Estruturas_de_Madeira[1]

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO - UEMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA: 
 
ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUIS 2010 
 PAULO BAQUIL - 97.112.12 
 
 
14 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
 
Com o advento da normatização brasileira para projeto e construção de 
estruturas de madeira (NBR 7190: 1997), urge a necessidade de atualização da 
bibliografia técnica nacional a respeito do assunto, já devidamente adequada aos 
critérios de dimensionamento prescritos pela referida norma, ora em vigor. 
 
Neste trabalho, apresentam-se os estados limites últimos e os estados 
limites de utilização enfocando-se, em detalhes, como são feitas as combinações, 
em cada estado, das ações atuantes na estrutura. Mostra-se como são aplicados 
os coeficientes de segurança nas tensões características das madeiras 
ensaiadas, e como atingir a tensão resistente de projeto, inserindo-se coeficientes 
redutores que consideram a umidade da madeira, classificação mecânica, 
categoria da peça e outros fatores, até mesmo, como classe de resistência de 
cada espécie. 
 
No dimensionamento no estado limite de utilização faz-se o controle das 
deformações máximas previstas em projeto, de modo a não ultrapassarem os 
limites admissíveis pela norma. Para isso, faz-se combinações específicas das 
cargas, considerando-se o tempo de ação de cada uma na estrutura e as 
probabilidades de ocorrência das mesmas. A resposta do material é estudada 
considerando o módulo de elasticidade da madeira, modificado com coeficientes 
redutores que consideram todos aqueles fatores citados anteriormente. 
 
Apresentam-se, neste trabalho, os critérios de dimensionamento prescritos 
pela norma, mostrando-os de forma didática e com roteiros de cálculos e 
exemplos numéricos, de modo a facilitar o leitor aplicá-los com extrema facilidade 
no seu dimensionamento. 
 
A apresentação desta nova metodologia de cálculo leva o engenheiro a 
adequar as condições previstas em projeto às mais próximas das situações reais 
 
 
15 
de uso da estrutura, tanto no tocante às ações, como na trabalhabilidade da 
madeira, de modo a responder satisfatoriamente à estas solicitações impostas. 
 
Nos capítulos iniciais teve-se a preocupação de mostrar um pouco de 
algumas características botânicas, químicas e físicas da madeira, para propiciar 
um embasamento teórico mais sólido a respeito da madeira e facilitar o 
entendimento do seu comportamento como material para uso estrutural. 
 
Não houve a preocupação em se demonstrar ou discutir a origem dos 
coeficientes de segurança e de modificação propostos pela norma, e sim mostrar, 
didaticamente, como usá-los. Com o mesmo princípio e filosofia mostram-se as 
combinações das ações nos estados limites propostos. 
 
Espera-se que este trabalho seja de grande valia para a comunidade técnica 
que projeta e trabalha com as estruturas de madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Pinus Araucária
Coníferas
(madeiras moles)
Gimnospermas
(Hemisfério Norte)
Bambu
Monocotiledôneas
(Gramíneas)
Maçaranduba Jatobá
Dicotiledôneas
(madeiras duras)
Angiospermas
(Hemisfério Sul)
Fanerógamas
Grupo de Plantas Superiores
Figura 1 –Gimnosperma. Red Pine. 
(Fonte: The 1996 Grolier Multimedia Encyclopedia) 
 
2 CARACTERÍSTICAS BOTÂNICAS DA MADEIRA 
 
 
2.1 Classificação 
 
Em fins do século XIX o reino Vegetal foi dividido em dois grandes grupos: 
criptógamas e fanerógamas. Criptógamas são vegetais que não possuem flores e 
nem sementes, sendo as espécies mais simples deste reino, enquanto que 
fanerógamas são vegetais mais evoluídos, que formam sementes para a sua 
reprodução. 
 
As fanerógamas, vegetais que apresentam resistência estrutural para o uso 
na construção civil, são classificadas em: gimnosperma e angiosperma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________ 
Diagrama da classificação botânica dos vegetais superiores 
 
 
2.1.1 Gimnosperma 
 
As gimnospermas são fanerógamas 
adaptáveis aos climas frios, que apresentam 
sementes expostas, folhas pontiagudas e 
crescimento rápido, apresentando, dessa 
maneira, menor resistência em relação às 
desenvolvidas na região tropical. As principais 
 
 
17 
representantes são as coníferas, que compreende os pinheiros, os ciprestes e os 
pinus. 
 
No Brasil, existe uma formação natural de coníferas na região Sul conhecida 
como “mata de araucária”. Além dessa formação existem matas oriundas de 
reflorestamentos de pinus, de propriedade das indústrias de papel e celulose, e 
madeireiras. 
 
2.1.2 Angiosperma 
 
São vegetais que apresentam sementes alojadas dentro de frutos. A divisão 
das angiospermas compreende duas classes: monocotiledôneas e dicotiledôneas. 
Esse critério refere-se ao número de cotilédones (folhas especiais cuja função é 
alimentar o embrião quando a semente inicia seu desenvolvimento) presentes na 
semente, sendo 1 na monocotiledônea e 2 na dicotiledônea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Número de cotilédones presentes nas sementes 
(Fonte: Amabis & Martho, 1995) 
 
As monocotiledôneas apresentam caule do tipo colmo (caule aéreo com nós bem 
nítidos, como o da cana e o do bambu) e do tipo estipe (caule aéreo longo e cilíndrico, 
com um aglomerado de folhas no ápice, como o das palmeiras). As dicotiledôneas 
apresentam caule do tipo tronco (caule aéreo lenhoso com ramificações densas, como o 
do ipê, do jequitibá, etc.) e do tipo haste (caule flexível, como o das ervas em geral). 
 
 
18 
Figura 3 –Dicotiledônea. Mangueira 
(Fonte: The 1996 Grolier Multimedia Encyclopedia) 
As dicotiledôneas são madeiras tropicais, de 
folhas largas e de crescimento lento, 
apresentando maior resistência em relação 
aos demais tipos de vegetais. 
 
Dessa maneira, podemos concluir que as madeiras utilizadas para fins estruturais são as 
coníferas e as dicotiledôneas. 
 
 
2.2 Crescimento e Fisiologia 
 
O crescimento vegetal se dá a partir de tecidos 
meristemáticos que têm a capacidade de formar 
novas células. Eles podem ser: apical e cambial. O 
meristema apical, localizado no ápice do tronco e 
ramos, tem a função de desenvolver a árvore no 
sentido vertical. O meristema cambial, localizado 
entre o floema (casca interna) e o alburno, 
promovem o seu crescimento horizontal. 
 
Na fase jovem da árvore há predominância do 
meristema apical, o que caracteriza o acentuado 
crescimento vertical nessa etapa. Esse crescimento 
 
 
19 
Figura 4 –Disposição esquemática das 
camadas de crescimento do tronco 
(Fonte: Burger e Richter, 1991) 
é, depois de algum tempo, acompanhado do crescimento horizontal em camadas, 
formando os anéis de crescimento, o que faz aumentar o seu diâmetro. 
 
O processo fisiológico do crescimento inicia-se com 
a retirada do solo de água e sais minerais (seiva bruta 
ou inorgânica) através da raiz. Essa seiva é transportada pelas regiões externas do 
alburno, onde está localizado o tecido dotado de vasos lenhosos (elementos anatômicos 
ocos da madeira). 
Atingindo as folhas da árvore, a seiva bruta, através do processo da fotossíntese, na 
presença de luz solar, clorofila e absorção de gás carbônico, transforma-se em seiva 
elaborada ou orgânica. 
A seiva elaborada é uma solução rica em compostos orgânicos, sendo a principal fonte 
de energia das células vivas. O seu transporte é realizado por um tecido denominadolíber ou floema, localizado nas regiões internas da casca. Com condução descendente, 
parte da solução desloca-se para a raiz e outra radialmente para o interior da árvore, 
através dos raios medulares, formando o cerne e o alburno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
2.3 Estrutura Macroscópica do Tronco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Estrutura macroscópica de um tronco típico 
(Fonte: Adaptado Amabis & Martho, 1995) 
 
2.3.1 Lenho 
 
É o conjunto de todos os anéis de crescimento, cerne e alburno. 
2.3.2 Casca 
 
É um tecido especial, constituído interiormente pelo floema (conjunto de tecidos vivos 
responsáveis pela condução da seiva elaborada), e exteriormente pelo córtex, periderme 
e ritidoma (tecidos que revestem o tronco). 
 
