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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Formiga Curso de Engenharia Elétrica CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM MOTOR DC, UTILIZANDO O CONTROLADOR PID. Arthur Moura Camargos de Freitas Formiga - MG Outubro - 2012 Arthur Moura Camargos de Freitas Controle de posição de um motor dc, utilizando o controlador pid. Trabalho da disciplina de Teoria de Controle apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais – Campus Formiga como resultado de pesquisa e implementação de um sistema de controle PID. Área de Concentração: Controlador PID. Orientadores: Prof. Dr. Fábio Lúcio Corrêa Junior. Formiga - MG Outubro – 2013 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Modelo do circuito elétrico do motor CC. .............................................................................................. 7 Figura 2 - Lugar das raízes da função de transferência encontrado ....................................................................... 10 Figura 3 - Resposta ao impulso unitário ................................................................................................................ 11 Figura 4 - Resposta do sistema ao degrau unitário ................................................................................................ 11 Figura 5 - Lugar geométrico das raízes dobrando a indutância ............................................................................. 12 Figura 6 - Resposta do sistema ao degrau unitário dobrando a indutância ............................................................ 13 Figura 7 - Lugar geométrico das raízes aumentando a constante do motor ........................................................... 14 Figura 8 - Resposta do sistema ao degrau unitário aumentando a constante do motor.......................................... 15 Figura 9 - Lugar das raízes com K e L 100 e 20 vezes maior ................................................................................ 16 Figura 10 - resposta ao degrau unitário K e L 100 e 20 vezes maior ..................................................................... 17 Figura 11 - Reta de velocidade em função da tensão de armadura ........................................................................ 18 Figura 12 - Resposta ao degrau unitário realimentação unitária positiva .............................................................. 20 Figura 13 - Resposta ao degrau unitário na função feedback ................................................................................ 21 Figura 14 - Frequências de canto ........................................................................................................................... 23 Figura 15 - Diagrama de bode feito a mão ............................................................................................................ 24 Figura 16 - Diagrama de bode da função de transferência de malha aberta .......................................................... 25 Figura 17 - Margens de ganho e fase apresentados pela ferramenta sisotool ........................................................ 27 Figura 18 - Resposta ao degrau do Gprox(s) ......................................................................................................... 29 Figura 19 - Função Gprox e função de transferência do sistema ........................................................................... 30 Figura 20 - Digrama de bloco ................................................................................................................................ 30 Figura 21 - Diagrama de Blocos de um sistema de controle em malha fechada ................................................... 31 Figura 22 - Diagrama de um controlador PID ....................................................................................................... 32 Figura 23 - Método de sintonização de Ziegler-Nichols em Malha Aberta ........................................................... 33 Figura 24 - Diagrama de blocos do motor cc com controlador PID ...................................................................... 34 Figura 25 - Sistema marginalmente estável ........................................................................................................... 35 Figura 26 - Sistema compensado ........................................................................................................................... 36 Figura 27 - Sistema compensado Matlab............................................................................................................... 37 Figura 28 - Sistema com e sem compensador PID ................................................................................................ 