análise de circuito

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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 Acreditamos que, como nós, você lute “por um Brasil melhor” na perspectiva do desenvolvimento da 
Educação Profissional 
 Você encontrará um material inovador que orientará o seu trabalho na realização das atividades 
propostas. Além disso, percebera por meio de recursos diversos como é fascinante o mundo da “Educação 
Profissional”. Gradativamente, dominará competências e habilidades para que seja um profissional de 
sucesso. 
 Participe de direito e de fato deste Curso de Educação a Distância, que prioriza as habilidades 
necessárias para execução de seu plano de estudo: 
• Você precisa ler todo o material de Ensino; 
• Você deve realizar toda as atividades propostas; 
• Você precisa organizar-se para estudar 
 
 Abra, leia, aproveite e acredite que “as chaves estão sendo entregues, logo as portas se abriram”. 
 Esta disposto a aceitar o convite? 
 Contamos com a sua participação para tornar este objetivo em realidade. 
 
 
 Equipe Polivalente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTECOLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTECOLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTECOLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE 
“Qualidade na Arte de Ensinar”“Qualidade na Arte de Ensinar”“Qualidade na Arte de Ensinar”“Qualidade na Arte de Ensinar” 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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ANÁLISE DE CIRCUITO 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
SUMÁRIO ..................................................................................................................... 2 
INTRODUÇÃO...............................................................................................................3 
 
UNIDADE I ................................................................................................................... 5 
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA ...................................................... 5 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA TENSÃO SENOIDAL ................................................. 5 
MAIS UM EXEMPLO: ................................................................................................... 6 
DIAGRAMA FASORIAL ................................................................................................. 6 
ANGULO DE FASE INICIAL ........................................................................................... 6 
 
UNIDADE - II ................................................................................................................ 7 
CIRCUITOS RESISTIVOS EM C.A. ................................................................................. 7 
 
UNIDADE - III ............................................................................................................... 8 
O TRANSFORMADOR ................................................................................................... 8 
 
UNIDADE IV................................................................................................................ 11 
GERAÇÃO DE UMA TENSÃO E CORRENTE ALTERNADA ...................................................... 11 
VALOR RMS ............................................................................................................. 11 
SISTEMA TRIFÁSICO .................................................................................................... 11 
 
UNIDADE – V .............................................................................................................. 12 
TEORIA DE CIRCUITOS ............................................................................................. 12 
 
UNIDADES VI .............................................................................................................. 13 
TIPOS DE RESISTORES ................................................................................................ 13 
RESISTORES FIXOS .................................................................................................. 13 
TIPOS DE RESISTORES FIXOS ................................................................................... 13 
TIPOS DE RESISTORES VARIÁVEIS ................................................................................ 13 
RESISTORES AJUSTÁVEIS ......................................................................................... 13 
RESISTORES ESPECIAIS............................................................................................... 14 
SÍMBOLO DA RESISTÊNCIA E LEI DE OHM .................................................................. 15 
 
UNIDADE VII .............................................................................................................. 15 
LEI DAS CORRENTES ................................................................................................... 15 
 
UNIDADE VIII ............................................................................................................. 16 
LEIS .......................................................................................................................... 16 
 
UNIDADE IX................................................................................................................ 19 
TEOREMA DE THEVENIN ............................................................................................... 19 
 
UNIDADE X ................................................................................................................. 20 
EQUIVALENTE DE NORTON ........................................................................................ 20 
TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO ....................................................................................... 20 
 
UNIDADE XI................................................................................................................ 22 
ASSOCIAÇÃO SÉRIE DE RESISTORES ......................................................................... 22 
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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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3 
ASSOCIAÇÃO DE BIPOLOS RESISTIVOS ...................................................................... 22 
MALHA DE RESISTORES ............................................................................................ 22 
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES NÃO LINEARES ............................................................ 23 
ASSOCIAÇÃO PARALELO ........................................................................................... 23 
DE RESISTORES NÃO LINEARES ................................................................................ 23 
CONVENÇÃO TENSÃO E CORRENTE ............................................................................ 23 
 
UNIDADE XII .............................................................................................................. 28 
INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................. 28 
ELEMENTOS COMPLEXOS ESPECIAIS .......................................................................... 28 
OPERAÇÕES BÁSICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS ...................................................... 29 
NÚMERO COMPLEXO COMO MATRIZ ........................................................................... 29 
EXERCÍCIOS ........................................................................................................29 
SUGESTÕES BIBLIOGRÁFICAS: .............................................................................. 32 
REFLEXÃO: .............................................................................................................. 32 
GLOSSÁRIO ............................................................................................................. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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ANÁLISE DE CIRCUITO 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 Você está iniciando o estudo do Módulo – ANÁLISE DE CIRCUITO. Você terá contato com teorias 
importantes que vão proporcionar um desempenho eficiente durante o seu Curso. 
O módulo está dividido em 12 Unidades: UNIDADE I: Análise de Circuito em Corrente Alternada, 
Representação Gráfica de uma Tensão Senoidal, Diagrama Fasorial, Ângulo de Fase Inicial; UNIDADE II: 
Circuitos Resistivos em Corrente Alternada; UNIDADE III: O Transformador; UNIDADE IV: Geração de uma 
Tensão e Corrente Alternada, Valo RMS, Sistema Trifásico; UNIDADE V: Teoria de Circuitos; UNIDADES VI: 
Tipos de Resistores, Resistores Fixos, Tipos de Resistores Fixos, Tipos de Resistores Variáveis, Resistores 
Ajustáveis, Resistores Especiais, Símbolo da Resistência e Lei do OHM; UNIDADE VII: Lei das Correntes; 
UNIDADE VIII: Leis, UNIDADE IX: Teorema de Thevenin; UNIDADE X: Equivalente de Norton; Teorema da 
Sobreposição; UNIDADE XI: Associação Série de Resistores, Associação de Bipolos Resistivos, Malha de 
Resistores, Associação de Resistores não Lineares, Associação Paralelo de Resistores não Lineares, Convenção 
Tensão e Corrente; UNIDADE XII: Introdução aos Números Complexos, Elementos Complexos Especiais, 
Operações Básicas com Números Complexos, Número Complexo como Matriz. 
Nossa linha de trabalho abre um caminho atraente e seguro pela seqüência das atividades – leitura, 
interpretação, reflexão – e pela variedade de propostas que mostram maneiras de pensar e agir, que recriam 
situações de aprendizagem. 
 As aprendizagens teóricas são acompanhadas de sua contrapartida prática, pois se aprende melhor 
fazendo. Tais práticas são momentos de aplicação privilegiados, oportunidades por excelência, de demonstrar o 
saber adquirido. 
 Nessa perspectiva, dois objetivos principais serão perseguidos neste material. De um lado, torná-lo 
habilitado a aproveitar os frutos da aprendizagem, desses saberes que lhe são oferecidos de muitas maneiras, 
em seu estudo, ou até pela mídia – jornais, revistas, rádio, televisão e outros - pois sabendo como foram 
construídos poderá melhor julgar o seu valor. Por outro lado, capacitando-se para construir novos saberes. Daí 
a necessidade do seu estágio para aliar a teoria à prática. 
-lo mais capaz de construir novos saberes. Daí a necessidade do seu estágio para a aliar teoria à prática. 
 
 A soma de esforços para que estes módulos respondessem as suas necessidades, só foi possível mediante a 
ação conjunta da Equipe Polivalente. 
 Nossa intenção é conduzir um diálogo para o ensino-aprendizagem com vistas a conscientização, 
participação para ação do aluno sobre a realidade em que vive. 
 
 A Coordenação e Tutores/Professores irá acompanhá-lo em todo o seu percurso de estudo, onde as 
suas dúvidas serão sanadas, bastando para isso acessar o nosso site: 
www.colegiopolivalente.com.br. 
 Equipe Polivalente 
 
 
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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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UNIDADE I 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM 
CORRENTE ALTERNADA 
 
PREFÁCIO 
Para você que está começando o estudo de 
circuitos em CA usando esta apostila, 
congratulações. 
Este é o caminho. Quero lembrar que as 
introduções teóricas estão resumidas e que você 
pode encontrar mais na bibliografia citada. Boa 
sorte !! 
 
TENSÃO SENOIDAL���� 
É uma tensão que segue uma lei senoidal, 
a expressão matemática é: v(t)= VM.sen(wt + 
o) 
 
Onde VM ( em V ) é o valor de pico e w 
(em rd/s) é a freqüência angular e 0 (rd/s) é o 
ângulo de fase inicial. A Fig01a mostra a sua 
representação gráfica em função do tempo e a 
Fig01b o gráfico em função do angulo. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
TENSÃO SENOIDAL 
 
 
 
 
Fig01: Representação gráfica de uma 
tensão senoidal temporal ( a ) Angular ( b ) 
 
 
Na Fig01, VPP (em V) é chamado de 
tensão de pico a pico, T (em s) é o período (tempo 
que o fenômeno leva para se repetir ). 
 