A casca tem a função de proteger o vegetal contra ressecamento, ataques fúngicos, 
injúrias mecânicas e variações climáticas, não servindo para uso estrutural 
 
 
21 
2.3.3 Câmbio 
 
 
O câmbio é uma camada de células situada entre o xilema e o floema, cuja função é a de 
gerar novas células (tecido meristemático). Essas novas células irão formar os tecidos 
secundários que constituem o xilema e a casca. 
 
2.3.4 Anéis de Crescimento 
 
 
As atividades do câmbio geram anéis que podem ser facilmente identificados em um 
corte transversal de um tronco. 
Essa identificação é mais visível em vegetais que são encontrados em regiões de clima 
temperado, onde as estações do ano são bem definidas, e os anéis de crescimento 
correspondem a ciclos anuais, caracterizando, dessa maneira, a idade da árvore. (ver 
figura 5, pág. 18) 
 
As mudanças climáticas nas diferentes estações do ano são as responsáveis pelas 
variações da atividade cambial. Durante a primavera e o verão, onde há abundância de 
luz e água, a atividade cambial é muito intensa, formando células que são caracterizadas 
pela sua coloração clara (lenho inicial ou estival), diminuindo progressivamente no 
outono até cessar por completo no inverno, que devido a escassez de luz e água, 
apresentam uma tonalidade mais escura (lenho tardio ou primaveril). O ciclo anual da 
árvore se dá pela intercalação entre o lenho inicial e o tardio. 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Anel de crescimento de uma gimnosperma em corte vertical 
(Fonte: Burger e Richter, 1991) 
 
2.3.5 Cerne e Alburno 
 
O lenho de uma árvore é composto por uma região mais escura localizada no seu 
centro (cerne), que é caracterizado como sendo a região mais resistente e mais densa, de 
vasos lenhosos mais antigos. A outra região (alburno), mais clara, é localizada nas 
proximidades do câmbio, que é a região jovem do tronco, onde as atividades dos vasos 
lenhosos ainda são atuantes, sendo, dessa maneira, uma região mais úmida e menos 
resistente. 
 
O transporte da seiva elaborada e a formação de células novas ocorrem na periferia do 
tronco. Dessa maneira, à medida que a árvore cresce, a sua parte mais central distancia-
se do câmbio e vai perdendo as suas atividades vitais, caracterizando o seu crescimento 
horizontal. 
 
 
 
23 
 
2.3.6 Raios Medulares 
 
São faixas horizontais de comprimento indeterminado, dispostas radialmente no tronco. 
Os raios medulares são células parenquimáticas, cuja função principal é a de 
armazenamento de substâncias nutritivas, e que desempenham, também, o transporte de 
nutrientes no sentido horizontal. 
 
2.3.7 Medula 
 
É a parte mais central do tronco, que resulta da primeira fase do crescimento vertical. A 
medula tem função de armazenar substâncias nutritivas, e por ser constituída de tecido 
parenquimático, é uma região suscetível a apodrecimentos causados por fungos. 
 
Por se tratar da região de resistência mais baixa, essa parte do tronco é completamente 
desprezada para utilização do material para a construção civil. 
 
2.4 Estrutura Microscópica do Tronco: maneira básica para classificação botânica 
da árvore 
 
Para fins de estruturas de madeira, o engenheiro deve saber apenas o básico em relação 
às estruturas microscópicas do tronco. Saber como são estes elementos e como eles se 
posicionam nas árvores, pois só assim é possível compreender o seu comportamento 
estrutural. 
 
 
24 
As principais estruturas microscópicas são os traqueídes, vasos, fibras e raios 
medulares. Os raios medulares são encontrados tanto nas coníferas quanto nas 
dicotiledôneas, cuja função foi estabelecida no item 2.3.6 deste trabalho. 
 
Além dos raios medulares, as coníferas são constituídas principalmente por traqueídes, e 
as dicotiledôneas por vasos e fibras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Corte longitudinal do posicionamento do elemento anatômico 
Coníferas: 
 
 
 
Figura 7 – Estrutura microscópica das coníferas (corte transversal) 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
25 
2.4.1 Traqueídes 
 
 “Células alongadas, fechadas e afiladas nas extremidades. Entre 
células adjacentes, na direção vertical formam-se válvulas 
especiais (pontuação aureolada) que regulam a passagem da 
seiva bruta de uma célula para a seguinte. Os traqueídes têm a 
função de conduzir a seiva e resistir as solicitações mecânicas”. 
(CALIL JUNIOR, 1978, p. 5) 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Estrutura microscópica das dicotiledôneas (corte transversal) 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
Dicotiledôneas: 
2.4.2 Vasos 
 
“São constituídos por células alongadas, fechadas no início de 
sua formação e com posterior dissolução das paredes formando 
um duto contínuo. Os vasos, em cortes transversais do tronco, 
aparecem como se fossem poros, com grande espaço vazio 
interno. Tem basicamente a função de condutor da seiva”. 
(CALIL JUNIOR, 1978, p. 6) 
 
 
 
 
 
26 
2.4.3 Fibras 
 
“São longas, de paredes relativamente grossas, apresentam 
restrito espaço vazio interno. São afiladas em suas extremidades, 
constituindo a maior parte da madeira das dicotiledôneas. Tem 
basicamente a função de resistir as solicitações mecânicas”. 
(CALIL JUNIOR, 1978, p. 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
luz e clorofila 
 
3 CARACTERÍSTICAS QUÍMICAS DA MADEIRA 
 
 
3.1 Formação da Madeira 
 
O processo de transformação da seiva bruta em seiva elaborada ocorre nas folhas 
através do processo da fotossíntese. Esse processo ocorre através da combinação do gás 
carbônico do ar com a água do solo e absorção de energia calorífica, como mostra a 
equação abaixo: 
 
CO2 + 2H2O + 112,3 cal CH2O + H2O + O2 
 
 
A análise elementar da madeira indica a seguinte composição química: 
 
Carbono 50,00% 
Oxigênio 43,00% 
Hidrogên
io 
6,10% 
Nitrogêni
o 
0,04% - 
0,20% 
Cinzas 0,26% - 
0,60% 
Tabela 01 – Composição química elementar da madeira 
(Fonte: Hellmeister, 1983) 
 
 
 
28 
Do processo fotossintético, forma-se o radical monossacarídeo CH2O, que é o 
componente orgânico elementar que forma a madeira. Este elemento, através de 
processos de polimerização vai originar os açucares que formam a maioria das 
substâncias orgânicas vegetais, tais como: celulose, hemicelulose, lignina, resinas, 
corantes, etc. 
A concentração dessas substâncias varia de acordo com a classificação botânica da árvore: 
 Coníferas Dicotiledôneas 
Celulose 48 – 56% 46 – 48% 
Hemicelulos
e 
23 – 26% 19 – 28% 
Lignina 26 – 30% 26 – 35% 
Tabela 02 – Composição orgânica das madeiras 
(Fonte: Hellmeister, 1983) 
3.1.1 Celulose 
A celulose é um polímero formado de até 3000 elementos que constitui as paredesdas fibras, vasos e traqueídes. A sua fórmula geral é n.(C6H10O5), e a sua fórmula 
estrutural básica é assim apresentada: 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Fórmula estrutural básica da celulose 
 
 
 
29 
Lateralmente, as cadeias de celulose, através das suas oxidrilas (OH), são ligadas por 
pontes de hidrogênio: 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Ligação entre cadeias de celulose através de pontes de hidrogênio 
 
Além da ligação lateral entre as cadeias de celulose, as oxidrilas podem unir-se a 
moléculas de água: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Ligação das oxidrilas com molécula de água 
 
 
 
30 
A formação dessa molécula origina a água de impregnação. A saída dessa água gera 
retração, e a entrada, inchamento, gerando deformações em suas peças. 
 
3.1.2 Lignina 
 
A lignina é um composto aromático de alto peso molecular, que exerce a função de 
cimento ou adesivo, dando rigidez e dureza ao material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
4 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DA MADEIRA 
 
 
As propriedades físicas da madeira são fundamentais para a definição dos limites de 
resistência. Apresentam-se aqui, de maneira simples e sucinta, aquelas mais importantes 
no aspecto de projetos de estruturas de madeira: umidade, densidade, retração e 
inchamento. 
4.1 Umidade 
A quantidade de água existente na madeira influi nas suas demais propriedades físicas. 
Existem três tipos de água na madeira: impregnação, absorção e constituição. 
4.1.1 Água de Absorção 
A água de absorção é a responsável pelo enchimento dos vazios dos elementos 
anatômicos. Teoricamente, esse tipo de água não afeta a resistência da madeira, porém a 
sua saída brusca em uma secagem pode provocar tensões capilares e trincamento da 
peça. 
4.1.2 Água de Impregnação 
A água de impregnação é aquela que se aloja entre as cadeias de celulose, impregnando 
as paredes dos elementos anatômicos, provocando inchamento ou retração, conforme 
apresentado no item 3.1.1 deste trabalho. 
4.1.3 Água de Constituição 
A água de constituição é oriunda da formação da madeira, fazendo parte da sua 
estrutura molecular. A sua saída ocorre somente com a sua queima. 
 