38 Figura 29 - Sistema com e sem compensador proporcional .................................................................................. 40 Figura 30 - Sistema com e sem compensador proporcional integral ..................................................................... 41 Figura 31 - Sistema compensado Matlab dobrando o ganho proporcional ............................................................ 43 Figura 32 - Sistema com e sem controlador com ganho proporcional dobrado..................................................... 43 Figura 33 - Sistema compensado Matlab diminuindo três vezes o ganho integrativo ........................................... 44 Figura 34 - Sistema com e sem controlador dividindo três vezes o ganho proporcional integrativo .................... 44 Figura 35 - Sistema compensado Matlab triplicando o ganho derivativo .............................................................. 45 Figura 36 - Sistema com e sem controlador triplicando o ganho derivativo ......................................................... 46 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Dados de velocidade angular em função da tensão nos terminais do motor......................................... 18 Tabela 2 - Margens de fase e ganho do sistema .................................................................................................... 26 Tabela 3 - Sintonização do PID – Método de Ziegler Nichols em Malha Fechada ............................................... 34 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................. 5 2. OBJETIVOS................................................................................................................................................... 6 3. ETAPAS ......................................................................................................................................................... 7 3.1MODELOS DO SISTEMA ............................................................................................................................ 7 3.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA ...................................................................................... 7 3.3 SUBSTITUINDO OS VALORES PARA OS PARÂMETROS DO SISTEMA ........................................... 9 3.4 OBTENHA A EQUAÇÃO DA RESPOSTA DO SISTEMA AO DEGRAU, NO DOMÍNIO DO TEMPO. ........................................................................................................................................................................... 10 3.5 UTILIZANDO O MATLAB,O GRÁFICO DA EQUAÇÃO DA RESPOSTA DO SISTEMA AO DEGRAU. ......................................................................................................................................................... 11 3.6. VARIANDO ALGUNS PARÂMETROS DO SISTEMA ......................................................................... 12 3.7. MODELAGEM DO SENSOR ................................................................................................................... 17 3.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA .................................................................. 19 3.9. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA UTILIZANDO A FUNÇÃO FEEDBACK DO MATLAB ................................................................................................................................................... 21 3.10. ESBOÇO O DIAGRAMA DE BODE DO SISTEMA EM MALHA ABERTA ..................................... 22 3.11 MARGENS DE FASE E DE GANHO DO SISTEMA ............................................................................. 26 3.12 OBTER A FUNÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM GAPROX(S) COM ATRASO PURO DE TEMPO, QUE POSSUA A RESPOSTA AO DEGRAU QUE MAIS SE APROXIMA. .......................................................... 27 3.13. DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA ............................................................................................ 30 3.13.1. COMPENSADOR PID ...................................................................................................................... 31 3.13.2. ESTRUTURA DO PID ................................................................................................................... 31 3.13.2.1. MÉTODO DE SINTONIZAÇÃO DE ZIEGLER-NICHOLS DE MALHA ABERTA .............. 33 3.14. VARIANDO OS PARÂMETROS DO PID ........................................................................................ 42 4. CONCLUSÕES ........................................................................................................................................... 47 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................ 