (2.39)
20
Integrando em x a primeira das equac¸o˜es anteriores temos
f(x, y) = x2y + ϕ(y)
e derivando esta em func¸a˜o de y
∂f
∂y
= x2 + ϕ′(y) = x2 − 1
Logo, ϕ(y) = −y.
Assim, f(x, y) = x2y − y = (x2 − 1)y = C. Portanto,
y(x) =
C
x2 − 1 e´ a soluc¸a˜o. Veja Figura 2.7.
Exemplo 2.13. Resolva
 (x+ y)
2 dx+ (2xy + x2 − 1) dy = 0
y(1) = 1
(2.40)
Sol.: Fac¸amos M(x, y) = (x+ y)2 e N(x, y) = 2xy + x2 − 1, enta˜o
∂M
∂y
= 2(x+ y) =
∂N
∂x
.
Logo, (2.40) e´ uma EDO exata. De fato, seja f = f(x, y) tal que
∂f
∂x
= (x+ y)2 e
∂f
∂y
= 2xy + x2 − 1.
Enta˜o,
f(x, y) =
∫
(x2 + 2xy + y2) dx =
x3
3
+ x2y + y2x+ ϕ(y). (2.41)
Da´ı
∂f
∂y
= x2 + 2xy + ϕ′(y) = 2xy + x2 − 1.
o que implica que ϕ(y) = −y.
Portanto, f(x, y) =
x3
3
+ x2y + y2x− y = C e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (2.40).
Usando a condic¸a˜o inicial temos que C = f(1, 1) = 1/3+1+1−1 = 4/3. Portanto,
f(x, y) =
x3
3
+ x2y + y2x− y = 4
3
e´ sol. do problema (2.40).
21
2.5.1 Exerc´ıcios
1. Nos problemas a seguir, verifique se a equac¸a˜o dada e´ exata. Se for, resolva.
(a) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0
(b) (5x+ 4y)dx+ (4x− 8y3)dy = 0
(c) (2y2x− 3)dx+ (2yx2 + 4)dy = 0
(d) (x+ y)(x− y)dx+ x(x− 2y)dy = 0
(e) (1− 2x2 − 2y)dy = (4x3 + 4xy)dx
(f) xdy = (2xex − y + 6x2)dx
(g)
y
1− x2y2 dx+
x
1− x2y2 dy = 0
(h) −1
y
sen
x
y
dx+
x
y2
sen
x
y
dy = 0
(i) (2x− y)dx− (x+ 6y)dy = 0
(j) (x3 + y3)dx+ 3xy2dy = 0
(k) (3x2y+ey)dx+(x3+xey−2y)dy = 0
(l)
(
1 + ln x+
y
x
)
dx = (1− ln x)dy
2. Nos problemas a seguir, resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o
inicial indicada.
(a) (x+ y)2dx+ (2xy + x2 − 1)dy = 0, y(1) = 1
(b) (4y + 2x− 5)dx+ (6y + 4x− 1)dy = 0, y(−1) = 2
(c) (ex + y)dx+ (2 + x+ yey)dy = 0, y(0) = 1
3. Determine uma func¸a˜oM(x, y) para que a seguinte equac¸a˜o diferencial seja exata:
M(x, y)dx+
(
xexy + 2xy +
1
x
)
dy = 0
2.6 Fatores Integrantes
Se a equac¸a˜o diferencial
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (2.42)
na˜o e´ exata, o procedimento sera´ tentar achar uma func¸a˜o µ(x, y) (fator integrante)
que ao ser multiplicada pela equac¸a˜o (2.42) a transforme numa equac¸a˜o exata, isto e´:
∂
∂y
[µ M ] =
∂
∂x
[µ N ].
22
Logo, temos
∂µ
∂y
M + µ
∂M
∂y
=
∂µ
∂x
N + µ
∂N
∂x
∂µ
∂y
M − ∂µ
∂x
N = −µ
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
1
µ
∂µ
∂y
M
N
− 1
µ
∂µ
∂x
= −
(
∂M/∂y − ∂N/∂x
N
)
(2.43)
• Suponhamos agora que exista um fator integrante dependente so´ da varia´vel x,
isto e´, µ = µ(x). Enta˜o,
1
µ
dµ
dx
=
(
∂M/∂y − ∂N/∂x
N
)
. (2.44)
Note que o lado esquerdo da equac¸a˜o anterior e´ uma func¸a˜o de x. Portanto, o mesmo
acontece com o lado direito. Assim, denotando por
g(x) =
(
∂M/∂y − ∂N/∂x
N
)
temos a equac¸a˜o em varia´vies separa´veis:
1
µ
dµ
dx
= g(x)
cuja soluc¸a˜o e´
µ(x) = e
∫
g(x) dx onde g(x) =
∂M/∂y − ∂N/∂x
N
. (2.45)
• Se o fator integrante for dependente so´ da varia´vel y, isto e´, µ = µ(y). Enta˜o, de
forma ana´loga temos que:
1
µ
dµ
dy
= h(y)
cuja soluc¸a˜o e´
µ(y) = e
∫
h(y) dy onde h(y) =
∂N/∂x − ∂M/∂y
M
. (2.46)
Observac¸a˜o 2.3. Embora na teoria sempre exista um fator integrante, na pra´tica so´
ha´ dois casos em que a determinac¸a˜o de um fator integrante e´ fa´cil, se:
1. µ e´ uma func¸a˜o que so´ depende da varia´vel x.
23
2. µ e´ uma func¸a˜o que so´ depende da varia´vel y.
Exemplo 2.14. Determine um fator integrante da equac¸a˜o
(3xy + y2) dx+ (x2 + xy) dy = 0. (2.47)
Sol. Sejam M(x) = 3xy +y2 e N(x) = x2 + xy. A equac¸a˜o (2.47) na˜o e´ exata, pois
∂M
∂y
= 3x+ 2y 6= ∂N
∂x
= 2x+ y.
A seguir,
∂M/∂y − ∂N/∂x
N
=
x+ y
x(x+ y)
=
1
x
depende apenas de x. Assim, bastara´ supor que a expressa˜o anterior sera´ nosso g(x),
logo
µ(x) = e
∫
g(x) dx = e
∫
1
x
dx = x, x > 0. (2.48)
Portanto, multiplicando (2.47) pelo fator integrante µ(x) = x, temos a equac¸a˜o exata,
(3x2y + xy2) dx+ (x3 + x2y) dy = 0.
Usando o me´todo anterior e´ possivel resolver a equac¸a˜o anterior.
Exemplo 2.15. Determine um fator integrante para a seguinte equac¸a˜o:
y dx+ (2x− yey) dy = 0 (2.49)
Sol.: Se M(x) = y e N(x) = 2x− yey, enta˜o:
∂N/∂x − ∂M/∂y
N
=
2− 1
y
=
1
y
.
Conclu´ımos que, no caso de existir um fator integrante µ(y) que dependa apenas de y,
µ(y) = e
∫
1
y
dy = y, y > 0.
Logo, a equac¸a˜o exata e´:
y2 dx+ (2xy − y2ey) dy = 0. Resolva esta equac¸a˜o!!..
24
2.6.1 Exerc´ıcios
1. Nos problemas a seguir, resolva a equac¸a˜o diferencial dada, verificando qua a
func¸a˜o indicada µ(x, y) seja um fator de integrac¸a˜o.
(a) 6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0, µ(x, y) = y2
(b) (2y2 + 3x)dx+ 2xydy = 0, µ(x, y) = x
(c) y(x+ y + 1)dx+ (x+ 2y)dy = 0, µ(x, y) = ex
2. Use o me´todo do fator integrante para resolver as equac¸o˜es diferenciais seguintes
(a) (xy − 1)dx+ (x2 − xy)dy = 0
(b) 2xy dx+ (y2 − x2)dy = 0
(c) (4xy2 + y)dx+ (6y3 − x)dy = 0
(d) (4x+ 3y3)dx+ 3xy2 dy = 0
(e) (x+ 2) sen y dx+ x cos y dy = 0
(f) (y ln y − 2xy)dx+ (x+ y)dy = 0
2.7 Equac¸o˜es Homogeˆneas
Definic¸a˜o 2.3. Uma func¸a˜o f(x, y) e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau α, onde α e´
um nu´mero real, se
f(tx, ty) = tα f(x, y), para todo t > 0.
Exemplo 2.16. Determine se as func¸o˜es dadas a seguir sa˜o homogeˆneas.
(a) f(x, y) = −3xy + y2
(b) f(x, y) = 3
√
x2 + y2
Sol.:
(a) Como f(tx, ty) = −3t2xy + t2y2 = t2f(x, y), enta˜o f e´ homogeˆnea de grau 2.
(b) Como f(tx, ty) = 3
√
t2x2 + t2y2 = t2/3 3
√
x2 + y2 = t2/3f(x, y), diremos que f e´
homogeˆnea de grau 2/3.
Observac¸a˜o 2.4. Muitas vezes uma func¸a˜o homogeˆnea pode ser reconhecida exami-
nando o grau de cada termo
(a) f(x, y) = 6xy3 − x2y2 homogeˆnea de grau 4
(b) f(x, y) = x2 − y na˜o e´ homogeˆnea pois os graus de x2 e y sa˜o diferentes.
25
Definic¸a˜o 2.4. Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 ou
dy
dx
= −M(x, y)
N(x, y)
e´ chamada homogeˆnea se ambos os coeficientes M e N sa˜o func¸o˜es homogeˆneas do
