CÁLCULO IV AULA 14

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �4�
 CÁLCULO IV – ENG.CIVIL – 1° SEM/2003 – AULA 14
Integral Tripla
 Podemos relacionar as integrais simples com funções de uma variável, as duplas com funções de duas variáveis, portanto, quando temos uma Integral Tripla, esta está relacionada a uma função de três variáveis [ f(x,y,z) ].
 A definição segue a linha das anteriores e a figura será uma caixa dividida em “subcaixas” por meio de planos paralelos tomando-se as caixas que estejam totalmente em G ( sólido estudado ) e novamente , quando o número de subcaixas tende ao infinito com o ponto arbitrário ( 
 ), e o volume 
Vk de cada caixa tendendo a zero.
 Daí, pela soma de Riemann 
, temos :
Veja a figura :
	z	Volume 
Vk
	 ●
 
	
	
	 y
	x
Propriedades das Integrais triplas
I ) 
, k : constante.
II ) 
III ) Ao dividirmos G em sub-regiões G1 e G2
	
Calculando Integrais Triplas em Caixas Retangulares
 Analogamente às integrais duplas, usaremos Integrações Sucessivas.
Pelo teorema :
◙ Seja G a caixa retangular definida pelas desigualdades a 
 x 
 b; c 
 y 
 d; m 
 z 
 n .
 Se f for contínua na região G, temos :
 
Exemplos :
1 ) Calcule a integral tripla 
, na caixa retangular 
 .
Resolução :
= 
 648 .
2 ) Calcule a integral tripla 
, onde G = 
 .
Resolução :
= 
 
 
Calculando Integrais Triplas em Caixas Não – Retangulares
Analisando a figura . . .
Temos o seguinte teorema :
 Seja G o sólido xy simples com superfície superior z = g2(x,y) e superfície inferior z = g1(x,y) e seja 
 a projeção de G no plano xy. Se f(x,y) for contínua em G então :
 Para 
 
 plano xy
Obs. :
 
 
 plano xz temos 
Para 
 
 
 plano yz temos 
Exemplos :
1 ) Seja G a cunha do primeiro octante secionada do sólido cilíndrico y2 + z2 
 1 pelos planos y = x e x = 0. Calcule 
.
Resolução :
 Temos y2 + z2 = 1 
 z2 = 1 - y2 
 z = 
 
 z = 
 
	z
	z = 
 y = x
	x = 0
	G
 R		1	 y
 x ●
	y
 ● ( 1, 1 )
	 R	 y = x 
 x =y
	x
	0
Portanto . . . 
= 
= 
= 
 
 . 
Calculando volumes usando Integral Tripla 
 Quando f(x,y,z) = 1 temos a garantia de uma figura tridimensional , logo
 representa o volume de G e indicamos V = 
 .
Exemplos :
1 ) Use a integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x2 + y2 = 9 entre os planos z = 1 e x + z = 5.
Resolução :
 	 z
 x + z = 5 
 z = 5 - x
	y
	3	
 G
	z = 1
	 
 
	 y			 x
 
 x 	
: x2 + y2 = 9 	-3		 
Portanto, com 
 
 plano xy . . .
= 
= 
= 
=
= 
 = 36
u.v .
2 ) Idem para o cálculo do tetraedro T limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0 .
Resolução :
	z
	2
 x = 2y T	 z= -x – 2y + 2
 y
 	 
	1
	y
	 
 ( 1, 
, 0 )
 x
	
 0,5
	x
	0 1
	x = 2y 
 y = 
Portanto, com 
 
 plano xy . . .
VT = 
= 
= 
= 
= 
= 
 
 u.v .
0
Para z = 0, temos :
x + 2y =2 � EMBED Equation.3 ���y = - � EMBED Equation.3 ��� + 1
Subst. Trigon.
 x = -� EMBED Equation.3 ���
x = � EMBED Equation.3 ���
Porção acima do plano xy 
G2
G1
( � EMBED Equation.3 ��� )
Região G
�PAGE �
_1083403547.unknown
_1083488861.unknown
_1083494564.unknown
_1083500529.unknown
_1083506519.unknown
_1083507012.unknown
_1083507437.unknown
_1084051862.unknown
_1084051863.unknown
_1084007669.unknown
_1083507253.unknown
_1083506569.unknown
_1083506778.unknown
_1083506540.unknown
_1083505852.unknown
_1083505589.unknown
_1083505614.unknown
_1083504949.unknown
_1083497671.unknown
_1083500355.unknown
_1083500477.unknown
_1083500177.unknown
_1083497496.unknown
_1083497648.unknown
_1083494725.unknown
_1083492538.unknown
_1083493373.unknown
_1083493580.unknown
_1083492726.unknown
_1083491963.unknown
_1083492258.unknown
_1083491494.unknown
_1083488155.unknown
_1083488556.unknown
_1083488802.unknown
_1083488833.unknown
_1083488732.unknown
_1083488785.unknown
_1083488448.unknown
_1083406466.unknown
_1083488097.unknown
_1083487581.unknown
_1083487868.unknown
_1083406522.unknown
_1083487358.unknown
_1083406442.unknown
_1083401057.unknown
_1083402532.unknown
_1083402967.unknown
_1083403457.unknown
_1083402930.unknown
_1083401903.unknown
_1083401967.unknown
_1083401567.unknown
_1083399594.unknown
_1083401019.unknown
_1083401035.unknown
_1083400720.unknown
_1083396337.unknown
_1083399480.unknown
_1083396127.unknown
_1083396042.unknown
_1083395964.unknown