O USO DE FUNÇÕES EM FÍSICA E NO COTIDIANO

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O USO DE FUNÇÕES EM FÍSICA 
E NO COTIDIANO 
 
 
André Luiz dos Santos Messias 
e-mail alsm192003@yahoo.com.br 
Escola Estadual Ferreira Pedro 
Lorena, SP 
 
Dezembro de 2006 
 
 
 
 
Série(s) – Público Alvo: alunos da 1ª e 3ª séries do ensino médio. 
Pré-requisitos: não há. 
Duração (número de aulas/horas): de 8 a 10 aulas, de forma contínua. 
Palavras Chaves: funções, cotidiano, contextualização. 
Interdisciplinaridade: português (leitura), interpretação de textos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto TEIA DO SABER 2006 - Programa de Formação Continuada de Professores 
Secretaria de Estado da Educação, SP 
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá 
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas 
Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial) 
Coordenador Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni 
Departamento de Matemática 
UNESP – Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá 
Homepage do curso: http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/index.php 
 
 
André Luiz dos Santos Messias 
Projeto Teia do Saber 2006 – Metodologias de Ensino de Matemática 
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Introdução 
Quando se aborda o conceito de função em matemática muitos professores da área de 
exatas tratam o assunto de forma muito simplista, pois consideram o tópico de seu programa 
escolar como “uma troca de variáveis entre x e y”, abordagem que explicada aos alunos pode 
levá-los à algumas conclusões bem distorcidas da realidade. 
O estudo de função decorre da necessidade de analisar fenômenos, descrever 
regularidades, interpretar interdependências e generalizar. O conceito de uma função é uma 
generalização da noção comum de "fórmula matemática". Quando duas variáveis x e y são tais 
que a cada valor de x corresponde um valor bem determinado de y, segundo uma lei qualquer, 
dizemos que y é função de x. [Ávila] 
 Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos. Intuitivamente, 
uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função 
f(x). Uma função pode ser vista como uma “máquina” ou “caixa-preta”, que converte entradas 
válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam funções ou relações 
unívocas. 
Devemos ter em mente que o termo função é mais abrangente e complexo do que isso 
– é necessário mostrar ao aluno que esse tópico usado de forma sistemática em exatas e no seu 
cotidiano – é de suma importância para o meio social, pois várias relações de mercado e 
capital, engenharia, economia (micro e macro), saúde, transportes, indústrias, artes, energia, 
enfim tudo isso depende de uma análise clara e objetiva da funcionalidade de um modelo ou 
parâmetro a ser adotado. 
“É importante oferecer à população uma escola pública de qualidade, que receba e 
mantenha sob seus cuidados todas as crianças e jovens, que favoreça o acesso à cultura, à arte, 
à ciência, ao mundo do trabalho, que eduque para o convívio social solidário, para o 
comportamento ético, para o desenvolvimento do sentido da justiça, o aprimoramento pessoal 
e a valorização da vida. O êxito desse empreendimento requer o preparo intelectual, emocional 
e afetivo dos profissionais nele envolvidos” (Programa de formação Continuada Teia do 
Saber). 
Por essa razão, o Teia do Saber está priorizando, entre suas ações, a formação dos 
educadores que atuam nas escolas. Textos e referências interdisciplinares podem e devem ser 
utilizados como auxílio em uma melhor compreensão e construção efetiva do conceito em 
exatas. Mas de que forma podemos iniciar o trabalho? A análise do termo função. Se o aluno 
não souber ou não conhece ainda a terminologia, que ele pesquise na internet, ou em 
dicionários que a escola possui ou até mesmo nas interações sobre o tema com os colegas de 
classe ou seus familiares, facilitando assim uma melhor compreensão do que se está tratando. 
O levantamento de hipóteses e suas possíveis estratégias de investigação/solução são 
uma excelente ferramenta pedagógica a ser trabalhada pelo professor com seus alunos; é 
necessário deixar que ele (aluno) construa sua rede de observações e interações para que ele 
mesmo possa normatizar de forma clara e objetiva sua rede de conhecimentos, potencializando 
e estimulando todas as suas qualidades cognitivas e sensoras; além de estimular sua 
criatividade e lógica dedutiva. Será que um professor de exatas têm noção da dimensão e 
importância desse conceito? A integração dessa linguagem nas aulas de Física e Química, do 
modo como tem sido efetuada pelos seus respectivos professores, ainda deixa muito a desejar, 
no que diz respeito a auxiliar o aluno a compreender as nuanças dos vários significados 
envolvidos em notações semelhantes, mas usadas em contextos diversos. Neste sentido, um 
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maior intercâmbio entre os responsáveis pelo ensino de Física, Química e Matemática, no 
Ensino Médio, faz-se necessário para o esclarecimento destes pontos. 
Por outro lado, este intercâmbio, por si só, não garantirá o aprofundamento dos 
significados envolvidos nestes enfoques variados, se a formação destes professores, seja ela 
inicial ou continuada, não promover a adequada reflexão sobre estes fatores. 
Fica, então, em aberto, este novo desafio: colocar em prática as propostas de 
interdisciplinaridade dos novos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (Brasil, 1998), 
integrando-as na formação dos professores, buscando destacar os significados da linguagem 
matemática, nas diversas áreas do saber que a utilizam. 
Ao menos, têm-se uma certeza: se quisermos alunos críticos, plenamente conscientes 
do que é a escola e seu papel fundamental na vida de todos, é necessário uma reformulação na 
abordagem não só do conceito função, mas estendendo-se por toda grade escolar nacional. Se 
não, continuaremos no “função é toda f(x), onde.....” por longa data. 
 
Objetivos 
Estudar realmente o que significa função e seus fatores, conceitos e propriedades 
fundamentais não só no ensino de Matemática, Física e Química, mas abordando conceitos e 
contextos ainda pouco explorados pelos professores em sala de aula para dinamizar e mostrar 
aos alunos que este conceito matemático envolve mais que fórmulas e teorema abstratos. 
 
Descrição das Atividades e Metodologia 
O trabalho desenvolvido com os alunos não teve período fechado de duração. Como os 
eixos do módulo I e II foram basicamente formalizados e estudados em cima do conceito de 
função, achei mais do que justo e necessário concluir o relatório final com o mesmo assunto. 
Em relação aos alunos do 1º ano, ao abordar o tema função em física tive o cuidado de 
preparar uma revisão, onde o aluno poderia rever tópicos básicos e utilizando a definição 
formal empregada na maioria dos livros didáticos de matemática. Após a revisão inicial, 
comecei a abordar o tópico Cinemática, onde temos os conteúdos principais de velocidade 
média e aceleração média, suas definições, interpretações de expressões (funções) e gráficas 
dos movimentos estudados (MRU e MRUV). Qual o motivo da revisão? Os alunos têm muita 
dificuldade (ou já estão totalmente mecanizados em relação à: y(x)). No entendimento da 
maioria, só há função quando eles observam essa relação. Então, elenquei vários exemplos de 
função não só da física que logo estudaríamos, mas também em seu cotidiano, como: se o 
preço do barril de petróleo sobe, os derivados (gasolina, gás de cozinha) também sobem, a 
relação espaço-tempo, o crescimento de uma determinada cultura, etc... Com isso eles 
conseguiram visualizar algo além da rigidez do formalismo matemático que conheciam, e a 
grande maioria desenvolveu bem os conceitos e propriedades relacionadas à física. 
Um outro assunto bem trabalhado com a turma de 1ºano foi a distinção que existe 
entre peso e massa, pois ocorre uma fusão desses dois tópicos muito comum no cotidiano: a 
balança. Mostrei aos alunos que o peso de um corpo depende da aceleração da gravidade 
onde o mesmo se encontra. 
 