mesmo grau.
Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆneaM(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 pode ser resolvida
por meio de uma substituic¸a˜o alge´brica,
y = µ x ou x = ν y
desde que µ e ν sejam as novas varia´veis independentes.
Esta substituic¸a˜o transformara´ a equac¸a˜o em uma equac¸a˜o diferencial de primeira
ordem de varia´veis separa´veis.
Se por exemplo y = µ x, enta˜o dy = µ dx + x dµ. Logo, substituindo na equac¸a˜o
obtemos
M(x, µx) dx+N(x, µx) [µ dx+ x dµ] = 0.
Do fato de M e N serem func¸o˜es homogeˆneas de grau n temos:
xn M(1, µ) dx+ xn N(1, µ) [µ dx+ x dµ] = 0,
ou equivalentemente xn [M(1, µ)+µ N(1, µ)] dx+xn[x N(1, µ)] dµ = 0. Consequente-
mente,
dx
x
+
N(1, µ)
[M(1, µ) + µ N(1, µ)]
dµ = 0, (2.50)
e´ uma equac¸a˜o diferencial separa´vel.
Exemplo 2.17. Resolva a equac¸a˜o diferencial (x2 + y2) dx+ (x2 − xy) dy = 0.
Sol.: Observe que a equac¸a˜o diferencial na˜o e´ exata, pore´m e´ homogeˆnea. Fazendo
y = µ x temos,
(x2 + (µ x)2) dx+ (x2 − x (µ x)) [µ dx+ x dµ] = 0
(1 + µ2) dx+ (1− µ) [µ dx+ x dµ] = 0
26
Logo,
dx
x
+
1− µ
1 + µ
dµ = 0
dx
x
+
1− µ
1 + µ
dµ = 0
dx
x
+
[
− 1 + 2
1 + µ
]
dµ = 0
ln |x|+ 2 ln |1 + µ| − µ = ln |C|
ln |x|+ 2 ln
∣∣∣1 + y
x
∣∣∣− y
x
= ln |C|. (2.51)
2.7.1 Exerc´ıcios
1. Nos problemas a seguir, determine se a func¸a˜o dada e´ homogeˆnea. Especifique o
grau de homogeneidade quando for o caso.
(a) x3 + 2xy2 − y4/x
(b)
x3y − x2y2
x+ 8y
2
(c) cos
x2
x+ y
(d)
1√
x2 + y2
(e)
x
y2 +
√
x4 + y4
(f)
ln x3
ln y3
2. Nos problemas a seguir, resolva a equac¸a˜o diferencial usando uma substituic¸a˜o
apropriada.
(a) (x2 − 2y2)dx+ xydy = 0
(b) (y2 + yx)dx− x2dy = 0
(c) −ydx+ (x+√xy)dy = 0
(d) x sen
y
x
dy
dx
= y sen
y
x
+
x
y
+ x
(e) x
dx
dy
= y + 2xe−y/x
(f) (x+ y)dx+ xdy = 0
(g)
dy
dx
=
x+ 3y
3x+ y
(h) x
dy
dx
− y =
√
x2 + y2
(i)
dy
dx
=
y
x
ln
y
x
(j) (x2e−y/x + y2)dx = xy dy
3. Nos problemas a seguir, resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o
inicial indicada.
(a) xy2
dy
dx
= y3 − x3, y(1) = 2
(b) (x+ yey/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0
27
4. Suponha que M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0 seja uma equac¸a˜o homogeˆnea. Mostre
que a substituic¸a˜o x = r cos θ, y = r sen θ leva a uma equac¸a˜o separa´vel.
5. Seja f(x, y) uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n. Mostre que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf
2.8 Me´todos de Substituic¸a˜o
Uma equac¸a˜o pode parecer diferente de todas as que vimos e estudamos, mas mudando
a varia´vel, tal vez um problema aparentemente dif´ıcil possa ser resolvido de forma fa´cil.
Exemplo 2.18. Resolva a EDO x e2y
dy
dx
+ e2y =
ln x
x
.
Sol.: Fac¸amos µ = x2 e2y e observemos que:
dµ
dx
= 2x e2y + 2x2 e2y
dy
dx
= 2x
(
e2y + x e2y
dy
dx
)
= 2x
ln x
x
= 2 ln x.
Logo,
dµ = 2 ln x dx ⇒ µ = 2 (x ln x− x) + C. (2.52)
Portanto,
x2 e2y = 2x ln x− 2x+ C.
Exemplo 2.19. Resolva a EDO y′ + y ln y = y ex
Sol.: Fazendo w = ln y temos que:
dw
dx
=
1
y
dy
dx
=
y′
y
,
de onde resulta a eq. linear.
dw
dx
+ w = ex.
Multiplicando a eq. anterior pelo fator integrante µ(x) observamos que
(w µ(x))′ = µ(x) ex ⇔ µ′(x) = µ(x) ⇔ µ(x) = ex.
28
Logo,
w(x) ex =
∫
(w(x) ex)′ dx =
∫
µ(x) ex dx =
∫
e2x dx =
e2x
2
+ C. (2.53)
Portanto,
w(x) =
1
2
ex + Ce−x.
Consequentemente
ln y =
1
2
ex + Ce−x.
2.9 Equac¸o˜es Redut´ıveis a um dos Tipos Anteriores
Caso 1: Uma equac¸a˜o da forma
y′ = f(ax+ by + c), b 6= 0, (2.54)
pode-se reduzir a uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis, por meio da subtituic¸a˜o:
w = ax+ by + c. (2.55)
Exemplo 2.20. Resolva a EDO y′ =
2
2x+ y + 3
Sol.: Fazendo w = 2x+ y + 3 temos
dw
dx
= 2 +
dy
dx
⇒ dy
dx
=
dw
dx
− 2.
Logo, substituindo na EDO a ser resolvida, temos
dw
dx
− 2 = 2
w
,
ou que implica que
dw
dx
=
2
w
+ 2 =
2 + 2w
w
w
2 + 2w
dw = dx
dw
2
− dw
2(1 + w)
= dx
w
2
− ln |w + 1|
2
= x+ C.
29
Consequentemente
2x+ y + 3− ln(2x+ y + 4) = 2x+ 2C
Caso 2: Considere a equac¸a˜o da forma
y′ = f
( ax+ by + c
a1x+ b1y + c1
)
. (2.56)
• Se c = c1 = 0 a equac¸a˜o e´ homogeˆnea.
• Se c e c1 na˜o sa˜o nulos simulta´neamente temos que: as retas ax + by + c = 0 e
a1x+b1y+c1 = 0 no plano XY intersectam-se em um ponto ou elas sa˜o paralelas.
a) Se em (2.56) as retas intersectam-se num ponto (x0, y0)
Observa-se que no caso da eq. homogeˆnea
y′ = f
( ax+ by
a1x+ b1y
)
as retas ax + by = 0 e a1x+ b1y = 0 intersectam-se na origem dos eixos coordenados.
Isto sugere que no caso em que c e c1 na˜o sa˜o nulos simulta´neamente se efectue uma
translac¸a˜o dos eixos coordenados, de modo que a nova origem coincide com (x0, y0).
Exemplo 2.21. Resolva a EDO y′ =
−7x+ 3y + 7
3x− 7y − 3 .
Sol.: Calculando o ponto de intersec¸a˜o das retas −7x+3y+7 = 0 e 3x− 7y− 3 = 0
obtemos o ponto x0 = 1 e y0 = 0. Ver Figura 2.8.
Logo, fazendo
 X = x− 1Y = y (2.57)
e substituindo na EDO temos
y′ = Y ′ =
−7(X + 1) + 3Y + 7
3(X + 1)− 7Y − 3 ,
a qual e´ uma equac¸a˜o homogeˆnea da forma:
Y ′ =
−7X + 3Y
3X − 7Y .
30Figura 2.8:
Logo, para resolver esta u´ltima equac¸a˜o usamos a substituic¸a˜o Y = µ X. Assim, temos
que:
µ′ X + µ =
−7X + 3µX
3X − 7µX =
−7 + 3µ
3− 7µ ,
µ′ X =
−7 + 3µ
3− 7µ − µ =
−7 + 7µ2
3− 7µ (2.58)
Se −7 + 7µ2 6= 0, tem-se(
3− 7µ
−7 + 7µ2
)
dµ =
dX
X
3− 7µ
(µ− 1)(µ+ 1) dµ =
7
X
dX
−2
µ− 1 dµ+
−5
µ+ 1
dµ =
7
X
dX. (2.59)
De onde integrando cada termo resulta
− 2 ln |µ− 1| − 5 ln |µ+ 1| dµ = 7 lnX − lnC,
ln
( |µ− 1|−2
|µ+ 1|5
)
= ln
X7
C
. (2.60)
Logo,
C = |µ+ 1|5X7|µ− 1|2. (2.61)
31
Portanto,
C =
(
Y
X
+ 1
)5
X7
(
Y
X
− 1
)2
,
C = (Y +X)5(Y −X)2,
C = (y + x− 1)5(y − x+ 1)2. (2.62)
Exerc´ıcio: Determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
 (4y + 2x− 5) dx+ (6y + 4x− 1) dy = 0y(−1) = 2 (2.63)
b) Se em (2.56) as retas sa˜o paralelas
Neste caso temos que
 ax+ by + c = 0a1x+ b1y + c1 = 0. ⇒


