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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR - GAAL
Aula 11 
Walter Duarte Costa Filho
1º Semestre - 2011
Aula 11
Multiplicação de um Número Real por um 
Vetor
Dado: v ≠ 0 ( vetor ) e α≠ 0 (número real), temos:
I.Módulo: | α v | = | α | | v |
O comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicando por 
| α | . 
II. Direção: α v é paralelo a v.
III. Sentido: α v e v tem o mesmo sentido se α > 0 e contrário de α < 0. 
Se α = 0 ou v = 0 , então α v = 0.
ÂNGULO DE DOIS VETORES
Considerando dois vetores não nulos, o ângulo entre dois 
vetores é o ângulo θ formado por duas semi-retas OA e 
OB de mesma origem O, onde u = OA , v = OB e 0o 
≤ θ ≤ 180° .
�Se u // v e u e v tem o mesmo sentido: 
θ = 0.
�Se u // v e u e v tem sentido contrário: 
θ = 180 o.
Condição de Paralelismo:
Sendo: 
u e v - vetores 
α – número real qualquer
Versor de um vetor
• Considerando
O vetor u é versor do vetor v tal que: 
• O versor de um vetor é sempre o próprio vetor sobre seu 
módulo. Caso adquira sinal negativo, o seu versor será o vetor 
com sinal negativo sobre seu módulo. Ou seja, u é igual a 
• Módulo é igual a 1. Ou seja, é um vetor unitário
• Possui a mesma direção e o mesmo sentido de v
Soluções
3) Determinar os vetores, expressando-os com origem no ponto A.
• OC = AO e CH = FA , então AO + FA = FO = AE
• AH = AO e FG = AO, então AO + AO = AC
• 2AE = AD e 2AF = AB, então AD + AB = AC
• EH = AO e EF = EF, portanto AO + EF = FB
• EO = AF e BG = AE, então AF + AE = AO
• 2EO = CD e 2OC = AC, então AC + CD = AD
• ½BC = AE = OH e EH = AO, então OH + AO = AH
• FE + FG = FH = AD
• OG = AF e – HO = OH então OG + OH = OC = AO
• AF + FO + OC = AO
• AD + AB = AB + DC = AC
• BA + DA = CD + DA = CA
• AC – BC = AC + CB = AB
• NA + BC = NA + NM = AM
• MD + MB = BN + MB = MN
• BM - ½ DC = BM + ½ CD = BM + MD = BD
4) Determinar:
Exercício 14
1ª) Um quadrilátero que tem dois lados opostos 
paralelos e congruentes é uma paralelogramo.
Considerando o Δ ADC podemos escrever:
MN = ½ AC ( semelhança de triângulos ). 
Do mesmo modo Δ ABC, PQ = ½ AC.
Das expressões MN = PQ
2ª) Paralelogramo MPQN, as diagonais MQ e 
PN e E o ponto médio de PN e de MQ.
QE = QN + NE = PM + EP = EM
Logo E é o ponto médio de QM.
Exercício 16
Expressar os vetores AM e NA em função de AB e AC.
AM = AB + BM AC = AB + BC BC = AC - AB
AB + ½ BC
AB + ½ ( AC – AB )
AB + ½ AC – ½ AB
½ ( AB + AC )
AN = AB + BN BC = AC - AB
AB + ⅓ BC
AB + ⅓ ( AC – AB )
AB + ⅓ AC - ⅓ AB
AN = ⅔ AB + ⅓ AC