Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Cálculo 2 Aula 4 Integral Indefinida Definição: Seja . O conjunto de todas as primitivas de f(x) é a integral indefinida de f em relação a x, denotada por A função f é o integrando e x é a variável de integração. Assim, lê-se: a integral de f com relação a x é F(x) + C. Ex: f : D( f )→ℜ f (x)dx∫ f (x)dx∫ = F (x)+C 2xdx∫ = x2 +C Observações 1. Não interpretaremos, no momento, f (x) dx, como o produto de f (x) pelo diferencial dx, encararemos dx apenas como um símbolo que especifica a variável de integração. 2. O nome indefinida vem de representar uma família de funções e não uma função específica. 3. Quando encontramos F(x) + C dizemos que conseguimos integrar f (x), e calcular a integral. f (x)dx∫ Mais exemplos 1) x4 dx∫ = x 5 5 +C 2) 1 3t2 dt∫ = t −2 3 dt∫ = 1 3 t−2 dt∫ = 1 3 t−1 (−1) = − 1 3t +C 3) e−3x dx∫ = − e −3x 3 +C 4) cos x 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟dx = cos 1 2 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟∫ dx = sen x 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 ∫ +C = 2sen x 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟+C Calcular uma integral indefinida nem sempre é fácil, mas depois de encontrá-la é só derivar o lado direito para verificar sua validade. Ex: Verifique se a integral indefinida está correta: 1) xcos(x)dx = xsen(x)∫ + cos(x)+C 2) xsen(x)dx = xcos(x)∫ − sen(x)+C 3) sen2(x)dx∫ = sen 3(x) 3 +C Propriedades f (x)+ g(x)⎡⎣ ⎤⎦dx∫ = f (x)dx∫ + g(x)dx∫ f (x)− g(x)⎡⎣ ⎤⎦dx∫ = f (x)dx∫ − g(x)dx∫ k f (x)dx∫ = k f (x)dx∫ Exemplo 2x3 −3x + e2x + e( )dx∫ Integrais de sen2(x) e cos2(x) Lembrando que: temos: sen2(x)+ cos2(x) =1 cos2(x)− sen2(x) = cos(2x) sen2(x) = 1− cos(2x) 2 (subtraindo-se as equações) cos2(x) = 1+ cos(2x) 2 (somando-se as equações) Temos sen2(x)dx∫ = 1− cos(2x) 2 ∫ dx = 1 2 1− cos(2x)( )dx∫ = 12 x − sen(2x) 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟+C e cos2(x)dx∫ = 1+ cos(2x) 2 ∫ dx = 1 2 1+ cos(2x)( )dx∫ = 12 x + sen(2x) 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟+C Portanto: sen2(x)dx∫ = x 2 − sen(2x) 4 +C cos2(x)dx∫ = x 2 + sen(2x) 4 +C Problema de Valor Inicial Quando queremos determinar uma função y(x) sabendo sua derivada dy/dx e seu valor y0 em um ponto particular x0 temos um problema de valor inicial e y'(x) = f '(x) é um tipo de equação diferencial. Ex: Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x, y) é 3x2 sabendo que ela deve passar pelo ponto (1, -1). Exercício: Se ainda não o fez, fazer o desafio aula passada… Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado com aceleração a =12 t − 3 t ,t > 0, sendo t medido em segundos e a em m/s2. Sabendo que s(1) = 0 m e v(4) = 40m/s, determine: a)A velocidade em termos de t. b)A posição em t = 3s. Respostas: a) v(t) = 8t t −6 t −12 b) s(3) ≈ 5,9 m Resolva as equações diferenciais dadas: (Aula seguinte) 1) f ''(x) = x f (0) = -3 f '(0) = 2 2) f ''(x) = x2 +3cos x f (0) = 2 f '(0) = 3 3) d 2 y dx2 = 6x +12x2 f (−1) = 4 f '(0) = −1 4) d 2 y dx2 = x + x f (1) =1 f '(1) = 2 5) f ''(x) = 3ex +5sen x f (0) =1 f '(0) = 2 6) f '''(x) = sen x f (0) =1 f '(0) =1 f ''(0) =1 7) f '(x) = 3x −1( ) 2 f (−1) = −6 Respostas 1) f (x) = x 3 6 + 2x −3 2) f (x) = x 4 12 −3cos x +3x +5 3) f (x) = x3 + x4 − x +3 4) f (x) = x 3 6 + 4 15 x 5 2 + 5 6 x − 4 15 5) f (x) = 3ex −5sen x + 4x − 2 6) f (x) = cos x + x2 + x 7) f (x) = 3x3 −3x2 + x +1
Compartilhar