y = −a
b
x− c
b
y = −a1
b1
x− c1
b1
= 0.
⇒ a
b
=
a1
b1
(2.64)
Assim, fazendo λ =
a
a1
=
b
b1
∈ R na equac¸a˜o (2.56) temos:
y′ = f
(λa1x+ λb1y + c
a1x+ b1y + c1
)
= f
(λ(a1x+ b1y) + c
a1x+ b1y + c1
)
.
Introduzindo a nova varia´vel z = a1x+ b1y obte´m-se
dz
dx
= a1b1
dy
dx
= a1 + b1y
′
e consequentemente (2.56) reduz-se a uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis da forma:
z′ − a1
b1
= f
(λz + c
z + c1
)
,
dz
b1 f
(
λz+c
z+c1
)
+ a1
= dx (2.65)
Exemplo 2.22. Resolva a EDO y′ =
2x+ y − 1
4x+ 2y + 5
.
Sol.: Resolvendo, as seguintes equac¸o˜es temos que sa˜o retas paralelas (Ver Figura2.9):
 2x+ y − 1 = 04x+ 2y + 5 = 0 ⇒


y = −2x+ 1
y = −2x− 5
2
(2.66)
32
Figura 2.9:
Fazendo z = 2x+ y temos
dz
dx
= 2 + y′. Logo, z′ − 2 = z − 1
2z + 5
,
dz
dx
=
z − 1
2z + 5
+ 2 =
z − 1 + 4z + 10
2z + 5
=
5z + 9
2z + 5
.
Consequentemente, para z 6= −9/5,
2z + 5
5z + 9
dz = dx. (2.67)
Integrando∫
2z + 5
5z + 9
dz =
2
5
∫
dz +
7
5
∫
1
5z + 9
dz
2
5
z +
7
25
ln |5z + 9|. (2.68)
Portanto, de (2.68)
2
5
z +
7
25
ln |5z + 9| = x+ C
Substituindo o valor de z = 2x+y na equac¸a˜o anterior obtemos a soluc¸a˜o na sua forma
impl´ıcita.
2
5
(2x+ y) +
7
25
ln |5(2x+ y) + 9| = x+ C
2.9.1 Exerc´ıcios
1. Determine a soluc¸a˜o para os problemas seguintes
33
(a) y′ =
2x− 3
x+ y − 3
(b) y′ =
x− 1
3y + 2
(c) y′ =
1− x− y
x+ y
(d) y′ =
1
x+ y
(e) (2x + 4y − 5)dx − (4x + 6y − 1)dy =
0; y(−1) = 2
(f) (x+ 2y − 1)dx− (2x− 3)dy = 0; y(1) = 0
(g) y′ =
1− 2y − 4x
1 + y + 2x
; y(1) = 0
(h) y′ =
x+ y − 1
x− y + 1; y(1) = 1
2. Resolva a equac¸a˜o y′ = cos2(y − x) usando a substituic¸a˜o y − x = u
3. Resolva o problema de Cauchy y′ = cos2(y− x), y(0) = π. A soluc¸a˜o encontrada
e´ uma soluc¸a˜o particular de (2). Justifique.
4. Verifique que a equac¸a˜o da forma y′ + a(x)y = b(x)yk (Eq. de Bernoulli),
com k 6= 0 se pode transformar numa eq. linear, usando a mudanc¸a de varia´vel
z = y−k+1.( Sugesta˜o: multiplique ambos os membros da eq. dada por y−k).
5. A equac¸a˜o dy/dt = q1(t)+q2(t)y+q3(t)y
2 e´ conhecida como a ”Eq. de Ricatti”.
Suponhamos que uma certa soluc¸a˜o y1 seja conhecida. Uma soluc¸a˜o mais geral,
com uma constante arbitra´ria, pode ser conseguida pela substituic¸a˜o y = y1 +
1/ν(t). Mostrar que ν(t) obedece a` eq. linear de primeira ordem dν/dt = −(q2+
2q3y1)ν − q3.
6. Dada uma soluc¸a˜o particular, resolver cada uma das seguintes equac¸o˜esde Ricatti.
(a) y′ = 1 + t2 − 2ty + y2; y1(t) = t
(b) y′ = − 1
t2
− y
t
+ y2; y1(t) =
1
t
(c) y′ =
2 cos2 t− sin2 t+ y2
2 cos t
; y1(t) = sin t
34
Cap´ıtulo 3
EDO’s Lineares de Ordem Superior
Uma EDO linear geral de ordem n (n > 1), e´ da forma
L[y] = y(n) + a1(x) y
(n−1) + a2(x) y
(n−2) + · · ·+ an−1(x) y′ + an(x) y = b(x), (3.1)
onde os coeficientes ai(x) e b(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em algum intervalo I.
Associado a` EDO (3.1) e´ considerado a EDO incompleta ou homogeˆnea:
L[y] = y(n) + a1(x) y
(n−1) + a2(x) y
(n−2) + · · ·+ an−1(x) y′ + an(x) y = 0, (3.2)
Aqui o termo homogeˆneo tem significado diferente daquele usado na sec¸a˜o de Equac¸o˜es
Homogeˆneas.
Teorema 3.1. (Existeˆncia e Unicidade) Seja x0 um nu´mero real fixado no intervalo I.
Dados n-nu´meros reais y0, y1, . . . , yn−1, existe uma u´nica soluc¸a˜o y(x) da EDO (3.1)
definida no intervalo I, satisfazendo as seguintes condic¸o˜es iniciais:
y(x0) = y0, y
′(x0) = y1, y
′′(x0) = y2, . . . , y
(n−1)(x0) = yn−1.
Teorema 3.2. Existem n-soluc¸o˜es reais linearmente independentes (LI) y1, y2, . . . , yn
da equac¸a˜o EDO incompleta (ou homogeˆnea) (3.2) com a seguinte propriedade: qual-
quer soluc¸a˜o y(x) da EDO incompleta (3.2) e´ da forma
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + · · ·+ Cn yn(x)
Em particular, a colec¸a˜o S das soluc¸o˜es de (3.2) e´ um espac¸o vetorial real de di-
mensa˜o n e o conjunto B = {y1, y2, . . . , yn} e´ uma base para S.
35
3.1 EDO Incompleta com Coeficientes Constantes
Na equac¸a˜o linear geral de ordem n (3.2) consideramos ai(x) = ai, onde ai sa˜o
constantes reais. Logo, a equac¸a˜o linear incompleta com coeficientes constantes e´ da
forma
L[y] = y(n) + a1 y
(n−1) + · · ·+ an−1y′ + any = 0, (3.3)
Seja a equac¸a˜o linear incompleta de primeira ordem com coeficientes constantes
y′ + ay = 0.
E´ sabido que uma soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o e´ da forma:
y = C e−a x
Isto, sugere que no caso geral (n > 1) de uma equac¸a˜o linear incompleta com coefi-
cientes constantes (ai(x) = ai, ∀i = 1, 2, . . . , n), se procurem soluc¸o˜es do tipo y = erx,
com r constante.
Se y = erx e´ soluc¸a˜o de L[y] = 0, enta˜o existem
y′ = r erx, y′′ = r2 erx, . . . , y(n) = rn erx.
Substituindo em (3.3) temos
rn erx + a1r
n−1 erx + · · ·+ an−2r2 erx ++an−1r erx + an erx = 0
erx (rn + a1r
n−1 + · · ·+ an−1r + an) = 0 (3.4)
Como erx 6= 0 ∀x ∈ R, enta˜o:
rn + a1r
n−1 + · · ·+ an−1r + an = 0 (3.5)
Esta u´ltima equac¸a˜o denomina-se equac¸a˜o caracter´ıstica ou polinoˆmio carac-
ter´ıstico e tem n-ra´ızes reais ou complexas, e com estas ra´ızes construiremos n-soluc¸o˜es
reias L.I. da equac¸a˜o (3.3)
36
3.1.1 Caso I: Ra´ızes Reais
(I1) As ra´ızes r1, r2 . . . , rn sa˜o reais e distintas.
Se as ra´ızes r1 6= r2 6= r3 6= · · · 6= rn, enta˜o as n-soluc¸o˜es correspondentes sa˜o:
y1 = e
r1x, y2 = e
r2x, . . . , yn = e
rnx.
Por outro lado, para estas soluc¸o˜es o wronskiano e´ definido por
W (x) = det


er1x er2x ... ernx
r1 e
r1x r2 e
r2x ... rn e
rnx
. .
. .
rn1 e
r1x rn2 e
r2x ... rnn e
rnx