 
 
 
 
32 
(%) 
4.1.4 Ponto de Saturação 
O ponto de saturação é caracterizado pela umidade abaixo da qual toda a água existente 
é água de impregnação (em torno de 33%). A perda de água da madeira até esse ponto 
não gera problemas para a sua estrutura. A partir desse ponto, a sua secagem requer 
mais cuidados para evitar defeitos, pois ela é acompanhada pela retração e aumento de 
resistência mecânica, devido a movimentação das cadeias de celulose. 
Em contato com o ar atmosférico, a madeira tende a se estabilizar com a umidade do 
meio, caracterizando a umidade de equilíbrio, que é função da temperatura e da 
umidade relativa do ar. No país, esse parâmetro fica em torno de 12 a 15%. 
4.1.5 Teor de Umidade 
O teor de umidade é determinado pela seguinte expressão: 
 
 
 
Onde: 
m1  Massa inicial da madeira com U% de teor de umidade 
m2  Massa da madeira seca em estufa (100 + ou – 3 oC) 
 
Para fins de aplicação estrutural da madeira e para classificação de espécies, a norma 
brasileira especifica a umidade de 12% como de referência para a realização de ensaios 
e valores de resistência nos cálculos. 
 
 
100
2
21 ⋅
−
=
m
mmU
 
 
33 
Figura 14 – Secagem natural 
 
 
Figura 15 – Secagem artificial (em fornos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Umidade na madeira 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
4.1.6 Métodos de Secagem 
A secagem da madeira pode ser realizada ao ar livre ou em estufas. No processo de 
secagem natural a madeira estabiliza a sua umidade entre 12% e 15%, pois existe um 
equilíbrio com a umidade do meio. O teor de umidade de 0% só é atingido pela madeira 
quando o processo de secagem é realizado artificialmente nas estufas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
4.2 Densidade 
 
A densidade da madeira representa o seu peso específico. Ela depende da espécie em 
estudo, do local de procedência da árvore, da localização do corpo de prova na tora e da 
umidade. 
 
No estudo de estruturas de madeira existem dois tipos de densidade consideradas: real e 
aparente. 
 
4.2.1 Densidade Real 
 
Representa a densidade do material madeira, sem computar águas e vazios, ou seja, 
somente o seu valor de ocupação do material. Ela é obtida através da densidade das 
paredes dos elementos anatômicos. Cientificamente, ela já foi calculada e seu valor é de 
1,53 + ou – 0,03 g/cm3, independente da espécie. 
4.2.2 Densidade Aparente 
 
É a densidade medida no teor U% de umidade em que a madeira se encontra, e é dada 
pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
V
Pd
aparente
u
aparente =
 
 
35 
Onde: 
 
Pu  Peso da madeira a U% de umidade. 
Vaparente  Volume do corpo medido a U% de umidade. 
 
Esta densidade é um parâmetro utilizado para a determinação da qualidade da madeira 
em relação a sua utilização estrutural, onde quanto maior a densidade aparente, 
melhores são as suas características mecânicas. 
 
 
 
 
 
Figura 16 – Umidade da madeira. Diagrama resistência X densidade 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Relação entre umidades diferentes. Diagrama resistência X densidade 
 
 
 
36 
Figura 18 – Determinação empírica da densidade aparente 
Observe na figura 17 que para um material com mesma densidade e umidades diferentes 
resultam em resistências também diferentes, ou seja, umidade e resistência são 
grandezas inversamente proporcionais. 
Como o teor de umidade influi na densidade, a determinação da densidade é feita 
utilizando o corpo de prova estabilizado ao ar, corrigindo-se os resultados obtidos para a 
densidade correspondente à umidade de 12%. Neste trabalho, na Tabela 13, página 51, 
apresentam-se várias espécies com suas densidades a 12% de umidade. 
O diagrama de Kollmann apresenta uma relação entre a umidade e a densidade da 
madeira. Dessa maneira, a determinação da densidade da madeira, que é realizada com 
corpos-de-prova estabilizados ao ar, é corrigida para o teor de 12% através deste 
diagrama. (HELLMEISTER, 1983, p. 20). 
4.2.3 Determinação Empírica da Densidade Aparente: através do mergulho em água 
É possível a determinação da densidade aparente de maneira empírica, com razoável 
aproximação. Mergulha-se em uma proveta cheia de água uma barra de madeira de 
seção uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Peso da barra  Pbarra = dmadeira . Vtotal  Pbarra = dmadeira . S . L 
 Empuxo da água  Eágua = dágua . Vdeslocado  Eágua = 1 . S . L’ 
 
Onde: 
 
Pbarra  Peso da barra 
dmadeira  Densidade do corpo 
Vtotal  Volume total do corpo submerso 
Eágua  Empuxo da água 
dágua  Densidade da água 
Vdeslocado  Volume deslocado pelo corpo 
S  Área da seção transversal do corpo-de-prova 
 
A partir do equilíbrio entre o peso da barra e o empuxo da água, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
'LS1LSdEP águabarra ⋅⋅=⋅⋅→=
L
'Ld =
 
 
38 
Onde: 
 
L  Comprimento total da barra 
L’  Comprimento da barra submersa 
 
Conclui-se que a densidade aparente da madeira pode ser determinada a partir da 
relação entre o comprimento submerso pelo comprimento total da barra. Convém 
ressaltar que o IPT usa esta metodologia substituindo a água por mercúrio, pois os 
vazios da madeira não são preenchidos por este líquido,dando uma maior precisão para 
a determinação da densidade. 
 
4.3 Retração e Inchamento 
 
Devemos levar em consideração que a madeira é um material anisotrópico, ou seja, ela 
responde de maneira diferente ao mesmo tipo de solicitação dependendo do sentido 
dessa solicitação. Isso se deve ao fato de que o seu crescimento é diferenciado em 
relação a três eixos perpendiculares entre si: axial, radial e tangencial. As diferenças das 
propriedades nas direções radial e tangencial são relativamente menores quando 
comparadas com a direção axial. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Eixos principais da madeira em relação à direção das fibras 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
A diminuição da quantidade de água de impregnação aproximam as cadeias de celulose, 
gerando a retração. O aumento da quantidade dessa água afastam as cadeias de 
celulose, que geram, dessa maneira, o inchamento. 
 
O comportamento anisotrópico da madeira também pode ser observado em relação à 
retração, que ocorre em porcentagens diferentes nas direções tangencial, radial e axial. 
Isso explica a maior parte dos defeitos que ocorrem com a secagem da madeira, tais 
como as rachaduras e empenamentos, que surgem a partir das diferenças de tensões 
oriundas da retração nos sentidos analisados. 
 
 
40 
(%) 
 
A retração tangencial apresenta valor de até 10% de variação dimensional, podendo 
gerar problemas de torção nas peças de madeira. A retração radial, com 6% de variação 
dimensional, pode apresentar problemas de rachaduras, enquanto que a retração axial 
apresenta valor de 0,5% de variação dimensional. 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Retração da madeira 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Podemos observar, através do gráfico acima, que variações de umidade acima do ponto 
de saturação (33%) não acarretam retrações nas peças. Fato este também observado em 
relação ao fenômeno do inchamento. 
 
