Teoria das Estruturas II Treliças Teoria

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA 
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA 
 
 
 
CAPÍTULO IV 
 
Sistemas Triangulados ou Treliças 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 3 
2 
1 C 
Esquema (2) Esquema (1) 
 
 
 
 
SEMESTRE VERÃO 2004/2005 
 
 
 
 
 
Manuela Gonçalves 
Maria Idália Gomes 1/14 
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Capitulo IV – Sistemas Triangulados ou Treliças 
4.1 Definição 
 
Sistemas Triangulados ou Treliças são sistemas constituídos por elementos indeformáveis 
unidos entre si por articulações, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nas 
articulações (nós). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforços 
normais, de tracção ou compressão. 
Quando os elementos da estrutura estão essencialmente num único plano a treliça é designada 
plana. 
 
 
Montantes 
 
Cordão Superior 
Diagonais 
Cordão Inferior
Figura 1 – Cobertura de um pavilhão industrial 
 
Cordão Inferior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte inferior; 
Cordão Superior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte superior; 
Montantes ⇒ barra verticais; 
Diagonais ⇒ barras inclinadas. 
 
 
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A definição apoia-se em simplificações, barras rígidas, nós serem rótulas e ausência de acções 
ao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistema, desde 
que a estrutura esteja bem concebida, isto é, as barras sejam concorrentes num único ponto de 
cada nó. 
 
Figura 2 – Exemplo de uma treliça 
 
 
4.2 Estaticidade da estrutura 
 
4.2.1 Estaticidade Interior 
O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for 
agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso 
invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça 
formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barras 
e n o número de nós então o número total de barras é dado por b = 2n – 3 . Esta relação é uma 
condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma 
ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma 
configuração estável da treliça simples. 
Se b > 2n – 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a 
treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entanto 
necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável. 
 
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Assim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliça 
designam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior, 
hi=b– (2n-3). 
 Se b < 2n – 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormente 
hipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendo 
verificadas levará o sistema ao colapso. 
Na figura 3 a aplicação da expressão b = 2n-3 levaria à conclusão que o sistema é isostático, o 
que é falso, porque é a combinação de um sistema hiperestático (a) com um hipoestático (b). 
 
 
 
 
4.2.2 Estaticidade Exterior 
A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios 
restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem , a, são 
calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. SE os apoios estiverem 
colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de 
hiperestaticidade exterior é então he = a -3. 
9 Sistema hipoestático ⇒ a < 3 
9 Sistema isostático ⇒ a = 3 
9 Sistema hiperstático ⇒ a > 3 
 
a b c
Figura 3 
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4.2.3 Estaticidade Global 
A estaticidade global é dada pela soma da estaticidade interior e exterior; 
hg = hi + he = (b – 2n + 3) + (a – 3) = b + a – 2n 
Em determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidade 
exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente 
isostático e estável. 
É o que se verifica na treliça representada na figura 4. 
 
 
 
 
 
 
No entanto, se as ligações ao exterior estiverem inconrrectamente localizadas, resulta um 
mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior ser igual ao grau de hipostaticidade 
interior. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
Figura 5 
F2 
F1 
R 
F2 
F1 
R 
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4.3 Classificação das treliças quanto à lei de formação 
4.3.1 Treliças Simples 
As treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó seja 
agregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condição 
b= 2n -3. 
 
 
 
Figura 6 – Cobertura de uma habitação – Exemplo de uma treliça simples 
 
 
4.3.2 Treliças Compostas 
Resultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nem 
concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó 
(esquema 2). 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 1 
C 
Esquema (1) Esquema (2) 
Figura 7 – Treliças compostas 
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Figura 8 – Poste de alta tensão – Exemplo de uma treliça composta 
 
As ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada uma 
teria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número de 
barras do que o indicados nos dois exemplos anteriores obtinham-setreliças compostas 
hiperestáticas em vez de isostáticas. 
 
Apesar de não seguir o modo de formação anteriormente referido, para as treliças compostas, 
também se classificam deste modo as treliças que resultam da substituição de algumas barras de 
uma treliça simples por uma outra treliça simples. Na treliça do esquema (3), as barras 
superiores foram substituídas por treliças secundárias simples obtendo-se o esquema (4). 
 
 
 
 
 
Esquema (4) Esquema (3) 
Figura 9 – Exemplos de treliças 
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As vigas Gerber treliçadas são classificadas como treliças compostas. 
 
 
 
 
 
 
Figura 11- Ponte BNSF RR Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada 
 
 
 
 
 
Figura 12 - Ponte Hawthorne Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada 
 
Figura 10 – Viga Gerber treliçada
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4.3.3 Treliças Complexas 
Estas treliças embora satisfazendo a condição básica da isostaticidade interior b= 2n – 3, não se 
identificam com as leis de formação das treliças simples ou compostas, por isso classificam-se 
como complexas. 
 
