Volume por Fatiamento e Rotação em Torno de Um Eixo

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Volume por Fatiamento e Rotac¸a˜o em torno de um
Eixo
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Volume por Fatiamento
Objetivo: Determinar o volume de um so´lido usando fatiamento: a
secc¸a˜o transversal do so´lido em cada ponto x no intervalo [a, b] e´
uma regia˜o R(x) cuja a´rea sera´ A(x).
Volume por fatiamento: Ide´ia e Definic¸a˜o
Ide´ia: Se A(x) for uma func¸a˜o cont´ınua de x, podemos usa´-la para cal-
cular o volume do so´lido.
Procedimento:
• dividir o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento ∆x;
• fatiar o so´lido em cada ponto determinado pelos subintervalos;
• cada fatia cil´ındrica tem volume aproximado de:
Vk = a´rea da base × altura = A(xk) × ∆x
• o volume total sera´: VSol. ∼=
n∑
k=1
A(xk) ·∆x
Tomando n→∞, temos:
Definic¸a˜o: O volume de um so´lido compreendido entre os planos x = a
e x = b, cuja a´rea da secc¸a˜o transversal por x e´ dada por A(x):
V =
∫ b
a
A(x) dx
Volume por fatiamento: Exemplo
Exemplo (1): Determine o volume do so´lido que situa-se entre os planos
perpendiculares ao eixo x em x = 0, e x = 4. As secc¸o˜es transversais
perpendiculares ao eixo x sa˜o discos circulares cujas diagonais va˜o da
para´bola y = x2 a` para´bola y = 2− x2.
Volume por fatiamento: Exemplo (2)
Teorema de Cavalieri: So´lidos com mesma altura e com a´rea de
secc¸o˜es transversais iguais em cada altura teˆm o mesmo volume.
Exemplo (2): Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um
cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles e´ perpendicular ao eixo
do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um aˆngulo de 45◦
no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.
So´lidos de Revoluc¸a˜o
Conceito: Sa˜o obtidos pela revoluc¸a˜o de curvas planas em torno de um
eixo. Neste caso, A(x) sera´ uma circunfereˆncia:
A(x) = pi (R(x))
2
Exemplo (3): Girando a curva y =
√
x, com x ∈ [0, 4], em torno do
eixo-x, temos:
So´lidos de Revoluc¸a˜o – Em torno da reta y
Exemplo (4): Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em
torno da reta y = 1 da regia˜o limitada por y =
√
x e pelas retas
y = 1 e x = 4.
So´lidos de Revoluc¸a˜o – Em torno do eixo y
Exemplo (5): Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em
torno do eixo y, da regia˜o compreendida entre o eixo y e a curva
x =
2
y
, 1 ≤ y ≤ 4.
So´lidos de Revoluc¸a˜o – Eixo vertical
Exemplo (6): Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em
torno da reta x = 3, da regia˜o compreendida entre a para´bola x =
y2 + 1 e a reta x = 3.
So´lidos de Revoluc¸a˜o – Secc¸o˜es Transversais em
Forma de Arruela (em torno do eixo x)
Ide´ia: Rotac¸a˜o de uma regia˜o limitada entre duas curvas: R(x) – raio
externos e r(x) – raio interno. Assim:
A(x) = pi [R(x)]
2 − pi [r(x)]2 = pi ([R(x)]2 − [r(x)]2)
Exemplo (7): A regia˜o limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x+3 gira em torno do eixo x para gerar um so´lido. Determine
o volume do so´lido.
So´lidos de Revoluc¸a˜o – Secc¸o˜es Transversais em
Forma de Arruela (em torno do eixo x)
So´lidos de Revoluc¸a˜o – Secc¸o˜es Transversais em
Forma de Arruela (em torno do eixo y)
Exemplo (8): A regia˜o compreendida entre a para´bola y = x2 e pela
reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar
um so´lido. Determine o volume do so´lido.
Exerc´ıcios Propostos
Thomas: Pa´ginas 405 a` 410, exerc´ıcios de 1 a` 58.