48 5 1. INTRODUÇÃO Um motor CC, motor de corrente contínua, possui diversas aplicações na indústria e em inúmeros dispositivos que usamos diariamente. Os coolers de um computador, os motores de drives de CD e DVD, em diversos aparelhos de som e vídeo, são exemplos de motores CC. Devido a essa importância, o motor de corrente contínua é largamente estudado em livros de motores e máquinas elétricas, e faremos aqui um estudo resumido de suas principais características e equações de projeto. Para fazer o controle de posição de um motor dc, é necessário fazer uma análise, utilizando modelos matemáticos, de forma dinâmica por meio de equações que, em conjunto, modelam o sistema. Em um sistema existe uma dependência entre as variáveis e a localização, ou seja, não se pode fazer uma análise pontual do parâmetro como um todo. O equacionamento de sistemas reais é geralmente bastante complicado, visto que, praticamente todos os sistemas reais possuem não-linearidades. Desta forma, a fim de se obter um modelo idealizado do sistema, são necessárias algumas simplificações a fim de tornar o sistema analisado linear. Sistemas lineares podem ser representados por equações diferenciais ordinárias lineares que, geralmente, podem ser facilmente resolvidas por diversas técnicas como, por exemplo, transformada de Laplace. Com o modelo matemático do sistema do motor dc é possível fazer o controle, e uma das alternativas de controle é o PID (Controlador Proporcional, Integral e Derivativo) que permite um controle satisfatório na maioria dos sistemas aplicados. Pode ser usado para que a resposta proporcione poucos erros e, proporcione também, uma resposta mais estável [1]. 6 2. OBJETIVOS Este presente trabalho tem por objetivo apresentar um estudo e análise de um sistema do controle de posição de um motor dc Apresentando os modelamentos matemáticos e funcionalidades do controlador PID. 7 3. ETAPAS 3.1MODELOS DO SISTEMA A figura 1 mostra o circuito o esquema do motor de corrente contínua dc. Figura 1 - Modelo do circuito elétrico do motor CC. 3.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA Aplicando a lei de Kirchhoff ao circuito da armadura, obtemos: 𝐸 + 𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑡 + 𝑅𝑎𝑖𝑎 = 𝑈𝑎 (1) Onde E é a força contra eletromotriz, dada pela lei de Faraday. É necessário notar-se que, há uma relação eletromecânica estabelecida para um motor que possibilita a obtenção de uma equação que relacione a parte elétrica e mecânica do sistema do motor. Essa relação pode é dada a partir das seguintes expressões: 𝑇 = 𝐾1𝑖𝑎 (2) 𝐸 = 𝐾2𝜔 (3) As expressões acima mostram que existe uma relação de proporcionalidade entre as principais grandezas físicas e elétricas do sistema do motor. Ou seja, o torque ou conjugado aplicado sobre o eixo do rotor é diretamente proporcional à corrente do circuito da armadura, e também que a velocidade angular do rotor é diretamente proporcional à tensão aplicada ao motor, E. Com isso, pode-se elaborar uma equação para o movimento do motor. Esta é: 8 𝐽 𝑚 𝑑𝜔 𝑑𝑡 +𝑏𝜔=𝐾1𝑖𝑎 (4) Usando a equação (3) pode-se também reescrever a equação (1) da seguinte forma: 𝐽 𝑚 𝑑𝜔 𝑑𝑡 +𝑅𝑎𝑖𝑎=𝑈𝑎−𝐾2𝜔 (5) Como desejado obtém-se uma expressão que relacione a entrada elétrica padrão do circuito, a tensão 𝑈𝑎, e a saída mecânica do circuito, ou seja, a posição do eixo do rotor do motor, 𝜃, fazendo a seguinte substituição: 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜔 (6) Aplicando (6) às equações (4) e (5), obtemos: 𝐽 𝑚 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 +𝑏 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝐾1𝑖𝑎 (7) 𝐿 𝑎 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑡 +𝑅𝑎𝑖𝑎=𝑈𝑎−𝐾2 𝑑𝜃 𝑑𝑡 (8) As equações (7) e (8) representam a interação eletromecânica existente no interior do motor CC e mostram de que maneira isso ocorre. Na análise que se faz a seguir, para fins de projeto, deve-se considerar as constantes de proporcionalidade eletromecânicas como sendo iguais, ou seja: 𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾 . Não se perde em generalidade ao realizar isso, uma vez que durante o projeto de construção do motor, essa característica pode ser facilmente moldada. Além disso, para simplificar a notação, serão omitidos os subscritos a para indicar as grandezas presentes no circuito da armadura, uma vez que isso não proverá confusão alguma na identificação dos parâmetros do sistema a esta altura da análise. Aplicando a transformada de Laplace às equações (7) e (8), e considerando-se condições iniciais nulas (o que é de se esperar, uma vez que antes de a fonte ser ligada, não havia movimento no sistema d motor, nem tensões ou correntes, ou seja, energia acumulada), tem-se: 𝐽𝑚𝑠 2𝜃(𝑠) + 𝑏𝑠𝜃(𝑠) = 𝐿𝐼(𝑠) (9) 𝐿𝑠𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝐾𝑠𝜃(𝑠) (10) Substituindo I(s) da expressão (9) na expressão (10), temos: [ 𝐽𝑚𝑠 2𝜃(𝑠)+𝑏𝑠𝜃(𝑠) 𝐾 ] (𝐿𝑠 + 𝑅) = 𝑈(𝑠) − 𝐾𝑠𝜃(𝑠) (11) A equação (11) permite obter a função de transferência que