P = m g, onde P(g) 
 
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Isso gerou muita discussão em sala de aula, e trabalhamos situações problema para que 
os alunos observassem que além da definição teórica ser bastante clara o mesmo acontecia 
com os cálculos. Muitos disseram: “Ah, então quando vou almoçar em restaurante onde a 
comida é vendida por quilo, a placa onde mostra o “peso” do prato está errada?”. Sim, o que é 
indicado, na verdade, é a massa do prato. 
O trabalho realizado com os alunos de 3º ano foi mais prático, pois muitos já haviam 
estudado o conceito de função. O trabalho inicial foi em relação ao nível de intensidade 
sonora, cuja unidade é db (decibel), em homenagem a Alexander Graham Bell. Inicialmente 
distribui um texto falando a respeito do perigo que são hojes as boates e shows de música 
eletrônica (raves, rock, , etc...) onde, em determinados locais a intensidade sonora chega ao 
nível alarmante de 140db, nível sonoro que corresponde a um avião de passageiros decolando. 
A função matemática que descreve o fenômeno físico é uma equação logarítmica. 
[Gaspar] 
β = 10 log I/I0 
 
onde I0 corresponde ao menor nível de intensidade que o ouvido humano pode captar. 
I0 = 10-12 W/m2 (no SI) 
 
Alguns alunos também observaram a utilização de logaritmos em outra relação muito 
comum: o cálculo do pH e do pOH, em química. 
 
pH = - log [H+] 
 
pOH = - log[OH-] 
 
Onde conhecendo-se os valores das concentrações molares de H+ e OH- é determinado 
se uma solução tem caráter ácido ou básico. 
Uma análise muito interessante observada por um aluno na aula de eletrodinâmica, 
envolvendo a determinação da resistência equivalente de um circuito elétrico foi que, quando 
trabalhamos em um determinado circuito apenas resistores ôhmicos, podemos elaborar uma 
função, descrita matematicamente como sendo uma progressão aritmética. 
Um grupo de alunos observou que o cálculo da magnitude de um terremoto é feito 
através da chamada escala Richter, que é uma escala logarítmica. A magnitude do terremoto 
pode ser calculada pela equação logarítmica: 
M = log10 (A . f) + 3.30 
 
A metodologia adotada foi o trabalho sempre em grupo para que cada aluno pudesse 
socializar suas idéias com os demais após o término das atividades, e uma posterior correção 
dos exercícios e discussão dos eixos temáticos abordados durante as atividades. Procurei 
intervir o mínimo possível, a não ser em casos de uma terminologia muito técnica. Nos anexos 
estão os textos na íntegra trabalhados em sala de aula, assim como os que foram pesquisados 
por conta própria pelos alunos. 
 
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Justificativa das Atividades 
Em toda atividade que realizo em sala de aula, procuro mostrar aos alunos que além do 
conhecimento da área de exatas que hoje em dia se mostra cada vez mais imprescindível, é de 
fundamental importância que sejam estabelecidos laços de cooperação e amizade mútuos, 
onde cada um deve respeitar e observar seu limite. Por isso sempre o foco em atividades em 
grupo e que estimulem o debate, a troca de experiências. 
 
Avaliação das Atividades 
Toda a atividade proposta para os alunos onde não se tenha como componentes 
principais o giz e a lousa se tornam muito agradáveis e dinâmicas. Como as atividades 
realizadas em sala de aula foram em grupos de no máximo 4 alunos, todos efetivamente 
tiveram de participar, pois combinei antes das atividades que sortearia dois nomes para 
representar o grupo com uma pequena descrição oral do trabalho.Com isso, eles cobravam dos 
menos voluntariosos maior participação, que se caso eles fossem os sorteados, o grupo estaria 
seguro que teria um bom conceito. 
Creio que uma boa parte dos objetivos foi alcançado, tanto em relação aos conteúdos 
apresentados e trabalhados, nas relações entre os alunos e com o próprio professor, pois se o 
aluno adquire mais confiança em seu potencial de trabalho, ele vai querer expressar seu 
trabalho de forma direta com o professor. Desde as aulas iniciais as turmas envolveram-se 
muito com o trabalho proposto e o principal detalhe que me chamou a atenção foi que uma 
grande maioria pesquisou tópicos referentes aos conteúdos abordados durante as aulas, 
enriquecendo de forma significativa o trabalho de seu grupo. 
A maior dificuldade observada foi que mesmo procurando homogenizar os grupos de 
trabalho, alguns grupos se mostraram pouco a vontade, principalmente na exposição oral dos 
resultados obtidos o que dificultou um pouco a estratégia elaborada para o trabalho. Contudo, 
posso assegurar que o resultado final para as partes envolvidas (professor e alunos) foi bem 
proveitosa. 
“A aprendizagem é uma estrada de mão dupla.” 
 
Referências 
 
http://www.deguara.com.br/ - Programa de formação Continuada Teia do Saber. 
http://pt.wikipedia.org/ 
http://www.fc.unesp.br/pos/revista/pdf/revista8vol1/a1r8v1.pdf 
http://ucsnews.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/funcquad.html 
www1.folha.uol.com.br/folha/educacao/ult305u11045.shtml - 25k – 
novaescola.abril.com.br/noticias/jan_06_13/index.htm - 15k 
Carvalho, Maria Tereza de Lima. Apostila da aula Teia do Saber: O conceito de função. 
Gaspar, Alberto. Física: Ondas, Óptica e Termodinâmica. Editora Ática, 2000. 2ª edição 
Ávila, Geraldo. Cálculo I: funções de uma variável. Editora LTD, 1994, 6ª edição. 
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Anexos: pesquisa dos alunos e textos trabalhados em sala de aula. 
 
 
Matemática:uma função de cara curiosa 
 
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO da Folha de S.Paulo As funções estudadas em 
detalhes no ensino médio cabem nos dedos de duas mãos. Vejamos quais são elas: afim, 
quadrática, modular, exponencial, logarítmica e as funções trigonométricas seno e co-seno. O 
estudo de funções certamente não se limita aos casos mencionados, porém uma das razões que 
justificam a escolha é o fato de que as sete funções citadas dão conta, razoavelmente bem, de 
mapear uma série de fenômenos científicos e de situações do cotidiano. Proponho hoje uma 
breve investigação acerca da curiosa "função parte inteira", também conhecida pelo apelido de 
"função escada". Dado um número real x, sempre é possível dizer que ou ele será um número 
inteiro n, ou estará entre um inteiro n e o seu sucessor n+1. Por exemplo, o número real 2,7 
está entre os inteiros 2 e 3; o número real -2 está entre os inteiros -2 e -1, o número real pi está 
entre 3 e 4 e o número real 5 é o próprio número inteiro 5. Usando a linguagem matemática, 
acabamos de dizer que, para todo número real x, existe um único inteiro n tal que n é menor 
ou igual que x, que por sua vez é menor que n+1 . Esse número inteiro n é chamado de "parte 
inteira de x", cuja notação é [x]. Em relação aos exemplos, segue que: [2,7]= 2, [- 2] = 2; [pi] = 
3 e [5] = 5. Vamos ver agora uma aplicação da função parte inteira. Se eu corro x quilômetros 
em t minutos, como posso saber o tempo médio por quilômetro? Se corri 5 km em 30 minutos, 
faço a divisão de 30 por 5 e concluo que o tempo médio é de 6 minutos/ km, mas, se tivesse 
corrido os mesmos 5 km em 31 minutos, qual seria o significado de 31/5 que me conduziria ao 
número 6,2? A parte inteira indica 6 minutos e a parte decimal 1/5 de minuto ou, de outra 
forma, 20% de 60 segundos. Usando o conceito e o símbolo da função parte inteira, 
concluímos que o tempo médio por quilômetro corrido será dado por: [x/t] minutos e {(x/ t)-
[x/ t]}.60segundos. A função parte inteira, que à primeira vista pode parecer uma simples 
brincadeira matemática, constitui importante ferramenta para a programação de computadores. 
Convido agora você a construir o gráfico da função parte inteira no plano cartesiano. Uma 
dica: o apelido da função. José Luiz Pastore Mello é professor da Faculdade de Educação da 
USP. E-mail: jlpmello@uol.com.br 
 