�
 senoidal – representação gráfica do movimento 
vibratório. 
Pelos gráficos da Fig01 tiramos as 
seguintes conclusões: como =w.t se =2 t 
= T logo 2 = w.T ou w = 2 /T 
 
 
Ao numero de ciclos completados por 
segundos chamamos de freqüência (f) sendo que a 
freqüência então pode ser calculada por: 
f =1/T ( Hz ) logo podemos também 
escrever que w = 2 .f 
Para uma tensão senoidal definimos o seu 
valor eficaz (VRMS ou VEF) como sendo igual ao 
valor de uma tensão contínua que produzirá a 
mesma dissipação de potência que a tensão 
alternada em questão. No caso de uma tensão 
senoidal o seu valor eficaz é calculado por: 
 
 
Para a tensão representada na Fig01 os 
seus parâmetros serão: 
VM = 10V VPP =20V VRMS =7,07V 
T = 0,01s = 10ms 
f = 1/0,01 = 100 ciclos/s = 100Hz 
w = 2 .100 = 200. rd/s 0 =0 
 
Exercício 1 
Representar as seguintes tensões 
senoidais: 
 
v1(t) = 15.sen(2. .103.t ) ( V ) 
v2(t) = 20.sen(2. .103.t + /2 ) ( V ). 
 
 
 
Solução: 
 
 
Idem para as tensões: 
v1( t ) = 5.sen ( .104.t + /2 ) ( V ) 
v2 ( t ) =5.sen( .104.t - /2 ) ( V ) 
 
 
 
 
Solução: 
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Obs: - /2 = 3 /2 ( -90º = 270º) 
Observe que as duas tensões estão 
defasadas entre si de 180º. 
 
MAIS UM EXEMPLO: 
 
V1(t) = 155.sen(120. .t - /4 ) ( V ) 
V2(t) = 155.sen (120 .t)(V) 
 
Solução: 
 
 
DIAGRAMA FASORIAL 
É uma outra forma de caracterizar uma 
tensão senoidal. A Fig02 mostra como é construído 
o diagrama fasorial. 
 
 
 
Fig02: Diagrama fasorial – Referencia Livros: 
Analise de Circuitos em CA e Circuitos em CA – 
Editora Érica – Rômulo Oliveira Albuquerque 
 
O diagrama da Fig02a representa a tensão 
da Fig02b que no caso, no instante t=0 vale zero 
e portanto a expressão da tensão em função do 
tempo é: v(t) =VM.sen(wt) pois 0 ( angulo de 
fase inicial ) vale zero. Caso a tensão tivesse um 
angulo inicial, a expressão seria dada por : 
v(t) =VM.sen(wt+ 0) se a tensão estiver 
adiantada e v(t) =VM.sen(wt - 0) se atrasada. 
 
ANGULO DE FASE INICIAL 
 
 
 
 
SINAL ATRASADO 
 
 
Fig03: Diagrama fasorial com angulo de fase inicial 
Positivo (tensão adiantada) (a) Negativa (tensão 
atrasada) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE - II 
 
CIRCUITOS RESISTIVOS EM C.A. 
 
Em um circuito puramente resistivo (só 
com resistências) alimentado com uma tensão 
alternada (CA) a tensão e a corrente estão em 
fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de 
ohm, isto é: 
U =R.I ou I = U/R sendo que usamos 
valores eficazes para I e U. 
Em termos de diagrama fasorial significa 
que os fasores representativos da tensão e da 
corrente estão em fase. A Fig04 mostra o 
diagrama fasorial da tensão e da corrente e o 
circuito. 
 
 
 
Fig04: Circuito puramente resistivo (a) 
Diagrama fasorial de um circuito puramente 
resistivo (b) 
 
 
 
Exercício 2: Circuito serie alimentado por 
uma tensão alternada 12V/60Hz 
 
No circuito da Fig05 os valores calculados 
são: I = 4mA U1 = 3V U2 = 9V eficazes !!! 
 
 
 
 
 
 Fig05: Circuito puramente resistivo em CA 
- Medida da corrente e tensões (a) – Formas de 
onda da tensão de entrada e da corrente (b) – 
Circuito com o osciloscópio para obter as formas de 
onda (c) 
 
Observe que as formas de onda indicadas 
pelo osciloscópio���� são a tensão de entrada 
(terminal preto) e a tensão no resistor R2 (o 
osciloscópio mostra a forma de onda em relação ao 
terra !!!). 
 
 
Obs: A forma de onda da tensão em qualquer 
resistor será igual à forma de onda da corrente, de 
forma que a forma de onda em R2 será a forma de 
onda da corrente. 
 
 
 
�
 osciloscópio – aparelho que registra as oscilações das 
correntes alternadas. 
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UNIDADE - III 
 
O TRANSFORMADOR 
 
OBJETIVOS 
Verificar experimentalmente a existência 
de tensões induzidas por um campo magnético 
variável e importância deste fenômeno em circuitos 
e dispositivos simples. 
Estudar como funciona um transformador 
em altas e baixas freqüência 
 
 
1. TENSÃO INDUZIDA 
 
 
Faça duas bobinas� improvisadas em fio 
isolado (porquê isolado?) com alguns cm de 
diâmetro e algumas dezenas de espiras. Pode fixar 
o conjunto com fita gomada ou um pedaço de fio. 
 
Quando percorrida por corrente alternada 
uma das espiras vai gerar um campo magnético 
variável: para isso pode ser alimentada pelo 
gerador de funções. (Não use freqüências baixas 
porque para estas o gerador vê um curto-circuito, 
prejudicando o andar de saída do equipamento.) 
A outra bobina será receptora de uma 
força: a eletromotriz induzida é de valor 
significativo, se estiver na vizinhança da primeira. 
Esta f.e.m pode ser medida, p. ex. num dos canais 
do osciloscópio, na figura por comodidade 
representada por um voltímetro. 
Este conjunto de duas bobinas, forma um 
transformador: a bobina geradora será o chamado 
primário e a receptora o secundário. Em geral num 
transformador o primário e secundário estão o mais 
próximo possível, para permitir transferir toda a 
energia de um enrolamento para o outro, 
minimizando a dispersão�. 
 
 
�
 bobina – parte dos instrumentos de física formada de um 
fio metálico enrolado em um carretel. 
�
 dispersão – perda de energia. 
 
 
 
2. EFEITO DE BOBINAS EM VÁRIAS 
POSIÇÕES 
Podemos experimentar movimentar a 
bobina receptora entre as duas posições: dois 
planos paralelos ou dois planos perpendiculares. 
Podemos ver que numa destas posições a 
tensão induzida tem um valor praticamente nulo. 
 
 
Na foto as duas bobinas situam-se em 
planos perpendiculares. 
Nesta posição relativa, a tensão induzida é 
máxima ou mínima? 
 
OBS: Leitura correta no osciloscópio. 
 
Podemos ainda verificar se quando se 
invertem as ligações, a tensão induzida vem ou não 
em oposição de fase. Para tal use o osciloscópio. 
Qual o erro de medida que pode ser cometido? 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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Pode fazer um transformador para alta 
freqüência com este fio torcido. Como ligar as 
pontas? 
Baseado nos fenômenos apresentados 
idealize uma aplicação para o par torcido. 
 
NÚMERO DE ESPIRAS 
Nos transformadores convencionais a 
freqüência aplicada, é a da rede, ou seja, 50Hz e 
têm em geral um número de espiras elevado 
(muitas centenas ou alguns milhares de espiras). 
Se as freqüências for mais elevadas podem reduzir 
o número de espiras. Por isso neste ensaio, (em 
que é prático usar poucas espiras), usamos alta 
freqüência. 
Para diminuir o número de espiras, 
aumenta-se a permeabilidade magnética do meio, 
ou seja, usa-se um núcleo especial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Núcleo de transformador com bobina de 
enrolamento primário. 
Basta enrolar mais uma bobina e o 
dispositivo passa funcionar como um 
transformador. 
Núcleo toroidal de transformador. 
Faça um gráfico do valor da tensão 
induzida em função do número de espiras e 
verifique que: 
 
 
 
Símbolo do transformador: 
 
 
Em que e1 e e2 são os valores eficazes 
das tensões nos diversos secundários, medidas em 
vazio (resistência de carga infinita) e n1 e n2 o 
respectivo número de espiras����. 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA INTERNA 
Haver tensão de valor significativo no 
secundário, pode ser importante em muitos 
circuitos. Mas nos circuitos em que se pretende 
transmitir potência interessa também que a 
resistência� interna seja suficientemente baixa, 
ou seja, que o dispositivo tenha “capacidade” de 
fornecer corrente com o valor de tensão requerido 
pela aplicação em causa. 
Pretendemos em geral, que não haja uma 
queda de tensão significativa para o consumo de 
corrente pretendido. Dito de outro modo 
precisamos de um gerador de tensão que se 
aproxime do ideal, ou seja, que tenha uma 
resistência interna nula. 
Para avaliar o valor da resistência interna, 
podemos colocar uma resistência de carga em 
paralelo com a saída e medir de novo a tensão. 
Com mais 3 ou 4 valores poderemos traçar 
um gráfico aproximado. A partir deste podemos 
determinar o esquema equivalente aproximado: a 
tensão em vazio bem como a resistência interna, a 
partir da queda de tensão e da corrente, supondo 
 
�
 espiras – cada volta da aspiral; configuração da aspiral; 
cada rosca de um parafuso. 
�
 resistência – propriedade que tem uma substância de 
opor-se à passagem de corrente elétrica ou calorífica. 
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numa primeira aproximação, que o circuito é 
resistivo puro. 
 