 
 
 
 
4.4 Determinação dos esforços nas barras de treliças 
4.4.1 Considerações 
Considera-se a treliça simples sujeita ao carregamento indicado na figura, e com as reacções de 
apoio calculadas a partir das eq ca. 
A determinação dos esforços 
analíticos, “Equilíbrio dos nós”
 
 
 
 
Cada uma das barras da treliç
compressão a força que a com
tracciona sai dos nós. 
 
VA 
HA 1 
Figura 13 – Treliças complexas 
uações universais da Estáti
 9/14 
nas barras pode ser feita utilizando-se um dos dois métodos 
 ou “Ritter”. 
a faz a ligação entre dois nós. Assim, se a barra está sujeita à 
prime converge para os nós e, se está à tracção, a força que a 
VB 
4 
5 
6 2 
3 7 
8 
P2 P3 
P1 
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4.4.2 Equilíbrio dos nós 
A treliça encontra-se em equilíbrio, por isso todos os seus nós também o estão. 
Este método consiste em isolarmos sucessivamente cada um dos nós, marcar as forças 
exteriores, activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Os 
esforços normais das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbrio 
do nó. 
Assim, aplica-se a equação ∑ F=0 que garante o equilíbrio de forças concorrentes num ponto 
material, à qual correspondem as equações de projecção ∑Fx=0 e ∑Fy=0, tendo o referencial 
de eixos ortogonais Ox Oy uma qualquer orientação. 
A sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços (incógnitas) em cada 
novo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir antever a 
natureza do esforço que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais obtidos já serão 
os sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) indica tracção e 
se for negativo indica compressão. 
Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 e nó 3. 
Nó 1 
12 12
12 13 13
0 N 0 N
0 N cos 0 N
y A
x A
F sen V
F N H
θ
θ
= ⇒ + = ⇒
= ⇒ + + = ⇒
∑
∑
 
A primeira equação permite concluir que a barra 12 está sujeita a um esforço de compressão. 
Nó 3 
32 1 32
31 35 35
0 N 0 N
0 N 0 N
y
x
F P
F N
= ⇒ − = ⇒
= ⇒ + = ⇒
∑
∑ 
VA 
HA 1 
 N12 
N13 θ 
P1 
N31 
3 
 N32 
N35 
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4.4.3 Método de Ritter 
Consiste em cortar a treliça por uma secção, cortando apenas três barras, não devendo estas ser 
paralelas nem concorrentes num ponto. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer das partes 
resultantes do corte ficam em equilíbrio, porque os esforços normais actuantes nas barras 
cortadas as equilibram. 
Cortando a treliça por essas barras através da secção SS’, nada se altera sob o ponto de vista 
estático, desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes e 
que são determinados como as forças que garantem o equilíbrio da parte cortada da treliça. 
É indiferente analisar a parte esquerda [esquema (5)] ou a parte direita da treliça [esquema (6)]. 
Escolhe-se, aquela que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços 
normais. 
 
 
 
 
 
 
 
A determinação das incógnitas é a partir das equações universais da estática plana, devendo ser 
escolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada uma das 
incógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos não 
colineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas forças 
incógnitas. 
 
Esquema (5) 
VA 
HA 1 
2 
3 
P1 
5 
4 
N24 
N25 
N35 
S 
S’ 
VB 
4 
5 
6 
7 
8 
P3 
N53 
N52 
N42 
2 
3 
Esquema (6) 
S 
S’ 
P2 
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Usando o esquema (5) temos que: 
5 24
1 25
2 35
0
0
0
M N
M N
M N
= ⇒
= ⇒
= ⇒
∑
∑
∑
 
As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados (sendo de tracção), 
caso o sinal seja negativo são de compressão. 
As secções de Ritter podem ter qualquer forma desde que sejam continuas e atravessem toda a 
treliça. 
 
Excepções 
(1) Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o 
corte apanhando apenas três barras. Efectivamente se as demais, em qualquer número, se 
intersectarem num único ponto, escolhe-se a equação de momentos relativamente a esse 
ponto, calculando-se directamente o esforço na barra em questão. 
Pretendemos saber N24 5 0M⇒ =∑ 
 
 
 
 
Então 5 240 M N= ⇒∑ 
 
S’ 
VA 
HA 1 
2 
3 
P1 
5 
N54 
N24 
S 
S’ 
N56 
N57 
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(2) Quando duas barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas é mais cómodo 
utilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa direcção, como 
equações de equilíbrio da estática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 24
2 13
23
0
0
0y
M N
M N
F N
= ⇒
= ⇒
= ⇒
∑
∑
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VA 
HA 
2 
P1 
5 
4 
6 
3 
1 
VB 
P2 S 
S’ 
N23 
N24 
N13 
VA 
HA 
2 
1 3
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Exercício de Aplicação 
Enunciado Figura 
Para a estrutura apresentada: 
 
a) calcule os esforços nas barras 
 
b) confirme o esforço para a barra 
EC.