Com aulas de nutrição, escola paulista torna a Matemática mais 
saborosa. Conceitos básicos de nutrição e mudanças de hábito alimentar ajudam 
alunos a compreender álgebra e estatística. 
Débora Didonê 
Os alunos de 6ª a 9ª série da Escola Carlitos, em São Paulo, já vão para o hora do 
recreio sabendo quais alimentos da cantina oferecem os nutrientes necessários para uma 
refeição equilibrada. Com o cálculo do valor calórico – ou seja, da quantidade de energia – de 
cada alimento, eles compreendem melhor o próprio desenvolvimento físico. A escola leva em 
frente o projeto que une álgebra, estatística e nutrição desde o segundo semestre de 2005. O 
objetivo é facilitar a interpretação de fórmulas matemáticas. “Por isso, explicamos para que 
serve cada nutriente, o que é carboidrato, proteína e outros conceitos básicos de nutrição”, diz 
Adriana Martins de Lima, a nutricionista responsável pelo projeto. 
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Durante um mês, o cardápio da escola passou por uma reformulação, aprovada pelos 
estudantes. “Eles degustaram cada alimento e votaram no que acharam mais saboroso”, conta 
Adriana. Palestras sobre alimentação saudável e a energia que o corpo precisa para crescer 
também fizeram parte do projeto. Além disso, os alunos passaram por uma avaliação que 
incluiu a medição de peso e altura de cada um. Ao fim de cada trimestre, a avaliação vai se 
repetir e eles vão aprender a ler e interpretar gráficos antropométricos (isto é, que contêm 
medidas do corpo humano). 
O cardápio da álgebra Para o estudo da álgebra, Regina Albanese, professora de 
Matemática da escola, baseia-se em dados de Índice de Massa Corporal (IMC), que representa 
a relação entre a massa e a altura de uma pessoa. “Ela pode ser expressa pela fórmula IMC = 
m/h2 (onde “m” é a massa e “h”, a altura) -, pela equação de segundo grau h2.IMC-m = 0 ou 
por um número irracional (que pode ser representado pela divisão entre dois números 
decimais)”, explica. “Os alunos trabalham com os valores coletados na avaliação física.” 
Assim, as crianças comparam a massa e a altura do próprio corpo. 
Quando o projeto contar com um extenso banco de dados, estudantes do 9º ano já 
podem trabalhar com função, conceito geralmente trabalhado apenas no Ensino Médio. “A 
função é a comparação de duas grandezas que dependem uma da outra, como ocorre no IMC”, 
explica Regina. “Num determinado período da vida, o jovem pára de crescer, mas sua massa 
corporal varia”. diz. “Assim, ele percebe a mudança do corpo ao longo do tempo por meio de 
um gráfico.” Antes disso, os alunos já tinham boas noções de função adquiridas no período de 
2º a 5º série, quando participaram de atividades com caderno quadriculado e jogos do tipo 
batalha naval. Segundo a professora, as brincadeiras dão as primeiras noções do estudo de 
gráficos cartesianos e funções. 
Conceitos de estatística A estatística é estudada com a análise dos gráficos das 
crianças. Por exemplo, os pontos de um gráfico podem representar o IMC de todos os alunos. 
Se estiverem muito juntos, indicam que o IMC do grupo é parecido. É uma maneira fácil de as 
crianças entenderem o significado de variância, que se faz representar por uma fórmula 
complexa. “Estudar estatística não é decorar fórmulas”, diz Regina. “Aqui os alunos não 
fazem cálculos; aprendem conceitos.” 
Matemática e cotidiano Segundo Adrilayne dos Reis Araújo, orientadora do projeto, 
nem sempre as crianças terão uma noção exata dos conceitos de estatística, mas 
compreenderão o funcionamento. “A matemática se torna fácil quando é associada a algo 
prático”, diz. Alunos de 2ª a 5ª série, embora já tenham apreendido o que é carboidrato e 
proteína, absorvem melhor a idéia de variância por meio de brincadeiras. Num jogo de 
queimada, eles descobrem se é melhor uma equipe ficar dispersa ou amontoada na quadra para 
não ser atingida pela bola dos adversários. “Quanto antes perceberem esse conceito, melhor”, 
completa a professora. 
Quer saber mais? Escola Carlitos Centro de Educação Matemática (CEM) 
Matemática do Cotidiano & suas Conexões, em 4 volumes, Bigode & Gimenez, Ed. FTD, 
tel. (11) 3253-5011, São Paulo, 2005. 
André Luiz dos Santos Messias 
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS E REPRESENTAÇÃO DE FENÔMENOS 
Daiane Ramiro Scopel e Eide Libera Basso 
Universidade de Caxias do Sul, Licenciatura Plena em Matemática 
e-mail:drscopel@ucs.Br 
 
RESUMO: a função quadrática modela muitos fenômenos físicos e químicos. É importante 
que a aprendizagem deste tipo de função seja significativa para os alunos. Dessa forma, é 
fundamental que se relacione o formalismo matemático com suas aplicações no cotidiano dos 
alunos. 
Palavras-chaves: aplicações da função quadrática, parábolas e fenômenos. 
CONSIDERAÇÕES SOBRE A FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Em geral, os livros didáticos ( MARCONDES, Gentil & Sérgio. Matemática para o 
ensino médio. GUELLI, Oscar. Uma aventura do pensamento, entre outros.) apresentam a 
função quadrática de maneira bastante formalizada e sem muitas aplicações. Pouca ênfase é 
dada para a representação de fenômenos que podem ser descritos por esta função. É de 
fundamental importância, para que a aprendizagem do aluno possa ser significativa, que se 
relacione o conceito que envolve a função quadrática com suas aplicações práticas. A 
importância de buscar dados e informações em diferentes fontes, para encontrar aplicações 
dessa função está no fato de se perceber a grandiosidade de fenômenos que podem ser 
descritos por uma função matemática como a função quadrática e de relacioná-la com a sua 
vida, dando sentido ao conceito e ao formalismo matemático envolvido nessa função. Sendo 
assim foram buscadas informações a respeito da aplicabilidade da função quadrática nos 
diversos campos, como o da física e o da química. 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Para obter informações sobre aplicações, foram feitas pesquisas bibliográficas em 
periódicos, consultas em sites e entrevistas com profissionais específicos nas áreas de física e 
química. Durante a pesquisa bibliográfica, não foram encontradas aplicações da função 
quadrática na área de química. Uma hipótese então levantada foi que a função quadrática é 
muito simples para modelar fenômenos químicos em sua totalidade. Na tentativa de buscar 
mais informações nesta área, foram entrevistados profissionais específicos da área de química. 
Nesta busca de informações, a hipótese então levantada não foi comprovada pois foram 
encontrados diversos fenômenos químicos modelados pela função quadrática. Dentre as 
aplicações encontradas, as mais relevantes foram: lançamento de projéteis, controle de 
processos (projetos de reatores), faróis de automóveis, antenas parabólicas e radares, na 
geometria e nos esportes. 
• Análise e Controle de Processos: Segundo informações de profissionais da área de 
engenharia um reator é um equipamento utilizado para produzir reações químicas. Um 
exemplo muito prático é a panela de pressão no sentido de que propicia reações químicas entre 
os alimentos nela contidos. Outro exemplo são os reatores do Polo Petroquímico que 
produzem a matéria-prima para algumas empresas, como de plásticos ou de tintas. Neste 
sentido, para manter a temperatura de um reator constante, modela-se a situação com uma 
função quadrática expressa da seguinte forma (Equação da funçãode Transferência): 
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10s2 + 7s + kc + 1 = 0, 
onde kc é uma constante do processo, obtida através da construção de gráficos experimentais. 
• Lançamento de Projéteis: quando se lança um objeto no espaço (pedra, tiro de 
canhão,...) visando alcançar a maior distância possível, tanto na horizontal como na vertical, a 
curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a 
resistência do ar não existe ou é pequena. O lançamento de projéteis é modelado por uma 
função quadrática porque é um movimento acelerado pela ação do campo gravitacional. 
• Queda Livre: na queda livre dos corpos, o espaço ( s ) percorrido é dado em função 
do tempo ( t ), por uma função quadrática s(t) = 4,9 t2 em que a constante 4,9 é a metade da 
gravidade que é 9,8 m/s2 . 
• Antenas Parabólicas e Radares: quando um satélite artificial é colocado em uma 
órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que poderão ser 
captadas pela antena parabólica ou radar, uma vez que o feixe de raios atingirá a antena que 
tem formato parabólico e então ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único 
lugar denominado foco da parábola. 
• Faróis de Automóveis: se colocarmos uma lâmpada no foco de uma parábola e esta 
emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre um espelho parabólico de 
um farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contém o foco e o vértice 
da parábola. 
Em anexo, alguns problemas envolvendo funções quadráticas: 
• Nos esportes: num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com 
outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do 
número n de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte: 
 
Número de clubes Número de partidas 
2 2(2-1)=2 
3 3(3-1)=6 
4 4(4-1)=12 
5 5(5-1)=20 
.... ..... 
n n(n-1) 
 
Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por: 
p(n) = n(n-1) = n2-n. 
 