(3.6)
e, usando propriedades do determinante, obtemos que:
W (x) = er1x er2x . . . ernx det


1 1 ... 1
r1 r2 ... rn
. .
. .
rn1 r
n
2 ... r
n
n


. (3.7)
Como o determinante do lado direito da anterior equac¸a˜o conhecido como o determi-
nante de Vandermond, e´ diferente de zero, pois as ra´ızes ri sa˜o diferentes, o wronskiano
e´ diferente de zero (W (x) 6= 0).
Logo, {er1x, er2x, . . . , ernx} e´ um conjunto linearmente independente do espac¸o
vetorial Cn(R) (Espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas com derivadas cont´ınuas ate´
ordem n). Portanto, [{er1x, er2x, . . . , ernx}] e´ um subespac¸o vetorial de Cn(R). Conse-
quentemente, qualquer soluc¸a˜o de L[y] = 0, e´ combinac¸a˜o linear dos elementos da base
B = {er1x, er2x, . . . , ernx}, isto e´
y = c1 e
r1x + c2 e
r2x + · · ·+ cn ernx (3.8)
Exemplo 3.1. Resolva y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0
37
Sol.: A eq. dada pode-se escrever na forma
(D3 − 3D2 + 2D) y = 0, (3.9)
de modo que a eq. caracter´ıstica e´
r3 − 3r2 + 2r = 0. (3.10)
Da´ı, fatorando(3.10) temos que r(r2 − 3r + 2) = r(r − 2)(r − 1) = 0. Logo as ra´ızes
desta equac¸a˜o sa˜o:
r1 = 0, r2 = 2, r3 = 1.
Uma base do espac¸o de soluc¸o˜es da eq. (3.9) dada e´: B = {e0x, e2x, ex} = {1, , e2x, ex}.
Logo, a sol. geral e´
y = c1 + c2 e
2x + c3 e
x.
3.1.2 Caso II: Ra´ızes Reais Repetidas
Se existem k-ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico associados a` EDO L[y] = 0 tais que
r1 = r2 = · · · = rk = r, enta˜o as respectivas soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial sa˜o iguais a
erx. Portanto, e´ necessa´rio procurar k func¸o˜es LI que sejam soluc¸o˜es da eq. incompleta
L[y] = 0. Com a raiz r de multiplicidade k construiremos k soluc¸o˜es LI, y1, y2, . . . , yk
da EDO da seguinte maneira:
y1 = e
rx, y2 = x e
rx, y3 = x
2 erx, . . . . . . , yk = x
k−1 erx.
Essa construc¸a˜o e´ feita com todas as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica, para obtermos
n soluc¸o˜es LI da EDO, que formam uma base para o espac¸o das soluc¸o˜es.
Exemplo 3.2. Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′′ − 2y′′ + y′ = 0.
Sol.: A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ r3 − 2r2 + r = 0. As ra´ızes desta equac¸a˜o sa˜o r1 = 0
e r2 = r3 = 1, logo as soluc¸o˜es LI sa˜o dadas por:
y1(x) = e
0x = 1 associado a` ra´ız r1 = 0
y2(x) = e
x, y3(x) = x e
x associados a` ra´ız r2 = 1 (3.11)
38
Portanto, B = {1, ex, x ex} e´ uma base do espac¸o de soluc¸o˜es da eq. dada., conse-
quentemente a soluc¸a˜o geral e´
y(x) = C1 + C2 e
x + C2 x e
x.
Exemplo 3.3. Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′ − 6y′ + 9y = 0.
Sol.: A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ r2 − 6r + 9 = 0. Resolvendo esta equac¸a˜o quadra´tica
temos a raiz dupla
r =
6±√36− 36
2
= 3,
com isso a soluc¸a˜o geral e´
y(x) = C1 e
3x + C2 xe
3x = e3x(C1 + C2x).
3.1.3 Caso III: Ra´ızes Complexas
Suponhamos que λ = a+bi, b 6= 0, e´ uma raiz complexa da equac¸a˜o caracter´ıstica (3.5).
Como os coeficientes desta equac¸a˜o sa˜o reais, temos pela observac¸a˜o A.1 (Apeˆndice)
que o conjugado λ¯ = a − bi e´ tambe´m uma raiz. E´ fa´cil verificar que ϕ(x) = eλx
e´ uma soluc¸a˜o complexa da EDO (3.3) e as func¸o˜es ϕ1(x) = Re(ϕ(x)) e ϕ2(x) =
Im(ϕ(x)) sa˜o soluc¸o˜es reais linearmente independentes. Assim, temos que as soluc¸o˜es
correspondentes a`s raizes λ e λ¯ sa˜o
ϕ1(x) = Re(ϕ(x)) =
1
2
[ϕ(x) + ϕ¯(x)] = eax cos bx (3.12)
ϕ2(x) = Im(ϕ(x)) =
1
2
[ϕ(x)− ϕ¯(x)] = eax sen bx (3.13)
Quando houver multiplicidade da raiz λ (e, portanto de λ¯), aplicamos o processo
descrito para ra´ızes repetidas.
Exemplo 3.4. Ache a soluc¸a˜o geral da EDO linear de ordem quatro y(4) + 9y = 0.
Sol.: A EDO linear de ordem quatro tem equac¸a˜o caracter´ıstica λ4+9 = 0, cujas ra´ızes
complexas sa˜o λ1 =
√
6
2
(1 + i), λ2 =
√
6
2
(1− i), λ3 =
√
6
2
(−1 + i), λ4 =
√
6
2
(−1− i).
39
Correspondendo as ra´ızes λ1 e λ2 temos as soluc¸o˜es reais:
ϕ1(x) = e
√
6
2
x cos
√
6
2
x e ϕ2(x) = e
√
6
2
x sen
√
6
2
x
Correspondendo as ra´ızes λ3 e λ4 temos as soluc¸o˜es reais:
ϕ3(x) = e
−
√
6
2
x cos
√
6
2
x e ϕ4(x) = e
−
√
6
2
x sen
√
6
2
x
Logo, a soluc¸a˜o geral e´
y(x) = e
√
6
2
x
[
C1 cos
√
6
2
x+ C2 sen
√
6
2
x
]
+ e−
√
6
2
x
[
C3 cos
√
6
2
x+ C4 sen
√
6
2
x
]
.
Exemplo 3.5. Resolva a equac¸a˜o diferencial y(4) + 2y′′ + y = 0.
Sol.: As ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica λ4 + 2λ2 + λ = (λ2 + 1)2 = 0 sa˜o:
λ1 = i, λ2 = −i
ambas de multiplicidade 2.
Assim, as soluc¸o˜es reais associadas a λ1 e λ2 sa˜o:
ϕ1(x) = cos x e ϕ2(x) = sen x.
Pelo fato de essas ra´ızes serem de multiplicidade 2, temos mais duas soluc¸o˜es reais:
ϕ3(x) = x cosx e ϕ4(x) = x sen x.
Portanto, a soluc¸a˜o geral e´:
y(x) = C1 cosx+ C2 sen x+ C3 x cosx+ C4 x sen x.
3.2 EDO Completa com Coeficientes Constantes
Uma equac¸a˜o linear completa com coeficientes constantes e´ da forma
L[y] = y(n) + a1 y
(n−1) + · · ·+ an−1y′ + any = b(x), (3.14)
40
Teorema 3.3. A soluc¸a˜o y da eq. completa L[y] = b(x) (3.14) obtem-se adicionando
uma soluc¸a˜o particular de (3.14) com a soluc¸a˜o geral da EDO incompleta associada
L[y] = 0.
Em simbolos, escrevemos:
y(x) = yH(x) + yP (x)
onde yH(x) e yP (x) representam, respectivamente, a soluc¸a˜o da EDO incompleta L[y] =
0 e uma soluc¸a˜o particular da EDO completa L[y] = b(x).
A seguir apresentamos dois me´todos que nos permitem achar a soluc¸a˜o particular
yP (x) de (3.14).
3.2.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar (MCD).
Este me´todo como o mesmo nome sugere, inicia-se supondo conhecida a forma da
soluc¸a˜o particular yP , salvo as constantes multiplicativas, as quais uma vez determi-
nadas levaram a suposta soluc¸a˜o yP da EDO (3.14).
Este me´todo e´ aplicado com sucesso para alguns casos especiais da func¸a˜o b(x).
• 1er Caso: Seja b(x) for um polinoˆmio de grau k,
b(x) = a0 + a1 x+ · · ·+ ak xk.
Se as soluc¸o˜es do problema incompleto L[y] = 0 sa˜o diferentes da expressa˜o
yP (x) = A0 + A1 x+ · · ·+ Ak xk
enta˜o diremos que yP e´ uma soluc¸a˜o particular da (3.14).
Exemplo 3.6. Ache a soluc¸a˜o particular da EDO y′′ − 5y′ − 6y = 3x+ 4
Sol.: A soluc¸a˜o do problema homogeˆneo y′′ − 5y′ − 6y = 0 e´