 
DEMONSTRAÇÃO DO TRANSFORMADOR 
O transformador���� de tensão é um 
dispositivo que funciona baseado na indução 
eletromagnética (consultar Circuitos em Corrente 
Alternada ou Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Ed. Érica) e consiste basicamente de 
dois enrolamentos (várias voltas de fio) um 
chamado de enrolamento primário no qual será 
aplicado uma tensão UP, e o enrolamento 
secundário no qual será induzida a tensão 
secundária US. A relação entre as duas tensões 
depende do número de espiras do secundário (NS) 
e do primário (NP) , sendo dada por : 
 
 
 onde n é chamada de relação de 
transformação 
 
 
ASPECTO DE TRANSFORMADORES 
COMERCIAIS 
 
 
 
�
 Transformador - aparelho que, recebendo uma corrente 
elétrica, lhe modifica a tensão ou a voltagem. 
Face superior e inferior dum transformador 
de 4VA encapsulado em resina com pinos para 
montagem em circuito impresso. 
APLICAÇÕES DOS TRANSFORMADORESSão usados em geral no transporte de 
energia: 
Em baixa freqüência, (50Hz), os 
transformadores são usados na quase maioria das 
fontes de alimentação ditas lineares����. 
Em alta freqüência, são usados em fontes 
de alimentação de comutação (“switching”), por 
exemplo, nos computadores e monitores de vídeo 
convencionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�
 lineares – relativo a linhas, semelhantes a uma linha. 
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UNIDADE IV 
 
GERAÇÃO DE UMA TENSÃO E 
CORRENTE ALTERNADA 
 
ALIMENTAÇÃO ELÉTRICA 
Geração e transmissão de energia 
Em todo o mundo, a energia elétrica é 
obtida a partir da conversão de outras formas de 
energia tais como Energia Gravitacional 
(hidroelétricas), Energia Térmica (usinas 
termoelétricas convencionais ou nucleares), 
Energia dos Ventos (Usinas Eólicas), Energia 
Luminosa (Células Solares), Energia das Marés. 
Atualmente os métodos mais usados para 
gerar energia em grandes quantidades são as 
usinas hidroelétricas e termoelétricas. No entanto 
outras fontes como eólica e solar vêm aumentada 
sua participação no “mix” de energia. 
Estes processos de geração em geral usam 
turbinas que são movidas pela água em queda, ou 
vapor d’água em expansão. 
Estas turbinas giram, em alta velocidade, 
grandes magnetos que estão próximos a enormes 
bobinas. A oscilação do campo magnético gera uma 
tensão elétrica induzida, também oscilante, com 
uma freqüência fixa (60 Hz). 
Esta tensão elétrica é, então, conduzida 
por linhas de transmissão de alta voltagem e 
corrente, até subestações. 
Nas subestações a tensão é reduzida até 
cerca de 13.8kV, e é então conduzida até 
transformadores localizados nas ruas. 
Estes transformadores, finalmente, geram 
a tensão alternada que alimenta nossas casas. 
 
A REDE ELÉTRICA PADRÃO 
 
VALOR RMS 
Os transformadores das ruas reduzem a 
tensão para o valor típico de 110V, encontrado nas 
tomadas das residências. 
Mas que valor é esse ? 
Lembrando que a tensão elétrica é uma 
forma de onda senoidal, com freqüência definida, o 
valor de 110V corresponde a uma tensão contínua 
cuja potência efetiva (a integral da energia no 
tempo) seja igual à potência efetiva da tensão 
senoidal. 
Este é o valor RMS - Root Mean 
Squared, da tensão da rede, e é o valor sempre 
citado quando nos referimos a alimentação 
alternada. 
 
Conforme veremos, o valor RMS de um 
sinal alternado com amplitude Vac é VRMS= 
Vac/?2 
 
 
SISTEMA TRIFÁSICO 
 
A ORIGEM DAS FASES 
Na geração elétrica, para cada ciclo de 
rotação, tensões são induzidas em diferentes 
bobinas, aproveitando assim mais eficientemente o 
processo. 
As tensões nas diversas bobinas estarão, 
portanto, defasadas entre si. 
No sistema padrão de alimentação, 
denominado sistema trifásico, utiliza-se três fases 
com tensões senoidais idênticas mas defasadas de 
120 e 240 graus em relação a uma tensão de 
referência. 
A tensão RMS entre cada fase e um fio 
denominado neutro, é de 110V. 
A tensão RMS entre fases é de 220V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE – V 
 
TEORIA DE CIRCUITOS 
 
Desenvolvida a partir de medidas 
experimentais dos fenômenos elétricos. 
Atualmente, pode ser vista como uma 
simplificação da Teoria Eletromagnética (Leis de 
Maxwell). 
É apresentada como concebida por 
Kirchhoff. 
Conceitos fundamentais: corrente e tensão 
elétricas. 
Bipolo: dispositivo contendo 2 terminais 
condutores 
 
 
 
A cada bipolo estão associadas uma 
corrente (que o atravessa) e uma tensão (entre 
seus terminais). 
 
LEI DE OHM 
 
Em certos materiais condutores a relação 
entre a tensão aplicada e a corrente que flui por 
ele, a uma dada temperatura, é constante. Neste 
caso dizemos que o condutor obedece a lei de 
Ohm, que pode ser formalizada pela equação que 
se segue: 
 
I
Vk = (1.1) 
A constante de proporcionalidade é 
conhecida como resistência e a equação acima 
pode ser reescrita como: 
 
I
VR = (1.2) 
 
Assim, a lei de Ohm se baseia na relação 
linear entre a tensão e a corrente. Entretanto, uma 
resistência cujo valor não permanece constante é 
definida como uma resistência não-linear 
(filamento da lâmpada incandescente, por 
exemplo). 
 
Resistência: é a propriedade de um 
material se opor ao fluxo de corrente elétrica e 
dissipar potência. 
Resistor: um componente especificamente 
projetado para possuir resistência. 
 
R E S I S T O R E S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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13
 
 
 
UNIDADES VI 
 
TIPOS DE RESISTORES 
 
OS RESISTORES PODEM SER FIXOS OU 
VARIÁVEIS. 
 
RESISTORES FIXOS 
São aqueles que tem apenas um valor 
especificado de resistência e não pode ser alterado. 
Os resistores fixos são construídos em três 
variedades básicas: de composição (carvão ou 
carbono), de fio (bobinados) e metal filme 
(metalizados). Essas variedades diferem, 
principalmente, pelo material que constitui a 
resistência. 
 
TIPOS DE RESISTORES FIXOS 
 
RESISTORES DE COMPOSIÇÃO 
(CARVÃO OU CARBONO) 
Consiste de uma barra cilíndrica de carvão 
de pequeno diâmetro (semelhante ao grafite de um 
lápis), com terminais de ligação presos nos 
extremos. A peça pode ser toda isolada ou não. 
A tendência moderna é isolá-los com uma 
camada esmaltada, com exceção dos terminais. A 
cor do esmalte é aplicada segundo um código de 
cores que indica as especificações do resistor (vide 
item 7.2). 
Vantagens e desvantagens: são resistores 
baratos, comuns e de pequenas dimensões. São 
produzidos com valores da ordem de alguns ohms 
até megaohms e obtidos com o mesmo tamanho de 
forma. São fabricados com potência de dissipação 
de 1/8 W até 3 W. 
 
 
RESISTORES DE FIO (BOBINADOS) 
São construídos enrolando-se o fio, como 
por exemplo o níquel-cromo, sobre o bastão de 
fibra de vidro, óxido de berilo ou forma cilíndrica e 
utilizando como isolante de acabamento o cimento, 
a baquelite, o silicone ou esmalte vitrificado. Os 
extremos do enrolamento são presos por peças 
metálicas para soldagem dos terminais. 
Vantagens e desvantagens: são produzidos 
com valores que variam de 1 até 100.000 ohms e 
a sua dissipação de potência atinge até 1.000 W. 
Apresentam geometrias que crescem de acordo 
com o seu valor ôhmico e com a dissipação 
permitida. Normalmente tem as suas especificações 
impressas no próprio corpo do resistor. 
 
