A3_2013exerc1_aneis

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica - IE Prof. Nora´ı R. Rocco
A´lgebra 3 - 2o/2013
1a Lista de Exerc´ıcios - Ane´is e Polinoˆmios
1. Mostre que um anel comutativo (com identidade) D e´ um domı´nio de integridade se,
e somente se, para todos a, b, c ∈ D, com a 6= 0, a relac¸a˜o ab = ac implica b = c.
2. Seja D um domı´nio de integridade. Para a ∈ D \ {0}, denote por µa : D → D a
func¸a˜o definida por µa(x) := a · x, ∀x ∈ D.
a.) Mostre que µa e´ injetiva;
b.) Mostre que se D e´ finito, enta˜o µa e´ uma bijec¸a˜o e conclua com isto que D e´ um
corpo.
3. Prove o 2o teorema do isomorfismo para ane´is:
Sejam A um anel, B ≤ A um subanel e I / A um ideal de A. Enta˜o
(i) B ∩ I e´ um ideal de B;
(ii) B + I e´ um subanel de A;
(iii) B
B∩I
∼= B+II .
4. Prove o 3o teorema do isomorfismo para ane´is:
Sejam A um anel e I, J ideais de A com I ⊆ J . Enta˜o J/I e´ um ideal de
A/I e vale o isomorfismo:
A/I
J/I
∼= A/J
5. Exemplifique os dois teoremas acima com o anel A = ZZ.
6. Sejam A := M2(ZZ), o anel das matrizes 2× 2 sobre os inteiros, e
B :=
{(
α β
0 γ
)
| α, β, γ ∈ ZZ
}
.
a.) Mostre que B e´ um subanel de A, mas na˜o e´ um ideal.
b.) Fac¸a uma descric¸a˜o dos ideais do anel B.
7. Se A e´ um anel, um elemento a ∈ A \ {0} e´ dito nilpotente se ak = 0 para algum
k ∈ IN . Mostre que:
(i) Se A e´ um anel com identidade 1 e a ∈ A \ {0} e´ nilpotente, enta˜o 1 − a e´ uma
unidade de A;
(ii) Verifique que o elemento 2¯ ∈ ZZ4 e´ nilpotente, enquanto ZZ6 na˜o conte´m elemento
nilpotente;
(iii) Deˆ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre n para que o anel ZZn contenha
elemento(s) nilpotente(s).
8. Seja A uma anel comutativo e S um subconjunto de A. Mostre que o anulador de S,
Ann(S) = {a ∈ A | as = 0∀s ∈ S}, e´ um ideal de A.
9. Seja A uma anel comutativo e J um ideal de A. Mostre que o nil radical de J ,
N(J) = {a ∈ A | an ∈ J, para algum inteiro positivo n (dependente de a)}, e´ um ideal
de A. (N(〈0〉) e´ chamado o nil radical, ou simplesmente radical, de A).
10. Seja A uma anel comutativo. Mostre que o anel quociente A/N(〈0〉) na˜o conte´m
elemento nilpotente na˜o nulo.
11. Seja J um ideal de um anel comutativo. Mostre que N(N(J)) = N(J).
12. Mostre que o conjunto de matrizes{ (
a b
−b a
)
| a, b ∈ ZZ3
}
,
forma um corpo com 9 elementos sob a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de matrizes.
13. Seja A = C(R), o anel das func¸o˜es cont´ınuas de R em R, com adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o
pontuais (como no Ca´lculo 1). Mostre que:
1. M := {f ∈ A | f(0) = 0} e´ um ideal maximal de A;
2. B := {f ∈ A | f(0) e´ um inteiro par} e´ um subanel de A, mas na˜o e´ um ideal.
14. Se I e J sa˜o ideais de um anel, mostre que a soma de I e J , I + J = {a + b | a ∈
A, b ∈ B}, e´ um ideal.
15. No anel dos inteiros, encontre um inteiro positivo a tal que
1. 〈a〉 = 〈3〉+ 〈5〉,
2. 〈a〉 = 〈4〉+ 〈6〉,
3. 〈a〉 = 〈m〉+ 〈n〉.
16. Se I e J sa˜o ideais de um anel, mostre que o produto de I e J , IJ = {a1b1 + a2b2 +
· · · + arbr | ai ∈ I, bi ∈ J, r um inteiro positivo}, e´ um ideal. Prove, outrossim, que
IJ ⊆ I ∩ J .
17. Se I e J sa˜o ideais de um anel comutativo A com identidade, e se I+J = A, mostre
que I ∩ J = IJ .
18. No anel dos inteiros, encontre um inteiro positivo a tal que
1. 〈a〉 = 〈3〉〈4〉,
2. 〈a〉 = 〈8〉〈12〉,
3. 〈a〉 = 〈m〉〈n〉.
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19. Prove que o ideal 〈x2 + 1〉 e´ primo em ZZ[x] mas na˜o maximal em ZZ[x].