yH(x) = C1 e
6x + C2 e
−x.
41
Como a func¸a˜o b(x) e´ o polinoˆmio de primeiro grau 3x + 4, enta˜o suporemos que a
soluc¸a˜o particular yP e´ da forma:
yP (x) = A0x+ A1.
Assim, substituindo na EDO original nos da´:
0− 5A0 − 6(A0X + A1) = 3x+ 4
e, identificando os termos semelhantes, chegamos ao sistema alge´brico:
− 6A0 = 3
− 6A1 − 5A0 = 4 (3.15)
de onde segue A0 = −1/2 e A1 = −1/4.
Consequentemente a soluc¸a˜o particular do problema e´
yP (x) = −1
2
x− 1
4
e a soluc¸a˜o geral desta EDO e´
y(x) = C1 e
6x + C2 e
−x − 1
2
x− 1
4
.
• 2do Caso: Quando b(x) e´ do tipo
b(x) = (a0 + a1 x+ · · ·+ ak xk) eα x
admitiremos como soluc¸a˜o particular a func¸a˜o
yP (x) = (A0 + A1 x+ · · ·+ Ak xk) eα x
Exemplo 3.7. Encontre a soluc¸a˜o particular da EDO y′′ + 4y′ + 4y = (x+ 2) e2x
Sol.: A soluc¸a˜o do problema homogeˆneo e´
yH(x) = C1 e
−2x + C2 x e
−2x.
Por outro lado, ja que b(x) = (x+2) e2x uma suposta soluc¸a˜o particular sera´ da forma
yP (x) = (Ax + B) e
2x = A e2xx + B e2x. Logo, substituindo yP no problema temos
que:
[2A+ 2A+ 4Ax+ 4B] e2x + 4[A+ 2Ax+ 2B] e2x + 4(Ax+B) e2x = (x+ 2) e2x
42
Comparando as constantes das varia´veis da mesma ordem, resulta que
8A+ 16B = 2
16A = 1. (3.16)
Assim, A = 1/16 e B = 3/32. Portanto, a soluc¸a˜o geral da EDO proposta e´:
y(x) = C1 e
−2x + C2 x e
−2x +
1
16
x e2x +
3
32
e2x.
• 3er Caso: Quando b(x) for do tipo
b(x) = (a0 + a1 x+ · · ·+ ak xk) eα x sen βx
ou
b(x) = (b0 + b1 x+ · · ·+ bj xj) eα x cosβx
a soluc¸a˜o particular e´ da forma:
yP (x) = (A0+A1 x+ · · ·+Ak xk) eα x sen βx+(B0+B1 x+ · · ·+Bj xj) eα x cosβx
Exemplo 3.8. Ache a soluc¸a˜o particular da EDO y′′ − y′ − 2y = sen 2x
Sol.: A soluc¸a˜o do problema homogeˆneo e´
yH(x) = C1 e
2x + C2 e
−x.
Como b(x) = sen 2x, enta˜o suporemos que a soluc¸a˜o particular yP e´ da forma:
yP (x) = A sen 2x+B cos 2x,
a qual levada a EDO original nos da´:
(−4A sen 2x−4B cos 2x)−(2A cos 2x−2B sen 2x)−2(A sen 2x+B cos 2x) = sen 2x
e, identificando os termos semelhantes, chegamos ao sistema alge´brico:
− 6A+ 2B = 1
− 2A− 6B = 0 (3.17)
43
de onde segue A = −3/20 e B = 1/20.
Consequentemente a soluc¸a˜o particular do problema e´
yP (x) = − 3
20
sen 2x+
1
20
cos 2x.
Portanto, a soluc¸a˜o geral desta EDO e´
y(x) = C1 e
2x + C2 e
−x − 3
20
sen 2x+
1
20
cos 2x.
• 4er Caso: (Generalizac¸a˜o) Quando a func¸a˜o b(x) e´ a soma (ou diferenc¸a) de
func¸o˜es dos casos anteriores, admitimos para soluc¸a˜o particular yP (x) a soma (ou
diferenc¸a)das supostas soluc¸o˜es correspondentes.
Quando algum termo da suposta soluc¸a˜o particular yP (x), sem considerar
as constantes multiplicativas, coincidir com algum termo da soluc¸a˜o geral
yH(x) da EDO homogeˆnea associada, a soluc¸a˜o yP (x) deve ser modificada,
multiplicando-a pelo peso xm, de modo que elimine tal coincideˆncia. Isto,
afasta a possibilidade de chegarmos a igualdades o´bvias do tipo 0 = 0, ou
um sistema alge´brico sem soluc¸o˜es.
Exemplo 3.9. Ache a soluc¸a˜o geral da EDO y′′ + y = sen x.
Sol.: Observando que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o incompleta e´ yH = C1 cosx+ C2 sen x, e
inspirados no caso das ra´ızes repetidas, tentaremos para nossa soluc¸a˜o particular:
yP (x) = A0x cosx+ A1x sen x.
substituindo yP na EDO original temos
(A0x cosx+ A1x sen x)
′′ + A0x cosx+ A1x sen x = sen x
logo
−2A0 sen x+ 2A1 cosx = sen x.
Assim, identificando os termos semelhantes, chegamos ao sistema alge´brico:
A0 = −1/2
A1 = 0
44
de onde segue que a soluc¸a˜o geral desta EDO e´
y(x) = C1 cosx+ C2 sen x− 1
2
x sen x
Exemplo 3.10. Ache a soluc¸a˜o geral da EDO y′′ − 3y′ + 2y = ex − 2e2x + sen x.
Sol.: A soluc¸a˜o do problema homogeˆneo e´
yH(x) = C1 e
x + C2 e
2x,
e, de acordo com a descric¸a˜o do me´todo, a soluc¸a˜o particular deveria ser do tipo
A ex + B e2x + C sen x+D cosx, que conte´m termos ideˆnticos aos que aparecem na
soluc¸a˜o yH(x). Logo, sera´ necessa´rio substituir a soluc¸a˜o particular pela func¸a˜o:
yP (x) = A xe
x +B xe2x + C sen x+D cosx.
Assim, substituindo yP na EDO original temos
ex − 2e2x + sen x =[A(2 + x)ex +B(4 + 4x)e2x − C sen x−D cos x]
− 3[A(1 + x)ex +B(1 + 2x)e2x + C cos x−D sen x]
+ 2[A xex +B xe2x + C sen x+D cosx]
e, identificando os termos semelhantes, chegamos ao sistema alge´brico:
−A = 1
B = −2
3D + C = 1 (3.18)
D − 3C = 0
de onde segue A = −1, B = −2, C = 1/10 e D = 3/10.
Consequentemente a soluc¸a˜o particular do problema e´
yP (x) = −xex − 2 xe2x + 1
10
sen x+
3
10
cos x.
Portanto, a soluc¸a˜o geral desta EDO e´
y = C1 e
x + C2 e
2x − xex − 2 xe2x + 1
10
sen x+
3
10
cosx.
45
3.3 EDO Completa com Coeficientes Varia´veis
As equac¸o˜es lineares completas com coeficientes varia´veis da forma
L[y] = y(n) + a1(x) y
(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + any = b(x), (3.19)
sera˜o tratadas pelo Me´todo de Variac¸a˜o de Paraˆmetros (MVP) que, a grosso modo,
pode ser visto como generalizac¸a˜o do Me´todo de Coeficientes a Determinar.
3.3.1 Me´todo de Variac¸a˜o de Paraˆmetros (MVP)
Consideremos a equac¸a˜o de segunda ordem
L[y] = y′′ + a1(x) y
′ + a2(x)y = b(x), (3.20)
Seja B = {y1, y2} uma base do espac¸o de soluc¸o˜es da eq. incompleta L[y] = 0 associada
a` EDO (3.19), enta˜o y = C1 y1 + C2 y2 e´ soluc¸a˜o geral da eq. incompleta L[y] = 0.
Admitindo que as constantes C1, C2 sa˜o paraˆmetros que dependem de x, isto e´:
C1 = C1(x), C2 = C2(x), enta˜o:
y′ = C ′1 y1 + C1 y
′
1 + C
′
2 y2 + C2 y
′
2.
Escolhendo C1(x), C2(x) de modo que:
C ′1 y1 + C
′
2 y2 = 0,
temos que:
y′ = C1 y
′
1 + C2 y
′
2
y′′ = C ′1 y
′
1 + C1 y
′′
1 + C
′
2 y
′
2 + C2 y
′′
2 . (3.21)
Logo, substituindo (3.21) na equac¸a˜o (3.20) temos
(C ′1 y
′
1 + C1 y
′′
1 + C
′
2 y
′
2 + C2 y
′′
2) + a1(x)(C1 y
′
1 + C2 y
′
2) + a2(x)(C1 y1 + C2 y2) = b(x)
C1(y
′′
1 + a1(x) y
′
1 + a2(x) y1) + C2(y
′′
2 + a1(x) y
′
2 + a2(x) y2) + C
′
1 y
′
1 + C
′
2 y
′
2 = b(x).
46
Como y1, y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o L[y] = 0, enta˜o a u´ltima equac¸a˜o se reduz a
expressa˜o:
C ′1 y
′
1 + C
′
2 y
′
2 = b(x).
Consequentemente, da hipo´tese inicial e do anterior temos que
C ′1 y1 + C
′
2 y2 = 0
C ′1 y
′
1 + C
′
2 y
′
2 = b(x),
ou equivalentemente, em forma matricial
y1 y2
y′1 y
′
2