 
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APLICAÇÕES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA - MÚSICA 
 
A música é sem dúvida nenhuma a arte mais popular do planeta. Mas, o que pouca 
gente sabe, é que por trás de um chorinho, ou de uma complexa sinfonia de Bach ou Villa-
Lobos, existem relações matemáticas muito simples que ajudam a formar, ao lado do talento 
dos homens, o edifício sonoro da nossa Música. Bach percebeu, assim como Pitágoras, que 
separar as notas musicais de determinadas formas promovem sons mais ou menos agradáveis. 
Veja por exemplo a escala de sete sons mais conhecida: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. A escolha 
da separação dos sons nestas 7 partes é agradável, e também matemática! Quer saber mais? 
Veja a história da descoberta dos sons pelo matemático Pitágoras nas páginas eletrônicas de 
matemática.com. Prazer! Contudo, CUIDADO: não existem somente estas 7 notas: No tempo 
de Pitágoras, a quem primeiro credita-se a escolha de uma escala musical, haviam somente 5 
sons, que você ainda pode reconhecer ao ouvir uma música chinesa.... Mas não é só isso: os 
árabes acham agradável separar os sons em 34 partes! A proposta original na época de Bach 
era dividir a escala musical em 12 partes, doze sons bastante agradáveis ao ouvido e à alma, 
mas agora não mais através de frações, como havia feito Pitágoras - e sim a partir de 
logaritmos!Como? Os logaritmos foram descobertos muito antes de Bach. Em 1614 o 
matemático e banqueiro John Napier, Barão de Merchinston propôs uma nova maneira de 
contar. Esta nova operação - o logaritmo -imediatamente reduziu complicadas contas, que 
chegavam a levar anos (!), de astrônomos como Johannes Kepler e Pierre Simon, o Marquês 
de Laplace. Além de aplicações em Astronomia, localizando as posições dos planetas, 
facilitou enormemente os trabalhos em navegação (orientação no mar), operações bancárias 
(como empréstimos), engenharia (construções) e também nas ciências que estavam nascendo. 
Você certamente conhece uma operação matemática chamada potenciação. Por exemplo, 2³ = 
2´2´2, que é igual a 8, isto é, a base 2, elevada ao expoente 3 resulta na potência 8. A 
potenciação nada mais é que multiplicar um número (chamado de base) tantas vezes quantas 
for o expoente. Se em potenciação conhecemos a base (2, no caso) e a potência (8), a operação 
que permite encontrar o expoente que devemos atribuir à base para obtermos a potência é o 
que denominamos logaritmo. 
História 
Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a 
formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos naturais foi proposto pela 
primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 
escrito por John Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro anos após a publicação de 
sua memorável invenção. Este método contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a 
astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à 
invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em 
observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade 
na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em 
matemática teórica. 
De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de 
"números naturais. Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número 
que indica uma razão: �o�o� (logos) que significa razão, e �����o� (arithmos) significando 
número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a 
André Luiz dos Santos Messias 
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razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de 
logaritmos corresponde a uma série geométrica de números. O termo antilogartimo foi 
introduzido no final do século XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, 
persistiu em coleções de tabelas até não ser mais usado. 
Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus logaritmos eram na base 
1/e. Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão r na série geométrica próximo 
de 1. Napier escolheu r = 1 − 10 − 7 = 0.999999, e Bürgi escolheu r = 1 + 10 − 4 = 1.0001. Os 
logaritmos originais de Napier não tinham log 1=0, ao invés disso tinham log 107 = 0. Desse 
modo se N é um número e L é seu logaritmo tal qual calculado por Napier, N = 107(1 − 10 − 
7)L. Uma vez que (1 − 10 − 7) é aproximadamente 1 / e, L é aproximadamente 107log1 / eN / 107. 
 
O CONCEITO DE FUNÇÃO E SUA LINGUAGEM PARA 
OS PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE CIÊNCIAS 
Edna Maura Zuffi1 
Jesuína Lopes de Almeida Pacca2 
Resumo: Neste artigo, apresentamos alguns dos resultados obtidos com a observação 
da prática pedagógica de três professores de Matemática do Ensino Médio, ao usarem a 
linguagem matemática no ensino de “funções”. A partir de uma análise qualitativa dos dados, 
são propostas algumas categorias representativas das concepções geradas na sala de aula com 
o tema em questão, a partir das formas de expressão efetivamente articuladas pelos 
professores, junto aos seus alunos. Algumas considerações também são propostas sobre a 
relação entre estas concepções e o uso de uma linguagem específica para se tratar as “funções” 
no ensino de Química e Física. 
Unitermos: funções, concepções dos professores, linguagem matemática, ensino de 
Matemática, Física e Química 
Introdução 
A construção inicial de um determinado conceito em Ciências Naturais, na grande 
maioria dos casos, é feita através da criação de uma linguagem para explicar fenômenosda 
natureza (físicos, químicos ou biológicos), que são visualizáveis, tangíveis ou de alguma 
forma, perceptíveis aos sujeitos. Dessa maneira, estes mesmos sujeitos podem apresentar, 
sobre estes fenômenos, concepções ou explicações espontâneas, mesmo que não tenham tido 
prévio contato com argumentos e teses científicas, elaborados sobre eles. 
Já em Matemática, ocorre que a criação de uma linguagem própria se dá não apenas 
para explicar fenômenos da natureza, mas também para resolver toda sorte de problemas, os 
quais nem sempre são tangíveis, por se originarem na mente humana, e muitos, de uma 
maneira totalmente abstrata. 
Parece-nos que muitas explicações levantadas em Matemática surgem num patamar 
diferenciado, em atividades metacognitivas, quando o homem não apenas percebe um 
fenômeno natural, mas cria para si um problema relativo à compreensão daquele fenômeno, ou 
de outros que ele próprio concebe e executa. Aqui, podemos citar as questões e problemas 
matemáticos gerados na construção de um objeto concreto pelo homem, na idealização de um 
sistema monetário, ou em estruturas e sistemas gerados dentro da própria Matemática, que 
nem sempre encontram aplicação na vida prática, em conseqüência do avançado grau de 
desenvolvimento dessa área do conhecimento humano. 
André Luiz dos Santos Messias 
Projeto Teia do Saber 2006 – Metodologias de Ensino de Matemática 
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Sendo assim, parece-nos que concepções espontâneas sobre os conceitos 
matemáticos são cabíveis em poucas situações, geralmente ligadas à vivência sócio-cultural 
dos indivíduos. 
Para a maioria dos conceitos atuais e mais complexos da Matemática, entretanto, que 
foram gerados a partir de evoluções contínuas, realizadas por muitas mentes humanas, e em 
diferentes períodos históricos, é bastante difícil que se revelem concepções espontâneas, pois 
estas se mostram muito distantes do conhecimento especializado dos matemáticos e também 
do conhecimento escolar. 
Acreditamos que este seja o caso do conceito matemático de função, atualmente 
ensinado e presente no currículo das escolas do Ensino Médio. Embora se possa ter uma 
concepção espontânea de variação e de associação entre duas grandezas, a caracterização das 
propriedades específicas das relações que são também funções matemáticas só foi possível 
num processo histórico longo e delicado, que culminou com as definições de Dirichlet (1837) 
e Bourbaki (1939) para funções. Estas possibilitaram um alto nível de abstração desse 
conceito, ampliando-o para conjuntos de objetos matemáticos antes pouco imagináveis. 
Isso não significa que o conceito de função não tenha sido associado a fenômenos 
naturais. Pelo contrário, as motivações para a sua origem surgiram entre os gregos, que já 
apresentavam um “instinto de funcionalidade” para explicarem fenômenos da Astronomia. 
(Youschkevitch, 1976). 
E foi a partir de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), com seus estudos sobre 
movimentos e “taxas de mudanças” de quantidades variando continuamente, que as primeiras 
elaborações formais para esse conceito surgiram. Mas a idéia não parou por aí e o conceito de 
função, em Matemática, localiza-se num patamar que vai além da compreensão dos 
fenômenos a que se aplica, pois pode generalizá-los e resolver vários problemas fora do 
mundo tangível, num mundo de abstrações muito próprias da Matemática. Por exemplo, 
podemos usar uma função linear para descrever o deslocamento de um corpo num sistema 
massa-mola, tanto quanto para descrever a transformação de um espaço vetorial – conceito 
matemático altamente abstrato – em outro. 
Assim, entendemos que a análise das concepções de um sujeito sobre o conceito de 
função só poderá ocorrer depois que ele apresentar um contato com a idéia matematicamente 
construída, ou por um livro, ou por um professor. Do contrário, estaremos falando apenas de 
um “instinto de funcionalidade”, como já evidenciavam os gregos, antes da Era Cristã. É claro 
que a noção de variação é um dos aspectos essenciais ao desenvolvimento desse conceito e, 
para ela, poderá existir uma concepção espontânea. Entretanto, ao nosso ver, a idéia de 
variação não é suficiente para, sozinha, caracterizar por completo o conceito matemático de 
função. Aí pode estar uma das razões pelas quais este apresenta grandes dificuldades de 
compreensão entre os sujeitos. 
Entendemos que, nesse caso, a distinção feita por Vygostsky (1989a, p. 50), entre os 
conceitos espontâneos e os não-espontâneos ou científicos aplica-se apropriadamente. 
Para os últimos, o sujeito não é capaz de formular concepções pelas simples 
observações de fenômenos naturais, se não puder contar com uma instrução culturalmente 
elaborada e, em geral, coordenada pela escola, para chegar a tais idéias abstratas. 
Só é possível, então, analisar as concepções sobre este tipo de conceito, através da sua 
expressão pela linguagem matemática que o sujeito aprendeu a elaborar, seja na escola, seja 
pela interferência de algum outro sujeito escolarizado. 
 