20. Mostre que o conjunto J = {(3x, y) | x, y ∈ ZZ} e´ um ideal maximal do anel ZZ⊕ ZZ.
21. Encontre todos os ideais maximais do anel A = ZZ8⊕ZZ30 e, para cada ideal maximal
M , identifique a ordem (= cardinalidade) do corpo A/M .
22. Mostre que ZZ[i]/〈1− i〉 e´ um corpo. Quantos elementos tem esse corpo ?
23. Prove que J = 〈2 + 2i〉 na˜o e´ um ideal primo de ZZ[i].
Quantos elementos tem o anel ZZ[i]/J ?
Qual e´ a caracter´ıstica de ZZ[i]/J ?
24. Em ZZ5[x], seja J = 〈x2 + x+ 2〉.
1. Verifique se o ideal J e´ maximal.
2. Verifique se (3x+2)+J e´ uma unidade em ZZ5[x]/J e, em caso afirmativo, calcule
o seu inverso.
25. Listar todos os polinoˆmios de grau ≤ 3 em ZZ2[x] e todos os de grau ≤ 2 em ZZ5[x].
26. Expandir os seguintes produtos em ZZ5[X]:
(i) (x2 + x+ 1)2; (ii) (x2 − 3)3; (iii) (x+ 3)(4x+ 2)(3x+ 1).
27. Seja fˆ a func¸a˜o polinomial em A associada ao polinoˆmio f ∈ A[x], i.e., se f(x) =
a0 + a1x + · · · + anxn ∈ A[x] e α e´ um elemento arbitra´rio de A, enta˜o fˆ(α) :=
a0+ a1α+ · · ·+ anαn ∈ A. Mostre que f̂ + g(α) = fˆ(α)+ gˆ(α) e f̂ · g(α) = fˆ(α) · gˆ(α).
28. A derivada formal de um polinoˆmio f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn e´ definida por
f ′(x) := a1 + 2a2x+ · · ·+ nanxn−1.
Prove as regras usuais de derivac¸a˜o para polinoˆmios sobre um domı´nio de integridade:
(i) (af)′ = af ′; (ii) (f + g)′ = f ′ + g′;
(iii) (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ (iv) (fn)′ = nfn−1f ′.
29. Se D e´ um domı´nio de integridade, denote por FD o corpo de frac¸o˜es de D e por
D(x) o corpo de frac¸o˜es de D[x] (D(x) e´ chamado o corpo das formas racionais em x).
Verifique a igualdade entre os corpos D(x) e FD(x).
30. Encontre um segundo polinoˆmio em ZZ5[x] que define em ZZ5 a mesma func¸a˜o poli-
nomial que x2 − x+ 1. Fazer o mesmo olhando para este polinoˆmio em ZZ7[x].
31. Seja f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn um polinoˆmio em ZZ[x]. Prove que se um nu´mero
racional r/s e´ raiz de f(x), enta˜o r|a0 e s|an.
32. Escrever o polinoˆmio F (x, y) = (−x2 + 2x+ y + 3)3 ∈ ZZ5[x, y]:
(i) como um polinoˆmio em y, com coeficientes em ZZ5[x];
(ii) como polinoˆmio em x, com coeficientes em ZZ5[y].
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33. Para os pares (a, b) de inteiros abaixo, encontrar o quociente q e o resto r para os
quais a = bq + r, com |r| ≤ 1/2 · |b|.
(i) a = 97, b = −13; (ii) a = −1532, b = 45;
(iii) a = −1010, b = −25; (iv) a = 275, b = 29.
34. Calcular o quociente e o resto da divisa˜o de f(x) por g(x) para os seguintes pares
de polinoˆmios:
(i) f(x) = 3x5 + 4x3 + 2x+ 5, g(x) = 2x3 − 3x2 + 7, em QI[x];
(ii) f(x) = −x6 + 12x4 + 8x3 − 4x+ 10, g(x) = x2 − 3, em ZZ[x];
(iii) f(x) = 4¯x5 + 3¯x3 − 4¯x2 − 2¯x+ 3¯, g(x) = 3¯x2 − 1¯x− 2¯, em ZZ7[x].
35. Calcular q e r no anel ZZ[i] para os seguintes pares α, β de inteiros gaussianos:
(i) α = 23− 8i β = 9 + 5i;
(ii) α = 1− 2i β = 4 + 7i;
(ii) α = −2 + 10i β = 3 + 3i.
36. Determinar o corpo de frac¸o˜es de cada um dos domı´nios: ZZ[i], ZZ[
√
2], ZZ[
√−5] e
ZZ[
√
2][x].
37. Encontre todos os automorfismos do domı´nio ZZ[
√
5].
38. Mostre que os domı´nios ZZ[
√
2] e ZZ[
√
3] na˜o sa˜o is omorfos.