 
RESISTORES DE METAL FILME 
(METALIZADOS) 
São constituídos usando-se uma película 
metálica ou composta, por cima de um núcleo 
isolante. Possuem a aparência externa muito 
parecida com a dos resistores de carvão e utilizam 
o mesmo código de cores para a sua identificação. 
Vantagens e desvantagens: são bastante 
precisos e estáveis, por isso também são chamados 
de resistores de precisão, pois consegue-se valores 
que atingem até 1% de tolerância. São isentos dos 
problemas dos efeitos indutivos comuns as 
unidades de fio, o que é importante emaltas 
freqüências. 
 
 
RESISTORES VARIÁVEIS 
 
 
 
São dispositivos que podem ter alterada a 
resistência que apresentam num circuito quando 
em funcionamento. 
Os resistores variáveis são subdivididos 
em: resistores ajustáveis, reostatos e 
potenciômetros. 
 
TIPOS DE RESISTORES VARIÁVEIS 
 
RESISTORES AJUSTÁVEIS 
Possuem três terminais, sendo o central 
(cursor) móvel, permitindo sua ajustagem através 
da fixação do referido cursor por um parafuso ou 
dispositivo semelhante. 
Entre os resistores ajustáveis estão os 
potenciômetros do tipo “trim-pot”. 
Através de um trim-pot, podemos ajustar a 
resistência para um determinado valor a fim de que 
se obtenha um melhor funcionamento do circuito. 
Os trim-pots possuem três terminais de ligação e 
permitem a variação de resistência entre zero e um 
valor final que é o valor “nominal” do componente. 
 
 
REOSTATOS 
São resistores variáveis, que podem ser 
constituídos de fio ou composição. Diferem dos 
potenciômetros somente pela maneira de como são 
colocados nos circuitos. São ligados em série com o 
dispositivo sobre o qual irão atuar. 
 
 
POTENCIÔMETROS 
São resistores variáveis ligados em 
paralelo com o elemento sobre o qual vão atuar. 
Os potenciômetros poderão ser lineares ou 
logarítmicos, isto é, a variação de R poderá ser 
linear ou não em relação ao movimento do cursor. 
A ligação dos potenciômetros é feita 
soldando-se os fios de ligação nos terminais, em 
número de três, existentes em seu corpo, podendo 
funcionar então como um divisor de tensão. Em 
algumas aplicações podemos utilizar apenas dois 
dos terminais, caso em que dizemos que o 
dispositivo funciona como um “reostato”.� 
 
�
 reostato – aparelho que permite fazer variar a 
intensidade da corrente elétrica e que se utiliza para 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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1.1 - CÓDIGO DE CORES: 
 
Cor Algarismo 1 Algarismo 2 Multiplicador Tolerância 
Preto 0 0 x 1 - 
Marrom 1 1 x 10 1 % 
Vermelho 2 2 x 100 2 % 
Laranja 3 3 x 1.000 3 % 
Amarelo 4 4 x 10.000 4% 
Verde 5 5 x 100.000 - 
Azul 6 6 x 1.000.000 - 
Violeta 7 7 - - 
Cinza 8 8 - - 
Branco 9 9 - - 
Prata - - x 0,01 10 % 
Ouro - - x 0,1 5 % 
 
Um problema importante para a utilização 
dos resistores está na leitura de seus valores, já 
eles (com algumas exceções, como os resistores de 
fio) não vem marcado no invólucro por meio de 
números, mas sim através de faixas coloridas, 
segundo um código de cores. 
A primeira faixa corresponde ao algarismo 
de maior ordem no valor ôhmico. A segunda indica 
o segundo algarismo; a terceira, o número de zeros 
e a quarta, a tolerância do resistor. A ausência da 
quarta faixa indica 20% de tolerância. (VER 
TABELA DO CÓDIGO DE CORES). 
 
 
ESPECIFICAÇÃO DE RESISTORES 
Duas são as especificações principais 
encontradas nos resistores: a sua resistência (com 
a sua tolerância) e a sua dissipação de potência. 
A resistência que é dada em ohms, diz “o 
quanto de oposição” o resistor oferece a passagem 
da corrente, podendo variar entre 0,1 ohm e 
22.000.000 ohms para os tipos comuns. 
A potência diz quanto de corrente ele pode 
suportar sob determinada tensão, o que quer dizer 
quanto de calor ele pode gerar na tarefa de 
“oferecer uma resistência”. 
Nos resistores construídos com fios 
resistivos, a potência dissipada dependerá de 
vários fatores como, por exemplo, do volume do 
resistor, do suporte utilizado, do espaçamento 
entre as espiras, do diâmetro e da natureza do fio, 
etc. 
Nos resistores de composição, a potência 
dissipada dependerá do isolamento utilizado, do 
material suporte (se bom ou mau condutor de 
calor), e da área da superfície do material 
componente; normalmente a potência dissipada de 
um resistor de composição está diretamente 
associada ao seu tamanho, já que a quantidade de 
calor que pode ser transferida ao meio ambiente 
depende de sua superfície de contato com ele. 
A corrente máxima permitida em um 
resistor é especificado para P watts e é dada pela 
fórmula: 
I 2 = P/R. 
Nos projetos, deve-se dimensionar a 
dissipação dos resistores em, no mínimo, o dobro 
da potência realmente dissipada, pois com isso 
 
manter constante o fluxo do circuito estabilizador de 
corrente elétrica. 
estarão asseguradas uma maior estabilidade e 
durabilidade do componente. 
 São produzidos resistores para diferentes 
tensões máximas de trabalho, tais como 250 V, 
450 V, 750 V, 1.000 V ou mais, dependendo das 
características dos isolamentos utilizados. 
 
 
RESISTORES ESPECIAIS 
 
São considerados resistores não-lineares, 
pois não seguem a Lei de Ohm, assumindo 
diferentes valores de resistência quando 
submetidos a diferentes tensões (Varistores), 
temperaturas (Termistores) e intensidades 
luminosas (Fotoresistores). Os aspectos físicos são 
os mais diversos. 
 
 
A) VARISTORES 
Sua resistência varia com a tensão aplicada 
em seus terminais. Quanto maior for a tensão, 
menor será a resistência e vice-versa, procurando 
manter constante a d.d.p. em seus terminais. São 
construídos com óxido de zinco ou titanatos. 
São usados para proteção de transistores 
de saída dos amplificadores de áudio, controles de 
altura e largura da imagem de TVs, estabilizadores 
de tensão e de corrente. 
Na especificação de um varistor, indica-se 
a tensão nominal para uma corrente pré-fixada, a 
tolerância referente a essa tensão e a potência 
dissipada. 
 
B) TERMISTORES 
São resistores cuja resistência varia direta 
ou inversamente com a temperatura. Quando 
variam diretamente com a temperatura, dizemos 
que eles possuem um coeficiente positivo de 
temperatura (PTC - Positive Temperature 
Coeficient), e quando variam inversamente com a 
temperatura, dizemos que possuem coeficiente 
negativo de temperatura (NTC - Negative 
Temperature Coeficient). 
Os termistores NTC, os mais utilizados, 
são fabricados com materiais cerâmicos submetidos 
a altas temperaturas, sendo empregados em 
sistemas de medidas de temperatura, estabilização 
de amplitude em osciladores, etc. 
São empregados na proteção de motores 
elétricos contra superaquecimento, em termostatos 
auto-reguláveis, detectores de nível de líquidos, 
interruptores temporizados, etc. 
Suas especificações incluem: o tipo (NTC 
ou PTC), a tolerância e a potência dissipada. 
 