relaciona à tensão de entrada do circuito a posição do eixo do rotor. Após a simplificação algébrica da equação (11) a função transferência do motor é dado por: 9 𝜃(𝑠) 𝑈(𝑠) = [ (𝐽𝑚𝑠 2+𝑏𝑠)(𝐿𝑠+𝑅) 𝐾 + 𝐾𝑠] −1 = 𝐾 𝐽𝑚𝐿𝑠3+(𝐽𝑚𝑅+𝑏𝐿)𝑠2+(𝑏𝑅+𝐾2)𝑠 (12) 3.3SUBSTITUINDO OS VALORES PARA OS PARÂMETROS DO SISTEMA Substituindo inicialmente os valores a baixo na equação (12) Jm = 0.03; momento de inércia do rotor b = 0.1; atrito viscoso K = 0.02; constante de proporcionalidade R = 1; resistência do bobinado L = 0.1; indutância do bobinado Substituindo-se as constantes físicas na função de transferência, equação (12), resulta-se na seguinte forma: 0.02 0.003𝑠3+(0.03+0.01)𝑠2+(0.1+0.022)𝑠 (13) 0.02 0.003𝑠3 + 0.04𝑠2 + 0.1004𝑠 a) Os polos da função de transferência S1 = 0 S2 = -9.9799 S3 = -3.3534 b) Não possui zeros c) Mostre graficamente os polos e os zeros 10 O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores que os polos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano de coordenadas complexas quando variarmos o ganho k. A partir da equação de malha aberta do tópico 3.3 foi plotado através do software Matlab com o comando rlocus onde mostra o lugar das raízes como mostra a figura 2. Figura 2 - Lugar das raízes da função de transferência encontrado O sistema é estável? Para ganhos menores que 69.1 o sistema é estável pois os polos se encontram no lado esquerdo no lugar das raízes, já para ganhos maiores o sistema é instável e para o ganho 65.5 (está sobre o eixo imaginário) o sistema é marginalmente estável. 3.4 OBTENHA A EQUAÇÃO DA RESPOSTA DO SISTEMA AO DEGRAU, NO DOMÍNIO DO TEMPO. Multiplicando a função de transferência por (1/s) temos uma nova equação mostrada logo a baixo, a figura 3 mostra seu comportamento no domínio do tempo para a nova equação com para isso aplicando como entrada uma função impulso unitário. 11 0.02 0.003𝑠4+(0.03+0.01)𝑠3+(0.1+0.022)𝑠2 (14) Figura 3 - Resposta ao impulso unitário 3.5 UTILIZANDO O MATLAB, O GRÁFICO DA EQUAÇÃO DA RESPOSTA DO SISTEMA AO DEGRAU. Dando um comando step no matlab na equação (13) foi plotado a figura 4 que mostra a curva do sistema a entrada ao degrau unitário. Figura 4 - Resposta do sistema ao degrau unitário 12 Comparando as curvas da figura 3 e quatro pode ser observado que as duas são idênticas, o que mostra que a entrada ao degrau acrescenta um termo de (1/s) na função do sistema. 3.6. VARIANDO ALGUNS PARÂMETROS DO SISTEMA Nesta etapa serão variados alguns parâmetros da função de transferência do sistema e em seguida será apresentado seus novos gráficos de lugar das raízes e a resposta quando a entrada ao degrau. Primeiro a indutância L foi dobrada e a seguir a função de transferência apresentada pelo matlab. 0.02 0.006𝑠3+0.05𝑠2+0.1004𝑠 (15) As figuras 5 e 6 mostram respectivamente o novo lugar das raízes e a resposta de saída à entrada ao degrau. Figura 5 - Lugar geométrico das raízes dobrando a indutância 13 Ao dobrar o valor da indutância do enrolamento de campo do motor o lugar das raízes foi deslocado, pois os polos mudaram, agora o sistema é estável para valores de ganhos menores que 41.1. Figura 6 - Resposta do sistema ao degrau unitário dobrando a indutância A resposta ao degrau unitário não se alterou comparando com o gráfico da figura 4. Em seguida mantendo a função da equação (13) e multiplicando a constante do motor K em dez vezes e fazendo a mesma análise acima e a função de transferência para esta mudança está mostrada na equação a baixo. 0.2 0.003𝑠3+0.04𝑠2+0.14𝑠 (16) 14 Figura 7 - Lugar geométrico das raízes aumentando a constante do motor Observando a figura 7 pode ser notado a mudança do lugar das raízes em relação aos figuras 5 e 3, como mencionado anteriormente isto ocorre, pois ao alterar um dos parâmetros da função de transferência mudasse também o polos e (neste caso não existe zeros). 15 Figura 8 - Resposta do sistema ao degrau unitário aumentando a constante do motor Para este caso a inclinação do ganho mudou, olhando a figura 4 e 6 quando o tempo estava em 0.5 a amplitude estava em 1000, já na figura 8 quando o tempo está em 0.5 a amplitude está em 5000. A última variação apresentada será feito aumentando a constante do motor K em cem vezes e a indutância em vinte vezes. 16 Figura 9 - Lugar das raízes com K e L 100 e 20 vezes maior Com esta mudança os valores dos polos se aproximaram ainda mais do eixo imaginário. 17 Figura 10 - resposta ao degrau unitário K e L 100 e 20 vezes maior Com a mudança dos polos a resposta de saída a entrada do sistema mudando novamente a inclinação da reta apresentada. 3.7. MODELAGEM DO SENSOR O sensor utilizado foi um encolder que mede a velocidade angular por minuto da rotação do motor em função de sua tensão de armadura. Utilizando um experimento prático de um encolder do laboratório de máquinas obtendo os valores de velocidade angular e tensão mostrados na tabela 1, e em seguida foi traçada a reta mostrada na figura 11. 