IEE Aula 07 Medidas de Variabilidade

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MEDIDAS DE VARIABILIDADE, ASSIMETRIA E CURTOSE
Disciplina: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Curso: ECONOMIA
Medidas de Variabilidade: São medidas cujo o objetivo é medir o grau de dispersão ou variação dos dados. 
Medidas de Variabilidade
Absoluta 
Relativa
Amplitude
Desvio Padrão
Desvio Médio
Variância
Coeficiente de Variação
Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados.
Por ser limitada esta medida não é muito usada. 
Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valores
Internos dos dados. 
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6 
Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6 
Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do
 primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor. 
Desvio Médio:
Dados não Agrupados
Exemplo: X={2,4,6,8}
Dados Agrupados
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}
Onde k é o número de elementos distintos da série
xi
fi
1
1
2
3
3
4
4
1
7
1
Total
10
Dados Agrupados
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}
Onde k é o número de elementos distintos da série
xi
fi
xifi
|xi- |fi
|xi-|fi
1
1
1
|1-3|*1
2
2
3
6
|2-3|*3
3
3
4
12
|3-3|*4
0
4
1
4
|4-3|*1
1
7
1
7
|7-3|*1
4
Total
10
30
10
Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor dos dados.
Por ser limitada esta medida não é muito usada. 
Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valores
Internos dos dados. 
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6 
Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6 
Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do
 primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor. 
Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor dos dados.
Por ser limitada esta medida não é muito usada. 
Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valores
Internos dos dados. 
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6 
Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6 
Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do
 primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor. 
E de fato teve no caso do desvio médio 
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
0 |----- 2
5
2 |-----4
15
4 |-----6
40
6|----- 8
15
8 |----10
5
Total
80
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
0 |----- 2
5
2 |-----4
15
4 |-----6
40
6|----- 8
15
8 |----10
5
Total
80
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
xi
xifi
0 |----- 2
5
1
5
2 |-----4
15
3
45
4 |-----6
40
5
200
6|----- 8
15
7
105
8 |----10
5
9
45
Total
80
400
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
xi
xifi
|xi-|fi
|xi-|fi
0 |----- 2
5
1
5
|1-5|*5
4*5=20
2 |-----4
15
3
45
|3-5|*15
2*15=30
4 |-----6
40
5
200
|5-5|*40
0
6|----- 8
15
7
105
|7-5|*15
2*15=30
8 |----10
5
9
45
|9-5|*5
4*5=20
Total
80
400
100
Variância:
Para dados não agrupados
Vantagem da variância é que a função quadrática é muito melhor de se trabalhar do que a modular
Exemplo: X={2,4,6,8}
Dados Agrupados
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}
Onde k é o número de elementos distintos da série
xi
fi
1
1
2
3
3
4
4
1
7
1
Total
10
Dados Agrupados
Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}
Onde k é o número de elementos distintos da série
xi
fi
xifi
(xi- )2fi
(xi-)2fi
1
1
1
(1-3)2*1
4
2
3
6
(2-3)2*3
3
3
4
12
(3-3)2*4
0
4
1
4
(4-3)2*1
1
7
1
7
(7-3)2*1
16
Total
10
30
24
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
0 |----- 2
5
2 |-----4
15
4 |-----6
40
6|----- 8
15
8 |----10
5
Total
80
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
0 |----- 2
5
2 |-----4
15
4 |-----6
40
6|----- 8
15
8 |----10
5
Total
80
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
xi
xifi
0 |----- 2
5
1
5
2 |-----4
15
3
45
4 |-----6
40
5
200
6|----- 8
15
7
105
8 |----10
5
9
45
Total
80
400
Dados Agrupados em Classes
Onde k é o número de classes da série
Classes
fi
xi
xifi
(xi-)2fi
(xi-)2fi
0 |----- 2
5
1
5
(1-5)2*5
16*5=80
2 |-----4
15
3
45
(3-5)2*15
4*15=60
4 |-----6
40
5
200
(5-5)2*40
0
6|----- 8
15
7
105
(7-5)2*15
4*15=60
8 |----10
5
9
45
(9-5)2*5
16*5=80
Total
80
400
280
Desvio Padrão: é a raiz quadrada da variância
Obs: Não confundir Desvio Padrão com Desvio Médio
Obs: A variância é uma medida em unidade quadrada, enquanto
que os desvios Padrão e Médio estão em uma unidade linear
Se os dados são populacionais o denominador da fórmula da variância e do desvio padrão é n
Se os dados não são populacionais o denominador da fórmula da variância e do desvio padrão é n-1
Propriedades da Variância e do Desvio Padrão
P1: Se somarmos uma constante K aos dados tanto o desvio padrão como a variância ficam inalterados
Exemplo: X={2,4,5,9}
Somando-se 8 ao conjunto temos Y={10,12,13,17}
P2: Se multiplicarmos uma constante K aos dados o desvio padrão fica multiplicado pela constante e a variância fica multiplicada pelo quadrado da constante
Exemplo: X={2,4,5,9}
Multiplicando-se por 4 o conjunto temos Y={8,16,20,36}
Coeficiente de Variação: é a relação entre o desvio padrão e a média
É uma medida de dispersão relativa e muito usada para comparar conjuntos de dados com unidades de medidas diferentes 
Exemplo: X={2,4,5,9}
	
Dizemos que uma distribuição tem:
Baixa Dispersão se CV 15%
Alta Dispersão se CV 30%
Média Dispersão se 15% CV 30%
Medidas de Assimetria: são medidas que determinam o grau de assimetria da curva de frequência de uma distribuição de frequência.
Curva Simétrica
Dados 
f 
Mo=Md=
Curva Assimétrica
À Direita 
Dados 
Mo<Md<
Curva Assimétrica
À Esquerda 
Dados 
Mo>Md>
f 
f 
Coeficiente de Assimetria de Pearson:
Se -0,15<|As|<0,15 consideramos a curva pouco assimétrica ou simétrica
Se 0,15<As<1 temos uma assimetria moderada à direita
Se As>1 temos uma assimetria forte à direita
Se -1<As<-0,15 temos uma assimetria moderada à esquerda
Se -1<As temos uma assimetria forte à esquerda
Curtose: é o grau de achatamento de uma distribuição de frequência comparada com a distribuição normal padrão
Curva Leptocúrtica
Curva Platicúrtica
Curva Mesocúrtica
Coeficiente Percentílico de Curtose:
O Coeficiente Percentílico da Distribuição Normal Padrão é C=0,263
Se C  0, 263 dizemos que a curva é mesocúrtica. 
Se C < 0, 263 dizemos que a curva é leptocúrtica. 
Se C > 0, 263 dizemos que a curva é platicúrtica. 
Curva Leptocúrtica
Se C < 0, 263 dizemos que a curva é leptocúrtica. 
Curva Platicúrtica
Se C > 0, 263 dizemos que a curva é platicúrtica. 
Curva Mesocúrtica
Se C  0, 263 dizemos que a curva é mesocúrtica.