C) FOTORESISTORES 
São dispositivos fotoelétricos cuja 
resistência varia em resposta à irradiação luminosa 
incidente. Quando eles não recebem luz 
apresentam uma resistência elevada (alguns 
megaohms); quando expostos à luz, a sua 
resistência decresce, proporcionalmente a 
intensidade luminosa incidente. Utiliza-se para a 
sua fabricação os sulfetos de selênio, silício, tálio, 
chumbo, cádmio, óxido de zinco e seleneto de 
cádmio. 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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15
Os invólucros dos fotoresistores podem ser 
constituídos por uma simples camada de plástico, 
formada por imersão, ou então do tipo selado em 
vidro ou metal. São usadas em máquinas 
copiadoras, fotômetros, flashes eletrônicos, 
equipamentos para uso médico, balanças 
automáticas, operação de relés, iluminação em 
recintos, alarme contra ladrões, etc. 
São geralmente especificadas as 
resistências, sob um regime de iluminação pré-
fixado e a potência máxima dissipada suportada 
pelo componente. 
A Lei de Ohm permite três interpretações 
distintas: 
(i) para uma determinada tensão aplicada, 
a corrente é inversamente proporcionalà 
resistência elétrica do elemento; 
(ii) para uma determinada corrente 
aplicada, a tensão desenvolvida aos terminais do 
elemento é proporcional à resistência; 
(iii) a resistência de um elemento é dada 
pelo cociente entre a tensão e a corrente aos seus 
terminais. 
Por exemplo, no caso dos circuitos 
representados na Figura 3.4 verifica-se que em 
(b) a corrente na resistência é dada por I=V/R=5 
A, que em (c) a tensão aos terminais da 
resistência é V=RI=5 V e que em (d) o valor da 
resistência é R=V/I=10 Ω. 
 
 
figura 3.4 
 
 SÍMBOLO DA RESISTÊNCIA E LEI 
DE OHM 
 
A representação gráfica da Lei de Ohm 
consiste numa reta com ordenada nula na origem e 
declive coincidente com o parâmetro R (ou G) 
(Figura 3.5). Apesar de elementar e evidente, é 
importante associar esta relação linear tensão-
corrente à presença de um elemento do tipo 
resistência, mesmo em dispositivos eletrônicos 
relativamente complexos como o transistor. 
Num dos seus modos de funcionamento, 
por exemplo, o transistor apresenta uma relação 
tensão-corrente semelhante àquela indicada na 
Figura 3.5, o que indica, portanto, que nessa 
mesma zona o transistor é, para todos os efeitos, 
uma resistência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE VII 
 
LEI DAS CORRENTES 
 
Nó: Um ponto de ligação entre 2 ou mais 
bipolos. 
Lei das Correntes ou 1 Lei de Kirchhoff 
A soma algébrica das correntes que 
saem de um nó é nula. 
Para um circuito com n nós, pode-se 
escrever n-1 equações de corrente 
independentes. 
 
 
 (redundante) 
 
 
 
I. RESUMO : 
 
 
 
Dado o circuito ao lado o nosso objetivo 
consistia em determinar os valores das resistências 
desconhecidas. 
No circuito da fig.1, as resistências R2, 
R4,R6 e R8 são desconhecidas e R9 é uma 
resistência ajustável (potenciômetro). Fig.1 – 
Esquema do circuito da placa B6 estudado no 
experimento com o objetivo de descobrir as 
resistências desconhecidas. 
A solução para o problema consiste em 
medir todas as tensões elétricas possíveis, 
determinando-se as resistências incógnitas com o 
auxílio das Leis de Kirchoff e a Lei de Ohm. Dessa 
forma verificamos que é possível calcular R4. 
Porém, os resistores R2, R6 e R8 ainda ficam 
indeterminados. Alterar a tensão V aplicada 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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também não ajuda, pois resultam em equações 
proporcionais. 
O problema foi resolvido realizando-se 
duas medições para valores diferentes da 
resistência R9. Dessa forma, conseguimos 
descobrir todas as resistências deste circuito. 
A seguir foi feita uma análise dos dados 
através de uma simulação em computador. 
 
UNIDADE VIII 
 
LEIS 
 
A LEI DE OHM : 
O cientista alemão George Ohm realizou 
várias experiências medindo as voltagens e as 
correntes correspondentes quando aplicadas em 
diversos condutores feitos de substâncias 
diferentes. Verificou-se então que, para muitas 
matérias, principalmente os metais, a relação entre 
a voltagem e a corrente mantinha-se constante, 
isto é, 
 
 
ou seja, 
 
 
E como representa o valor da 
resistência R do condutor. Logo, Ohm concluiu que 
para aqueles condutores tinha-se R = constante. 
Este resultado é conhecido como Lei de 
Ohm: para um grande número de condutores 
(principalmente os metais), o valor da resistência 
permanece constante, não dependendo da 
voltagem aplicada ao condutor. 
 
Comentários: 
• A expressão VAB – R-i ainda é válida 
mesmo para materiais não ôhmicos. Naturalmente, 
se o condutor for ôhmico, o valor de R nesta 
expressão será sempre o mesmo, enquanto que 
para um condutor ôhmico, o valor de R variará 
conforme a voltagem VAB aplicada. 
• Se construirmos o gráfico VAB 

 i para 
um condutor ôhmico, obteremos uma reta 
passando pela origem. 
Caso contrário se o condutor não obedecer 
à lei de Ohm, o gráfico VAB x i não será retilíneo, 
podendo apresentar vários aspectos, dependendo 
da natureza do condutor. 
• Neste experimento estamos admitindo 
que os resistores obedecem à Lei de Ohm. Ou 
seja, a resistência é mesma mesmo variando a 
tensão. 
 
GERADOR E RECEPTOR IDEAL: 
 
 
 
 
A tensão nos terminais da bateria ideal 
chama-se força eletromotriz (fem). A fem da 
bateria resulta de um fenômeno químico que ocorre 
dentro dela e que força a corrente elétrica a 
atravessá-la de seu pólo negativo para o positivo. 
Representa-se a bateria ideal mediante o esquema: 
O gerador é ideal caso não apresenta 
resistência interna. 
 
 
fig.2 – gerador ideal. 
 
 
 
Receptor elétrico ideal é um dispositivo que 
consome energia elétrica, transformando-a em 
outra forma de energia. Um receptor é ideal se seu 
circuito interno não oferece resistência elétrica. A 
tensão nos terminais chama-se força 
contraeletromotriz (cfem). 
Representa-se o receptor ideal mediante o 
esquema: 
 
Fig.3 – Receptor Ideal 
 
 
REDES ELÉTRICAS E AS LEIS DE 
KIRCHOFF : 
 
Um circuito, como o da figura 1, possui 
mais do que um caminho fechado e é uma rede 
elétrica. Os pontos de encontro de dois ou mais 
fios são chamados nós da rede. Um ramo é o 
trecho de circuito entre dois nós consecutivos. 
Malha de uma rede é qualquer caminho fechado. 
No circuito da Fig.1 R4, R3 e R5 formam uma 
malha. 
As redes elétricas são resolvidas mediante 
duas leis, chamadas leis de Kirchoff. 
 
1ª LEI DE KIRCHOFF: LEI DOS NÓS. 
 
A soma das correntes que chegam num nó 
é igual à soma das correntes que saem do mesmo 
nó. 
 
2ª LEI DE KIRCHOFF: LEI DAS 
MALHAS. 
 
Quando se percorre uma malha completa, 
a soma algébrica de todas as forças eletromotrizes, 
contra eletromotrizes e produtos R? i encontrados 
na malha é zero. 
 
 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
 
A soma algébrica das tensões ao longo De 
um caminho fechado é nula. O caminho fechado 
pode ser percorrido num ou noutro sentido. 
Laço de um circuito: Qualquer percurso 
fechado formado por bipolos que não passe duas 
vezes pelo mesmo nó. 
Circuito Plano: Um circuito é plano se 
puder ser desenhado em um plano sem 
cruzamento de bipolos. 
Os laços em um circuito plano que não 
contêm bipolos em seu interior são denominados 
de malhas. 
 
 
 
 
 
Um exemplo da Lei de Kirchhoff das tensões. 
 
 
O voltímetro C tem uma resistência interna 
de 10M? 
Os voltímetros A e B têm uma resistência 
interna de 1M? 
 
 
 
 
 
 
D) SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA: 
A partir das teorias acima começamos a 
esquematizar quais medidas seriam necessárias 
para encontrar as resistências desconhecidas. 
Observando-se o circuito o valor da resistência R4 
podia ser determinado da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Fig. 4 – Esquema ilustrativo da aplicação 
da 1ª Lei de Kirchoff no nó B. Primeiramente 
medimos as tensões nos resistores R1, R4 e R5 e 
descobrimos suas polaridades. Por tanto, podemos 
determinar o sentido das correntes. 
E neste circuito obtemos os sentidos 
indicados na fig.2. 
Medindo-se a tensão no resistor R1 e 
aplicando a relação de que V1 = R1 $ i1 obtemos 
a corrente i1 (na entrada do nó A). Fazendo-se o 
mesmo no resistor R5 encontramos a corrente i5 
(na entrada do nó B). 
E aplicando a 1ª Lei de Kirchoff no nó B 
encontramos a corrente i4. 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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E medindo-se a tensão em R4 e aplicando 
a relação V4 = R4 X i4 chegamos ao valor da 
resistência R4.Faltava ainda calcular as resistências R2, 
R6 e R8. Focalizando-se no problema tínhamos o 
seguinte esquema: 
 
 
 
 
Na fig. 5 as resistências eram 
desconhecidas, enquanto que as correntes e as 
tensões I2, I6, I8, V26, V28 e V68 foram 
determinadas por meio de medições. Não foi 
possível medir as tensões V2, V6 e V8 
separadamente devido a uma cola no nó P. 
 