18 Tabela 1 - Dados de velocidade angular em função da tensão nos terminais do motor Vt (V) N (RPM) 63 505 100 800 130 1044 149 1200 174 1410 187 1520 220 1797 Figura 11 - Reta de velocidade em função da tensão de armadura Como pode ser notado a relação entre velocidade e tensão é linear e utilizando esta curva foi modelado como mostrado logo a baixo. Onde Y representa a velocidade em rotações por minuto e X a tensão na armadura. Para converter a velocidade de rpm para radiando por segundo foi utilizada a equação (17). 𝜔 = 𝑌 × 2𝜋 60 [𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] (17) Substituindo na equação do gráfico da figura 11 e considerando que o valor da velocidade do motor cc é zero quando não há tensão na armadura obtém-se: 𝑌 ( 2𝜋 60 𝑑𝜃 𝑑𝑡 ) = 8.1771𝑋 (18) y = 8,1771x + 2,9306 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 V el o ci d ad e an gu la r [r p m ] Tensão [V] Velocidade x Tensão 19 Colocando no domínio de s a equação (18) para a ser: 𝑌(𝑠) ( 2𝜋 60 ) 𝑠 = 8.1771𝑋(𝑠) (19) Fazendo as devidas manipulações matemáticas a função de transferência adquirida para este sensor é dada pela equação (20). 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 𝑠 78.1 (20) 3.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA Tendo a função de transferência de malha aberta, dada pela Equação 5, é possível transcrevê-la em malha fechada. O processo para fechar a malha de uma função de transferência é dado pela Equação 6. 1 FTMA FTMA FTMF (21) Utilizando o conceito para fechar a função de transferência descrita na equação (21), segue-se os cálculos para a função de transferência de malha fechada com realimentação unitária do sistema do motor CC segui a baixo. 𝐾 𝐽𝑚𝐿𝑠3+(𝐽𝑚𝑅+𝑏𝐿)𝑠2+(𝑏𝑅+𝐾2)𝑠 1+ 𝐾 𝐽𝑚𝐿𝑠3+(𝐽𝑚𝑅+𝑏𝐿)𝑠2+(𝑏𝑅+𝐾2)𝑠 (22) Fazendo manipulações matemáticas chegamos à equação (22) chegamos na função de transferência de malha fechada mostrada na equação (23). 𝐾 𝐽𝑚𝐿𝑠3+(𝐽𝑚𝑅+𝑏𝐿)𝑠2+(𝑏𝑅+𝐾2)𝑠+𝐾 (23) Utilizando os mesmos valores do tópico 3.3 a função de transferência de malha fechada encontrada substituindo os valores na equação (23): Jm = 0.03; momento de inércia do rotor b = 0.1; atrito viscoso K = 0.02; constantede proporcionalidade 20 R = 1; resistência do bobinado L = 0.1; indutância do bobinado 0.02 0.003𝑠3+0.04𝑠2+0.1004𝑠+0.02 (24) Jogando este valor com a entrada ao degrau tem como saída a resposta apresentada na figura 12. Figura 12 - Resposta ao degrau unitário realimentação unitária positiva Como pode ser notada na figura 12 com o acréscimo de um valor no denominador a curva deixa de ser uma reta mostrada na figura 4 e passa a ter o comportamento de uma exponencial e tendo um valor de estabilização. Comando Utilizado: 21 3.9. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA UTILIZANDO A FUNÇÃO FEEDBACK DO MATLAB Utilizando o comando feedback na função da equação (13) e com realimentação negativa 1 obtém-se a mesma função de transferência de malha fechada da equação (24) e a figura 13 é obtida dando um comando step após o feedback. Figura 13 - Resposta ao degrau unitário na função feedback num = [0.02]; den = [0.003 (0.03+0.01) (0.1+[0.02]^2) 0.02]; G = tf(num,den) a = roots(den) figure(1) step(g) 22 As curvas apresentadas na figura 12 e 13 são as mesmas, logo a função de transferência de malha fechada foi calculada corretamente. Comando Utilizado: 3.10. ESBOÇO O DIAGRAMA DE BODE DO SISTEMA EM MALHA ABERTA Para traçar as curvas de ganho e fase do sistema com malha aberta foi feito a multiplicação entre a função de transferência do motor cc e do sensor chegando a função da equação (24). 𝐹𝑇𝑀𝐴 = 𝐻(𝑠) × 𝐺(𝑠) 𝐹𝑇𝑀𝐴 = 𝑠 78.1 × 0.02 0.003𝑠3 + (0.03 + 0.01)𝑠2 + (0.1 + 0.022)𝑠 𝐹𝑇𝑀𝐴 = 0.02𝑠 0.2343𝑠3 + 3.124𝑠2 + 7.841𝑠 (25) Para traçar as curvas de diagrama de bode é necessário obter as raízes da equação (25) e transforma-la em frações parciais como mostra a equação (26). Raiz do zero 𝑧 = 0 Raízes dos polos 𝑝1 = 0 𝑝2 = −9.98 𝑝3 = −3.35 𝐹𝑇𝑀𝐴 = 0.02𝑠 𝑠((𝑠+9.98)(𝑠+3.35)) (26) num = [0.02]; den = [0.003 (0.03+0.01) (0.1+[0.02]^2) 0]; G1 = tf(num,den) G = feedback(G1,1) figure(1) step(G) 23 Passando a função da equação (25) no domínio da frequência conforme mostrado a equação (26) e deixando na forma padrão achando as frequências de canto que são as próprias raízes encontradas da equação (25). 𝐹𝑇𝑀𝐴 = 0.02𝑠 𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 9.9776)(𝑗𝜔 + 3.3539)) 0.02 33.43 𝑠 𝑗𝜔( 𝑗𝜔 9.98 +1)( 𝑗𝜔 3.35 +1) (27) O ganho encontrado foi de 20Log(0.02/33.43) = -64,5 dB. Primeiramente com os valores das raízes e com a equação de malha aberta do sistema foi traçado o diagrama de bode. Figura 14 - Frequências de canto 24 Figura 15 - Diagrama de bode feito a mão A figura 14 mostra as frequências de canto da função de transferência de malha aberta, enquanto o gráfico da figura 15 mostra a resultante que é o diagrama de bode do sistema. Utilizando o comando bode do matlab foi plotado o diagrama de bode mostrado na figura 16. 