 
André Luiz dos Santos Messias 
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Considerações teóricas e metodológicas 
Para tentar responder às questões anteriormente levantadas, fomos a campo e 
observamos três professores de Matemática do Ensino Médio, em suas salas de aula de duas 
escolas diferentes, na cidade de São Carlos, SP, no momento em que ensinavam sobre 
“funções”. 
As duas primeiras professoras observadas (Meg e Bel) lecionavam em uma escola 
pública de grande tradição na cidade. Acompanhamos as aulas de Meg, nos meses de maio a 
junho de 1997. A professora Bel foi observada de maio a julho de 1998. Um terceiro sujeito 
foi investigado (Mark), de agosto a novembro de 1998. A escola deste último era bastante 
diferenciada da anterior, por ser relativamente nova e ter gestão cooperativa, com a 
participação de pais e professores sobre as suas diretrizes pedagógicas e organizacionais. Os 
três professores citados tinham métodos de ensino bastante tradicionais, com aulas 
expositivas, em sua maioria, e com pouca participação ativa dos alunos. O professor Mark, 
porém, costumava coordenar algumas atividades diferenciadas, como a resolução mais 
freqüente de listas de exercícios em grupo, assim como competições e jogos matemáticos em 
atividades extra classe. 
Devemos destacar, ainda, que as posturas de Mark com relação à avaliação dos alunos 
e sua promoção para a série seguinte eram bastante diferentes das outras professoras 
observadas. 
Enquanto Bel e Meg viam-se pressionadas pela escola a aprovar alguns alunos com 
rendimento muito baixo, Mark costumava ser mais rigoroso nas atribuições de notas, assim 
como nos aspectos disciplinares dos alunos em aula. A escola de Mark estimulava o rigor 
disciplinar, a organização e a ordem, tanto fora, quanto dentro das salas de aula, o que não 
ocorria com a outra escola. 
Com um tempo total de observação de nove meses em campo, e dentro de uma 
perspectiva qualitativa de pesquisa (LUDKE e ANDRÉ, 1987; ANDRÉ, 1995), procuramos 
aproximar-nos daquilo que Geertz (1987) chama de uma “descrição densa” para a linguagem 
matemática utilizada por estes professores, em sala de aula. Como complementação dos dados, 
a fim de melhor caracterizarmos os sujeitos investigados, foi respondido um questionário e 
algumas entrevistas curtas e semi-abertas foram realizadas. Algumas perguntas do 
questionário4 solicitavam uma definição informal e outra formal para o conceito de função, 
além de exemplos. Outras procuravam promover uma reflexão sobre os conceitos de domínio, 
imagem, variável e sobre as propriedades que distinguem uma função de uma relação 
qualquer. Duas questões tratavam da construção de gráficos e outras quatro procuravam 
estimular uma reflexão sobre as notações algébricas (expressões analíticas e uso de letras 
diferentes das canônicas)que representam funções. 
Em nossos pressupostos teóricos, assumimos a linguagem matemática – em 
complementação à proposta de Anghileri (1995) – como um sistema de signos (sinais e 
palavras), associado a um conjunto de regras de manipulação dos mesmos, que tem 
significados ligados a contextos e a procedimentos para resolver problemas matemáticos ou 
matematizados. Neste sistema, entendemos que estão incluídas as propostas lógico-formais 
utilizadas em demonstrações e definições matemáticas, mas também que aí se inserem a 
utilização de figuras, diagramas, desenhos e esboços informais. Deste modo, concebemos que 
a linguagem matemática engloba todos os signos utilizados em esforços de se fazer 
compreender dentro de uma comunidade ampla, de alunos, professores (de vários níveis de 
ensino) e pesquisadores interessados em Matemática. É claro que, similarmente ao que ocorre 
com a linguagem natural, nem todos os membros dessa comunidade terão os mesmos níveis de 
André Luiz dos Santos Messias 
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aprofundamento no conhecimento e domínio da linguagem matemática. Talvez fosse o caso de 
se falar também em uma “transposição didática” (Chevallard & Joshua, 1991) da linguagem 
matemática que expressa o “saber sábio” (erudito, dominado pelos pesquisadores), e a do 
“saber escolar”, mas uma discussão aprofundada nessa linha não é o objetivo deste trabalho. 
Apenas destacamos os aspectos mais formais da linguagem como referência para caracterizar 
o espontâneo e suas limitações, observando que o objetivo do professor do Ensino Médio é 
construir esse conhecimento em níveis mais elaborados, tentando aproximá-lo do “saber 
sábio” tanto quanto possível. 
Dentro desta linguagem, investigamos os significados nos conjuntos de coisas que se 
dizem ou se escrevem de um objeto; não o que se poderia dizer, mas o que efetivamente se 
diz. E, nas relações em sala de aula, não acreditamos que o conhecimento seja algo que 
se “transmite” simplesmente por comunicação, ou que se possa atribuir aos defeitos do uso da 
linguagem, todos os fracassos na aprendizagem. Entretanto, não se podem negar as relações 
fundamentais existentes entre os sujeitos que adquirem os conhecimentos e a linguagem que 
os expressa. E, dentro da realidade escolar, não se pode desprezar a forte influência de 
elementos mediadores entre o aluno e o objeto de conhecimento, que passam pela linguagem 
do professor e do livro didático. 
Concebemos que a aprendizagem está ligada à produção de significados pelos sujeitos 
das enunciações, produção essa que passa pelas relações interpessoais, manifestadas através da 
linguagem. E, então, as teorias de Vygotsky (1981, 1989a, 1989b) sobre o aprendizado e 
desenvolvimento como processo sócio-histórico (ou sociocultural) vêm dar suporte às nossas 
reflexões. Entretanto, vale ressaltar que estudiosos dessas teorias (Castorina et al., 1995) 
destacam que o processo pelo qual o indivíduo internaliza as idéias fornecidas pela cultura, e 
pelos elementos mediadores que o cercam, não é um processo de absorção passiva, mas de 
transformação e síntese, a partir do qual as atividades externas e as funções interpessoais 
transformamse em atividades internas, intrapsicológicas. 
Na questão da formação dos conceitos, Vygotsky propõe a distinção entre os conceitos 
espontâneos e os científicos, sendo estes últimos sistematizados e tratados 
intencionalmente, em geral, segundo uma metodologia específica. “São, por excelência, os 
conceitos que se aprendem na situação escolar” (Vygotsky, 1989a, p. 50). 
As concepções dos professores sobre “funções” e sua linguagem na sala de aula 
Em nossa análise dos dados, reunimos 21 unidades de significados, a partir de termos 
recorrentes na expressão dos professores em sala de aula, ou evidenciadas nas entrevistas e 
com o questionário. A partir destas unidades, construímos categorias que destacam alguns 
modos de conceber o conceito de função e seus periféricos, dentro de uma visão mais ampla 
do que é a linguagem matemática, para os professores do Ensino Médio. A seguir, 
sintetizamos apenas seis destas categorias construídas, com o intuito de nos auxiliarem em 
nossas considerações sobre a ausência de uma integração da linguagem matemática entre as 
diferentes disciplinas escolares que a utilizam. Detalhes dessa análise podem ser encontrados 
na tese de Zuffi (1999). 
1) As definições propostas em aula e as definições históricas 
Nas salas de aula, embora as definições gerais de função apresentadas por Meg e Bel 
fossem próximas à de Dirichlet e incorporassem as idéias formais de “conjunto”, “relação”, 
“domínio”, “contradomínio” e “imagem”, os modelos que predominaram estavam mais 
próximos da definição histórica de Euler, pois as funções eram sempre dadas por expressões 
algébricas simples, em conjuntos numéricos reais, e com modelos de cálculos sempre sobre 
números inteiros. As funções eram apresentadas primeiro na sua notação analítica (expressão 
André Luiz dos Santos Messias 
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algébrica), mesmo que o domínio se tratasse de um conjunto discreto e pequeno de pontos, 
para somente depois se caracterizarem os gráficos, tabelas e manipulações das funções. 
2) Imagens do conceito 
As funções que determinaram as imagens conceituais transmitidas através da expressão 
dos professores, na sala de aula, também tiveram seus modelos todos em expressões analíticas 
simples e “bem-comportadas”. Os raros casos que trouxeram funções descontínuas ofereceram 
dificuldades de tratamento pelo professor e de compreensão, por parte dos alunos (uma única 
situação constatada na aula de Mark e uma, na aula de Bel). Isso corrobora o fato de que as 
imagens conceituais evidenciadas nas concepções dos professores, através dasrespostas ao 
