Teoria das Estruturas Mecânicas - Tensões de Cisalhamento na Flexão

Prévia do material em texto

Prof. José Carlos Morilla 1 Tensões de Cisalhamento na Flexão 
Tensões de Cisalhamento 
na Flexão 
 
 Nos pontos de uma seção 
transversal de uma barra submetida à 
flexão simples, além de uma tensão 
normal, atua também uma tensão de 
cisalhamento. 
 
 Não é difícil entender a 
presença desta tensão de 
cisalhamento. Deve-se lembrar que a 
presença de uma força cortante está 
relacionada à presença de tensões de 
cisalhamento nos pontos da seção. 
 
 O que não se pode pressupor é 
que a tensão de cisalhamento seja a 
mesma para todos os pontos da 
seção. A distribuição destas tensões 
recebe a influência do momento fletor 
que atua na seção. 
 
 Tome-se por exemplo uma 
barra solicitada à flexão, como mostra 
a figura 1. 
 
figura 1 – Barra submetida à flexão simples 
 
 Aplicada a força ocorrerão 
deformações nos pontos da barra que 
produzirão deslocamentos nas suas 
seções transversais como mostra a 
figura 2. 
figura 2 – Barra fletida submetida à flexão 
simples 
 
 Para que a barra da figura 2, 
assuma esta forma curva, é 
necessário que o comprimento das 
linhas paralelas ao eixo se 
modifiquem. É possível notar que a 
parte superior da barra fica com um 
comprimento maior que a parte 
inferior. 
 Para que esta mudança de 
comprimento ocorra é necessário que 
estas linhas tenham variações de 
comprimento diferentes. Assim, 
quando se toma, fibras da barra 
perpendiculares ao plano do 
momento, se nota a presença de 
tensões de cisalhamento entre estas 
fibras; decorrentes da diferença na 
variação de comprimento. Estas 
tensões podem ser observadas na 
figura 3 
 
figura 3 – Tensões de Cisalhamento na flexão 
simples. 
 
 A premissa, que as tensões não 
são constantes para todos os pontos 
da seção, fica clara na medida em que 
se observa a fibra neutra da barra. 
Acima dela ocorre uma tração e 
abaixo uma compressão, devendo 
existir portanto diferença entre as 
tensões de cisalhamento nestas 
posições. 
Determinação das Tensões de 
cisalhamento na flexão 
simples normal. 
 
Seja um elemento de barra, de 
comprimento dx, solicitado por uma 
flexão simples, como mostra a figura 
4. 
P
P
Posição Inicial
Posição Final
Tensões de Cisalhamento
Prof. José Carlos Morilla 2 Tensões de Cisalhamento na Flexão 
 
figura 4 – Elemento de barra submetido a uma 
flexão simples. 
 
 Quando se toma dois pontos 
quaisquer, correspondentes, nas 
seções transversais do elemento, 
nota-se que as tensões normais neles 
desenvolvidas são ligeiramente 
diferentes. Isto pode ser observado na 
figura 5 
 
figura 5 – Tensões em pontos 
correspondentes no elemento de barra 
submetido a uma flexão simples. 
 
 A tensão normal no ponto 
pertencente à seção da esquerda vale: 
 
z
M
y
 (1) 
 
A tensão normal no ponto 
pertencente à seção da direita vale: 
 
z
dMM
y
 (2) 
 
 Note-se que existe uma 
diferença de tensão: 
 
z
dM
d
y
 (3) 
 
 Quando se toma um trecho da 
área da seção transversal (
A
), obtido 
por meio de um corte paralelo ao 
eixo,que contenha os pontos em 
estudo, como mostra a figura 6, o 
equilíbrio de cada parte “separada 
pelo corte” só pode ser verificado caso 
existam tensões de cisalhamento na 
superfície do corte, como mostra a 
figura 7. 
 
figura 6 – Corte de largura b, no elemento de 
barra submetido a uma flexão simples. 
 
 
figura 7 – Tensões de cisalhamento na 
superfície de corte. 
 