As Leis de Ohm e Kirchhoff nos serviram 
nos cálculos dos circuitos C.C. 
No estudo dos diversos circuitos existentes, 
são necessários outros métodos. 
O teorema de Thévenin pertence a um 
grupo de teoremas sobre redes complexas 
(incluindo o teorema de superposição e o teorema 
de Norton), o qual provê um meio para análise 
simplificada de circuitos complexos. 
 
RESISTÊNCIA DE THÉVENIN 
 
 
 
No caso de fontes independentes, a 
resistência Thévenin pode ser obtida diretamente 
calculando-se a resistência vista através dos 
terminais com todas as fontes anuladas (fontes de 
tensão em curto e fontes de corrente em aberto). 
No exemplo, 
 
 
 
Exemplo: Considerando E=10 V e R = 1 
Ωno circuito abaixo, obtenha o equivalente 
Thévenin nos pontos indicados: 
 
 
 
 
A técnica empregada envolve a redução de 
uma rede a um circuito equivalente simples que 
atua como a rede original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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UNIDADE IX 
 
TEOREMA DE THEVENIN 
 
O teorema de Thévenin estabelece que 
qualquer rede de dois terminais pode ser 
substituída por um circuito equivalente simples 
constituindo de um gerador Thévenin, cuja tensão 
ETH, atuando em série com uma resistência 
'69nterna RTH obriga a corrente a fluir através da 
carga. 
Assim, a figura 1 (d) é o equivalente 
Thévenin para o circuito da figura 1 (a). 
 
 
EQUIVALENTE DE THÉVENIN 
 
 
 
A tensão de circuito aberto (i=0) é dada 
por 
 
e a corrente de curto circuito (v=0) por 
 
 
A resistência pode ser obtida da 
relação 
 
A tensão de circuito aberto é conhecida 
por tensão Thévenin Vth, e a resistência R por 
resistência 
equivalente de Thévenin Rth. 
Todo circuito elétrico composto apenas por 
fontes de tensão e correntes contínuas, 
dependentes ou não, e resistores lineares, pode ser 
modelado, sob o ponto de vista da carga (isto é, 
um par de terminais), por uma fonte de tensão 
Thévenin em série com uma resistência 
equivalente de Thévenin. 
 
THÉVENIN E RETA DE CARGA 
 
O conceito de reta de carga está 
associado com a idéia de circuitos equivalentes de 
Thévenin e de Norton. 
 
Os circuitos acima possuem topologias 
distintas, porém, sob o ponto de vista da 
lâmpada (carga), isto é, dos valores v e i, os 
circuitos são equivalentes. 
Calculando a reta de carga para o 
circuito da 
Esquerda Lei dos Nós (Nó 1): 
 
 
Lei dos Nós (Nó 1): 
 
Lei das Malhas (Malha 1): 
 
 
Lei das Malhas (Malha 2): 
 
 
 
Resultando que também 
é a reta da carga para o circuito da direita. 
Portanto, sob o ponto de vista da lâmpada, 
ambos os circuitos se comportam da mesma 
maneira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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UNIDADE X 
 
EQUIVALENTE DE NORTON 
 
A reta de carga pode 
também ser expressa na forma: 
 
 
 
Definindo: 
 
resistência equivalente de 
Norton 
 
corrente de Norton. 
 
 
Todo circuito elétrico composto apenas por 
fontes de tensão e correntes contínuas, 
dependentes ou não, e resistores lineares, pode ser 
modelado, sob o ponto de vista da carga (isto é, 
um par de terminais), por uma fonte de corrente 
Norton em paralelo com uma resistência 
equivalente de Norton. 
 
 
 
 
TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO 
 
Numa rede linear com vários geradores 
(independentes) a corrente (ou a tensão) num 
ramo pode obter-se: 
- somando algebricamente as correntes (ou 
tensões) produzidas nesse ramo por cada um dos 
outros geradores, atuando isoladamente (ou seja 
anulando todos os outros geradores): 
• Os geradores de tensão anulam-se curto-
circuitando os seus terminais 
• Os geradores de corrente anulam-se os 
deixando em circuito aberto, (interrompendo a 
corrente). 
 
Obs. Os geradores dependentes nunca são 
anulados. 
 
EXEMPLO: 
 
Circuito inicial 
 
 
A fonte de tensão Va foi anulada 
(substituída pela sua resistência interna, se 
diferente de zero). 
Obtém -se o contributo de Vb. 
 
 
A fonte de tensão Vb foi anulada 
(substituída pela sua resistência interna) 
Obtém -se o contributo de Va 
 
Neste caso somando algebricamente os 
dois contributos de tensões e correntes obtemos os 
valores das correntes e tensões em qualquer ponto 
do circuitoquando os dois geradores estão activos. 
 
 
RESUMO 
• Circuitos no domínio da freqüência 
usando fasores e impedâncias são Análogos a 
circuitos resistivos (lineares). 
• Superposição, Transformações de Fontes 
e Equivalentes de Norton e Thévenin. 
• Superposição: circuito com várias fontes 
independentes - resposta do circuito é a soma das 
respostas a cada fonte individual (freqüências 
diferentes). 
• Equivalente de Thévenin: circuito 
representado por um fasor de tensão em série com 
uma impedância. 
• Equivalente de Norton: circuito 
representado por um fasor de corrente em Paralelo 
com uma impedância. 
• Transformações de fontes: corrente e 
tensão. 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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21
 PRINCIPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
Princípio da Superposição aplicado em 
circuitos com duas ou mais fontes de freqüências 
diferentes 
1. Calcular a resposta para cada fonte 
separadamente 
a) eliminar fontes deixando apenas uma: 
para fonte de corrente substituir pelo circuito em 
aberto, para fonte de tensão substituir pelo curto-
circuito; 
b) calcular fasores para fontes e 
impedâncias para elementos de circuito; 
c) obter a resposta do circuito no domínio 
fasorial; 
d) converter a resposta para o domínio do 
tempo; 
e) repetir passos a, b, c e d para cada 
fonte. 
2. Calcular a soma de todas as respostas 
no domínio do tempo. 
obs. a soma não pode ser feita no domínio 
fasorial pois as freqüências são diferentes. 
 
TEOREMA DE THÉVENIN 
 
Calcular fonte de tensão e impedância de 
Thévenin 
1. Identificar uma parte do circuito total 
2. Determinar a tensão em circuito-aberto 
V oc = V t : Tensão de Thévenin 
3. Se o circuito possui apenas fontes 
independentes, elimine as fontes independentes e 
calcule a impedância equivalente; 
4. Para circuitos com fontes dependentes 
escolha uma das opções: 
a. coloque um curto-circuito nos terminais 
e determine I sc : Z t =V oc /I sc 
b. elimine as fontes independentes, 
coloque uma fonte de tensão V ou uma fonte de 
corrente I nos terminais e determine Z t =V/I 
obs. I sc: corrente fasorial de curto-
circuito Z t : impedância de Thévenin V t 
 
TEOREMA DE NORTON 
 
Calcular fonte de corrente e impedância de 
Norton 
1. Identificar uma parte do circuito total 
2. Determinar a corrente de curto circuito 
nos terminais I sc = I n: Corrente de Norton 
3. Se o circuito possui apenas fontes 
independentes, elimine as fontes independentes e 
calcule a impedância equivalente do circuito; 
4. Para circuitos com uma ou mais fontes 
dependentes calcule a tensão de circuito aberto V 
oc nos terminais e determine a impedância de 
Norton: Z n =V oc /I scANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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22
UNIDADE XI 
 
ASSOCIAÇÃO SÉRIE DE 
RESISTORES 
ASSOCIAÇÃO DE BIPOLOS 
RESISTIVOS 
 
Considere o circuito a seguir (resistores 
lineares) Associação de Bipolos Resistivos. 
Considere o circuito a seguir (resistores 
lineares) 
 
 
Equações dos bipolos (3 equações, 6 
variáveis) 
 
Equações de nós (3 nós, 2 equações 
independentes): 
 
Equações dos bipolos (3 equações, 6 
variáveis) 
 
Equações de nós (3 nós, 2 equações 
independentes): 
 
Equação de malha: (1 malha, 1 equação): 
 
Resolvendo para i, tem-se 
 
Sob o ponto de vista da fonte, R1 e R2 
estão em série, e podem ser substituídos por um 
resistor equivalente: 
 
 
 
A resistência resultante de uma 
associação série de resistores lineares é a soma 
das resistências dos componentes. 
 
