14 Cálculo Numérico - Continuação "Método dos Mínimos Quadrados"

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CÁLCULO NUMÉRICO
- EAMB018 / ECIV019 -
Período Letivo: 2013-1
Carga Horária: 60h
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50)
4ª feira (11:10 – 12:50)
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior
limajunior@lccv.ufal.br
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
2
Ajuste polinomial
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
1
2
3
4
5
6
7
x
y
q(x)=1.0051+0.8647x+0.8432x
2
• Exemplo do ajuste de uma parábola
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
3
Introdução
• E se o conjunto de pontos não se parecer com uma 
função polinomial?
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
4
Processo de linearização
• Algumas funções de duas constantes podem ser 
linearizadas antes da aplicação do método dos 
mínimos quadrados, com o objetivo de obter o 
sistema de equações visto anteriormente.
• O procedimento varia de acordo com o tipo de 
função.
– Exponencial
– Logarítmica
– Potencial
– Hiperbólica
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
5
Função exponencial
• Forma geral da função q(x):
• Aplicando-se o logaritmo em ambos os lados, 
temos:
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
6
Função exponencial
• Então, fazendo-se:
• Chegamos a seguinte expressão:
• Permitindo o uso do sistema já desenvolvido:
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
7
Função hiperbólica
• Forma geral da função q(x):
• Fazendo:
• Temos então:
𝑦′ = 𝑎1 + 𝑎2𝑥′
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
8
Função logaritmica
• Forma geral da função q(x):
• Aplicando-se o logaritmo em ambos os lados, 
temos:
• Fazendo:
• Temos novamente:
𝑦′ = 𝑎1 + 𝑎2𝑥′
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
9
Função potencial
• Forma geral da função q(x):
• Aplicando-se o logaritmo em ambos os lados, 
temos:
• Fazendo:
• Temos novamente:
𝑦′ = 𝑎1 + 𝑎2𝑥′
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
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Linearização
• Encontrar a melhor função que ajusta os valores da 
tabela abaixo:
– Sugestão: usar uma função exponencial
Pontos experimentais
x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
F(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
11
Linearização
• Pontos experimentais:
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
y
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
12
Linearização
• Equação ajustada:
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
y
q(x) = 3,00exp(-2,5002x)
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
13
Qualidade do ajuste
• Qual o melhor ajuste?
• É preciso quantificar a qualidade do ajuste...
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
y
y=3.5*exp(-2.7*x)
y=3*exp(-2.5002*x)
y=2*exp(-2.5*x)
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
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Medindo a qualidade do ajuste
• O coeficiente de determinação de Pearson (r2) é definido:
• Valores reais
• Média dos valores reais
• Valores estimados
• 𝟎 ≤ 𝒓𝟐 ≤ 𝟏
• Quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste!







n
i
i
n
i
i
yy
yy
r
1
2
1
2
2
)(
)ˆ(
iy
iyˆ y