Exercícios resolvidos de Eletromagnetismo Densidade de fluxo elétrico, Lei de Gauss e Divergência

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
CAPÍTULO 03 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
 
3.1) Dentro da região cilíndrica ρ ≤ 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo 
ρρ aD
�
� 35= C/m2. 
a) Qual a densidade volumétrica de carga em ρ = 3 m? 
b) Qual a densidade de fluxo elétrico em ρ = 3 m? 
c) Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m? 
d) Quanto de carga existe dentro do cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m? 
 
Resolução: 
 
a) Dados: 




=
=⇒=
m3
55 33
ρ
ρρ ρρ DaD
�
�
 
 
 




=⇒=
=⇒⋅=⇒⋅=
⋅=⇒+⋅+⋅=•∇=
3v
2
v
3
v
4
v
vv
m
C
 180 3m araP
20 201 51 
1
 
z
z11
ρρ
ρρρ
ρ
ρ∂ρ
ρ∂
ρ
ρ
∂ρ
ρρ∂
ρ
ρ∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
ρ
)(
)D(DD)D(
D
��
 
 
b) 



=== 2
3
m
C
 135 3m, me Logo, 5 que se-Sabe ρρ ρρ aDaD
�
�
�
�
. 
 
c) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•=Ψ
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 
[ ]C 4050 .5 2 .3 . 52,5
52z
2
0
dz d 45
m3
 dz d 5
 dz d 
5
 onde ,
4
3
2,5
52z
2
0
3
S
 
aa
adS
aDdSD
pipi
pi
φ
φρ
ρ
φρρ
φρ
ρ
ρρ
pi
φ
ρ
ρ
=Ψ⇒=Ψ⇒∫
−=
∫
=
=
=Ψ
•=Ψ∴




=
=
•=Ψ
∫ ∫
∫
−= =
,
)(
)()(
,
��
�
�
�
�
 
 
d) Pela Lei de Gauss, ∫∫ ==•=Ψ
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
. 
 
Logo, [ ]C 4050Qinterna pi= 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
3.2) Dado o campo ( )



+−= 2
2
2 m
C
 220 φρ φφρ
aaD ��
�
sensen , encontrar a carga total que se 
encontra dentro da região, 1 2 0 2 0 1< < < < < <ρ φ pi, / , .z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Dados: 
( )
 
220
 e 
20
 220
22
2
2
2








=−=∴
+=+−=
ρ
φ
ρ
φ
φφ
ρ
φρ
φφρρφρ
sen
D
sen
D
DDsensen aaaaD ����
�
 
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 ∫∫ •∇=•=
volS
interna dvQ DdSD
��
 (01) 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 
( )φ
ρρ
φ
ρ
φφ
ρ
ρ
φ
ρ
φ
φ
ρρρρ
φ
ρ
φ
∂φ
∂
ρρ
φ
∂ρ
∂
ρ
∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
2311023010 
22
2
2
2
120
 
24020
 
22201120
2201201
z
z11
333
3
33
2
22
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cossen
cos
sen
sensen
DD)D(
+=•∇⇒+=•∇



 +−=•∇
+=•∇
⋅⋅+








−⋅−=•∇








⋅⋅+








−⋅⋅=•∇
+⋅+⋅=•∇
DD
D
D
D
D
D
����
��
��
��
��
��
 
(02) 
 
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 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
( )
[ ]
[ ]C 
2
5Q 1
2
10
2
10Q
1
0zz2
2310Q
dz d d 23110Q
internainterna
2
0
2
1
interna
1
0z
2
0
2
1
3interna
pipi
φφ
ρ
φρρφ
ρ
pi
φρ
pi
φ ρ
=⇒+





⋅





+−=
=
⋅





+⋅





−=








+=
==
= = =
∫ ∫ ∫
sen
cos
 
 
3.3) Dado o campo 










= 2m
C
 
4r
20
θ
φθ aD �� sensen , na região, 3 4< <r , 0 4< <θ pi / , 
0 2< <φ pi , determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos 
diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados: 





=⇒=





=
4r
20
 
4r
20 φθφθ θθθθ sensenDDsensen aaD ��
�
 
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 ∫∫ •∇=•=
volS
interna dvQ DdSD
��
 