25 Comando Utilizado: num = [0.02]; den = [0.003 (0.03+0.01) (0.1+[0.02]^2) 0]; G = tf(num,den) num1 = [1 0]; den1 = [78.1]; G1 = tf(num1,den1) g = series(G,G1) % multiplicação de H*G roots([0.2343 3.124 7.841 0]); step(g) figure(1) margin(g) figure(2) bode(g) Figura 16 - Diagrama de bode da função de transferência de malha aberta 26 3.11 MARGENS DE FASE E DE GANHO DO SISTEMA Olhando o gráfico da figura 15 e os gráficos da figura 16 foram olhado os valores de margem de ganho e de fase, sendo a margem de ganho olhando o gráfico de fase em função da frequência do diagrama de bode tem fase de -180° e o ganho de fase olhando gráfico de ganho em função da frequência quando este possui ganho de 0 dB. Os dados para os dois casos estão contidos na tabela 2. Tabela 2 - Margens de fase e ganho do sistema Margem de ganho [dB] Margem de fase [°] Bode a mão ∞ ∞ Bode Matlab ∞ ∞ Como pode ser notado os valores de margem de ganho e de fase encontrados para o diagrama de bode feito a mão e o plotado pelo programa Matlab foram os mesmos o que mostra que os gráficos possuem um comportamento bem próximos os valores de margem de ganho e de fase foram mostrados pela ferramenta sisotool e a resposta está mostrada na figura 17. 27 3.12 OBTER A FUNÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM GAPROX(S) COM ATRASO PURO DE TEMPO, QUE POSSUA A RESPOSTA AO DEGRAU QUE MAIS SE APROXIMA. 𝐺𝑝𝑟𝑜𝑥(𝑠) = 𝑒 −𝜏𝑑𝑠 𝐾 𝜏𝑖𝑠+1 (28) Utilizando os valores de K, Td, Ti encontrados no item 3.13 foi plotado o gráfico da figura 18. K = 1; Td = 1; Ti = 0.9; Comando Matlab Figura 17 - Margens de ganho e fase apresentados pela ferramenta sisotool 28 clc; clear all; s = tf('s'); K = 1; Td = 1; Ti = 0.9; Jm = 0.03; % momento de inércia do rotor b = 0.1; % atrito viscoso K = 1; % constante de proporcionalidade R = 1; % resistência do bobinado L = 0.1; % indutância do bobinado g = K/((Jm*(L)*s^3) + (Jm*R+b*(L))*s^2 + (b*R+(K^2))*s) FT = feedback(g,1) step(FT); hold on Gprox = (exp(- Td*s))*(K/(Ti*s+1)) step(Gprox) 29 Figura 18 - Resposta ao degrau do Gprox(s) O gráfico da figura 19 foi plotado com o gráfico plotando a função Gprox e a função de transferência do motor CC. 30 Figura 19 - Função Gprox e função de transferência do sistema 3.13. DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA O sistema de controle proposto pode ser expresso por um diagrama de blocos, cuja função é representar, graficamente, a relação entre as variáveis do sistema. O diagrama de blocos do sistema de controle térmico está ilustrado na Figura 20. Figura 20 - Digrama de bloco 31 Pode-se notar, com o auxílio do diagrama acima, as partes constituintes do sistema. Onde G(s) é a função de transferência, calculada a partir dos parâmetros térmicos, o bloco seguinte é a parte de controle e H(s) é o “feedback”, ou seja o retorno do sistema, responsável por realimentar o sistema com informações sobre a saída Y(s). Em termos práticos u(s) seria o Set Point, ou seja, o parâmetro de referência da posição, e H(s) seria o sensor de posição para comparar a posição de saída com a posição de set point. 3.13.1. COMPENSADOR PID Controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, denominados de PID, são controladores geralmente utilizados em cenário industrial. O controle por malha PID utiliza o desvio, ou seja, a diferença entre o valor esperado de uma variável de processo e seu valor medido por meio de um transdutor [3]. 3.13.2. ESTRUTURA DO PID A Figura 20 apresenta a estrutura de um controlador PID, considerando-se inicialmente um sistema de controle em malha fechada. Figura 21 - Diagrama de Blocos de um sistema de controle em malha fechada De maneira geral, a função do controlador apresentado na Figura 3 é a de gerar em sua saída um sinal de controle u(t), com base na diferença entre o sinal de referência r(t) e o sinal de saída y(t), capaz de corrigir e anular tal diferença. No caso do PID, o controle descrito pelo bloco do controlador é composto de três termos, o proporcional, o integral e o derivativo. 32 𝑢(𝑡) = 𝑢𝑝(𝑡) +𝑢𝑖(𝑡) + 𝑢𝑑(𝑡) (9) Cada um desses termos, apresentados na Equação 9, são individualmente associados a cada um dos tipos de ações do controlador. A Figura 22 apresenta o diagrama de um sistema PID, contendo as ações proporcionais, integrais e derivativas. Figura 22 - Diagrama de um controlador PID Os efeitos de cada ação do PID são diferentes. O ganho proporcional tem impacto direto na rapidez da curva de resposta do sistema, na máxima sobre passagem do sinal de saída e no valor do erro de regime permanente. Com o aumento do ganho integral, o sistema fica mais oscilatório, apresentando um sobressinal mais elevado. O ganho derivativo pode ser utilizado para eliminar o problema de sobressinal. Este fator faz com que o controlador tenha uma resposta inicial elevada e diretamente relacionada à taxa de mudança do erro. Quanto maior a taxa de mudança do erro mais rápida é a resposta do controlador à mudança. 