C ′1
C ′2

 =

 0
b(x)

 . (3.22)
Se W = det

y1 y2
y′1 y
′
2

 6= 0, enta˜o

C ′1
C ′2

 =

y1 y2
y′1 y
′
2


−1 
 0
b(x)

 = 1
W

 y′2 −y2
−y′1 y1



 0
b(x)

 = 1
W

−b(x) y2
b(x) y1


Portanto,
C ′1(x) = −
1
W
b(x) y2(x) e C
′
2(x) =
1
W
b(x) y1(x)
ou
C1(x) = −
∫
1
W
b(x) y2(x) dx e C2(x) =
∫
1
W
b(x) y1(x) dx
Consequentemente a soluc¸a˜o particular de (3.20) e´
yP (x) =
(
−
∫
1
W
b(x) y2(x) dx
)
y1 +
(∫
1
W
b(x) y1(x) dx
)
y2 (3.23)
Exemplo 3.11. Determine a soluc¸a˜o geral da eq. completa y′′ + y = tan x.
Sol.: Observa-se que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′′ + y = 0 e´:
yH(x) = C1 cos x+ C2 sen x,
47
onde {cosx, sen x} e´ um conjunto LI no espac¸o das soluc¸o˜es do problema homogeˆneo
associado, isto pois o wronskiano
W = det

 cosx sen x
− sen x cosx

 = 1 6= 0
Consequentemente,
yP (x) =
(
−
∫
tanx sen x dx
)
cos x+
(∫
tan x cosx dx
)
sen x
=
(
tan x cosx−
∫
cosx sec2 x dx
)
cosx+
(∫
sen x dx
)
sen x
=
(
sen x−
∫
sec x dx
)
cosx− cos x sen x
=
(
sen x− ln | sec x+ tanx|
)
cosx− cos x sen x
= − ln | sec x+ tan x| cosx (3.24)
Exemplo 3.12. Determine a soluc¸a˜o geral da eq. completa
(1− x) y′′ + x y′ − y = ex (1− x)2, ∀ x > 1
sabendo que B = {x, ex} forma uma base do espac¸o de soluc¸o˜es da eq. homogeˆnea
associada.
Sol.: A EDO proposta equivale a resolver a equac¸a˜o diferencial
y′′ +
x
1− x y
′ − 1
1− x y = e
x (1− x), (3.25)
onde B e´ uma base do espac¸o de soluc¸o˜es da equac¸a˜o
y′′ +
x
1− x y
′ − 1
1− x y = 0. (3.26)
Logo,
yH(x) = C1 x+ C2 e
x.
Como o wronskiano e´:
W = det

x ex
1 ex

 = (x− 1) ex 6= 0
48
enta˜o, a soluc¸a˜o particular e´ dada por
yP (x) =
(
−
∫
1
(x− 1) ex e
x (1− x) ex dx
)
x+
(∫
1
(x− 1) ex e
x (1− x) x dx
)
ex
=
(∫
ex dx
)
x−
(∫
x dx
)
ex
= x ex − x
2
2
ex. (3.27)
Portanto, a soluc¸a˜o geral de (3.25) e´:
y(x) = C1 x+ C2 e
x + x ex − x
2
2
ex. (3.28)
Exemplo 3.13. Determine a soluc¸a˜o geral da eq. completa y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = ex.
Sol.: Uma base do espac¸o de soluc¸o˜es da equac¸a˜o homogeˆnea associada e´ B = {e−x, ex, e2x}
cujo wronskiano e´:
W = det


e−x ex e2x
−e−x ex 2e2x
e−x ex 4e2x

 = 6e2x 6= 0.
Usando o me´todo de Variac¸a˜o de Paraˆmetros temos que
yP = C1(x) e
−x + C2(x) e
x + C3(x) e
2x, (3.29)
sendo C ′1(x), C
′
2(x), C
′
3(x) as soluc¸o˜es do sistema
C ′1(x) e
−x + C ′2(x) e
x + C ′3(x) e
2x = 0
−C ′1(x) e−x + C ′2(x) ex + 2C ′3(x) e2x = 0 (3.30)
C ′1(x) e
−x + C ′2(x) e
x + 4C ′3(x) e
2x = ex.
Calculando estas soluc¸o˜es temos:

C ′1(x)
C ′2(x)
C ′3(x)

 =


e−x ex e2x
−e−x ex 2e2x
e−x ex 4e2x


−1 

0
0
ex

 = 16e2x


2e3x 6ex −2
−5e3x 3ex 0
e3x −3ex 2


T 

0
0
ex

 (3.31)


C ′1(x)
C ′2(x)
C ′3(x)

 = 16e2x


2e3x −5e3x e3x
6ex 3ex −3ex
−2 0 2




0
0
ex

 = 16e2x


e4x
−3e2x
2ex

 =


1
6
e2x
−1
2
1
3
e−x

 (3.32)
49
Integrando obtemos
C1(x) =
1
12
e2x, C2(x) = −x
2
, C3(x) = −1
3
e−x. (3.33)
Logo, a soluc¸a˜o particular e´ dada por
yP (x) =
1
12
e2x e−x − x
2
ex − 1
3
e−x e2x
=
1
12
ex − x
2
ex − 1
3
ex
= −1
4
ex − x
2
ex. (3.34)
Portanto, a soluc¸a˜o geral e´:
y(x) = C1 e
−x + C2 e
x + C3 e
2x − 1
4
ex − x
2
ex. (3.35)
3.4 Exerc´ıcios
1. Determine a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es.
(a) y′′ − y = 0
(b) y′′ − 2y′ − 8y = 0
(c) y′′ − 2y′ + 3y = 0
(d)y′′ + 3y′ − 10y = 0
(e) y′′′ − 3y′′ − 3y′ + y = 0
(f) y′′′ + 10y′′ + 25y′ = 0
(g) y(4) + 2y′′ + y = 0
(h) y(5) − 2y(4) + 17y′′′ = 0.
2. Determine a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es.
(a) y′′′ + 5y′ = 0
(b) y(4) − 7y′′ − 18y = 0
(c) y(4) + 2y′′ + y = 0
(d) y(5) + 16y′ = 0
(e) y(5) + 5y(4) − 2y′′′ − 10y′′ + y′ + 5y = 0
(f) y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0
3. Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais sujeitas a`s condic¸o˜es iniciais indicadas.
(a) y′′ + 16y = 0; y(0) = 2, y′(0) = −2
(b) y′′ + 6y′ + 5y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 3
(c) y′′′ − 8y = 0;
y(π/3) = 0, y′(π/3) = 2, y′′(π/3) = 0
(d) y′′ − y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 1
(e) y′′ + y = 0; y(0) = 0, y′(0) = −1,
(f)
d4y
dx
= 0; y(0) = 2, y′(0) = 3,
y′′(0) = 4, y′′′(0) = 5
50
4. Determine a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es usando o me´todo dos coe-
ficientes a determinar (MCD).
(a) y′′ + 3y′ − 10y = 6e4x
(b) y′′ − y′ − 6y = 20e−2x
(c) y′′ − 2y′ + 5y = 25x2 + 12
(d) y′′ + 4y′ + 8y = x+ ex
(e) y′′ − 3y′ + 2y = 14 sen 2x− 18 cos 2x
(f) y′′ − 2y′ + 2y = ex sen x.
5. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y(4) − y′′′ − y′′ − y′ − 2y = 8x5
com as condic¸o˜es iniciais y(0) = y′(0) = y′′(0) = y3(0) = 0
6. Seja a equac¸a˜o mx′′+kx = F0 coswt que descreve oscilac¸o˜es na˜o amortecidas
de um sistema mecaˆnico massa-mola. Ache a soluc¸a˜o geral para esta equac¸a˜o.
7. Resolva o problema de valor inicial:
y′′ + 9y = 80 cos 5x , y(0) = y′(0) = 0.
8. Determine a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es usando o me´todo de variac¸a˜o
dos paraˆmetros (MVP).
(a) y′′ + 2y′ + y = e−x ln x
(b) y′′ − 3y′ + 2y = (1 + e−x)−1
(c) y′′ − 2y′ − 3y = 64xe−x
(d) y′′ − y′ = tan 2x
(e) y′′ + y = sec x tan x
(f) y′′′ + y′ = sec x
(g) y′′ + y = sec x
(h) x2y′′ − 2y = (x− 1)x−2, y1 = 1/x, y2 = x2.
51
Cap´ıtulo 4
Sistema de Equac¸o˜es Diferenciais
Lineares
Um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e´ um conjunto de equac¸o˜es que en-
volve dois ou mais varia´veis dependentes que dependem de uma varia´vel independente.
No decorrer deste cap´ıtulo, trabalharemos apenas com sistemas lineares com Coe-
ficientes Constantes.
4.1 Sistemas Homogeˆneos de 1ra Ordem
Consideremos o sistema de n-equac¸o˜es diferenciais com coeficientes reais