questionário, ficavam realmente restritas aos casos “bem-comportados” e mostra que tais 
imagens conceituais (ou os modelos e formas visuais evocados em sua memória), para o 
conceito de função, não correspondem, em grau de profundidade, às definições formais que os 
professores apresentaram anteriormente aos seus alunos. 
3) Concepção evidenciada dentre as de “ação, processo e objeto” 
A concepção de ação predominou na linguagem de sala de aula e isso era esperado, 
uma vez que a maior parte dos períodos observados se constituíram de fases em que o conceito 
de função foi apresentado pela primeira vez aos alunos. Mas o fato tornou-se surpreendente 
quando, mesmo tratando de idéias mais avançadas, como as funções exponenciais, no final do 
período observado, estas não eram propostas como processos. 
Raríssimos indícios da concepção de processo foram evidenciados com Mark, através 
do estudo de transformações de gráficos de funções afins e modulares, mas que o próprio 
professor considerou como algo que vai além do que se deve ensinar nessa fase. A grande 
ênfase dos professores era colocada na atribuição de valores específicos para a variável 
independente, calculando-se os respectivos valores das imagens, para só então colocá-los nos 
gráficos. Por outro lado, estes gráficos eram observados através de poucos pontos esparsos, 
sem se caracterizarem explicitamente as transformações globais que representavam entre dois 
conjuntos. A idéia de variação, fortalecida na concepção de processo, fica prejudicada no 
enfoque dado pelos professores, deixando lacunas quanto a este aspecto essencial à 
conceituação de função. 
4) Expressões informais mostraram ter um papel mais significativo do que a 
definição matemática, no tratamento do conceito 
Embora a definição formal fosse apresentada aos alunos imediatamente, já na 
introdução do conceito, na sala de aula houve pouca discussão das condições para o domínio e 
a unicidade das imagens, contidas na definição geral de função. Casos de não-funcionalidadeapareceram muito raramente no tratamento do assunto. Os casos de funções mais gerais, 
definidas em conjuntos distintos de R (números reais), ou em conjuntos não numéricos, não 
foram explorados pelos professores, em sala. Deste modo, a definição formal proposta aos 
alunos no início do tratamento do assunto, embora bastante ampla, acabava substituída por 
termos da prática pedagógica dos professores, como o caso do termo “dependência” e pelos 
exemplos que estes consideravam mais relevantes, mas que não atingiam as várias 
possibilidades encerradas na definição geral de função apresentada. 
5) Alguns dos professores observados parecem “concretizar o abstrato” 
Não utilizamos, aqui, o termo “concretizar o abstrato” no sentido de usar a realidade, 
ou fenômenos reais para construir e ilustrar conceitos abstratos da Matemática, mas no sentido 
de transformar os símbolos, as notações matemáticas, em objetos, em “coisas”, por si só. 
Na sala de aula, os símbolos, as notações, muitas vezes eram tomadas como coisas, 
como objetos, sem que os seus significados abstratos fossem atingidos. Em contrapartida, 
André Luiz dos Santos Messias 
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faltou o concreto – o uso de fenômenos reais e de resolução de problemas cotidianos – para 
justificar as operações que eram propostas sobre estas notações, embora se utilizassem de 
algumas poucas “aplicações” esterilizadas, feitas ao final do tratamento formal, com as quais 
tentavam justificar o estudo do conceito. 
Os exemplos “do cotidiano” de Meg e Bel, vinham aos alunos já elaborados numa 
linguagem muito próxima da notação simbólica e a ênfase da expressão das professoras estava 
nas “leis” algébricas que descreviam as situações, e nos cálculos a partir delas, sem explorar 
os significados ligados à situação real, tomando a expressão algébrica abstrata que 
determinava a função como um fim em si mesma. 
Nas aulas observadas, as inequações também apareciam como simples manipulações 
algébricas de variáveis concretizadas nas letras “x” e “y”, sem terem seus significados 
abstratos explorados. (Os professores observados relutavam em usar outras letras para as 
variáveis. 
Somente um caso foi constatado nos nove meses em que estivemos em campo, quando 
Mark usou a letra “p” como variável independente, mas em seguida voltou a escrever a 
expressão na variável “x”). Os esquemas gráficos desenhados, com os sinais de ‘+’ e ‘-‘ 
(figuras abaixo) tornavam- se meros objetos pictóricos, sem qualquer ligação explícita desses 
sinais com os significados das imagens de funções com valores positivos e negativos, 
respectivamente. 
6) A relação discreto/contínuo é confusa. Os detalhes sobre a passagem do 
discreto ao contínuo não eram explicitados pelos professores 
Esta categoria não havia sido detectada com o questionário e foi identificada somente 
com a observação das aulas. 
Algumas funções de domínio discreto eram representadas por expressões analíticas 
usadas para domínios tipicamente contínuos, enquanto que os gráficos contínuos eram sempre 
determinados por um conjunto muito pequeno de pontos discretizados, sem se discutir o que 
acontecia com as imagens nos intervalos entre esses pontos. 
Com esta análise, vimos que muitas idéias a respeito do conceito de função não 
ficavam explícitas na expressão dos professores através da linguagem matemática, em sala de 
aula: as noções de correspondência; as propriedades que caracterizam particularidades na 
relação, para que esta seja considerada uma função; os diferentes papéis dos conjuntos de 
domínio, contradomínio e imagem; os critérios de escolha e localização de elementos para a 
identificação desta correspondência no gráfico cartesiano; a observação das “leis” ou “regras” 
como executando transformações globais entre dois conjuntos, os quais poderiam ser, 
inclusive, não numéricos; a infinidade de pares que estão representados através de um gráfico, 
ou de uma expressão algébrica de uma função; a discriminação entre função e equação; a 
distinção entre a curva do gráfico que representa uma função e eventuais situações físicas de 
deslocamento que a função representa. 
Segundo nossas observações, todas estas informações permeiam a sala de aula, mas 
não através de expressões claras e objetivas do professor. Este, ao apresentar uma considerável 
quantidade de exemplos e casos similares, parece considerar que o fato garanta, 
implicitamente, que o aluno compreenda todas estas idéias. Ou, ao contrário, o professor pode 
nem mesmo estar ciente destas peculiaridades envolvidas no conceito de função. Daí a 
necessidade de se enfatizar esses fatos, explicitamente, na formação desses professores, pois 
eles sinalizam para o ensino de um conceito formal e amplo de “funções”, mas acabam por 
construir noções muito simplificadas do mesmo, introduzindo um formalismo vazio, carente 
da maior parte dos significados que lhe caberiam. 
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Algumas considerações sobre a linguagem matemática e seu uso no Ensino Médio 
Com os resultados citados anteriormente, sobre o modo como os professores de 
Matemática usam a linguagem própria para o tratamentos das “funções”, podemos tecer 
algumas considerações a respeito de como se dá, ainda, a transposição dessa linguagem para o 
Ensino de Física e de Química. 
Paralelamente ao tratamento desse tema pelo professor de Matemática, na 1ª série do 
Ensino Médio, o professor de Física introduz as relações funcionais que caracterizam 
movimentos uniformes e uniformemente variados, com o espaço percorrido variando em 
relação ao tempo, a velocidade variando, ou não, e nas quais entra o conceito de aceleração 
constante. 
Nestas situações, o que se observa, logo de início, é que os professores de Física e de 
Matemática utilizam-se de notações bem diferentes para tratarem das noções de variáveis. 
Enquanto vimos, em nossa pesquisa, que os professores de Matemática relutam em 
usar outras letras, que não “x” e “y”, para as variáveis independente e dependente, 
respectivamente, os professores de Física usam as notações “s”, para espaço (variável 
dependente), e “t” (variável independente), para o tempo, para representarem a mesma idéia 
funcional. Como estes fatos podem não estar sendo explicitados, nem por um, nem por outro 
professor, alguns alunos poderão ter a impressão de que estão lidando com conceitos 
estanques, totalmente independentes, não percebendo que a idéia de dependência temporal, 
nos movimentos, caracteriza o que se chamou de função matemática. 
 