A porcentagem de retração pode ser calculada através da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
100⋅−=
D
DDR
n
on
n
 
 
41 
(%) 
Figura 21 – Encanoamento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Figura 22 – Encurvamento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Onde: 
Rn  Porcentagem de retração na direção considerada 
Dn  Dimensão na direção considerada da madeira com U% de teor de umidade 
Do  Dimensão na direção considerada da madeira seca em estufa 
 
A porcentagem de inchamento pode ser calculada de acordo com a seguinte expressão: 
 
 
 
Onde: 
 
In  Porcentagem de retração na direção considerada 
Dn  Dimensão na direção considerada da madeira com n% de teor de umidade 
Do  Dimensão na direção considerada da madeira seca em estufa 
 
4.3.1 Defeitos em Peças Provocados pela Retração ou Inchamento 
 
 
 
 
 
 
100⋅
−
=
D
DD
I
n
on
n
 
 
42 
Figura 23 – Arqueamento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Figura 24 – Torcimento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
 
 
 
 
Estes defeitos podem ser minimizados efetuando-se uma secagem com controle 
rigoroso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
5 CONSIDERAÇÕES DE ESTADOS LIMITES E CARGAS 
 PARA PROJETO DE ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
5.1 Estados Limites 
 
“Toda estrutura deve ser projetada e construída de modo a 
satisfazer aos seguintes requisitos básicos de segurança: 
 
a) Com probabilidade aceitável, ela deve permanecer 
adequada ao uso previsto, tendo-se em vista o custo de 
construção admitido e o prazo de referência da duração 
esperada; 
 
b) Com apropriado grau de confiabilidade, ela deve 
suportar todas as ações e outras influências que podem agir 
durante a construção e durante a sua utilização, a um custo 
razoável de manutenção”. (ABNT, 1997, p. 6) 
 
Para atender a estes requisitos básicos de segurança, as estruturas de 
madeira são projetadas atendendo a exigência de trabalharem aquém de seus 
estados limites. Entendendo-se por estados limites as situações às quais a 
estrutura apresenta desempenhos inadequados às finalidades da construção. Os 
estados limites podem ser: ÚLTIMOS e de UTILIZAÇÃO. 
 
5.1.1 Estados Limites Últimos 
 
Conforme a NBR 7190: 1997, são os que pela sua simples ocorrência 
determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção, atingindo 
de imediato a situação de colapso. 
 
5.1.2 Estados Limites de Utilização 
 
“São os que por sua ocorrência, repetição ou duração 
causam efeitos estruturais que não respeitam as condições 
especificadas para o uso normal da construção, ou que são 
indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura”. 
(FUSCO, 1983, p. 4) 
 
 
 
44 
ou 
O estado limite de utilização não leva, de imediato, a estrutura a um estado 
de colapso. Porém, com o decorrer do tempo de sua atuação, a estrutura atinge 
deformações excessivas que comprometem seus aspectos estéticos, chegando a 
comprometer a vida útil da mesma. 
 
5.1.3 Condições de Segurança para o Estado Limite Último 
 
Como foi dito, devemos projetar as estruturas de madeira afim delas 
garantirem os seus estados limites. Para isso, deve-se obedecer as condições 
analíticas de segurança dadas por: 
 
Sd ≤ Rd 
 
Onde: 
 
O valor de Rd é obtido a partir da resistência característica do ensaio Rk, 
segundo a seguinte expressão: 
 
 
 
 
Onde: 
 
Rm  Resistência média da população ensaiada em laboratórios idôneos. 
δ  Coeficiente de variação das resistências, adotado, usualmente, em 0,18, 
podendo adquirir valor de 0,15 caso os ensaios sejam mais qualificados, 
proporcionando, neste caso, uma exigência maior do material. 
 
 
 
 
Sd  Solicitação de cálculo 
Rd  Resistência de cálculo da madeira 
γ⋅= w
k
modd
RKR R7,0R mk ⋅= ( )δ⋅−⋅= 645,11RR mk
 
 
45 
γw  “Coeficiente de minoração das resistências do material 
constituído pelo produto de três outros coeficientes parciais, 
tal que: 
 
 
 
onde γm1 leva em conta a verdadeira variabilidade da 
resistência dentro de lotes homogêneos , γm2 leva em conta 
as diferenças entre o material da estrutura e o material do 
corpo-de-prova de controle, e γm3 leva em conta outras 
causas de diminuição da resistência, tais como os defeitos 
localizados e imprecisões das hipóteses de cálculo dos 
métodos de avaliação da resistência das peças estruturais” 
(ABNT, 1997, p. 93 a 94) 
 
Os valores de γw já são tabelados de acordo com o estado limite 
considerado e a solicitação sofrida pela peça. (ver Tabela 19, pág.55). 
 
Kmod  Coeficiente de modificação que leva em conta fatores não previstos por 
γw, tais como classe de carregamento, classe da madeira, classe de umidade, etc. 
Valor obtido a partir das Tabelas 16, 17 e 18, págs. 54 a 55, deste trabalho 
 
 
5.2 Ações nas Estruturas 
 
As ações são as causas que provocam o aparecimento de esforços ou 
deformações nas estruturas. Elas podem ser classificadas, segundo sua 
variabilidade no tempo. 
 
5.2.1 Ações Permanentes 
 
São ações que ocorrem com valores constantes ou com pequena variação 
em torno de sua média durante a vida da construção. Exemplo: peso próprio da 
estrutura 
 
 
 
 
γ⋅γ⋅γ=γ 3m2m1mw
 
 
46 
5.2.2 Ações Variáveis 
 
São as ações que apresentam variações significativas durante a vida da 
construção. Exemplos: carga móvel em pontes e a ação do vento. 
 
5.2.3 Ações Variáveis Excepcionais 
 
São as ações que apresentam baixas probabilidades de ocorrência e com 
duração extremamente curtadurante a vida da construção. Exemplos: abalos 
sísmicos e vibrações por ressonância. 
 
5.2.4 Ações nas Estruturas de Madeira 
 
“No projeto das estruturas correntes de madeira devem ser 
consideradas as ações seguintes, além de outras que 
possam agir em casos especiais: 
 
a) Carga permanente; 
b) Cargas acidentais verticais; 
c) Impacto vertical; 
d) Impacto lateral; 
e) Forças longitudinais; 
f) Força centrífuga; 
g) Vento.” (ABNT, 1997, p. 9) 
 
Obs:
b) Cargas Acidentais: Considera-se cargas de pessoas, veículos, mobílias, 
vento e etc. Elas, que com exceção do vento, são consideradas de longa duração. 
A ação do vento é considerada carga rápida (curta duração) agindo normalmente 
à superfícies de obstrução. Nas estruturas de madeira, para levar em conta a 
 As cargas descritas nos itens c, d, e, e f da norma, são consideradas 
em projeto de pontes de madeira, e deste modo, não serão abordadas neste 
trabalho. 
 
a) Carga Permanente: Peso próprio e acessórios. Nas estruturas de madeira 
acrescenta-se 3% do peso próprio devido as peças metálicas das ligações. 
 
 
 
47 
maior resistência à ação de cargas rápidas, a ação do vento é multiplicada por 
0,75 e considerada como de longa duração. 
 
5.3 Carregamentos Formados pelas Ações nas Estruturas 
 
5.3.1 Carregamento Normal 
 
“Um carregamento é normal quando inclui apenas as ações 
decorrentes do uso previsto para a construção, é 
considerado de longa duração e deve ser verificado nos 
estados limites último e de utilização.” (CALIL JUNIOR, 
2000, p. 27) 
 
Como exemplo podemos citar a consideração do peso próprio e as ações 
acidentais. A ação do vento pode ser considerada de longa duração desde que 
seja reduzida sua ação em 25%. 
 
5.3.2 Carregamento Especial 
 
“Neste carregamento estão incluídas as ações variáveis de 
natureza ou intensidade especiais, superando os efeitos 
considerados para um carregamento normal. Como exemplo 
o transporte de um equipamento especial sobre uma ponte, 
que supere o carregamento do trem-tipo considerado.” 
(CALIL JUNIOR, 2000, p. 27) 
 
Este tipo de carregamento, normalmente, não se considera nos projetos 
usuais de estruturas de madeira. 
 
5.3.3 Carregamento Excepcional 
 
“Na existência de ações com efeitos catastróficos o 
carregamento é definido como excepcional, e corresponde à 
classe de carregamento de duração instantânea. Como 
exemplo temos a ação de um terremoto”. (CALIL JUNIOR, 
2000, p. 27) 
 
Este tipo de carregamento também, normalmente, não se considera nos 
projetos usuais de estruturas de madeira. 
 
 
48 
5.3.4 Carregamento de Construção 
 
“Outro caso particular de carregamento é o de construção, 
onde os procedimentos de construção podem levar a 
estados limites últimos, como por exemplo o içamento de 
uma treliça”. (CALIL JUNIOR, 2000, p. 27) 
 
Exemplo: lançamento de um balanço progressivo em pontes de grandes 
vãos. Caso em que, normalmente, não se considera usualmente nos projetos de 
estruturas de madeira. 
 
5.4 Combinações das Ações 
 
As ações que ocorrem nas estruturas devem ser combinadas, através de 
coeficientes, que levem a probabilidade de ocorrência simultânea, de maneira a 
se estabelecer as situações mais críticas para a estrutura, sendo: 
 
5.4.1 Ações Permanentes 
 
São consideradas em sua totalidade 
 
5.4.2 Ações Variáveis 
 
São consideradas apenas as parcelas que produzem efeitos desfavoráveis 
para a segurança. 
 