x′1 = a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn
x′2 = a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn
.
.
.
x′n = an1x1 + an2x2 + ... + annxn
(4.1)
Em forma matricial, escreve-se (4.1) da forma:
X′ = A X, (4.2)
52
onde
X =


x1
...
xn

 e A =


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
an1 an2 . . . ann


n×n
.
O sistema (4.2) e´ chamado de Sistema Linear Homogeˆneo de Primeira Or-
dem, cuja soluc¸a˜o em um intervalo I e´ qualquer vetor X cujos elementos sa˜o diferen-
cia´veis que verificam o sistema (4.2) no intervalo.
Definic¸a˜o 4.1. Qualquer conjunto X1, X2, . . . ,Xn de n-vetores soluc¸a˜o linearmente
independentes do sistema homogeˆneo (4.1) em um intervalo aberto I (isto e´, onde o
Wronskiano W (X1,X2, . . . ,Xn) 6= 0 para t ∈ I) e´ chamado um conjunto funda-
mental de soluc¸o˜es no intervalo. A matriz
Φ =
[
X1 X2 · · · Xn
]
=


x11 x12 · · · x1n
x21 x22 · · · x2n
...
...
xn1 xn2 · · · xnn


, onde Xi =


x1i
x2i
...
xni


(4.3)
e´ chamada uma matriz fundamental do sistema no intervalo.
Teorema 4.1. (Princ´ıpio de Superposic¸a˜o) Sejam X1, X2, . . . ,Xn n-soluc¸o˜es L.I.
do sistema homogeˆneo (4.1) no intervalo aberto I. Se c1, c2, . . . , cn sa˜o constantes,
enta˜o a combinac¸a˜o linear X = c1 X1 + c2 X2 + · · ·+ cn Xn e´ tambe´m soluc¸a˜o de
(4.1) em I.
Definic¸a˜o 4.2. Seja X1, X2, . . . ,Xn um conjunto fundamental de soluc¸o˜es do sis-
tema homogeˆneo (4.1) em um intervalo I. Define-se a soluc¸a˜o geral do sistema no
intervalo como
X = c1 X1 + c2 X2 + · · ·+ cn Xn = ΦC, C =


c1
c2
...
cn


(4.4)
onde Φ e´ a matriz fundamental e os ci sa˜o constantes arbitra´rias.
53
Teorema 4.2. (Existeˆncia de uma soluc¸a˜o u´nica) Seja t0 um ponto pertencente
ao intervalo I, tal que
 X
′ = A X
X(t0) = X0
(4.5)
Enta˜o, existe uma u´nica soluc¸a˜o X(t) definida em I que satisfaz o problema de valor
inicial (4.5).
A Partir de (4.4) temos que X(t) = Φ(t)C. Logo, substituindo a condic¸a˜o inicial
X(t0) = X0, encontramos que
X(0) = Φ(0)C
X0 = Φ(0)C
C = Φ(0)−1X0
Portanto, a soluc¸a˜o do problema de valor inicial homogeˆneo e´ dado por
X(t) = Φ(t)Φ(0)−1X0.
Para determinarmos uma soluc¸a˜o geral X que satisfaza (4.2) usaremos um me´todo
ana´logo ao que foi empregado para resolver equac¸o˜es lineares de 1ra ordem incompletas
com coeficientes constantes. Isto e´, procuramos soluc¸o˜es de (4.2) da forma:
X(t) = ~v eλ t (4.6)
onde o expoente λ e o vetor constante ~v sa˜o grandezas a determinar.
Substituindo (4.6) em (4.2) temos λ ~v eλ t = A(~v eλ t) ⇒ λ ~v = A(~v), logo
(A− λI) ~v = 0. (4.7)
Note-se da u´ltima identidade que o problema agora consiste em achar os autovalores λ
e autovetores ~v associados a` matriz A.
4.1.1 Autovalores Reais Distintos
Como consequeˆncia do Principio de Superposic¸a˜o temos que, a soluc¸a˜o corres-
pondente ao sistema (4.1) quando a matriz A tem n-autovalores reais diferentes (λ1 6=
54
λ2 6= · · · 6= λn) e´ da forma
X(t) = c1
−→v1 eλ1t + c2 −→v2 eλ2t + · · ·+ cn −→vn eλnt (4.8)
onde −→v1, −→v2, . . . , −→vn sa˜o os correspondentes autovetores de λ1, λ2, . . . , λn.
Exemplo 4.1. Ache a soluc¸a˜o geral do sistema
X′ =

 1 1
4 1

 X.
Sol.: Suponhamos que X(t) = ~v eλt e´ uma soluc¸a˜o do sistema, logo
(A− λ I) ~v =

 1− λ 1
4 1− λ



 v1
v2

 =

 0
0

 . (4.9)
O polinoˆmio caracter´ıstico sera´ denotado por p(λ), que e´ o determinante da matriz
associada a` equac¸a˜o caracter´ıstica. Assim p(λ) = (1− λ)2 − 4, isto e´
p(λ) = (1− λ)2 − 4 = 1− 2λ+ λ2 − 4 = λ2 − 2λ− 3 = (λ+ 1)(λ− 3) = 0
Portanto, os autovalores deA, que sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica, sa˜o: λ1 = −1
e λ2 = 3.
Para cada um destes autovalores precisamos calcular previamente os autovetores ~v
associados.
Assim, em (4.9) substituindo o valor de λ1 temos:
(A− λ1 I) ~v =

 2 1
4 2

 ·

 v1
v2

 =

 0
0

 ⇒ v2 = −2v1
Logo, o autovetor ~v e´ do tipo

 v1
−2v1

 = v1

 1
−2

.
Note que o auto-espac¸o associado a λ1 e´ Sλ1 = [(1,−2)]. Portanto, uma soluc¸a˜o
do sistema e´ X1(t) =

 1
−2

 e−t.
55
Por outro lado, calculando o autovetor ~v associado ao autovalor λ2 do sistema (4.9)
temos:
(A− λ2 I) ~v =

 −2 1
4 −2

 .

 v1
v2

 =

 0
0

 ⇒ v2 = 2v1
Logo, o autovetor ~v e´ do tipo

 v1
2v1

 = v1

 1
2

 .
Note que o auto-espac¸o associado a λ2 e´ Sλ2 = [(1, 2)]. Portanto, uma soluc¸a˜o do
sistema e´ X2(t) =

 1
2

 e3t.
Assim, a soluc¸a˜o do sistema proposto constitue um conjunto fundamental L.I de
soluc¸o˜es (W [X1,X2] 6= 0). Logo, a soluc¸a˜o geral do sistema e´:
X(t) = c1 X1(t) + c2 X2(t) = c1

 1
−2

 e−t + c2

 1
2

 e3t.
4.1.2 Autovalores Complexos
Mesmo se alguns dos autovalores sa˜o complexos, desde que sejam distintos, o me´todo
descrito anteriormente, ainda fornece n-soluc¸o˜es linearmente independentes. A u´nica
complicac¸a˜o e´ que os autovetores associados aos autovalores complexos, sa˜o normal-
mente complexos, assim, teremos soluc¸o˜es complexas.
Teorema 4.3. (Soluc¸o˜es complexas correspondentes a autovalores complexos)
Seja A a matriz de coeficientes do sistema homogeˆneo(4.2) e seja v um autovetor cor-
respondente ao autovalor complexo λ = α + iβ, com α e β reais (v o autovetor
conjugado correspondente ao autovalor conjugado λ¯). Enta˜o,
X1(t) = v.e
λt e X2(t) = v.e
λ¯t
sa˜o soluc¸o˜es complexas de (4.2).
Exemplo 4.2. Encontre as soluc¸o˜es complexas do sistema

dx
dt
= 6x− y
dy
dt
= 5x+ 4y
56
Sol.: Os autovalores sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣
6− λ −1
5 4− λ
∣∣∣∣∣∣
= (6− λ)(4− λ) + 5 = λ2 − 10λ+ 29 = 0. (4.10)
Assim, os autovalores sa˜o: λ1 = 5 + 2i e λ2 = 5− 2i.
Para λ1 = 5 + 2i, vemos que seu autovetor associado v = (v1, v2) e´ soluc¸a˜o do
sistema
 1− 2i −1
5 −1− 2i



 v1
v2

 =

 0
0

 ⇔

 (1− 2i)v1 − v2 = 05v1 − (1 + 2i)v2 = 0 ⇔
v1 = 1
v2 = 1− 2i
Portanto o autovetor v associado a λ1 e´:

