Aula_ 17 - Geo 012011

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR - GAAL
Aula 17 
Walter Duarte Costa Filho
1º Semestre - 2011
PRODUTO VETORIAL
Definição: Produto de dois vetores cujo 
resultado é um vetor. Ex físico: Torque
Relembrando: No produto escalar, o 
resultado era um número.
Devemos, portanto definir o módulo, a 
direção e o sentido do novo vetor formado.
Para isso devemos inicialmente definir o vetor 
= xi + yj + zk.
Para tal definição usaremos matrizes e 
determinantes.
Definição das coordenadas do vetor x .
As coordenadas do vetor formado são 
definidas através do cálculo do determinante 
da matriz 3 x 3.
Para definirmos o vetor = ( x , y , z ) devemos 
lembrar que um vetor é dado por x i + y j + z k.
Portanto para os cálculo de e sendo 
= ( x1 , y1 , z1 ) e = ( x2 , y2 , z2 ), temos que:
i j k
x1 , y1 , z1
x2 , y2 , z2 e daí calcula seu determinante.
Exemplo: definir as coordenadas do vetor a 
partir dos vetores: 
= ( 2 , 1, - 1 ) e = ( 3 , - 2 , 1 )
i j k i j i – 3 j – 4 k – 3 k – 2 i – 2 j =
2 1 - 1 2 1 - i – 5 j – 7 k = 
3 - 2 1 3 - 2 ( - 1 , - 5 , - 7 )
Portanto, o vetor x = ( - 1 , - 5 , - 7 )
Definição da Direção de x
O vetor x é ortogonal ao plano formado 
pelos vetores , e portanto, ortogonal 
( 900 ) aos vetores e , conforme segue:
Definição do Sentido de x
O sentido é definido pela “regra da mão direita”.
Sendo θ (teta) o ângulo entre e , 
suponhamos que (1º vetor) sofra rotação 
até coincidir com . Se os dedos da mão 
direita forem dobrados na mesma direção da 
rotação, então o polegar estendido indicará o 
sentido de x .
Definição do Comprimento ou Módulo de x 
É possível calcular o módulo ou comprimento 
de x das seguintes formas:
Quando for dado apenas as coordenadas de 
x .
Ex.: x = ( 1 , 1 , 2 ), então| x |= √√√√12 + 1 2 + 2
2 
Quando for dado o ângulo entre os vetores e o 
módulo de cada vetor.
| x | = | | | | sen θθθθ
Quando for possível calcular o produto escalar 
. , e for dado o módulo de cada vetor
temos que:
| x |2 = | |2 | |2 - ( . )2
Interpretação Geométrica do Módulo do 
Produto Vetorial 
Área do paralelogramo formado entre dois 
vetores e é igual ao módulo do produto 
vetorial.
A medida da base é | | e da altura é | |sen 
θ.
Área = base x altura ou seja, | |x | |sen θ
Portanto, como visto anteriormente:
| x | = | | | | sen θθθθ
Então:
Área ( A ) = | x |