 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO PARALELA DE 
RESISTORES 
 
No circuito 
 
4f02 
 
 
A condutância resultante de uma 
associação 
paralela de resistores lineares é a soma das 
condutâncias dos componentes. 
Note que, para uma associação paralela de 
dois resistores, a resistência equivalente é igual ao 
produto sobre a soma das resistências 
componentes. 
 
 
 
MALHA DE RESISTORES 
 
EXEMPLO 
Usando associação de resistores, 
determine a corrente em cada um dos bipolos para 
E=10 V e 
 
Constate que a potência fornecida pela 
fonte é 50 Watts (W). 
Para Reflexão: usando associação, tente 
resolver o circuito abaixo (E=10 V e ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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23
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES NÃO 
LINEARES 
 
ASSOCIAÇÃO PARALELO 
DE RESISTORES NÃO LINEARES 
 
Resistores não lineares podem ser 
associados em série ou em paralelo a partir de suas 
características tensão versus corrente (plano 
). 
Considere o circuito abaixo (lâmpadas em 
paralelo) 
 
 
As curvas características das lâmpadas e 
de sua associação em paralelo são mostradas na 
figura a seguir, juntamente com a reta de carga 
para E=150 V e 
 
 
RETA DE CARGA 
RETA DE CARGA E PONTO DE 
OPERAÇÃO (V,I) 
Considere o circuito abaixo (bipolos B não 
linear, com característica indicada) 
 
 
Para a determinação dos valores de v e i 
no circuito, é conveniente obter a reta de carga 
definida pela fonte de tensão E e pela resistência 
R: 
 
Traçando esta reta no plano do 
bipolo não linear obtém-se o ponto de operação 
(ou ponto quiescente�) do circuito. 
 
 
 
CONVENÇÃO TENSÃO E CORRENTE 
 
Fontes de corrente e fontes de tensão, 
dependentes ou não, são denominadas bipolos 
ativos. Os demais, são chamados bipolos 
passivos. 
Convenção Utilizada: em geral, a 
convenção de receptor é utilizada para os bipolos 
passivos e a de gerador para as fontes. 
Contra-exemplo: fonte com convenção de 
receptor e resistor com convenção de gerador. 
 
 
 
 
 
 
2f13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�
 quiescente – que esta em descanso. 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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24
PREFIXOS NO S.I. 
 
MÚLTIPLO PREFIXO SÍMBOLO NOME COMUM 
1018 Exa E Quintilhão 
1015 Peta P Quadrilhão 
1012 Tera T Trilhão 
109 Giga G Bilhão 
106 Mega M milhão 
103 Quilo K Mil 
102 Hecto H Cem 
101 deca Da Dez 
10-1 Deci D Décimo 
10-2 Centi C centésimo 
10-3 Mili M Milésimo 
10-6 Micro $ Milionésimo 
10-9 Nano N Bilionésimo 
10-12 Pico P Trilionésimo 
10-15 Femto F quadrilionésimo 
10-18 Atto A quintilionésimo 
 
Prefix
o 
Símbol
o 
Decimal Valor 
Potênci
a de 
dês 
Tera- T 
1,000,000,00
0,000 
 1012 
Giga- G 
1,000,000,00
0 
 109 
Mega
- 
M 1,000,000 106 
Quilo
- 
k 1,000 103 
Hecto
- 
h 100 102 
Deca- da 10 101 
(sem 
prefix
o) 
 1 100 
Deci- d 0 .1 10-1 
Centi
- 
c 0 .01 10-2 
Mili- m 0 .001 10-3 
Micro
- 
µ 0 .000001 10-6 
Nano
- 
n 0 .000000001 10-9 
Pico- p 0 
.00000000000
1 
10-12 
Femt
o- 
f 0 
.00000000000
0001 
10-15 
 
 
 
 
 
 
 
SÍMBOLOS DE APARELHOS ELÉTRICOS 
SIMBOLOS ESQUEMÁTICOS MAIS COMUNS 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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Aparelho Símbolo 
Pilha
 
 
Gerador de tensão contínua
 
 
Gerador de tensão alternada
 
 
 
Lâmpada
 
Resistor
 
 
Motor 
 
 
 
Interruptor (circuito fechado)
 
 
Interruptor (circuito aberto)
 
 
 
Amperímetro
 
 
Voltímetro
 
 
 
Transformador
 
 
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Diodo
 
 
 
Condensador
 
 
 
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UNIDADE XII 
 
INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS 
COMPLEXOS 
 
Na resolução de uma equação algébrica, 
um fator fundamental é o conjunto universo que 
representa o contexto onde poderemos encontrar 
as soluções. Por exemplo, se estivermos 
trabalhando no conjunto dos números racionais, a 
equação 2x+7=0, terá uma única solução dada 
por: x = -7/2 assim, o conjunto solução será: 
S= { 7/2 } no entanto, se estivermos procurando 
por um número inteiro como resposta, o conjunto 
solução será o conjunto vazio, isto é:S = Ø = { }. 
Analogamente, se tentarmos obter o conjunto 
solução para a equação x2+1=0 sobre o conjunto 
dos números reais, teremos como resposta o 
conjunto vazio, isto é: S = Ø = { } o que significa 
que não existe um número real que elevado ao 
quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o 
desenvolvimento da equação pelos métodos 
comuns, obteremos: x = onde é a raiz quadrada do 
número real -1. Isto parece não ter significado 
prático e foi por esta razão que este número foi 
chamado imaginário, mas o simples fato de 
substituir pela letra i (unidade imaginária) e 
realizar operações como se estes números fossem 
polinômios, faz com que uma série de situações 
tanto na Matemática como na vida, tenham sentido 
prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria 
dos números complexos. 
 
DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO 
Número complexo é todo número que pode 
ser escrito na forma z = a + b i onde a e b são 
números reais e i é a unidade imaginária. O 
número real a é a parte real do número complexo z 
e o número real b é a parte imaginária do número 
complexo z, denotadas por: 
a = Re(z) ; b = Im(z) 
 
Exemplos de tais números são 
apresentados na tabela. 
 
 
Número complexo Parte real Parte imaginária 
2 + 3 i 2 3 
2 - 3 i 2 -3 
2 2 0 
3 i 0 3 
-3 i 0 -3 
0 0 0 
OBSERVAÇÃO: O conjunto de todos os números 
complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos 
números reais pela letra R. Como todo número real x 
pode ser escrito como um número complexo da forma 
z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos 
números reais está contido no conjunto dos 
números complexos. 
 
ELEMENTOS COMPLEXOS 
ESPECIAIS 
 
• Igualdade de números complexos: Dadosos números complexos z=a+bi e w=c+di, 
definimos a igualdade entre z e w, escrevendo 
z = w <=> a = c e b = d 
Para que os números complexos z=2+yi e 
w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e 
y=3. 
 
• Oposto de um número complexo: O oposto 
do número complexo z=a+bi é o número 
complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é: 
-z = Oposto (a+bi) = (-a) + (-b)i 
O oposto de z=-2+3i é o número 
complexo -z=2-3i. 
 
• Conjugado de um número complexo: O 
número complexo conjugado de z=a+bi é o 
número complexo denotado por z-=a-bi, isto é: 
z- = conjugado(a+bi) = a + (-b)i 
O conjugado de z = 2-3i é o número complexo z- 
= 
2+3i. 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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29
OPERAÇÕES BÁSICAS COM 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados os números complexos z=a+bi e 
w=c+di, podemos definir duas operações 
fundamentais, adição e produto, agindo sobre 
eles 
da seguinte forma: 
z + w = (a + bi ) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i 
z . w = (a + bi).(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i 
Observação: Estas operações nos 
lembram as operações com expressões polinomiais, 
pois a adição é realizada de uma forma 
semelhante, isto é: (a+bx) + (c+dx) = 
(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), 
é realizada através de um algoritmo que aparece 
na forma: 
 
a + b x 
c + d x X 
ac + bcx 
 adx + bdx2 
ac +(bc+ad)x + bdx2 
 
de forma que devamos trocar x2 por -1. 
Exemplos: 
Se z=2+3i e w=4-6i, então 
z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i 
Se z=2+3i e w=4-6i, então 
z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i 
 
 
A DIFERENÇA ENTRE NÚMEROS 
COMPLEXOS 
A diferença entre os números complexos 
z=a+bi e z=a+bi é definida como o número 
complexo obtido pela soma entre z e -w,(isto é: z 
- w = z + (-w) 
Exemplo: A diferença entre os complexos 
z=2+3i e w=5+12i, é: 
z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i 
 
A DIVISÃO ENTRE NÚMEROS 
COMPLEXOS 
A divisão entre os números complexos 
z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o 
número complexo obtido pelo produto entre z e w-
1, isto é: 
z/w = z . w-1 
 
Exemplo: Para dividir o número complexo 
z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o 
numerador e também o denominador da fração 
z/w pelo conjugalo de w: 
 
