TRABALHO G2 celso

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Daniel Magela Alves Quirino
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Palmas-TO
2013
PARÁBOLA
A parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone (chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). É uma curva plana. 
Equações da geometria analítica
Em coordenadas cartesianas, uma parábola com um eixo paralelo ao eixo y com vértice (h, k), foco (h, k + p), e diretriz y = k - p, com p sendo a distância entre o vértice e o foco, possui a equação
ou, alternativamente
De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível da forma : tal que , em que todos os coeficientes são reais, em que A e/ou C é não nulo, e na qual mais de uma solução, definindo um par de pontos (x, y) na parábola, existe. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.
Outras definições geométricas
Parábola é uma curva gerada por todos os pontos que se situam igualmente distantes de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz).
Cartesiana
Eixo vertical de simetria
Estas deduções se baseiam em uma parábola de eixo vertical, com vértice (h, k) e a distância p entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco (equivalentemente, abaixo da diretriz) p é positivo, caso contrário p é negativo.
Como um ponto (x, y) na parábola dista do foco (de coordenadas (h, k + p)) tanto quanto da diretriz (linha horizontal de equação cartesiana y = k - p), podemos escrever.
Portanto:
O que pode ser reescrito na forma usual (trinômio do segundo grau):
.
Uma equação paramétrica (outras parametrizações são possíveis; a escolha de x(t) foi arbitrária, e y(t) é consequência) é:
Eixo horizontal de simetria
.
Semi-reta e coordenadas polares
Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e topo no eixo x negativo é dada pela equação
onde l = 2 p é a distância do foco à parábola, medida através de uma linha perpendicular ao eixo. Note que esta é o dobro da distância do foco ao vertex da parábola ou a distância perpendicular do foco à diretriz.
Forma em coordenadas gaussianas
A forma em coordenadas gaussianas é dada por: e possui a normal .
Aplicações práticas
Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:
HIPERBOLE
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares1 para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados defocos) é constante.
Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.
Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma
tal que , onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.
Definições
A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.
Equações 
Cartesiana 
Hipérbole de abertura leste-oeste:
Hipérbole de abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior (metade da distância entre os dois ramos), e b é osemi-eixo menor. Note que b pode ser maior que a.
A excentricidade é dada por
 ou 
Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:
Polar 
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:
Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.
Paramétrica 
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.