Essas combinações dependem do tipo de ação e do estado limite 
considerado, caracterizando três situações de projeto: duradoura, transitória e 
excepcional, sendo, nas estruturas de madeira usuais somente a situação de 
projeto duradoura. As demais são raras e podem ser analisadas no item 5.3 da 
NBR 7190: 1997. 
 
 
 
 
 
 
49 
Situação de Projeto Duradoura: 
 
Duração igual ao período de referência da estrutura. Esta situação é 
considerada no projeto de todas as estruturas. Deve-se fazer as verificações nos 
dois estados limites usuais, conforme tabela abaixo: 
 
Estado Limite Combinações 
Estado Limite Último Combinações normais 
Estado Limite de Utilização Combinações de longa duração 
Tabela 03 – Combinações na verificação de situação de projeto duradoura 
 
5.4.3 Combinações para o ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Combinações Normais: 
 
γgi Coeficiente de majoração para as ações permanentes 
Fgi,k Valor característico das ações permanentes 
γq Coeficiente de majoração para as ações variáveis 
Fq1,k Valor característico da ação variável considerada como ação principal 
ψ0j Coeficiente de minoração para as ações variáveis secundárias 
Fqj,k Valor característico da ação variável considerada como ação secundária 
 
Neste tipo de combinação, uma das ações características variáveis é 
considerada como principal, tendo o seu valor majorado pelo coeficiente γq 
(Tabela 08, pág. 45), e as demais são consideradas como secundárias e devem 
apresentar-se com valor minorado pelo coeficiente ψ0j (Tabela 09, pág. 45), 
devido a baixa probabilidade de ocorrência simultânea. 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
50 
Os coeficientes variam de acordo com o tipo de ação atuante na estrutura. 
Os valores que serão apresentados referem-se aos coeficientes apresentados 
pela NBR 7190: 1997. 
 
AÇÃO TABELA 
Ações permanentes de pequena variabilidade (γg) 
Peso da madeira classificada estruturalmente cuja densidade tenha 
coeficiente de variação não superior a 10% 
Tabela 5 
Ações permanentes de grande variabilidade (γg) 
Peso próprio da estrutura não supera 75% da totalidade dos pesos 
permanentes 
Tabela 6 
Ações permanentes indiretas (γε) 
Efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais Tabela 7 
Ações variáveis (γq) Tabela 8 
Ações variáveis secundárias (ψ0) Tabela 9 
Ações variáveis secundárias de longa duração (ψ0,ef) 
Igual ao coeficiente para ações variáveis secundárias (ψ0). Quando 
a ação variável principal (Fq1) tiver um tempo de atuação muito 
pequeno ψ0,ef = ψ2 
Tabela 9 
Tabela 04 – Caracterização das ações e as referentes tabelas de coeficientes 
 
 
Ações Permanentes de Pequena Variabilidade 
Combinações Para efeitos Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,3 γg = 1,0 
Especiais ou de Construção γg = 1,2 γg = 1,0 
Excepcionais γg = 1,1 γg = 1,0 
Tabela 05 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Ações Permanentes de Grande Variabilidade 
Combinações Para efeitos Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,4 γg = 0,9 
Especiais ou de Construção γg = 1,3 γg = 0,9 
Excepcionais γg = 1,2 γg = 0,9 
Tabela 06 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
 
 
51 
Ações Permanentes Indiretas 
Combinações Para efeitos Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γε = 1,2 γε = 0 
Especiais ou de Construção γε = 1,2 γε = 0 
Excepcionais γε = 0 γε = 0 
Tabela 07 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Ações Variáveis 
Combinações Ações variáveis em geral incluídas as cargas acidentais 
Efeitos da 
temperatura 
Normais γq = 1,4 γε = 1,2 
Especiais ou de 
Construção γq = 1,2 γε = 1,0 
Excepcionais γq = 1,0 γε = 0 
Tabela 08 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Fatores de Minoração 
Ações em estruturas correntes ψ0 ψ1 ψ2 
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual 
local 0,6 0,5 0,3 
- Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0 
Cargas acidentais dos edifícios ψ0 ψ1 ψ2 
- Locais em que não há predominância de pesos de 
equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas 0,4 0,3 0,2 
- Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, 
ou de elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,60,4 
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos ψ0 ψ1 ψ2 
- Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2* 
- Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2* 
- Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,4* 
* Admite-se ψ2 = 0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico 
Tabela 09 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
5.4.4 Combinações para o ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO 
 
As combinações de ações no estado limite de utilização correspondem ao 
tempo de duração ao qual a estrutura sofre com o carregamento. Dessa maneira, 
a NBR 7190 apresenta as seguintes classes de carregamento: 
 
 
52 
 
Classe de 
carregamento 
Ação variável principal da combinação 
Duração 
acumulada 
Ordem de grandeza da duração 
acumulada da ação característica 
Permanente Permanente Vida útil da construção 
Longa duração Longa duração Mais de seis meses 
Média duração Média duração Uma semana a seis meses 
Curta duração Curta duração Menos de uma semana 
Duração 
instantânea 
Duração 
instantânea Muito curta 
Tabela 10 – Classe do carregamento e suas durações 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Os coeficientes utilizados para as combinações nos estados limites de 
utilização estão apresentados na tabela 09, pág. 45, e representam: 
 
ψ2 = coeficiente para as ações variáveis de longa duração. 
 
 
 
 
 
Onde: 
Combinações de Longa Duração: 
 
 Utilizada no controle usual de deformações nas estruturas. 
 
 
 
 
5.4.5 Exemplo de Combinações de Ações 
 
Considere um elemento estrutural de madeira para uma adutora solicitado 
às seguintes cargas: 
 
 
 
Fgi,k Valor das ações permanentes 
ψ2j Coeficiente de minoração para as ações variáveis 
Fqj,k Valor das ações variáveis (valores de longa duração) 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
 
 
53 
• Carga Permanente = 1000 daN 
• Vento = 350 daN 
• Ação da Água = 1500 daN 
 
Efetuar a combinação das ações para o estado limite último e para o estado 
limite de utilização 
 
Solução: 
 
5.4.5.1 Para Estado Limite Último 
 
1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Ação da Água  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Ação da Água  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
3) Combinação das Ações: 
 
 
 
 
Fd = 1400 + 2100 + 183,75 
 
Fd = 3683,75 daN 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
( )3505,075,015004,110004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅=
 
 
54 
Obs:
5.4.5.2 Para Estado Limite de Utilização 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente 
 Ação da Água  Ação variável 
 Vento  Ação variável 
 
2) Determinação dos coeficientes: 
 Ação da Água  ψ2 = 0,2 (local em que não há predominância de 
 pesos de equipamentos fixos) (Tabela 9, pág. 45) 
 
 Vento  ψ2 = 0,2 (local em que não há predominância de pesos de 
 equipamentos fixos) (Tabela 9, pág. 45) 
 
3) Combinação das Ações: 
 
 
 
 
Fd,uti = 1000 + 300 + 52,50 
 
Fd,uti = 1352,50 daN 
 
Obs:
 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
 
 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
35075,02,015002,01000F uti,d ⋅⋅+⋅+=
 
 
55 
 
6 PROPRIEDADES DA MADEIRA 
 CONSIDERADAS NO DIMENSIONAMENTO 
 
 
Existem quatro propriedades que devem ser consideradas no 
dimensionamento estrutural das peças de madeira: densidade, resistência, rigidez 
ou módulo de elasticidade e umidade. 
 
6.1 Densidade 
 
A densidade da madeira serve para o cálculo do peso próprio da peça. Esse 
cálculo pode ser realizado utilizando-se o valor da densidade aparente na 
umidade de 12%. 
 
6.2 Resistência 
 
A resistência pode ser obtida a partir de valores de resistências fornecidos 
pela norma brasileira de estruturas de madeira que apresentam as características 
de diversas espécies. (Ver Tabela 13, pág. 51, ou Tabelas de Classes – 11 e 12, pág. 50) 
 
6.2.1 Classes de Resistência e Propriedades da Madeira 
 
“As classes de resistência das madeiras têm por objetivo o 
emprego de madeiras com propriedades padronizadas, 
orientando a escolha do material para elaboração de 
projetos estruturais” (ABNT, 1997, p. 16) 
 
Quando não é possível especificar a espécie da madeira, a classificação 
pelas classes de resistência torna-se uma maneira mais prática para a 
determinação de suas características. Essa classe pode ser obtida a partir da 
determinação da sua densidade aparente. 
 
