Aula_12_-_Geo_012011

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR - GAAL
Aula 12 
Walter Duarte Costa Filho
1º Semestre - 2011
Aula 12
VETORES EM R2 - TRATAMENTO 
ALGÉBRICO
Portanto temos sempre que v = a1 v1 + a2 v2 (equação I). 
Qualquer vetor é igual à soma de qualquer valor 
multiplicado por v1 e v2.
Os vetores são simbolizados por i e j com origem em “O” e 
extremidade em (1 , 0) e (0 , 1), sendo a base C = {i , j} 
camada canônica.
Portanto, i = (1 , 0) e j = (0 , 1)
Dado um vetor v qualquer do plano existe uma só dupla de número 
de x e y tal que:
v = x i + y j
x e y: são componentes de v 
na base canônica
x: abscissa de v
y: ordenada de v
O vetor v é representado por v = ( x , y ). Vetor no plano é um par 
ordenado(x , y) de números reais.
IGUALDADE DE VETORES
Dois vetores são iguais se, e somente se, u = ( x1 y1 ) e 
v =( x2 y2 ), x1 = x2 e y1 = y2.
Ex.: u = ( x + 1 , 4 ) v = ( 5 , 2y – 6 )
x + 1 = 5 x = 4, onde alterando na equação teremos: 
4 + 1 = 5
2y – 6 = 4 y = 5, onde alterando na equação teremos: 
2 . 5 – 6 = 4
SOMA DE VETORES
u = ( x1 y1 ) e v = ( x2 y2 ), define-se: u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Ex.: u = (3, 5 ) e v = ( 4 , 2 )
u + v = (3 + 4 , 5 + 2) = (7 , 7)
SUBTRAÇÃO DE VETORES
u = ( x1 y1 ) e v = ( x2 y2 ), define-se: u - v = (x1 - x2 , y1 - y2 )
Ex.: u = (8 , 3 ) e v = ( 5 , 1 )
u - v = (8 – 5 , 3 - 1) = (3 , 2)
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL 
POR UM VETOR
α u = (αx1 , αy1)
Ex.: u = ( 2 , 3 ) e α = 3 
3 u = ( 2 . 3 , 3 . 3 ) = ( 6 , 9 )
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Como 
Então
PONTO MÉDIO
x = x1 + x2 y1 + y2 , onde M = x1 + x2 y1 + y2
2 2 2 2 
Ex.: O ponto médio do segmento A (- 2 , 3 ) e B ( 6 , 2 ) é:
M = - 2 + 6 , 3 + 2 = 
2 2
M = ( 2 , 5/2 )
PARALELISMO DE DOIS VETORES
Dois vetores são paralelos quando se aplica a condição de 
igualdade e suas componentes forem proporcionais.
x1 = y1 = número qualquer 
x2 y2
Ex.: Os vetores u = ( - 2 , 3 ) e v = ( - 4 , 6 ) 
-2 = 3 são paralelos
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MÓDULO DE UM VETOR
O vetor v = (x , y) pelo Teorema de Pitágoras temos:
| v | = √ x2 + y 2