 1
1− 2i

.
Em consequ¨eˆncia do Teorema 4.3, as duas soluc¸o˜es complexas do sistema, sa˜o
X1 =

 1
1− 2i

 e(5+2i)t e X2 =

 1
1 + 2i

 e(5−2i)t.
Teorema 4.4. (Soluc¸o˜es reais correspondentes a um autovalor complexo)
Seja λ = α + iβ um autovalor complexo da matriz A de coeficientes reais no sistema
homogeˆneo (4.2) e v seu autovetor correspondente.
Se B1 = Re(v) =
1
2
[v + v¯] e B2 = Im(v) =
i
2
[−v + v¯], enta˜o:
X1 = Re(ve
αt) = (B1 cosβt−B2 sen βt) eαt (4.11)
X2 = Im(ve
αt) = (B2 cosβt+B1 sen βt) e
αt (4.12)
sa˜o soluc¸o˜es reais linearmente independentes do sistema homogeˆneo (4.2).
Exemplo 4.3. Ache uma soluc¸a˜o geral real do sistema

dx
dt
= 6x− y
dy
dt
= 5x+ 4y
Sol.: No exemplo anterior, vimos que:
57
Para λ1 = 5 + 2i seu autovetor associado e´:

 1
1− 2i

 =

 1
1

+ i

 0
−2

 e
para λ2 = λ¯1 = 5− 2i seu autovetor associado e´:

 1
1 + 2i

 =

 1
1

+ i

 0
2

.
Em consequ¨eˆncia do Teorema 4.4, as duas soluc¸o˜es reais do sistema sa˜o:
X1 =
(
 1
1

 cos 2t−

 0
−2

 sen 2t
)
e5t =

 cos 2t
cos 2t+ 2 sen 2t

 e5t (4.13)
X2 =
( 0
−2

 cos 2t+

 1
1

 sen 2t
)
e5t =

 sen 2t
−2 cos 2t+ sen 2t

 e5t. (4.14)
Usando o princ´ıpio da superposic¸a˜o, concluimos que a soluc¸a˜o geral do sistema e´:
X = c1

 cos 2t
cos 2t+ 2 sen 2t

 e5t + c2

 sen 2t
−2 cos 2t+ sen 2t

 e5t.
4.1.3 Autovalores Repetidos
Seja A a matriz n × n de coeficientes do sistema homogeˆneo (4.2). Se λ e´ um
autovalor de multiplicidade m (m ≤ n), distinguimos duas possibilidades:
1. Existemm autovetores linearmente independentes −→v1, −→v2, . . . ,−→vm correpondentes
ao autovalor λ. Neste caso, a soluc¸a˜o geral do sistema conte´m a combinac¸a˜o
linear
c1
−→v1 eλt + c2 −→v2 eλt + · · ·+ cm −→vm eλt.
2. Se ha´ apenas um autovetor correspondendo ao autovalor λ de multiplicidade m.
Este caso na˜o sera´ tratado pois requer de um estudo mais detalhado.
Exemplo 4.4. Ache uma soluc¸a˜o geral do sistema

dx
dt
= 9x+ 4y
dy
dt
= −6x− y
dz
dt
= 6x+ 4y + 3z
ou X′ =


9 4 0
−6 −1 0
6 4 3

 X
58
Sol.: Os autovalores sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
9− λ 4 0
−6 −1− λ 0
6 4 3− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (λ− 5)(λ− 3)2 = 0. (4.15)
Assim, os autovalores sa˜o: λ1 = 5 e λ2 = λ3 = 3 (λ2 de multiplicidade 2).
Para λ1 = 5, vemos que o sistema

4 4 0
−6 −6 0
6 4 −2




v1
v2
v3

 =


0
0
0

 ⇔

 v1 = −v2v1 = v3 ⇔ ~v = v1


1
−1
1


Para λ2 = 3, vemos que o sistema

6 4 0
−6 −4 0
6 4 0




v1
v2
v3

 =


0
0
0

 ⇔ 3v1 = −2v2 ⇔ ~v = v1


1
−3/2
0

+ v3


0
0
1


Considerando v1 = 2 e v3 = 0 temos o autovetor associado a λ2,


2
−3
0

.
Quando v1 = 0 e v3 = 1 temos outro autovetor associado a λ2, dado por:


0
0
1

.
Como o conjunto de vetores {(1,−1, 1), (2,−3, 0), (0, 0, 1)} sa˜o linearmente in-
dependentes, usando o princ´ıpio da superposic¸a˜o, concluimos que a soluc¸a˜o geral do
sistema e´:
X(t) = c1


1
−1
1

 e5t + c2


2
−3
0

 e3t + c3


0
0
1

 e3t.
4.1.4 Exerc´ıcios
1. Achar a soluc¸a˜o geral do sistema de equac¸o˜es
59
(a) X′ =

5 −1
0 3

X (b) X′ =


5 5 2
−6 −6 −5
6 6 5

X
(c) X′ =


1 0 0
2 1 −2
3 2 1

X (d) X′ =

 1 −10
−7 10

X
2. Resolver o problema de valor inicial proposto
(a) X′ =

5 −1
3 1

X, X(0) =

 2
−1


(b) X′ =

1 −5
1 −3

X, X(0) =

1
1


(c) X′ =


1 1 2
0 2 2
−1 1 3

X, X(0) =


2
0
1


(d) X′ =

−2 1
−5 4

X, X(0) =

1
3


(e) X′ =

−3 2
−1 −1

X, X(0) =

 1
−2


(f) X′ =


0 0 −1
2 0 0
−1 2 4

X, X(0) =


7
5
5


3. Resolver o problema de valor inicial proposto
(a) X′ =

3 −4
4 −7

X, X(0) =

3
2


(b) X′ =


−5/2 1 1
1 −5/2 1
1 1 −5/2

X, X(0) =


2
3
−1


4.2 Sistemas Na˜o Homogeˆneos de 1ra Ordem
Um sistema linear de primeira ordem na˜o homogeneˆo e´ da forma
X′ = AX+B(t), (4.16)
onde B(t) e´ cont´ınua em um intervalo I.
Uma soluc¸a˜o geral de (4.16) e´ da forma:
X(t) = Xh(t) +Xp(t), (4.17)
60
onde Xh e´ a soluc¸a˜o geral do sistema homogeˆneo X
′ = AX e Xp e´ uma soluc¸a˜o
particular de (4.16).
Teorema 4.5. (Existeˆncia de uma soluc¸a˜o u´nica) Suponhamos B(t) uma func¸a˜o
cont´ınua em um intervalo I que contenha o ponto t0. Enta˜o, existe uma u´nica soluc¸a˜o
X(t) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
 X
′ = A X+B(t)
X(t0) = X0
(4.18)
Ca´lculo da Soluc¸a˜o Particular Xp: Dois me´todos podem ser usados
1. Coeficientes Indeterminados
2. Variac¸a˜o de Paraˆmetros
4.2.1 Coeficientes Indeterminados
Este me´todo e´ restrito a sistemas lineares de equac¸o˜es com coeficientes constantes da
forma
X′ = AX+B(t) (4.19)
onde A e´ uma matriz constante n× n e B(t) e´ uma combinac¸a˜o linear de productos
de polinoˆmios, func¸o˜es exponeˆnciais e senos e cosenos.
Exemplo 4.5. Encontre uma soluc¸a˜o geral do sistema
 x
′ = 4x+ 2y − 8t
y′ = 3x− y + 2t+ 3
⇔

x
y


′
=

4 2
3 −1



x
y

+

 −8t
2t+ 3

 (4.20)
Sol.: Desde que a soluc¸a˜o geral e´ X = Xh +Xp procederemos em duas etapas.
1ra Etapa: Para calcular a soluc¸a˜o Xh determinamos as ra´ızes do polinoˆmio caracte-
ristico
p(λ) = det(A−λ I) = det
(4 2
3 −1

−λ

1 0
0 1

) = (λ+1)(λ−4)−6 = (λ−5)(λ+2)
61
Assim, temos para λ = 5 que:
(A− λI)~v =

−1 2
3 −6



v1
v2

 =

0
0

 ⇒ v1 = 2v2 ⇒ ~v = v2

2
1

 .
Analogamente, para λ = −2,
(A− λI)~v =

6 2
3 1



v1
v2

 =

0
0

 ⇒ v2 = −3v1 ⇒ ~v = v1

 1
−3

 .
Portanto,
Xh(t) = c1

2
1

 e5t + c2

 1
−3

 e−2t.
2da Etapa: Suponhamos que a soluc¸a˜o particular e´ da forma Xp =

xp(t)
yp(t)

 = ~a t+~b,
onde ~a =

a1
a2

 e ~b =

b1
b2

 . Enta˜o:
X′p =

a1
a2

 =

4 2
3 −1



a1t+ b1
a2t+ b2

+

 −8t
2t+ 3


=

4a1 + 2a2
3a1 − a2

 t+

4b1 + 2b2
3b1 − b2