Considerações finais 
Com os resultados apresentados neste artigo, pretendemos chamar a atenção sobre as 
formas com que tem sido veiculada a linguagem matemática nas escolas do Ensino Médio, 
principalmente pelos professores de Matemática. Mas salientamos também, que a integração 
dessa linguagem nas aulas de Física e Química, do modo como tem sido efetuada pelos seus 
respectivos professores, ainda deixa muito a desejar, no que diz respeito a auxiliar o aluno a 
compreender as nuanças dos vários significados envolvidos em notações semelhantes, mas 
usadas em contextos diversos. Neste sentido, um maior intercâmbio entre os responsáveis pelo 
ensino de Física, Química e Matemática, no Ensino Médio, faz-se necessário para o 
esclarecimento destes pontos. 
Por outro lado, este intercâmbio, por si só, não garantirá o aprofundamento dos 
significados envolvidos nestes enfoques variados, se a formação destes professores, seja ela 
inicial ou continuada, não promover a adequada reflexão sobre estes fatores. 
Vimos, em nossa pesquisa junto aos professores de Matemática, que a linguagem 
utilizada em sala de aula está mais próxima daquela que eles próprios experimentaram quando 
alunos do nível escolar médio, do que dos significadosque se pretendiam atingir em seus 
cursos de Licenciatura. Assim, embora saibamos que esta não seja a solução para estes 
problemas, entendemos que projetos de formação continuada que integrem esses professores 
com seus colegas de outras áreas do saber, incluindo, aí, a Física e a Química, poderiam 
auxiliar muito na superação de obstáculos evidenciados em sua linguagem matemática, bem 
como na conscientização dos mesmos a respeito de futuros obstáculos que poderiam surgir 
com seus alunos. 
Fica, então, em aberto, este novo desafio: colocar em prática as propostas de 
interdisciplinaridade dos novos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (Brasil, 1998), 
integrando- as na formação dos professores, buscando destacar os significados da linguagem 
matemática, nas diversas áreas do saber que a utilizam. 
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Função 
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. 
Ir para: navegação, pesquisa 
Nota: Para outros significados de Função, ver Função (desambiguação). 
O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula 
matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). 
O objeto x é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de x é chamado 
imagem de x pela f. 
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um 
único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um 
relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de 
associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos 
numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos 
relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da 
imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor 
independente x. Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de 
uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). 
Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte entradas 
válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações 
unívocas. 
O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são 
ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da 
função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo 
f(x) = x2 
que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. 
Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, 
mas de vários. Por exemplo, 
g(x,y) = xy 
recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy. 
De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de 
função explícita (exemplo acima) ou de função implícita, como em 
x f(x) = 1 
que implicitamente especifica a função 
f(x) = 1 / x 
Vimos que a noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números e 
nem mesmo se limita a computações; a noção matemática de funções é mais geral e não se 
limita a situações envolvendo números. Em vez disso, uma função liga um "domínio" 
(conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o "contra-domínio" (ou 
codomínio) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exactamente um 
elemento do contra-domínio, o conjunto dos elementos do contra-domínio que são 
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19
relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de "conjunto-imagem" ou "imagem" . As 
funções são definidas abstractamente por certas relações, como veremos adiante. Por causa de 
sua generalização, funções aparecem em muitos contextos matemáticos, e muitos campos da 
matemática baseiam-se no estudo de funções. 
Pode notar-se que as palavras "função", "mapeamento", "mapear" e "transformar" são 
geralmente usadas como sinônimos. Além disso, funções podem ocasionalmente ser referidas 
como funções bem definidas ou função total (Veja a seção "Definição Formal"). 
História 
Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694, para 
descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto 
específico da dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções 
diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este 
tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos 
valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo 
infinitesimal. 
A palavra função foi posterioirmente usada por Euler em meados do século XVIII para 
descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição 
de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais 
como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, 
inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", 
foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos 
físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. 
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes 
ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a 
Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à 
de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para o final do século, os matemáticos 
começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles 
conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de 
conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna. 
Na definição de Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é 
um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos 
relacionados (Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os 
elementos dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições). Na maioria dos 
casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler são 
desprezáveis. 
 