 
 
 
NÚMERO COMPLEXO COMO MATRIZ 
 
Existe um estudo sobre números 
complexos, no qual um número complexo z=a+bi 
pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 
da forma: 
 
E todas as propriedades dos números 
complexos, podem ser obtidas através de matrizes, 
resultando em processos que transformam as 
características geométricas dos números complexos 
em algo simples. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Exemplo1: Qual a intensidade da corrente 
em um condutor que tem resistência de 1000ΩΩΩΩ se 
a tensão aplicada for de 
a) 2V b) 100V c) 50mV 
R: Para cada caso deveremos especificar U 
em Volts 
e R em OHMS 
 
a) I = 2V/1000ΩΩΩΩ = 0,002A = 2mA 
b) I = 100V/1000ΩΩΩΩ = 0,1A = 100mA 
c) I = 50mV/1000ΩΩΩΩ = 50.10-3V/1000ΩΩΩΩ 
=50.10-3/103ΩΩΩΩ = 50.10-6A = 50uA 
 
Exemplo2: Qual deve ser a tensão em um 
condutor de 10ΩΩΩΩ de resistência para a corrente 
tenha intensidade de: 
a) 2mA b) 0,05A d) 20uA 
R: Para determinar a tensão dado a resistência e 
a corrente usam a 1ª Lei de OHM na forma: 
U = R.I se R em OHMS e I em AMPERES U 
será obtido em VOLTS 
a) U = 10.103.2.10-3 = 20V 
b) U = 10.103.5.10-2= 50.101 =500V 
c) U = 10.103.20.10-6= 200.10-3V = 
200mV = 0,2V 
 
1. A tensão em um condutor é 2,4V e a 
intensidade da corrente é de 0,8A. 
Podemos afirmar que a resistência do 
condutor é de: 
 
a) 2,4 Ω 
b) 3 Ω 
c) 1,25 Ω 
d) 0,33 Ω 
 
 
 
 
 
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30
2. É dado o resistor. Pelo código de cores o seu 
valor nominal é: 
 
 
a) 2K2 
b) 220 Ω 
c) XK22 
d) δ 22 Ω 
 
 
Vermelho, Vermelho, Vermelho 
 
 
 
 
3. Para o circuito determine a corrente do circuito: 
a) 10A 
b) 10mA 
c) 25A 
d) 25mA 
 
 
4. No circuito , com a chave como indicado a 
corrente que o instrumento indica é 5mA. Se a 
chave mudar de posição a corrente : 
a) Não se altera 
b) passa a valer 10mA 
c) Passa a valer 0 
d) Passa valer 2,5mA. 
 
 
 
 
 
5. No circuito, com a chave como indicado, a 
corrente que o instrumento indica é 10mA. Se a 
chave mudar de posição a corrente: 
a) Passa a valer 5mA 
b) passa a valer 10mA 
c) Passa a valer 0 
d) Passa valer 2,5mA 
6. Calcule a resistência equivalente no esquema 
abaixo: 
 
 
 
7. Calcule a resistência equivalente no circuito 
abaixo: 
 
 
 
 
08. Determine a resistência equivalente para a rede 
abaixo: 
a) Como está desenhada (R:Req = 10ΩΩΩΩ) 
b) Com o resistor 5ΩΩΩΩ substituído por um curto-
circuito (R: Req = 9,93ΩΩΩΩ) 
c) Com o resistir de 5ΩΩΩΩ substituído por um circulo 
aberto (R: Req = 10,2ΩΩΩΩ) 
 
 
 
9. Três resistores estão em série e têm tensão 
continua total V1, R1 tem uma tensão de 20V, R2 
tem uma potência de 25W e R3 = 2Ω. Caso a 
corrente continua seja 5 A, encontre V1 (R:V1 = 
35V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. Determine Vx no circuito a seguir. 
(R:Vx = -60V) 
 
 
 
 
11. No circuito mostrado abaixo, o resistor variável 
R, é ajustado de tal forma que a potência resistor 
de 5ΩΩΩΩ seja 20W. Encontre o valor de R, a potência 
fornecida pela fonte e o valor corrente com R. (R:R 
= 16ΩΩΩΩ: Pfornecida = 125W:IR = 2,5A). 
 
 
 
12. Encontre a corrente I no circuito mostrado 
abaixo, para os seguintes valores de V2: 
(a) 4 V; (b) 5V; (c) 10V. (R:I A; 0; -5 A). 
 
 
 
13. Calcule R1 e R2 para a circuito abaixo: (R:R1 
= 20ΩΩΩΩ: R2 = 5ΩΩΩΩ). 
 
 
 
 
14. Ache as tensões e as correntes nas resistências 
do circuito abaixo sabendo que 
R1 = 15ΩΩΩΩ; R2 = 10ΩΩΩΩ; R3 = 5ΩΩΩΩ; R4 = 10ΩΩΩΩ; 
R5 = 5ΩΩΩΩ; R6 = 10ΩΩΩΩ. 
(R:VR1 = 74,1;V; VR2 = 25,87 V; 
VR3 = 11,75V; VR4 = 9,4 V; VR5 = 4,7 V; 
 VR6 = 14,1V). 
 
 
 
 
 
15. Encontre o valor da corrente I no circuito 
abaixo: (R:I = 13,66A). 
 
 
 
 
Item 16. Usar divisão de tensão duas vezes para 
achar a tensão Vx no circuito abaixo:(R:Vx = 36V). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32
17. Aplicando o conceito de divisão de tensão, ache 
os valores de V1 e V2 para o circuito abaixo (R:V1 
= 82,45V; V2 = 17,55V). 
 
 
 
 
18. Achar a corrente e a potencia fornecida pela 
fonte de tensão de 40V do circuito abaixo: 
 
 
 
19. No circuito, sabe-se que o resistor de 
10ΩΩΩΩ.dissipa uma potência de 14,4W. 
 
a) Qual a leitura no amperímetro ideal A? 
b) Qual a leitura no voltímetro ideal V? 
 
 
ÍNDICE TÉCNICO: 
 
Sugestões bibliográficas: 
Site da Editora Érica www.erica.com.br 
“Analise e Simulação de Circuitos no Computador – 
EWB5 “ , “ Analise de Circuitos em Corrente 
Continua “, Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada“, Circuitos em Corrente Alternada “. 
Eletrônica – Gabriel Torres Ed. AXCEL BOOKS 
______________________________________ 
REFLEXÃO: 
“Somente as pessoas que têm paciência de fazer 
com perfeição, as coisas simples, é que adquirem a 
arte de fazer com facilidade, as coisas difíceis,” 
 
(Shiller)ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
 
 
 
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33
GLOSSÁRIO 
 
�
 bobina – parte dos instrumentos de física formada de um 
fio metálico enrolado em um carretel. 
�
 dispersão – perda de energia. 
�
 espiras – cada volta da aspiral; configuração da aspiral; 
cada rosca de um parafuso. 
� lineares – relativo a linhas, semelhantes a uma linha 
�
 osciloscópio – aparelho que registra as oscilações das 
correntes alternadas.
 
 
�
 quiescente – que esta em descanso. 
�
 reostato – aparelho que permite fazer variar a 
intensidade da corrente elétrica e que se utiliza para 
manter constante o fluxo do circuito estabilizador de 
corrente elétrica. 
� resistência – propriedade que tem uma substância de 
opor-se à passagem de corrente elétrica ou calorífica 
�
 senoidal – representação gráfica do movimento 
vibratório. 
�
 Transformador - aparelho que, recebendo uma corrente 
elétrica, lhe modifica a tensão ou a voltagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
 
 Neste módulo, você encontrou conteúdo, textos e interpretações para apoiá-lo no seu Curso. Aqui, a 
teoria é acompanhada da sua contrapartida – estágio – que será de grande valor para o seu enriquecimento 
profissional. 
 Não pretendemos de forma alguma ditar receitas infalíveis. Nossa intenção é conduzir um diálogo 
direcionado a você e dessa forma, ajudá-lo a desenvolver habilidades de estudo – consultas a dicionário, 
enciclopédia e leitura de textos – tornando-o apto a superar os limites que esse material encerra. 
 Agora, vamos ao seu desempenho. Se você acertou tudo, passará para o próximo módulo. Caso 
contrário, esclareça suas dúvidas com o seu professor/tutor, de acordo com a sua disponibilidade de tempo e 
esteja você onde estiver, seja por telefone, fax ou internet (www.colegiopolivalente.com.br.) 
 O desafio de toda Equipe Polivalente é saber articular um ensino profissionalizante de modo a ser 
compreendido pela comunidade. O único modo para articulá-lo e vivê-lo, é dando testemunho de vida, sendo 
capaz de empreender. 
 
 
O seu sucesso é também sucesso do CIP. 
Afinal, o CIP é você!!!!