 
 1o modo: ∫ •∇=
vol
interna dvQ D
�
 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 ∂φ
φ∂
θ∂θ
θθ∂
θ∂
∂ D
r
1D
r
1
r
rDr
r
1 2
2 sen
)sen(
sen
)(
++=•∇ D
��
 
 
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 ( )






⋅⋅=•∇
⋅





⋅⋅=•∇












⋅⋅=•∇
4r
40
 
2
4r
20
r
1
4r
20
r
1
2
2
φθ
θθφ
θ
φθ∂θ
∂
θ
sencos
cossensen
sen
sensen
sen
D
D
D
��
��
��
 
 
� Cálculo de internaQ : 
 ∫ ∫ ∫
= = =












⋅⋅=
4
3r
4
0
2
1
2
2interna d drd r4r
40Q
pi
θ
pi
φ
φθθφθ sensencos 
 
[ ]
[ ]
( )
[ ]C 40Q
0
2
40
2
10Q
4
42
2
120Q
d
4
d 220Q
d
4
d 2r20Q
d
4
d dr40Q
interna
interna
2
0
4
0interna
4
0
2
0
interna
4
0
2
0
4
3rinterna
4
0
2
0
4
3r
interna
=






°−





−⋅





°−





⋅−=












−⋅⋅





−⋅=






⋅⋅=






⋅⋅⋅=






⋅⋅=
=
=
= =
= =
=
= ==
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫
coscoscoscos
coscos
sensen
sencossen
sencossen
pipi
φθ
φφθθ
φφθθθ
φφθθθ
pi
φ
pi
θ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
 
 
 
 2o modo: ∫ •=
S
internaQ dSD
�
 
 
 ∫∫∫∫ •+•+•=•=
BaseTopoLateralS
internaQ dSDdSDdSDdSD
����
 (01) 
 
 Para a Lateral ) 4 ( 
drd 
4
20
 drd r
2
piθ
φφθ
φθ θ
=













⋅=•∴
=
sensen
sen
dSD
adS
�
�
 (02) 
 
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 Para o Topo ) 4r ( 
0
 d d r r
2
=




=•
=
dSD
adS
�
�φθθsen
 (03) 
 Para a Base ) 3r 
0
 d d r r
2
=




=•
=
(
sen
dSD
adS
�
�φθθ
 (04) 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 
( )
φφ
φφθ
pi
φ
pi
φ
piθ
d
4
dr10Q
drd 
4
20Q
2
1
4
3r
interna
2
0
4
3r
2
4
interna
∫∫
∫ ∫
==
= =
=






⋅=












⋅=
sen
sensen
 
 
[ ]
[ ]C 40Q 04
2
410Q
4
4r10Q
internainterna
2
0
4
3rinterna
 =⇒





°+





−⋅=












−⋅⋅=
=
=
coscos
cos
pi
φ pi
φ
 
 
3.4) Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente 
carregada com uma densidade volumétrica ρv . Determine o campo elétrico em função 
do raio r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Pela Leide Gauss: ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 
 
 0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED
��
 
 
 
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� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: 
 
 ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
, onde 





==
=
r
2
r
rr
 d d r aadS
aD
φθθsendS
D
 
 
 
 
 
r2
33
v22
33
v
r
33
v
2
r
2
0
2
0
r
r
2
v
2
0
2
0
2
r
r
r
3r
r
3
r
3
4
r 4
 d d dr r d d r
aD )()(D)(D
sensenD
aa
a
a
−
⋅=⇒
−
⋅=⇒−⋅⋅=⋅
=⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫
= = == =
ρρpiρpi
φθθρφθθ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
 
 
 Mas ED ε= e oεε = . 
 
 
 Portanto: r2
33
o
v2
r
r
3
aE )( a−⋅=
ε
ρ
 
 
 
 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r ≥ b: 
 
 ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
, onde 





==
=
r
2
r
rr
 d d r aadS
aD
φθθsendS
D
 
 
 
 
 
r2
33
v32
33
v
r
33
v
2
r
2
0
2
0 r
2
v
2
0
2
0
2
r
r3r33
4
r 4
 d d dr r d d r
aD )()(D)(D
sensenD
abab
ab
b
a
−
⋅=⇒
−
⋅=⇒−⋅⋅=⋅
=⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫
= = == =
ρρpiρpi
φθθρφθθ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
 
 
 Mas ED ε= e oεε = . 
 