33 3.13.2.1. MÉTODO DE SINTONIZAÇÃO DE ZIEGLER-NICHOLS DE MALHA ABERTA • Determinação dos valores Kp, Ti e Td, a partir das características da resposta transitória da plana do sistema. • Com este método pretende-se obter no máximo 25% de overshoot. • O método de sintonização de Ziegler Nichols em malha aberta só pode ser aplicado a plantas que não envolvam nem integradores, nem polos complexos conjugados. Caso as condições anteriores se confirmem, então a curva da resposta a degrau assemelhar-se-á a uma curva em forma de S, tal como é apresentada na figura 23. Caso a curva não tenha esta forma, então este método de sintonização não se pode aplicar. Figura 23 - Método de sintonização de Ziegler-Nichols em Malha Aberta Como pode ser mostrado na figura 3 a resposta do sistema ao degrau não se parece com a curva apresentada na figura 23, logo este método não é aplicável para o presente sistema. 3.13.2.2. MÉTODO DE SINTONIZAÇÃO DE ZIEGLER-NICHOLS DE MALHA FECHADA Determinar K crítico, considerando-se apenas o ganho proporcional, isto é fazendo Td igual a zero e Ti igual a infinito. 34 • Com este método pretende-se obter no máximo 25% de overshoot. • Determinar a frequência de oscilação. • Determinar o período crítico. Em seguida apresenta-se a tabela de sintonização: Tabela 3 - Sintonização do PID – Método de Ziegler Nichols em Malha Fechada Utilizando a ferramenta simulink do matlab foi montado o diagrama de blocos visto na figura 24 do sistema inserindo o controlador PID. Inicialmente os ganhos integrativos ki e derivativos kd, foram zerados, variando o ganho proporcional até o sistema se tornasse marginalmente estável, ou seja que a resposta da saída oscile indefinidamente como pode ser visto na figura 25 onde mostra o sinal no Scope. Figura 24 - Diagrama de blocos do motor cc com controlador PID 35 Figura 25 - Sistema marginalmente estável O ganho Kcr encontrado para que a saída se tornasse marginalmente estável foi de 67, e olhando o tempo de um pico para outro Pcr com valor de 1,05 s, utilizando a tabela 3 foram calculados os ganhos, proporcional, o tempo integrativo, e o tempo derivativo como mostrado a seguir. 𝐾𝑝 = 0.6 ∗ 𝐾𝑐𝑟 = 40.2 𝑇𝑖 = 𝑃𝑐𝑟 2 = 0.525 𝑇𝑑 = 0.125 ∗ 𝑃𝑐𝑟 = 0.1313 Em seguida foram calculados os valores do ganhos integrativos e derivativos 𝐾𝑖 = 𝐾𝑝 𝑇𝑖 = 76.5714 𝐾𝑑 = 𝐾𝑝 ∗ 𝑇𝑑 = 5.2763 Jogando os valores de Kp, Ki e Kd calculados no diagrama de blocos a resposta encontrado foi o apresentado na figura 26. 36 Figura 26 - Sistema compensado Utilizando o software Matlab pode-se fazer uma análise da resposta transitória do sistema a partir do controlador PID, assim como a resposta do mesmo em função de entradas como degrau. O código realizado para a análise da saída compensada com PID: 37 A figuras 27 mostra a resposta do sistema com realimentação unitária com o controlador PID a entrada degrau. Figura 27 - Sistema compensado Matlab s = tf('s'); Kcr=67; Pcr = 1.05; Kp=0.6*Kcr s = tf('s'); Kcr=67; Pcr = 1.05; Kp=0.6*Kcr Ti=Pcr/2 Td = 0.125*Pcr Ki=Kp/Ti Kd=Kp*Td Gc = Kp*(1+(1/(Ti*s))+(Td*s)) G = K/(Jm*L*s^3 + (Jm*R+b*L)*s^2 + (b*R+K^2)*s) sys=series(Gc,G) s1 = feedback(sys,1) step(s1) hold on step(feedback(G,1)) Ti=Pcr/2 Td = 0.125*Pcr Ki=Kp/Ti Kd=Kp*Td Gc = Kp*(1+(1/(Ti*s))+(Td*s)) G = K/(Jm*L*s^3 + (Jm*R+b*L)*s^2 + (b*R+K^2)*s) sys=series(Gc,G) s1 = feedback(sys,1) step(s1) hold on step(feedback(G,1)) 38 Figura 28 - Sistema com e sem compensador PID Os valores obtidos pelo gráfico da figura 27 de tempo de subida, máximo sobressinal e tempo de acomodação foram: Tempo de subida: tr = 0.228 s Tempo de pico: tp = 0.66 s Máximo sobressinal: Mp = 63% Tempo de acomodação: ts = 5.97 s Os valores abaixo mostram os valores de tempo de subida, máximo sobressinal e tempo de acomodação do motor cc com realimentação unitário e sem compensador mostrados na figura 12. 39 Tempo de subida: tr = 10.1 s Tempo de pico: tp = 35 s Máximo sobre-sinal: Mp = 0 % Tempo de acomodação: ts = 18.3 s Como mostra os dados obtidos os tempos com o controlador melhoram bastante, mas o sobressinal piorou, pois anteriormente o sistema não possuía sobressinal, com o acrescento do PID ele passou a possuí-lo. Controlador P Utilizando a tabela 3 foi calculado o ganho proporcional que possui para este sistema valor de 33,5. Tempo de subida: tr = 0.291 s Tempo de pico: tp = 0.818 s Máximo sobre-sinal: Mp = 63 % Tempo de acomodação: ts = 6.13 s 40 Figura 29 - Sistema com e sem compensador proporcional A figura 29 mostra o sistema as curvas da saída do sistema com e sem o controlador proporcional. Com o controlador proporcional o sistema tende a