Estruturas Cristalinas e Índices de Miller

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Estruturas cristalinas [4]
14 reticulados de Bravais
triclínico (P); monoclínico (P, C); tetragonal (P, I); 
trigonal/romboédrico (R); hexagonal (P);
ortorrômbico (P, I, C, F); cúbico (P, I, F).
? Estruturas cristalinas:
1>
Estruturas cristalinas
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
Cúbico de Face Centrada (CFC)
Hexagonal Compacto (HC)
2>
Estruturas cristalinas
? Cristais cúbicos simples:
Parâmetro de rede – a = 2r
1/8 de átomo por vértice do cubo
Fator de empacotamento (FE):
a
b
c
a
b
c
cubo
atomos
V
VFE =
6)r2(
1
3
r4FE 3
3 π=


⋅⋅

 ⋅π⋅=
FE = 0,52
3>
Estruturas cristalinas
a
b
c
a
b
c
? Cristais cúbicos CCC:
Parâmetro de rede – a = 
1/8 de átomo por vértice do cubo
+
1 átomo no interior da célula
Fator de empacotamento (FE):
FE = 0,68
3
r4 ⋅
4>
Estruturas cristalinas
? Cristais cúbicos CFC:
Parâmetro de rede – a = 
1/8 de átomo por vértice do cubo
+
1/2 átomo em cada face da célula
Fator de empacotamento (FE):
FE = 0,74
2
r4 ⋅
a
b
c
a
b
c
5>
Estruturas cristalinas
a
b
c
? Cristais cúbicos complexos:
(diamante)
1/8 de átomo por vértice do cubo
+
1/2 átomo em cada face da célula
+
4 átomos dentro da célula
Fator de empacotamento: FE = 0,34
ab
c
ab
c
a
b
c
6>
Estruturas cristalinas
a
b
c
? Aspecto dos cristais cúbicos :
a
b
c
a
b
c
Cúbico
Simples
Cúbico
Face
Centrada
Cúbico
Corpo
Centrado
a
b
c
Cúbico
complexo
(diamante)
7>
Estruturas cristalinas
? Cristais hexagonais HC:
Parâmetros de rede – a e c
1/6 de átomo por vértice da base
+
1/2 átomo em base hexagonal
+
3 átomos no interior da célula
Fator de empacotamento (FE):
FE = 0,74
a
b
c
a
b
c
a
b
c
8>
Estruturas cristalinas
? Cristais: átomos ocupam posições pré-estabelecidas,
de acordo com o sistema cristalino utilizado.
? Propriedades dependem da orientação
Exemplos: permeabilidade magnética – CCC:{110}<001>
deformação plástica – CFC: {111}<110>
fratura frágil – HC: {0001}
direções cristalinas
? Orientação cristalográfica
planos cristalinos
9>
Estruturas cristalinas
? Índices de Miller: notação utilizada para identificar 
direções e planos cristalinos.
? Simbologia: direções cristalinas – [hkl] ou <hkl>
planos cristalinos – (hkl) ou {hkl}
a
b
c
Cristal cúbico
[100]
[010]
[001]
[101]
[111]
10>
Estruturas cristalinas
? Índices de Miller:
Planos cristalinos
(hkl)
a
b
c
Cristal cúbico
(100)
(010)
(001)
(101)
(111) a
b
c
11>
Estruturas cristalinas
Cristal hexagonal
[0001]
a1
a2
a3
[1010]
_
[1120]
_
[0110]
_
[1011]
_
? Índices de Miller:
Direções cristalinas
[hkil] ou [hk·l]
i = - (h + k)
12>
Estruturas cristalinas
? Índices de Miller:
Planos cristalinos
(hkil) ou (hk·l)
i = - (h + k)
Cristal hexagonal
(0001)
(1010)
_
(1101)
_
a1
a2
a3
(1120)
__
13>
Estruturas cristalinas
? Espaçamento interplanar:
dhkl
? metais cúbicos:
? metais hexagonais:
a
b
c
d010
222
o
hkl
lkh
ad
++
=



 ++⋅+
⋅=
2
2
22
2
o
hkl l
c
kkhh
a3d
(010)
14>
Estruturas cristalinas
? Ângulo interplanar φ:
? metais cúbicos:
? metais hexagonais:
a
b
c
φ
)lkh()lkh(
llkkhhcos
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
++⋅++
⋅+⋅+⋅=φ
)l
c4
a3khkh()l
c4
a3khkh(
ll
c4
a3)hkkh(
2
1kkhh
cos
2
22
2
22
2
2
2
2
2
12
2
11
2
1
2
1
212
2
21212121
+⋅++⋅+⋅++
⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=φ
(010)(110)
_
15>
Estruturas cristalinas
Bibliografia:
? Van Vlack, L. H. Princípios de Ciência dos Materiais. 
Ed. Edgard Blucher, São Paulo, 1970, pp. 53-66.
? Guy, A. G. Ciência dos Materiais. LTC/Edusp, 
São Paulo, 1980, pp. 20-33.
? Reed-Hill, R. E. Princípios de Metalurgia Física. 
Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1982, pp. 4-21.
? Cullity, B. D. Elements of X-Ray Diffraction. Addison-
Wesley Publishing Co., Reading, 1978, pp. 33-58.
16
Notas de aula preparadas pelo Prof. Juno Gallego para a disciplina Materiais de Construção Mecânica I.
® 2004. Permitida a impressão e divulgação. http://www.jornal.dem.feis.unesp.br/caderneta/
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