Aula_05_atualizada-Geo_012011

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Aula 05 
DETERMINANTES - continuação
• Teorema de Laplace
• Propriedades dos determinantes
• Teorema de Jacobi (propriedade 5)
• Triangulação
• Cálculo de Determinantes de ordem maior 
que 3 x 3
Teorema de Laplace
Regra
1) Escolhe-se uma linha ou coluna qualquer (de 
preferência a que tiver maior número de zeros);
2) Em relação a cada elemento (da linha ou coluna 
escolhida), “elimina-se” a linha a coluna 
correspondente;
3) Com os elementos que sobraram, calcula-se o 
determinante (matriz 2x2);
4) Cada determinante calculado será multiplicado pelo 
valor do elemento inicialmente escolhido; 
Obs: se a soma da linha com a coluna for ímpar, 
multiplica-se por – 1
5) O determinante da matriz será a soma de todas as 
parcelas.
USO do Teorema de Laplace
1) Quando a linha ou coluna selecionada 
possuir maior número de zeros
2) Para calcular determinantes de ordem maior 
do que 3
Calcule os determinantes a seguir por Laplace:
Exercícios de determinantes
Propriedades dos Determinantes
Obs: se as linhas ou colunas forem 
proporcionais, o determinante também será
igual a zero.
Exercícios de determinantes
Pág. 77 – Nº 1
1 – Calcule o valor dos determinantes a seguir, sem desenvolvê-
los. Justifique a resposta.
Exercícios de determinantes
Pág. 77 – Nº 2
1 – Usando as propriedades, calcule os determinantes:
Determinantes por Triangulação
No cálculo de determinantes pelo processo do 
triangulação, o objetivo transformar a matriz 
dada em uma matriz trianular superior, ou seja, 
fazer com que os números abaixo da diagonal 
principal sejam iguais à ZERO (PROPRIEDADE 6).
Além disso, que os dois primeiros números 
desta diagonal (a11 e a22) sejam iguais à UM.
1º passo
Atribuir ao elemento a11 o valor UM
Det. A =
Atenção: qualquer “manobra” matemática de 
multiplicação ou divisão terá que ser 
“compensada” de maneira inversa na “parte 
exterior” da matriz (ver propriedade 4). 
Estabelecer uma operação matemática, tendo 
a primeira linha como referência, de tal 
forma que ao elemento a 21 seja atribuído o 
valor ZERO
Det. A= 2 x 
2º Passo
Estabelecer uma operação matemática, tendo 
a primeira linha como referência, de tal 
forma que ao elemento a 31 seja atribuído o 
valor ZERO
Det. A = 2 x 
3º Passo
Atribuir ao elemento a22 o valor UM
Det. A = 2 x
Atenção: qualquer “manobra” matemática de 
multiplicação ou divisão terá que ser 
“compensada” de maneira inversa na “parte 
exterior” da matriz (ver propriedade 4). 
4º Passo
Estabelecer uma operação matemática, tendo 
a segunda linha como referência, de tal forma 
que ao elemento a 32 seja atribuído o valor 
ZERO
Det. A=2 x(-1) x
5º Passo
Det. A = 2 x (-1) x
O Determinante final da matriz será a 
multiplicação da diagonal principal, ou seja,
2 x -1 x 64 = - 128
6º Passo
Calcule os determinantes a seguir por triangulação:
Exercícios de determinantes
Cálculo de Determinante de ordem maior que 3