ter valores de tempo de subida, máximo sobressinal e tempo de acomodação maiores do que com um controle PID. Comando Utilizado: Controlador proporcional integral Utilizando a tabela 3 foi calculado o ganho proporcional e integrativo que possui para o sistema. Kp=0.5*Kcr Gc = Kp; G = K/(Jm*L*s^3 + (Jm*R+b*L)*s^2 + (b*R+K^2)*s) sys=series(Gc,G) figure(1) compensado = feedback(sys,1) step(compensado) hold on FT = feedback(G,1) step(FT) title('Controlador P'); 41 Kp = 30.1500 Ti = 0.8750 Td = 0 Ki = 34.4571 Kd = 0 Figura 30 - Sistema com e sem compensador proporcional integral Tempo de subida: tr = 0.277 s Tempo de pico: tp = 0.888 s Máximo sobre-sinal: Mp = 101 % Tempo de acomodação: ts = 32.6 s Com o acréscimo de um integrador o lugar das raízes do sistema tende a ir para a direita dimuindo a estabilidade do sistema tornando o sistema mais lento como pode ser visto na curva figura 30 comparada as curvas das figuras 29 e 28. 42 Comando Utilizado 3.14. VARIANDO OS PARÂMETROS DO PID Nesta etapa será variado os ganhos proporcionais, integrais e derivativos, Kp, Ki e Kd do sistema compensado calculado anteriormente. Dobrando o Kd Tempo de subida: tr = 0.452 s Tempo de pico: tp = 0.432 s Máximo sobre-sinal: Mp = 61.8 % Tempo de acomodação: ts = 2.04 s Kp=0.45*Kcr Ti=(1/1.2)*Pcr Td = 0 Ki=Kp/Ti Kd=Kp*Td Gc = Kp*(1+(1/(Ti*s))+(Td*s)) G = K/(Jm*L*s^3 + (Jm*R+b*L)*s^2 + (b*R+K^2)*s) sys=series(Gc,G)compensado = feedback(sys,1) figure(2) step(compensado) hold on FT = feedback(G,1) step(FT) title('Controlador PI'); 43 Figura 31 - Sistema compensado Matlab dobrando o ganho proporcional Figura 32 - Sistema com e sem controlador com ganho proporcional dobrado Ao dobrar o ganho proporcional, melhorou o sobressinal e o tempo de estabilização comparado aos valores de ganhos do PID original, mas piorou os tempos de subida e de pico. 44 Dividindo por três o Ki Figura 33 - Sistema compensado Matlab diminuindo três vezes o ganho integrativo Figura 34 - Sistema com e sem controlador dividindo três vezes o ganho proporcional integrativo Os dividir o ganho integrativo torna o sistema instável como pode ser observado nas curvas das figuras 33 e 34. 45 Multiplicando por três o Kd Tempo de subida: tr = 0.163 s Tempo de pico: tp = 0.386 s Máximo sobre-sinal: Mp = 18.4 % Tempo de acomodação: ts = 2.83 s Figura 35 - Sistema compensado Matlab triplicando o ganho derivativo Com o aumento do ganho derivativo o sistema estabiliza mais rapidamente também fica mais estável. O sobressinal, o tempo de pico e de subida também diminui, ou seja ele tende a ter uma resposta mais rápida, isso pode ser observado comparando os gráficos da figura 29 com a figura 28 o PID com valores utilizados nos cálculos do método de Ziegler-Nichols. 46 Figura 36 - Sistema com e sem controlador triplicando o ganho derivativo Ao triplicar o ganho derivativo do PID encontrado no método de Ziegler-Nichols o sistema melhorou todos os parâmetros analisados, o que seria ideal para sistemas que tenham de ter um controle rápido e com poucas oscilações, mas para sistemas que não suportam mudanças repentinas este sistema não seria muito recomendável. 47 4. CONCLUSÕES A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada, depende essencialmente da localização dos polos de malha fechada como pode ser observado neste trabalho para uma mesma função de transferência a variação do ganho pode mudar completamente o lugar geométrico das raízes, isso se dá porque as raízes tendem a estar em lugares distintos. Logo a escolha de um ganho adequado pode definir se o sistema será ou não estável. Utilizando o controlador PID é possível realizar um controle de velocidade, alterando ganhos proporcionais, integrais e derivativos, levando o sistema a se tornar o mais rápido possível e com menor sobressinal possível. Um controle proporcional também leva o sistema para a estabilidade com um sobressinal menor mais com um menor tempo de subida, estabilização maiores do que o controle PID. Já o controlador PI diminui o erro do sistema, mas tende a demorar mais para se estabilizar além de aumentar o sobressinal. Todas as etapas realizadas a mão se aproximaram com os valores apresentados pelo programa Matlab o, logo os resultados foram satisfatórios, ainda lembrando que este trabalho foi feito com todo o conhecimento teórico e prático adquirido dentro de todo o conteúdo da matéria Teoria de Controle. 48 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. Editora LTC, 4ª Edição. [2] KOSOW, Irving L., Máquinas Elétricas e Transformadores. Editora: Globo – 14o edição, 2000. [3] PEREIRA, L. F. A.; HAFFNER, J. F. Aula 6: Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial. Rio Grande do Sul. [4] MENDES, F. M. Controlador pid analógico: uma abordagem didática em laboratório. Campina Grande, 2005.
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