Calc2 Aula1

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Cálculo	
  2	
  
Aula	
  1	
  
Aplicações	
  da	
  derivação	
  
Máximos	
  e	
  mínimos	
  
Problemas de otimização comuns: 
•  Qual é a forma de uma lata que minimiza o 
custo de manufatura? 
•  Qual é a acelaração máxima de um ônibus 
espacial? (esta é uma questão importante para 
os astronautas que têm que suportar os efeitos 
da aceleração) 
 
Extremos	
  absolutos	
  
Definição: Uma função f tem máximo absoluto 
(ou máximo global) em c se f (c) ≥ f (x) para 
todo x em D, onde D é o domínio de f. O número 
f (c) é chamado valor máximo de f em D. 
Analogamente, f tem mínimo absoluto (ou 
mínimo global) em c se f (c) ≤ f (x) para todo x 
em D, e o número f (c) é chamado valor mínimo 
de f em D. Os valores máximo e mínimo são 
chamados valores extremos de f. 
Extremos	
  locais	
  
Definição: Uma função f tem um máximo local 
(ou máximo relativo) em c se f (c) ≥ f (x) 
quando x estiver nas proximidades de c [Isso 
significa que se f (c) ≥ f (x) para todo x em algum 
intervalo aberto contendo c.] Analogamente, f 
tem mínimo local (ou mínimo realtivo) em c se 
f (c) ≤ f (x) quando x estiver próximo de c. 
 
 
Exemplos	
  
1)  f (x) = sen x (1 é máximo global (e local) e 
 -1 é mínimo global (e local)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 para todo n inteiro, é ponto de máximo global (e local). x = π
2
+ 2πn
x = 3π
2
+ 2πn para todo n inteiro, é ponto de mínimo global (e local). 
2) f (x) = x2 +1
1 é mínimo absoluto e x = 0 é ponto de mínimo local (e absoluto) 
de f (x) pois f (x) ≥ f (0) ( x2 +1≥1) para todo x. 
3) f (x) = x3
Observe que tal função não possui máximo ou mínimos,
locais ou absolutos.
4) f (x) = 3x4 −16x3 +18x2 , −1≤ x ≤ 4
f (1) = 5 é máximo local e f (-1) = 37 é máximo absoluto (este
máximo absoluto não é local pois ele ocorre em um extremo do 
intervalo). 
f (0) = 0 é mínimo local e f (3) = - 27 é mínimo local e absoluto.
Observe que não tem um máximo local e nem absoluto em x = 4.
Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um intervalo 
fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um 
valor mínimo absoluto f(d) em certos números c e d em [a, b]. 
 
 
 
 
 
Teorema de Fermat: Se f tiver máximo ou mínimo local em c, e 
f’(c) existir, então f’(c) = 0. 
 
Observe que a recíproca não é verdadeira. Ex: f (x) = x3 mostra que 
podemos ter f’(c) = 0 e c não ser ponto de máximo ou mínimo. 
E f(x) = | x | mostra que podemos ter ponto de mínimo (ou de 
máximo) em c, ainda que f’(c) não exista, ou seja, pode existir um 
valor extremo mesmo quando f’(c) não existir. 
 
Definição: Um número crítico de uma função f é um número c no 
domínio de f tal que ou f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. 
 
O Método do Intervalo Fechado: Para encontrar os valores 
máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em um 
intervalo fechado [a, b] 
1) Encontre os valores de f nos números críticos de f em ]a, b[. 
2) Encontre os valores de f nos extremos do intervalo. 
3) O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao 
passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto. 
 
Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da 
função: 
Exercício: O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita 
em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um 
modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do 
lançamento em t = 0 até a ejeção do foguete auxiliar em t = 126 s, 
é dado por: 
 
(em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores 
máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o 
lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. 
Resp: 
 
 	
  
v(t) = 0,0003968t3 −0,02752t2 +7,196t −0,9397
a(0) = 7,196 a(23,12) ≈ 6,56 a(126) ≈19,16.
Aceleração máxima de 19,16 m/s2 e aceleração mínima de 6,56 m/s2
aproximadamente.