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Aula 02 
MATRIZES – Conceitos e Operações
Conceito
Uma matriz Amxn pode ser entendida como um 
conjunto de mn (m multiplicado por n) números, 
dispostos emm linhas e n colunas.
Observações:
Matrizes devem ser escritas com parênteses ou 
colchetes à esquerda e à direita.
Uma matriz é sempre indicada por uma letra 
maiúscula.
• Seus elementos são indicados usando a mesma letra, 
porém minúscula, com a linha e coluna usados como 
índice (nesta ordem). Assim, o elemento na 2ª linha 
e da 3ª coluna da matriz A será a23.
• Assim, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, 
temos:
Matriz Quadrada
Uma matriz quadrada é dita quando seu número de 
linhas é igual ao seu número de colunas, e são os 
únicos tipos de matrizes que contém determinantes.
Exemplo:
E suas diagonais têm diferentes nomes, sendo,
Matriz Transposta (At)
É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as 
linhas pelas colunas da matriz dada.
Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então 
bij = aij.
Igualdade de Matrizes
Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas 
iguais elas devem obedecer a algumas regras:
Devem ter a mesma ordem, ou seja, o 
mesmo número de linhas e o mesmo número de 
colunas.
Os elementos devem ser iguais aos seus 
correspondentes.
Portanto, podemos concluir que:
A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a 
matriz B tiver também a ordem 2x2 e os elementos 
a11 = b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22.
Exemplo:
As matrizes A e B são iguais, pois preenchem 
todos os requisitos de igualdade de matrizes.
Exercício:
Encontre os valores numéricos de a, b, x e y 
sabendo que a igualdade das matrizes abaixo 
é verdadeira.
Como as duas matrizes são iguais os seus 
elementos correspondentes também devem 
ser iguais, assim iremos formar um sistema 
que nos possibilitará a encontrar os valores 
desconhecidos.
a + b = 12 (3)
-3a + 2b = 9
+ 3a + 3b = 36
-3a + 2b = 9
5b = 45
b = 9
a + b = 12
a + 9 = 12
a = 12 – 9
a = 3
+ x – y = 3
-x + 2y = 2
y = 5
x – y = 3
x – 5 = 3
x = 3 + 5
x = 8
1) Dadas as matrizes
Calcular x e y de modo que A seja igual à B, isto é
Pela definição de igualdade de matrizes, deve-se ter
Operações de matrizes
• Adição e subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = 
(bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = 
(aij)mxn tal que C = aij+ bij.
A subtração de matrizes é dada pela 
sentença:
A – B = A + (– B )
Propriedades da adição de Matrizes
a) A + B = B + A (COMUTATIVA)
b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)
c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)
d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO)
Exercícios
1) Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.
2) Calcule A + B, A – B e 5A – 3B se 
e 





 −
=
732
110
A





 −
=
910
511
B
Se λλλλ é um escalar, o produto de uma matriz por esse escalar
é uma matriz tal que
Exemplo
Multiplicação de matrizes
Quando dada uma matriz A = ( aij)mxn e uma 
matriz B= (bjk)nxp, denomina-se produto de A 
por B a matriz C= (cjk)mxp.
C = A x B 
Exemplo:
a11 a12 b11 b12 a11 b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 
a21 a 22 x b21 b22 = a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 
a31 a32 a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 
Propriedades:
A . (BC) = (AB) . C � Associativa
A . (B + C) = AB +AC � Distributiva à direita
(B + C) . A = BA + CA � Distributiva à esquerda
Observações:
A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, 
existem matrizes A e B tais que AB ≠ BA.
Se ocorrer de AB = BA, dizemos que as matrizes se 
comutam.
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do 
anulamento do produto, isto é, podemos ter AB = 0, 
mesmo com A ≠ 0 e B ≠ 0.
Exercícios de multiplicação de matrizes
Resolução:
1)
2)
= 61
Sejam as matrizes iguais a A (1,4) e B (4,2):
Exercício
A= 3 1 B= 5 2 0 C= 2 0 
-1 0 -1 3 2 1 3
5 4 5 0 1 5 -2
Determine:
• A + C
• B X A - C
• A X C
EXERCÍCIOS DE MATRIZES
• Página 54 – números: 1 – 4 – 6 – 7 e 8
• Página 55 – número: 1
• Página 60 – número: 1 (todas as letras)
• Página 62 – números: 1 – 2 -3 – 4 e 5