A seguir serão apresentadas as classes de resistência das coníferas e 
dicotiledôneas com as suas respectivas propriedades (umidade 12%), bem como 
 
 
56 
uma tabela com as propriedades de algumas espécies específicas de madeira, 
tendo como fonte a NBR 7190: 1997. 
 
 
Coníferas 
(Valores na condição padrão de referência U = 12%) 
Classe fcok (MPa) 
fvk 
(MPa) 
Eco,m 
(MPa) 
ρbas,m 
(kg/m3) 
ρaparente 
(kg/m3) 
C 20 20 4 3500 400 500 
C 25 25 5 8500 450 550 
C 30 30 6 14500 500 600 
Tabela 11 – Classes de resistência das coníferas 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Dicotiledôneas 
(Valores na condição padrão de referência U = 12%) 
Classe fcok (MPa) 
fvk 
(MPa) 
Eco,m 
(MPa) 
ρbas,m 
(kg/m3) 
ρaparente 
(kg/m3) 
C 20 20 4 9500 500 650 
C 30 30 5 14500 650 800 
C 40 40 6 19500 750 950 
C 60 60 8 24500 800 1000 
Tabela 12 – Classes de resistência das dicotiledôneas 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Onde: 
 
fcok Resistência característica à compressão paralela às fibras 
fvk Resistência característica ao cisalhamento 
Eco,m Módulo de elasticidade médio longitudinal 
ρbas,m Densidade média 
ρaparente Densidade aparente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 13 – Propriedades de algumas espécies de madeira 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
58 
6.3 Módulo de Elasticidade 
 
O módulo de elasticidade da madeira determina o seu comportamento na 
fase elástico-linear. O módulo de elasticidade da madeira normal às fibras (E90) 
pode ser determinado numericamente como sendo a vigésima parte do módulo de 
elasticidade da madeira paralela às fibras (E0). 
 
 
 
 
6.4 Umidade 
 
As propriedades de resistência e elasticidade da madeira variam de acordo 
com a umidade apresentada pela peça. Dessa maneira esses valores devem ser 
corrigidos, em função das condições ambientais, a uma umidade de 12%, 
representando os valores apresentados neste trabalho. 
 
Para valores de resistência e elasticidade encontrados em laboratório em 
peças com umidade entre 10% ≤ U ≤ 20%, pode-se fazer as correções a partir 
das seguintes expressões: 
 
• Resistência  
 
 
• Elasticidade  
 
 
De acordo com a NBR 7190 as classes de umidade são assim 
determinadas: 
 
 
 
 
 
( )



 −+=
100
12%U.31.ff %U12
( )


 −+=
100
12%U.21.EE %U12
20
EE o90 =
 
 
59 
Classes de 
umidade 
Umidade relativa do 
ambiente (Uamb) 
Umidade de equilíbrio da 
madeira (Ueq) 
1 ≤ 65% 12% 
2 65% < Uamb ≤ 75% 15% 
3 75% < Uamb ≤ 85% 18% 
4 Uamb > 85% durante longos períodos ≥ 25% 
Tabela 14 – Classes de umidade 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
A correção relativa a resistência e elasticidade de peças a partir das classes 
de umidade serão consideradas pelo fator de correção (Kmod,2), onde a resistência 
característica deve ser multiplicada por este fator (ver Tabela 17, pág. 54). 
 
6.5 Determinação dos Valores das Propriedades para o Dimensionamento 
 de Peças de Madeira 
 
A partir dos valores médios das propriedades apresentadas é possível a 
determinação dos seus valores característicos a partir da seguinte expressão: 
 
Rk = 0,7 . Rm 
 
Onde: 
 
Rk  Propriedade característica do material 
Rm  Média dos ensaios para a propriedade em estudo 
 
A partir do valor característico determina-se o valor de cálculo da 
propriedade a partir da expressão: 
 
 
 
Onde: 
 
Rd Valor de cálculo da propriedade em estudo 
Rk Propriedade característica do material 
Kmod Coeficiente de modificação 
γ
⋅=
w
k
modd
RKR
 
 
60 
γw 
Coeficiente de minoração das propriedades da madeira 
(caracterizado na página 55 deste trabalho) 
 
6.5.1 Coeficientes para a Determinação do Valor de Cálculo 
 
a) Coeficiente de Modificação (Kmod) 
 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Caracterização dos Coeficientes de Modificação 
COEFICIENTE TABELA 
Kmod,1 
Depende da classe do carregamento da ação variável principal e do tipo 
do material empregado 
Tabela 18 
Kmod,2 
Depende da classe de umidade e do tipo do material empregado Tabela 19 
Kmod,3 
Depende da categoria da madeira utilizada Tabela 20 
Tabela 15 
 
Valores de Kmod,1 
Classes do carregamento 
TIPOS DE MADEIRA 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
Madeira recomposta 
Permanente 0,60 0,30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média duração 0,80 0,65 
Curta duração 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
Tabela 16 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Valores de Kmod,2 
Classe de umidade 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
Madeira recomposta 
(1) e (2) 1,0 1,0 
(3) e (4) 0,8 0,9 
Tabela 17 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
61 
Obs1: Caso a madeira serrada seja utilizada submersa, deve-se adotar: 
 Kmod,2 = 0,65 
 
Obs2: As classes de umidade estão caracterizadas na Tabela 14 da página 
53 deste trabalho. 
 
Valores de Kmod,3 
Categoria da madeira Kmod,3 
Madeira de primeira categoria. Passou por classificação visual e 
mecânica. 
1,0 
Madeira de segunda categoria. 0,8 
Tabela 18 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Obs:
b) Coeficiente de Ponderação (γw) 
 Nos casos de coníferas, deve-se sempre adotar Kmod,3 = 0,8 
 
 
 
Para ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
 
SOLICITAÇÃO γw 
Compressão paralela às fibras 1,4 
Tração paralela às fibras 1,8 
Cisalhamento paralelo às fibras 1,8 
Tabela 19 – Valores de γw para estados limites últimos 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Para ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
 
Valor básico: γw = 1,0 
 
 
 
 
 
 
62 
Figura 25 – Compressão paralela às fibras 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
7 COMPRESSÃO PARALELA ÀS FIBRAS 
 
 
É quando as solicitações são exercidas 
longitudinalmente na peça. Calil Junior (2000, 
p. 16) afirma que “a compressão paralela é a 
tendência de encurtar as células da madeira ao 
longo do seu eixo longitudinal”. 
 
Essa solicitação pode ocorrer em barras de treliça, pilares não submetidos a 
forças excêntricas ou a forças que provoquem flexão, ou em elementos de 
contraventamentos ou travamentos de conjuntos estruturais. 
 
7.1 Ensaio de Compressão Paralela às Fibras 
 
Os corpos-de-prova devem possuir dimensões de 5,0cm de lado (seção 
transversal quadrada) e 15,0cm de comprimento: 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 – Corpo-de-prova para ensaio de compressão paralela às fibras 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
O número de corpos-de-prova é determinado pela norma como sendo: 
 
• Caracterização simplificada  6 corpos-de-prova 
• Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas  
12 corpos-de-prova 
 
 
 
63 
A partir dos ensaios pode-se definir o valor médio das propriedades, e o seu 
respectivo valor característicos definido no item B.3 (pág.48) da norma. Lembrar 
que esse valor característico também pode ser definido como 70% do valor médio 
obtido por laboratórios idôneos (Tabela 13, pág. 51). 
 
A resistência à compressão paralela às fibras (fco) é definido como sendo a 
máxima tensão de compressão que pode atuar no corpo-de-prova descrito acima: 
 
S
F
f máx,coco = 
 
Onde: 
 
Fco,máx  Máxima força de compressão aplicada ao corpo-de-prova 
S  Área inicial da seção transversal comprimida 
 
A rigidez é determinada pelo módulo de elasticidade da madeira, que é 
obtido a partir da inclinação da reta secante à curva do diagrama tensão X 
deformação específica, entre os pontos de 10% e 50% da resistência à 
compressão paralela às fibras, medidas no ensaio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 – Diagrama tensão X deformação específica 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
64 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
σ50% e σ10%  Tensões de compressão correspondentes a 10% e 50% da 
 resistência fco 
ε50% e ε10%  Deformações específicas medidas no corpo-de-prova, 
 correspondente às tensões de σ50% e σ10% 
 
De acordo com a norma, para a determinação do módulo de elasticidade 
podem ser utilizados relógios comparadores, com precisão de 0,001mm, fixados 
por meio de duas cantoneiras metálicas pregadas no corpo-de-prova, com 
distância nominal de 10cm entre as duas linhas de pregação, como mostrado na 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28 – Arranjo de ensaio para compressão paralela às fibras, com instrumentação 
baseada em relógios comparadores 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
εε
σσ
−
−
=
%10%50
%10%50Eco
 
 
65 
Figura 29 – Seção transversal genérica 
Para obtenção de maiores informações a respeito do ensaio de compressão 
paralela às fibras, consulte o anexo B, item B.8 da NBR 7190: 1997. 
 