 
 Portanto: r2
33
o
v3
r3
aE )( ab −⋅=
ε
ρ
 
 
 
 
 Área da esfera Volume da casca esférica 
 Área da esfera Volume da casca esférica 
 
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3.5) Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com [ ]
m
C
 4L piρ = , 
e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com 




= 2S m
C
 20ρ . Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m, 
centrada na origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Lei de Gauss: internaQ=Ψ , onde PlanoLinhainterna QQQ += (01) 
 
� Cálculo de LinhaQ : 
 
 
[ ] [ ]C 16Qz4Q
dz 4QdLQ
Linha
2
2zLinha
2
2z
Linha
L
LLinha
pipi
piρ
=⇒⋅=
=⇒=
−=
−=
∫∫
 
 
� Cálculo de PlanoQ : 
 
 
[ ] [ ]C 60Q
2
20Q
 d d 20QdSQ
Plano
3
0
2
2
0Plano
2
0
3
0
Plano
S
SPlano
pi
ρφ
φρρρ
ρ
pi
φ
pi
φ ρ
=⇒








⋅⋅=
=⇒=
=
=
= =
∫ ∫∫
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]C 76 6016Q interna pipipi =Ψ⇒+==Ψ 
 
 2 
-2 
(03) 
(02) 
 
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3.6) Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo 
elétrico ψ que cruza parte de uma superfície esférica, centrada na origem e descrita por 
βφα << . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 1o modo: Lei de Gauss: ∫∫ ==⋅•=Ψ
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 







=
=
•=Ψ ∫
r
2
r2
S d d r
r4
Q
 onde ,
adS
aD
dSD
�
�
�
�
φθθ
pi
sen
 
 
( )
∫ ∫
∫ ∫
= =
= =
⋅=Ψ
⋅





=Ψ
β
αφ
pi
θ
β
αφ
pi
θ
θθφ
pi
φθθ
pi
0
0
2
2
d d
4
Q
d d r
r4
Q
sen
sen
 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) [ ]C 
2
Q
 0
4
Q
4
Q
0
 αβ
pi
piαβ
pi
θφ
pi
pi
θ
β
αφ
−⋅=Ψ⇒°+−⋅−⋅=Ψ
−⋅⋅=Ψ
==
coscos
cos
 
 
 2o modo: 
 Considerando a esfera de raio r na sua totalidade:




==
=Ψ
2
esf
esf
r4Sesfera da Área
Q
pi
 (01) 
 
 Considerando somente a casca esférica α φ β< < : ⇒ cascaΨ = ? 
 
 
[ ] [ ]
( )αβ
θφθθφ
φθθ
pi
θ
β
αφ
β
αφ
pi
θ
β
αφ
pi
θ
−=∴
−⋅=⇒⋅=
===
==
= =
= =
∫ ∫
∫ ∫∫
2
casca
0
2
casca
0
2
casca
0
2
cascaS
cascacasca
r2S
rS d rdS
d d rdSScasca da Área
cossen
sen
 
(02) 
 
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 Através de uma regra de três, encontramos: 
esf
casca
esfcasca S
S
⋅Ψ=Ψ . (03) 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01),temos: 
 
 
( ) ( )αβ
pipi
αβ
−⋅=Ψ⇒−⋅=Ψ
2
Q
 
r4
r2Q casca2
2
casca 
 
3.7) Dado o campo 
m
C
 
2
20 2 















= φρ
φ
aD �
�
cos , na região, 21 << ρ , 20 /piφ << , 
3z0 << , determinar a carga total contida no interior da região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Dados: 








=






=⇒=











=
dzdddv
2
20
 
2
20
φρρ
ρ
φ
ρφ φφφφ
cos
DDcos aaD ��
�
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 ∫∫ •∇=•=
volS
interna dvQ DdSD
��
 
 
 1o modo: ∫ •∇=
vol
interna dvQ D
�
 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 
z
z11
∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
DD)D(
+⋅+⋅=•∇ D
��
 
 


















⋅⋅=•∇
ρ
φ
∂φ
∂
ρ
2
20
1
cos
D
��
 
 2
2
10
 
2
1
2
201
ρ
φ
φ
ρρ






−=•∇⇒





⋅





−⋅−=•∇
sen
sen DD
����
 
 
– Página 3.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
� Cálculo de internaQ : 
 ∫ ∫ ∫
= = =