39. Para α = a+ b
√
5 ∈ ZZ[√5, defina a norma N : ZZ[√5]→ IN por N (α) := a2− 5b2.
a) Mostre que N (αβ) = N (α)N (β);
b) Mostre que α e´ uma unidade de ZZ[
√
5] se, e somente se, N (α) = ±1;
c) Verifique que 1−√5 e 3 +√5 sa˜o associados, mas na˜o sa˜o unidades;
d) Mostre que se N (α) e´ um primo em ZZ, enta˜o α e´ irredut´ıvel em ZZ[√5];
e) Mostre que 4 +
√
5 e 4−√5 sa˜o irredut´ıveis;
f) Mostre que 2 e 3 +
√
5 sa˜o irredut´ıveis em ZZ[
√
5] (sugesta˜o: x2 ≡ 2 (mod 5) na˜o
tem solc¸a˜o inteira);
g) Verifique que 4 = 2 · 2 = (3 +√5) · (3 − √5) e conclua da´ı que ZZ[√5] na˜o e´ um
domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica.
40. Defina a norma em ZZ[
√−7] por N (α) = α · α¯.
a) Descrever as unidades de ZZ[
√−7];
b) Mostre que 2, 3 +
√
7 i e 3 − √7 i sa˜o irredut´ıveis em ZZ[√−7] e encontre duas
diferentes fatorac¸o˜es de 16 para concluir que esses domı´nio na˜o e´ um DFU.
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41. Se D e´ um domı´nio de integridade, denote por P(D) o anel de todas as func¸o˜es
polinomiais f : D → D. Mostre que se p ∈ ZZ e´ um primo, K e´ um corpo qualquer e
φ : P(ZZp)→ K e´ um homomorfismo, enta˜o o nu´cleo de φ e´ diferente de {0}, i.e., o anel
das func¸o˜es polinomiais sobre o corpo ZZp na˜o pode ser homomorficamente imerso num
corpo.
42. Se F um corpo finito com q elementos a1, a2, . . . , aq, defina m(x) := (x − a1)(x −
a2) · · · (x− aq) ∈ F [x].
a) Prove quese f(x) e g(x) sa˜o dois polinoˆmios em F [x] que determinam a mesma
func¸a˜o polinomial em P(F ), enta˜o m(x) divide f(x)− g(x);
b) Calcule o polinoˆmio m(x) para os corpos F = ZZ3 e F = ZZ5.
c) Use o (pequeno) teorema de Fermat para mostrar que se F = ZZp enta˜o m(x) =
xp − x.
43. Mostre que se K e´ um corpo enta˜o a aplicac¸a˜o x 7→ ax + b, com a, b ∈ K, a 6= 0,
define um automorfismo deK[x]. Que condic¸o˜es sobre a e b devem ser impostas para que
semelhante aplicac¸a˜o defina um automorfismo em D[x], D um domı´nio de integridade
arbitra´rio ?
44. Calcular o m.d.c. (moˆnico) dos seguintes pares de polinoˆmios em QI[x]:
a) f(x) = x4 + x3 + 2x2 + x+ 1, g(x) = x3 + 4x2 + x+ 3;
b) f(x) = 4x5 + 7x3 − 2x2 + 1, g(x) = 3x3 + x+ 2;
c) f(x) = (x3 − 1)(x2 − x− 6), g(x) = 7(x2 + x− 2).
45. Sejam D um domı´nio de integridade que na˜o e´ um corpo e a um elemento na˜o nulo
de D que na˜o e´ uma unidade.
a) Mostre que existe um m.d.c. entre a e x em D[x] e que este e´ uma unidade.
b) Mostre que na˜o existem polinoˆmios h(x), k(x) ∈ D[x] tais que 1 = α·h(x)+x·k(x).
Conclua da´ı que D[x] na˜o pode ser um domı´nio euclideano, qualquer que seja a
func¸a˜o δ : D[x] \ {0} → IN que se considere.
46. Investigar a irredutibilidade dos seguintes polinoˆmios em ZZ[x]:
a) x12 + 14x5 − 49x+ 7;
b) x10 + 5x8 + 15x3 + 50x2 + 5;
c) x4 + 3x2 − 1;
d) x3 − 2;
5
e) 2x4 + 3x3 − 12x2 + 6x+ 6;
f) x3 + 2x2 + 3x+ 1.
47. Seja f(x) = xn + xn−1 + · · · + x + 1. Mostre que f(x) e´ irredut´ıvel em QI[x] se, e
somente se, n+ 1 e´ primo.
48. Sabendo que ZZ[
√
2] e´ um D.F.U., mostre que f(x) = x7+
√
2(1−√2)x5−√2(3+2√2)
e´ irredut´ıvel em ZZ[
√
2][x].
49. Mostre que se D e´ um D.F.U. enta˜o dois elementos quaisquer a, b ∈ D sempre teˆm
um m.d.c.
50. Prove o Lemma de Gauss para polinoˆmios primitivos em D[x], onde D e´ um D.F.U.
51. Enuncie e prove o crite´rio de irredutibilidade de Eisenstein para polinoˆmios em
FD[x], onde D e´ um D.F.U.
52. Prove a unicidade da fatorac¸a˜o de polinoˆmios em D[x], onde D e´ um D.F.U.
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