7.2 Critérios de Dimensionamento – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
O dimensionamento de peças de madeira solicitadas por esforços 
característicos da compressão paralela às fibras é função do seu índice de 
esbeltez. 
 
Para que o índice de esbeltez seja calculado, é necessário a determinação 
dos elementos geométricos da peça. 
 
Elementos Geométricos: 
Iz  Momento de Inércia em torno do eixo z 
Iy  Momento de Inércia em torno do eixo y 
iz  Raio de giração em torno do eixo z 
iy  Raio de giração em torno do eixo y 
S  Área da seção transversal 
 
 
O índice de esbeltez de uma peça é determinado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Lo Comprimento de flambagem 
imín Raio de giração mínimo 
 
Os valores do comprimento de flambagem para estruturas de madeira são 
definidos por norma como: 
 
 
imín
Lo=λ
 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O raio de giração mínimo é dado por: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Imín Momento de Inércia mínimo da seção 
S Área da seção transversal 
 
O índice de esbeltez da peçaé determinado a partir do raio de giração 
mínimo, pois a peça tende a perder a estabilidade (flambar) em torno do eixo de 
menor inércia, como pode ser verificado na figura abaixo: 
 
 
 
 
S
Ii mínmín =
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 – Tendência de flambagem 
 
Dessa maneira, a partir do valor do índice de esbeltez as peças possuem 
critérios diferentes de dimensionamento e são assim classificadas: 
 
Classificação da Peça Índice de Esbeltez 
Peça curta λ ≤ 40 
Peça intermediária ou medianamente esbelta 40 < λ ≤ 80 
Peça longa ou esbelta 80 < λ ≤ 140 
Tabela 20 – Classificação da peça de acordo com o índice de esbeltez 
 
7.3 Dimensionamento de Peças Curtas 
 
“Para as peças curtas, definidas pelo índice de esbeltez λ ≤ 40, que 
na situação de projeto são admitidas como solicitadas apenas à 
compressão simples, dispensa-se a consideração de eventuais 
efeitos de flexão”. (ABNT, 1997, p. 25) 
 
A condição de segurança para esses elementos estruturais é dada por: 
 
σco,d ≤ fco,d 
 
Onde: 
 
 
68 
Onde: 
Lo  Comprimento de Flambagem (pág. 60) 
Imín  Raio de giração mínimo (pág. 60) 
λ ≤ 40 
 
σco,d  Tensão de compressão atuante (valor de cálculo) 
fco,d  Resistência de cálculo à compressão 
 
7.3.1 Roteiro de Verificação para Peças Curtas 
 
A verificação de peças curtas submetidas a esforço de compressão paralela às fibras 
deve ser realizada a partir do seguinte roteiro: 
 
1) Determinação da esbeltez da peça, e verificar o seu enquadramento no caso de peça 
curta. 
 
 
 
(Dado na pág. 59) 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
imín
Lo=λ








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
69 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo (item 2) 
S  Área da seção transversal 
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
 
4) Determinação da tensão de compressão atuante (σco,d). 
 
 
 
 
5) Verificação da condição de segurança. 
 
σco,d ≤ fco,d 
 
 
7.3.2 Exemplo de Dimensionamento à Compressão de Peças Curtas 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
S
Fd
d,co =σ
 
 
70 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de 10cm X 17,5cm de ipê amarelo, 
com comprimento de 1,00m, solicitada as seguintes ações: 
 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Esquema de exemplo – Peça curta 
 
Solução: 
 
( )
cm33,145812
105,17
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
=
Determinação dos elementos geométricos da peça: 
 (Momento de Inércia em torno de y) 
 
 
71 
 ( ) cm15,446612
5,1710
12
hbI 4
33
z =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de z) 
 cm89,2
175
33,1458
S
I
i
y
y === (Raio de Giração em torno de y) 
 cm05,5
175
15,4466
S
Ii zz === (Raio de Giração em torno de z) 
 
 Raio de giração mínimo  imín = 2,89cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y) 
 
1) Determinação da esbeltez da peça 
===λ
89,2
100
i
L
mín
o 34,60 
 
Como λ ≤ 40  Peça curta 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
2.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 
 
72 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
2.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 
Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
Fd = 6002,50 daN 
Obs:
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
73 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
3.2) Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
 
3.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
 
 
 
74 
3.4) Resistência de cálculo (fco,d) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
4,1
53248,0f d,co ⋅= 
 
fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
4) Determinação da tensão de compressão atuante (σco,d) 
 
S
Fd
d,co =σ 
 
175
50,6002
d,co =σ 
 
σco,d = 34,30 daN/cm² 
 
5) Verificação da condição de segurança 
 
σco,d ≤ fco,d  34,30 ≤ 182,40 OK! 
 
 
 
 
 
 
75 
7.4 Dimensionamento de Peças Intermediárias ou Medianamente Esbeltas 
 
“As peças medianamente esbeltas, definidas pelo índice de esbeltez 
40 < λ ≤ 80, são submetidas na situação de projeto à flexo-
compressão com os esforços de cálculo Nd e Md”. (ABNT, 1997, p. 
25) 
 
A condição de segurança para esses elementos estruturais é dada por: 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
Onde: 
 
σNd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido à força normal de 
 compressão. 
σMd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor Md 
fco,d  Resistência de cálculo à compressão 
 
7.4.1 Roteiro de Verificação para Peças Intermediárias ou Medianamente Esbeltas 
 
A verificação de peças medianamente esbeltas submetidas a esforço de compressão 
paralela às fibras deve ser realizada a partir do seguinte roteiro: 
 
1) Determinação da esbeltez da peça, e verificar o seu enquadramento no caso de peça 
intermediária ou medianamente esbelta. 
 
 
 
76 
Onde: 
Lo  Comprimento de Flambagem (pág. 60) 
Imín  Raio de giração mínimo (pág. 60) 
40 < λ ≤ 80 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo (item 2) 
S  Área da seção transversal 
 
 
 
(Dado na pág. 59) 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
3) Determinação da resistência de cálculoà compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd). 
 
 
imín
Lo=λ








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
S
Fd
Nd =σ
 
 
77 
Onde: 
Md  Momento de cálculo atuante 
Imín  Momento de inércia mínimo da seção 
y  Distância entre o eixo de menor inércia e 
 a extremidade da seção 
Onde: 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
ed  Excentricidade de cálculo 
Onde: 
e1  Soma das excentricidades inicial e 
 acidental 
FE  Carga crítica de Euler 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
Onde: 
ei  Excentricidade inicial. 
 Para treliça  ei = 0, ou qualquer 
 solicitação onde não há M1d atuante. 
ea  Excentricidade acidental 
 
 
 
5) Determinação da tensão atuante devido o momento fletor (σMd). 
 
 
 
 
 
• eddd NM ⋅= 
 
 
• 





−
⋅=
NF
F
dE
E
1d ee 
 
 
 
 
• eee ai1 += 
 
 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ
 
 
78 
Onde: 
Lo  Comprimento de flambagem 
Figura 32 – Determinação de “h” 
 Atuando Mz, h = H 
 
 Atuando My, h = B 
Onde: 
M1d  Momento de cálculo devido ações 
externas, como aquelas oriundas de 
excentricidade de carregamento, ou 
momento aplicado (flexo-compressão). 
M1gd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas permanentes 
M1qd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas variáveis 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
h  Altura da seção transversal referente 
 ao plano de atuação do momento M1d 
• 
30
h
N
MM
N
M
d
qd1gd1
d
d1
i ≥
+
==e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
300
Lo
a =e 
 
 
 
 
79 
Onde: 
Eco,ef  Módulo de elasticidade efetivo 
Imín  Momento mínimo de inércia 
Lo  Comprimento de flambagem 
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
Eco,m  Módulo de elasticidade médio à 
compressão paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
• 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
 
 
 
 
 
• EKE m,comodef,co ⋅= 
 
 
 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
 
7.4.2 Exemplo de Dimensionamento à Compressão de Peças Intermediárias 
 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de 10cm X 17,5cm de ipê amarelo, 
com comprimento de 2,00m, solicitada as seguintes ações: 
 
 
 
80 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
Figura 33 – Esquema de exemplo – Peça intermediária 
Solução: 
 