Prof. José Carlos Morilla 3 Tensões de Cisalhamento na Flexão 
Assim, para que o equilíbrio 
aconteça é necessário que a 
resultante das tensões de 
cisalhamento, que atuam na área do 
corte, tenha o mesmo valor da 
resultante das tensões normais que 
aparecem no trecho de área 
A
. 
Considerando que a tensão de 
cisalhamento não varia na área de 
corte é possível escrever: 
 
Adddxb
A
 (4) 
 Substituindo-se a expressão 3 
na expressão 4, se encontra: 
 
Adz
dM
dxb
A y
 
 
 Como dM e Iy são constantes 
para a área 
A
, a expressão fica: 
 
Adz
dM
dxb
Ay
 (5) 
 
 Na expressão 5, a integral 
Adz
A
 é o Momento Estático da área 
A
 em relação ao eixo y da seção 
(
syM
). Pode-se então escrever: 
 
sy
y
dM
dxb M
 
 
sy
y dxb
dM
M
 
 
 Lembrando que 
V
dx
dM
 se 
encontra: 
 
y
sy
b
V M (6) 
 
 Lembrando que, em um ponto, 
as tensões de cisalhamento de planos 
perpendiculares entre si, possuem 
mesmo valor e sinais opostos, a 
tensão de cisalhamento que irá atuar 
no plano da seção do ponto estudado 
é: 
 
y
sy
b
V M (7) 
 
 A figura 8 mostra estas 
tensões. 
 
 
figura 8 – Tensões de cisalhamento na 
superfície de corte e na seção transversal. 
 
OBSERVAÇÕES 
1. Note-se na expressão 7 que, para 
uma dada seção transversal, a 
tensão de cisalhamento que atua 
em seus pontos depende, apenas 
do corte efetuado. Este corte 
define seu comprimento (b) e 
define a área 
A
. 
 
2. Como o par (y;z) é central de 
inércia, o momento estático da 
seção transversal em relação a 
qualquer um destes eixos é igual a 
zero. Assim, quando se divide esta 
área em duas partes, os momentos 
estáticos destas partes, em relação 
a um destes eixos, possuem o 
mesmo valor e sinais contrários. 
Desta forma, ao se efetuar um 
corte, qualquer que seja a parte da 
área da seção transversal, 
considerada como 
A
, a tensão de 
Prof. José Carlos Morilla 4 Tensões de Cisalhamento na Flexão 
cisalhamento encontrada terá o 
mesmo valor. 
 
3. Pelo resultado obtido na expressão 
7 e pelo que se pode observar na 
área 
A
 da figura 8, uma tensão de 
cisalhamento negativa é aquela de 
sentido tal que ela “entra” no corte. 
 
4. Na figura 8 é possível observar 
ainda que a tensão de 
cisalhamento obtida pela outra 
parte da seção tem sinal oposto 
(neste caso é positiva). 
 
5. Quando o sinal é positivo para a 
tensão de cisalhamento, seu 
sentido é tal que a tensão “sai” do 
corte. 
 
6. Note-se ainda, que embora as 
tensões, determinadas por 
A
 e 
pela outra parte da seção, tenha 
sinais e posições relativas ao corte 
opostas, seus sentidos perante à 
seção são os mesmos. 
 
7. A tensão de cisalhamento possui 
direção perpendicular ao corte 
efetuado. 
 
8. Como dito na observação 1, a 
tensão de cisalhamento é função 
do corte efetuado. Assim, para um 
mesmo ponto se obtêm tensões de 
cisalhamento diferentes para 
diferentes cortes que contenham 
este ponto. Isto pode ser 
observado na figura 9. 
 
figura 9 – Tensões de cisalhamento em um 
ponto para cortes diferentes. 
 
9. As tensões de cisalhamento em 
pontos de um mesmo corte, são 
iguais. 
 
10. Pode-se observar, pelas 
expressões 6 e 7, que a tensão de 
cisalhamento é inversamente 
proporcional o comprimento do 
corte. Assim, em um ponto da 
seção, a tensão máxima de 
cisalhamento que nele atua é 
perpendicular ao corte de menor 
comprimento que contenha o 
ponto. 
 
11. Pelas expressões 6 e 7, observa-
se, ainda, que a tensão de 
cisalhamento é diretamente 
proporcional ao momento estático 
em relação ao eixo, em torno do 
qual a seção “gira”. Lembrando do 
que foi dito na observação 2, é 
possível afirmar que a máxima 
tensão de cisalhamento ocorre 
quando o corte coincide com este 
eixo. ou seja; a máxima tensão de 
cisalhamento ocorre nos pontos da 
linha neutra e tem direção 
perpendicular a esta linha. 
 
12.Observando-se as figura 5 e 8 
nota-se que a tensão de 
cisalhamento de um ponto, obtida 
por meio de um corte perpendicular 
à direção da força cortante, tem 
sentido oposto a esta força 
cortante. Lembra-se aqui que: 
 
A
dAV
 
 
onde A é a área da seção transversal.