⋅−=
3
0z
2
0
2
1
2interna dz d d 2
10Q
pi
φ ρ
φρρφ
ρ
sen 
 
[ ] [ ]
( ) ( ) [ ]C 183,12Q302
4
21210Q
z
2
210Q
dz
2
d10Q
internainterna
3
0z
2
0
2
1interna
2
0
3
0z
2
1
interna
−=⇒⋅





°+





−⋅−−=












−−=
⋅





⋅−=
=
=
=
= ==
∫ ∫∫
coscoslnln
.cos.ln.
sen
pi
φρ
φ
ρ
ρ
pi
φ
ρ
pi
φρ
 
 
 2o modo: ∫ •=
S
internaQ dSD
�
 
 
∫∫∫∫∫∫∫ •+•+•+•+•+•=•=
BaseTopoFundoFrenteDireita Lat.daLat.EsquerS
internaQ dSDdSDdSDdSDdSDdSDdSD
�������
 (01) 
 Para a Lateral Esquerda 













⋅−=•
−=
dzd 
2
20
dz d
ρφ
ρ
ρ φ
cosdSD
adS
�
�
 (02) 
 Para a Lateral Direita 













⋅=•
=
dzd 
2
20
dz d
ρφ
ρ
ρ φ
cosdSD
adS
�
�
 (03) 
 Para a Frente 





=•
=
0
 dzd
dSD
adS
�
�
ρφρ
 (04) 
 
 Para o Fundo 





=•
−=
0
 dzd
dSD
adS
�
�
ρφρ
 (05) 
 
 Para o Topo



=•
=
0
 dd z
dSD
adS
�
�φρρ
 (06) 
 Para a Base 




=•
−=
0
 dd z
dSD
adS
�
�φρρ
 (07) 
 
– Página 3.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 
( )
( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]C 181,12Q 122301260Q
z210z20Q
dzd
2
220dzd20Q
dzd 
2
120dzd 
2
120Q
internainterna
3
0z
2
1
3
0z
2
1interna
2
1
2
1
3
0z
3
0z
interna
3
0z
2
1
2
3
0z
2
1
0
interna
 −=⇒−+−−=
+−=
⋅⋅+⋅−=






⋅+





⋅−=
====
= = ==
= =
=
= =
=
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫∫ ∫
lnlnlnln
.ln.ln
.
coscos
ρρ
ρ ρ
ρ
piφ
ρ
φ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρφ
ρ
ρφ
ρ
 
 
 
3.8) Uma carga pontual de 6µ [C] está localizada na origem do sistema de coordenadas, uma 
densidade linear uniforme de carga de 180η [ ]
m
C
 está distribuída ao longo do eixo x, e 
uma densidade superficial uniforme de carga de 25η [ ]2mC está distribuída sobre o 
plano z = 0. 
a) Determinar D� em A (0,0,4); 
b) Determinar D� em B (1,2,4); 
c) Determinar o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de 4 m de raio, 
centralizada na origem. 
 
Resolução: 
 
a) 
 Dados:
[ ]
[ ]
( )










=




=
=
=
400A
m
C
 25
m
C
 180
C 6Q
2S
L
,,
ηρ
ηρ
µ
 
 
 
 A densidade de fluxo total D
�
 produzida no ponto A será a soma das densidades de fluxo 
produzidas pela carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. 
 
 
 PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD
��������
++=⇒++=∴ (01) 
 
 
� Cálculo de QD
�
: 
 





=
pi
=
Ra
R
R
aD
�
�
�
�
�
�
 de unitário um é 
R
A ponto o para Q carga da dirigido vetor o é 
 onde,
R4
Q
R
R2Q 
 
– Página 3.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 



µ
pi
=⇒
⋅pi
×
=∴




=
==
∴
−
2zQz2
6
Q
zR
z
m
C
 
32
3
44
106
 
4R ; 4
aDaD
aa
aR
�
�
�
�
��
�
�
 
 
� Cálculo de LD
�
: 
 




=
==
∴




==
z
z
L
L
4 ; 4
 de unitário um é 
A ponto o para cargas de linha da dirigido vetor o é 
 onde
2
aa
a
a
aD
��
��
��
�
�
�
�
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
piρ
ρ
,
 
 