( )
cm33,145812
105,17
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
=
Determinação dos elementos geométricos da peça: 
 (Momento de Inércia em torno de y) 
 ( ) cm15,446612
5,1710
12
hbI 4
33
z =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de z) 
 cm89,2
175
33,1458
S
I
i
y
y === (Raio de Giração em torno de y) 
 cm05,5
175
15,4466
S
Ii zz === (Raio de Giração em torno de z) 
 
 Raio de giração mínimo  imín = 2,89cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y 
 
 
81 
1) Determinação da esbeltez da peça 
 ===λ
89,2
200
i
L
mín
o 69,20 
 
 Como 40 < λ ≤ 80  Peça intermediária 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
2.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
 
2.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
 ( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
82 
 Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
 Fd = 6002,50 daN 
 
Obs:
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
 
 
83 
3.2) Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 
51, determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
 
3.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
3.4) Resistência de cálculo (fco,d) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
4,1
53248,0f d,co ⋅=  fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd) 
 
S
Fd
Nd =σ 
 
 
 
84 
 
175
50,6002
Nd =σ  σNd = 34,30 daN/cm² 
 
5) Determinação da tensão atuante devido o momento fletor (σMd) 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5.1) Determinação do momento Md 
 
5.1.1) 
 
Determinação do módulo de elasticidade efetivo 
EKE m,comodef,co ⋅= 
 
Kmod = 0,48  Determinado na questão 
Eco,m = 18.011 MPa = 180.110 daN/cm²  Tabela 13, pág. 51 
 
Eco,ef = 0,48 . 180110 = 86452,80 daN/cm² 
 
5.1.2) 
 
Determinação da carga crítica de Euler 
 
 
85 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
( )200
33,145880,86452
F 2
2
E
⋅⋅π= = 31108,18 daN 
 
5.1.3) 
 
e1 = ei + ea 
 
ei = 0  Não existe solicitação M1d atuante. 
Determinação da excentricidade e1 
300
200
300
Lo
a ==e = 0,67cm 
 
e1 = 0 + 0,67 = 0,67cm 
 
5.1.4) 
 
Determinação da excentricidade de cálculo 






−
⋅=
NF
F
dE
E
1d ee 
 






−
⋅=
50,600218,31108
18,3110867,0de = 0,83cm 
5.1.5) Determinação do momento de cálculo atuante 
 
 
86 
 
eddd NM ⋅= 
 
 
Md = 6002,50 . 0,83  Md = 4982,08 daN.cm 
 
5.2) Determinação do valor de y 
 
y = 5cm  Distância entre o eixo y (menor inércia) até a extremidade da peça 
 
5.3) Tensão atuante devido o momento fletor 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5
33,1458
08,4982
Md ⋅=σ  σMd = 17,08 daN/cm² 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,coNd ≤σ+σ  1
40,182
08,17
40,182
30,34
≤+  0,28 ≤ 1 OK! 
 
 
87 
 
 
7.5 Dimensionamento de Peças Longas ou Esbeltas 
 
“As peças esbeltas, definidas pelo índice de esbeltez λ > 80, não se 
permitindo valor maior que 140, são submetidas na situação de 
projeto à flexo-compressão com os esforços de cálculo Nd e Md”. 
(ABNT, 1997, p. 25) 
 
A condição de segurança para esses elementos estruturais é dada por: 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
Onde: 
σNd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido à força normal de 
 compressão. 
σMd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor Md 
fco,d  Resistência de cálculo à compressão 
 
7.5.1 Roteiro de Verificação para Peças Longas ou Esbeltas 
 
A verificação de peças esbeltas submetidas a esforço de compressão paralela às fibras 
deve ser realizada a partir do seguinte roteiro: 
 
 
 
88 
Onde: 
Lo  Comprimento de Flambagem (pág. 60) 
Imín  Raio de giração mínimo (pág. 60) 
λ > 80 
1) Determinação da esbeltez da peça, e verificar o seu enquadramento no caso de peça 
longa ou esbelta. 
 
 
 
 
(Dado na pág. 59) 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
 
imín
Lo=λ








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
 
 
89 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo (item 2) 
S  Área da seção transversal 
Onde: 
Md  Momento de cálculo atuante 
Imín  Momento de inércia mínimo da seção 
y  Distância entre o eixo de menor inércia e 
 a extremidade da seção 
Onde: 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
e1,ef  Excentricidade efetiva de 1a ordem 
FE  Carga crítica de Euler 
 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd). 
 
 
 
 
 
 
5) Determinação da tensão atuante devido ao momento fletor (σMd). 
 
 
 
 
 
 
 
• 





−
⋅⋅=
NF
FNM
dE
E
ef,1dd e 
 
 
S
Fd
Nd =σ
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ
 
 
90 
Onde: 
ei  Excentricidade inicial. 
 Para treliça  ei = 0, ou qualquer 
 solicitação onde não há M1d atuante. 
ea  Excentricidade acidental 
ec  Excentricidade suplementar 
Onde: 
M1d  Momento de cálculo devido ações 
externas, como aquelas oriundas de 
excentricidade de carregamento, ou 
momento aplicado (flexo-compressão). 
M1gd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas permanentes 
M1qd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas variáveis 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
h  Altura da seção transversal referente 
 ao plano de atuação do momento M1d 
Figura 32 – Determinação de “h” 
 Atuando Mz, h = H 
 
 Atuando My, h = B 
 
 
• 
 
 
 
 
 
 
• 
30
h
N
MM
N
M
d
qd1gd1
d
d1
i ≥
+
==e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eeee
eee
caief,1
c1ef,1
++=
+=
 
 
91 
Onde: 
Lo  Comprimento de flambagem 
Onde: 
eig  Excentricidade inicial devido às 
 cargas permanentes. 
 Para treliça  eig = 0, ou qualquer 
 solicitação onde não há M1d atuante. 
ea  Excentricidade acidental 
e  Base neperiana. e ≅ 2,7183 
c  Expoente da base neperiana 
Onde: 
M1g,d  Momento de cálculo devido às ações 
 permanentes 
Ngd  Carga normal de cálculo atuante devido 
 às ações permanentes 
 
Onde: 
φ  Coeficiente de fluência 
Ngk  Valor característico da força normal 
devido às cargas permanentes 
Nqk  Valor característico da força normal 
devido às cargas variáveis 
ψ1 e ψ2  Coeficientes de minoração 
 (pág. 45) 
FE  Carga crítica de Euler 
 
• 
300
Lo
a =e 
 
• ( )1e)( caigc −⋅+= eee 
 
 
 
 
 
 
• 
N
M
gd
d,g1
ig =e 
 
 
 
 
 
• 
( )[ ]
( )[ ]NNF
NN
c
qk21gkE
qk21gk
⋅Ψ+Ψ+−
⋅Ψ+Ψ+⋅φ
= 
 
 
 
 
 
 
92 
Onde: 
Eco,ef  Módulo de elasticidade efetivo 
Imín  Momento mínimo de inércia 
Lo  Comprimento de flambagem 
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
Eco,m  Módulo de elasticidade médio à 
compressão paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
• Valores do coeficiente de fluência φ: 
 
Classes de carregamento 
Classes de umidade 
(1) e 
(2) 
(3) e 
(4) 
Permanente ou de longa duração 0,8 2,0 
Média duração 0,3 1,0 
Curta duração 0,1 0,5 
Tabela 21 – Coeficiente de fluência 
 
• 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
 
 
 
• EKE m,comodef,co ⋅= 
 
 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
 
 
 
93 
7.5.2 Exemplos de Dimensionamento à Compressão de Peças Longas 
 
7.5.2.1 Exemplo 1 
 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de 10cm X 17,5cm de ipê amarelo, 
com comprimento de 3,00m, solicitada as seguintes ações: 
 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
 
Figura 34 – Esquema de exemplo (1) – Peça longa 
 
Solução: 
 
 
Determinação dos elementos geométricos da peça: 
( )
cm33,145812
105,17
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de y) 
 
 
94 
 ( ) cm15,446612
5,1710
12
hbI 4
33
z =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de z) 
 cm89,2
175
33,1458
S
I
i
y
y === (Raio de Giração em torno de y) 
 cm05,5
175
15,4466
S
Ii zz === (Raio de Giração em torno de z) 
 
 Raio de giração mínimo  imín = 2,89cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y) 
 
1) Determinação da esbeltez da peça 
===λ
89,2
300
i
L
mín
o 103,81 
 
Como λ > 80  Peça longa 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
2.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 
 
95 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
2.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 
Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
Fd = 6002,50 daN 
 
Obs:
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod, 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
96 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16,