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 CÁLCULO IV – ENG.CIVIL – 1° SEM/2003 – AULA 9
VOLUME DO SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ( Método do Disco )
 
 Abaixo temos o esquema de como calcularemos o volume de um sólido de revolução.
1 ) Seja a função f(x) geratriz, usamos o conceito, já visto, de integral definida , ou seja, 
 aproximação por n retângulos .
 y
 	 
 f(xi) 
 
	 f(x)
 		
	 0	a b x
2 ) Ao rotacionarmos cada retângulo em torno eixo 0x , temos vários discos ( cilindros 
 circulares ) com volume V = área da base x Altura = {
.[ f(xi) ]2}.
 onde 
 f(xi) = raio.
 y	f(xi)
	
 	
 0 x	
	 a	 b
 Somando-se o volume de cada disco temos o valor aproximado do volume do sólido de revolução, ou seja, aproximação por n discos.
3 ) Usando a lógica dos infinitésimos ( 
 com 
 ) temos o volume do 
 sólido estudado.
	 y
	 0	 x
	 a b
 Logo, temos, o Volume do sólido de revolução, em torno do eixo 0x, da região entre o gráfico de f e os eixos x 
 [ a, b ] como sendo :
 Analogamente, ao rotacionarmos em torno do eixo 0y, temos o Volume do sólido de revolução,da região entre o gráfico de g e os eixos y 
 [ c, d ] como sendo :
Obs. : Se a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados, temos :
 y
 	 
 
	 y = f(x)
 
	 
	 L
		
 
 
 0 a b x
	
	M
 y
 	 
 	 d
	 x x = g(y)
 
	 
	 
	c	
 
 
 0 x
	
	
 
MÉTODO DA ARRUELA ( ou entre duas funções f(x) e g(x)
 Usado quando possui um “ buraco “. A demonstração é análoga ao método do disco onde f(x) e g(x) são os raios que delimitam o sólido externa e internamente, daí :
	Rotação em torno do eixo 0x
	Rotação em torno do eixo 0y
Exemplos :
1 ) Determine volume do sólido formado pela revolução em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f(x) = -x2 + x e pelo eixo x.
Resolução :
	y
	y = -x2 + x
	
	a b
x
 
�� EMBED Equation.3 { -x2 + x 
x.( -x + 1 ) = 0 
�� EMBED Equation.3 
 
= 
 
 = 
 
2 ) Idem para y =x3 limitada por y = 8 e x = 0, rotação em torno do eixo 0y .
Resolução :
	 y
	y = x3
	
 8
		 x
 
 
3 ) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo 0x , da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = 
e g(x) = 3. ( Método da arruela )
Resolução :
 	 x
	 y	
	f(x) = 
 
	
 x
 	 
 g(x) = 3
● Cálculo de a e b
 f(x) = g(x) = 3 
= 3 
 25 – x2 = 9 
 x2 = 25 – 9 
 x2 = 16 
 
 .
 Portanto …
 
 
 
 
 
 
 
 a b
●●
●●
� EMBED Equation.3 ���
y = f(x) = x3 � EMBED Equation.3 ��� 
portanto ...
� EMBED Equation.3 ��� 
= � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
0
●
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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