=⇒
⋅
×
=∴
−
2zLz
9
L
m
C
 
2
45
42
10180 η
pipi
aDaD �
�
�
�
 (03) 
 
� Cálculo de PD
�
: 
 
 




=⇒
×
=∴
=⇒=
−
2zPz
9
P
zNNN
S
P
m
C
 
2
25
2
1025
A ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde
2
η
ρ
aDaD
aaaaD
�
�
�
�
����
�
,
 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 



=⇒++=⇒++= 2zzzPLQ m
C
 04950
2
25
2
45
32
3 µη
pi
η
pi
µ
,DaaaDDDDD
�
���
�����
 
 
b) 
 
 Dados:
[ ]
[ ]
( )










=




=
=
=
421B
m
C
 25
m
C
 180
C 6Q
2S
L
,,
ηρ
ηρ
µ
 
 A densidade de fluxo total D
�
 produzida no ponto B será a soma das densidades de fluxo 
produzidas pela carga Q, carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. 
 
 PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD
��������
++=⇒++=∴ (01) 
(02) 
(04) 
 
– Página 3.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
� Cálculo de QD
�
: 
 





==
Ra
R
R
aD
�
�
�
�
�
�
 de unitário um é 
R
B ponto o para Q carga da dirigido vetor o é 
 onde
R4
Q
R
R2Q ,pi
 
 



++=∴







 ++
⋅
×
=







++
=
=++=
∴
−
2zyxQ
zyx6
Q
zyx
R
zyx
m
C
 8419929964
21
42
214
106
 
21
42
21R ; 42
 
η
pi
aaaD
aaa
D
aaa
a
aaaR
���
�
���
�
���
�
���
�
,,,
 
 
� Cálculo de LD
�
: 
 



+=⇒







 +
⋅
⋅
⋅
=∴







+
=
=+=
∴







=
=
−
2zyL
zy9
L
zy
zy
L
L
m
C
 735862
20
42
202
10180
20
42
20 ; 42 
 de unitário um é 
B ponto o para (1,0,0) ponto 
cargas, de linha da dirigido vetor o é 
 onde
2
η
pi
ρρ
ρ
ρρ
ρ
piρ
ρ
ρ
ρ
ρ
aaD
aa
D
aa
a
aa
a
aD
��
�
��
�
��
�
���
��
�
�
�
�
,,
,
 
 
� Cálculo de PD
�
: 
 




=⇒
⋅
=∴
=⇒=
−
2zPz
9
P
zNNN
S
P
m
C
 
2
25
2
1025
B ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde
2
η
ρ
aDaD
aaaaD
�
�
�
�
����
�
,
 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 ( ) ( ) zzyzyxPLQ 2257358628419929964 aaaaaaDDDDD ������
�����
+++++=⇒++= ,,,,, 
 


++=∴ 2zyx m
C
 07387812964 ηaaaD ���
�
,,, 
(03) 
(04) 
(02) 
 
– Página 3.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
c) 
 
 
 O fluxo total que deixa a esfera será a soma 
dos fluxos produzidos pela carga Q, pela 
distribuição linear ρL e pela distribuição 
superficial ρS. 
 
 De acordo com a Lei de Gauss: internaQ=Ψ . 
 
 
 
 
PLPLPlanoLinhaCarga QQ6QQQ ++=Ψ⇒++=Ψ⇒Ψ+Ψ+Ψ=Ψ∴ µ (01) 
 
� Cálculo de LQ : 
 
 
[ ] [ ]C 1440Q8QxQdxQ
dx dL ondedLQ
LLL
4
4xLL
4
4x
LL
L
LL
ηρρρ
ρ
=⇒=⇒⋅=⇒=∴
==
−=
−=
∫
∫ ,
 
 
� Cálculo de PQ : 
 
 [ ]
[ ]C 400Q2Q
2
Qd d Q
d d dS ondedSQ
SSS
2
0
4
0
2
SS
2
0
4
0
SS
S
SP
ηpipiρ
φρρφρρρ
φρρρ
pi
φ
ρ
pi
φ ρ
=⇒=
⋅








⋅=⇒⋅=∴
==
=
== =
∫ ∫
∫ ,
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]C 78 400 14406QQ6 PL µηpiηµµ ,=Ψ⇒++=Ψ⇒++=Ψ 
 
 
(02) 
(03)