André Luiz dos Santos Messias 
Projeto Teia do Saber 2006 – Metodologias de Ensino de Matemática 
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Alguns tópicos a respeito de FUNÇÕES (Disponíveis na Internet) 
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL EM ENSAIOS FATORIAIS UTILIZADOS 
EM PREFERÊNCIA DECLARADA OA DE SOUZA, L DE ANEXOS, LDEAE SIGLAS - 
eps.ufsc.br ... Aos Professores do Departamento de Matemática da UNICENTRO, que ... 
estruturação está vinculada com a definição de uma função matemática que deverá ... Citado 
por 3 - Artigos relacionados - Em cache - Pesquisa na web 
Procedimento, Função, Objeto ou Lógica? Linguagens de Programação vistas pelos 
seus Paradígmas - grupo de 2 » MCC Baranauskas - Computadores e Conhecimento-
Repensando a Educação, Valente …, 1993 - nied.unicamp.br ... Uma função matemática é 
um mapeamento de membros ... meio" funcional, por uma função recursiva nos moldes de sua 
definição matemática, como ilustrado ... Citado por 3 - Artigos relacionados - Ver em 
HTML - Pesquisa na web 
Modelos de inferência causal: análise crítica da utilização da estatística na 
epidemiologia - grupo de 4 » D Czeresnia, MFM ALBUQUERQUE - Revista de Saúde 
Pública, 1995 - SciELO Brasil ... também, a necessidade de uma definição anterior de ... da 
utilização da modelagem matemática na análise ... a adequação à uma função matemática 
não é um ... Citado por 4 - Artigos relacionados - Em cache - Pesquisa na web 
Competênciademocrática e conhecimento reflexivo em matemática - grupo de 2 » O 
Skovsmose - Matemática e Realidade: Que papel na Educação e no …, 1995 - educ.fc.ul.pt 
... (sem ser forçoso voltar à definição de Schumpeter ... matemática. ... utilização de um 
conceito como o Produto Nacional, definido como uma função matemática. ... Citado por 2 - 
Artigos relacionados - Ver em HTML - Pesquisa na web 
Uma proposta de metodologia de ensino com analogias RL Nagem, D Carvalhaes, J 
Dias - Revista Portuguesa de Educação, 2001 - redalyc.uaemex.mx ... Área de Conhecimento 
diz respeito à definição da área ... 1. Área de Conhecimento: Matemática 2. Assunto ... e 
Imagem de uma função matemática 6. Descrição ... Citado por 2 - Artigos relacionados - 
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Análise e Simulação de Ondas Sonoras Assistidas por Computador - grupo de 2 » L 
BLEICHER, MM da Silva, JW Ribeiro, MG Mesquita - Revista Brasileira de Ensino de Física 
- SciELO Brasil ... e musical de ondas e sua respectiva modelagem matemática simplificada 
... se simples modelar o efeito a partir de sua definição: somamos à função y o ... Citado por 
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Tecnologias da Informação: do centrado ao acentrado AM ROSA - Real vs. Virtual, 
Revista de Comunicação e Linguagens, 1999 - paginas.ulusofona.pt ... definição, o nível 
funcional é independente dos ... descrição sendo a teoria matemática dos sistemas ... ser 
representado através de uma função sensorial S ... Citado por 1 - Artigos relacionados - Ver 
em HTML - Pesquisa na web 
André Luiz dos Santos Messias 
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Planejamento do Balanço Bancário: Desenvolvimento de um Modelo Matemático de 
Otimização do … SG dos Reis, E Martins - eac.fea.usp.br ... do governo por meio da 
definição de percentuais de ... de um modelo de programação matemática como ferra ... A 
função objetivo do modelo busca maximizar o valor ... Citado por 1 - Artigos relacionados - 
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ANÁLISES SOBRE MODELOS DIGITAIS DE TERRENO EM AMBIENTE DE 
SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS CA FELGUEIRAS - dpi.inpe.br ... 
Neste processo o modelo é responsável pela definição da geometria da ... do pressuposto que a 
superfície representada é uma função matemática definida no ... Citado por 2 - Artigos 
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O CONCEITO DE FUNÇÃO E SUA LINGUAGEM PARA OS PROFESSORES DE 
MATEMÁTICA E DE CIÊNCIAS EM Zuffi, JL de Almeida Pacca - fc.unesp.br ... as várias 
possibilidades encerradas na definição geral de ... caracteriza o que se chamou de função 
matemática. ... de Física e de Matemática (Projeto Pró ... Artigos relacionados - Ver em 
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… ENTRE MATEMÁTICA E FÍSICA NO CONTEXTO ESCOLAR: 
PROBLEMATIZANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO AFIM CDECFE MATEMÁTICAS, C 
DE MESTRADO - ppgect.ufsc.br ... A importância do conceito de função no ensino de 
Matemática.....50 ... de Matemática e Física por meio da construção do conceito de função 
afim. ... Artigos relacionados - Ver em HTML - Pesquisa na web 
[DOC] Semântica de Linguagens e Geração de Compiladores - grupo de 3 » G de 
Compiladores, SL de Programação - cin.ufpe.br ... formal (isto é, com base matemática) para 
escrever ... que são empregados na definição de linguagens ... a semântica) de um programa é 
uma função matemática. ... Artigos relacionados - Ver em HTML - Pesquisa na web 
[DOC] SISTEMA PARA MODELAMENTO, SIMULAÇÃO E ANÁLISE DE 
REDES DE COMUNICAÇÃO ALC Klingelfus-DIRED - celepar7cta.pr.gov.br ... 3. 
Definição do sistema a ser simulado. ... utilizadas em um mesmo barramento “Ethernet” e do 
tamanho médio de frames, ajustados em uma função matemática. ... Artigos relacionados - 
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PROFESSOR DE MATEMÁTICA NO USO DO GRAPH … C DE ESPECIALIZAÇÃO - 
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ensinos ... da função, preencher uma tabela a partir da definição do intervalo e ... Artigos 
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irrigação - grupo de 3 » EM da Silva, JEFW Lima, JA de Azevedo, LN … - Pesq. agropec. 
bras., Brasília, 2004 - SciELO Brasil ... A formulação matemática desenvolvida baseou-se no 
pressuposto de que as ... da integral da equação 3, aplicando a definição da função Beta 
(Abramowitz ... Citado por 1 - Artigos relacionados - Em cache - Pesquisa na web 
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Relações biométricas de jacarés (Caiman crocodilus yacare) criados em sistema de 
cativeiro, … A Rieder, EAS de Melo, MF Borges, R de Cássia, P … - cpap.embrapa.br ... de 
Cáceres (CUC), Departamento de Matemática (DM), Av. ... de dieta, de temperatura na 
definição de sexo ... ou estimada por uma função matemática baseada nas ... Artigos 
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utilização da … - grupo de 4 » D Czeresnia, MFM de Albuquerque - SciELO Public Health ... 
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difusos é uma metodologia matemática para o ... A Figura 2 representa uma função que 
traduz ... A definição do conjunto difuso das distâncias “não ... Artigos relacionados - Ver em 
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matemática não oferece ... A função terá como variável dependente ou explicada o ... 
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por função estimar a ... A formulação matemática a seguir objetiva representar o ... 
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DE POSSIBILIDADE DE PRODUÇÃO E … M Yoshimoto, J de Souza Rodrigues - 
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modelagem matemática dos neurônios ... a relação pode ser uma função matemática d(p1 ... 
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IMAGENS QUE MOSTRAM A UTILIZAÇÃO NO COTIDIANO DE FUNÇÕES 
 
 
 
Brasília com a catedral em destaque (Niemeyer) 
 
 
 
 
 
Catedral de Notre-Dame de Reims, França 
 
 
André Luiz dos Santos Messias 
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Museu de Arte Contemporânea, Niterói, Brasil (Niemeyer) 
 
 
 
Prédio do Salão de Atos – Tiradentes 
 
 
 
Mão, escultura de Niemeyer 
 
Poderíamos colocar obras de outros renomados arquitetos pelo mundo mostrando em 
suas obras que o estudo de funções está presente. No MAC de Niterói podemos observar como 
o projeto é semelhante à uma parábola e na catedral de Brasília o desenho que simboliza 
mãos levantadas aos céus verificaremos uma hipérbole. 
 
 
 
 
André Luiz dos Santos Messias 
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André Luiz dos Santos Messias 
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http://www.pr.gov.br/mon/areas.htm