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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito - AP1 – Geometria Anal´ıtica I – 2015.2 Questa˜o 1 (2,5 pontos): Considere a para´bola de ve´rtice V = (0, 0) e diretriz r : x− 1 = 0. (a) Determine a equac¸a˜o da para´bola e seu foco. (b) Fac¸a, em um mesmo gra´fico, o esboc¸o da para´bola, seu foco e diretriz. Soluc¸a˜o: (a) Como r e´ paralela a OY , a reta que conte´m V = (0, 0) e e´ perpendicular a` r (isto e´ o eixo focal) e´ OX, que intercepta r no ponto H = (1, 0). Assim, p = 1 = d(H,V ) e o foco e´ F = (−1, 0), pois o ve´rtice e´ o ponto me´dio de HF . Como o ve´rtice e´ V = (0, 0) e o foco pertence ao semi-eixo negativo das abscissas, a equac¸a˜o da hipe´rbole e´ y2 = −4px, isto e´, y2 = −4x. (b) Questa˜o 2 (2,5 pontos): Em um sistema de coordenadas cartesianas OXY , determine a a´rea do triaˆngulo ABC, onde: ←→ AB: y = 3x + 1; ←→ AC: x− 2y = −2; ←→ BC: { x = −1 + 2t y = −2 + 5t/2 Soluc¸a˜o: Interceptando as retas ←→ AB e ←→ AC, obtemos o ponto A = (0, 1); Interceptando as retas ←→ AB e ←→ BC, obtemos o ponto B = (−1,−2); Interceptando ←→ BC e ←→ AC, obtemos o ponto C = (7/3, 13/6). Assim, −→ AB = (−1,−3), −→AC = (7/3, 7/6) e, consequentemente, a a´rea do triaˆngulo e´: 1 2 √ |−→AB|2|−→AC|2 − 〈−→ AB, −→ AC 〉2 = 1 2 √ 2450 36 − 1225 36 = 1 2 √ 1225 36 = 35 12 Questa˜o 3 (2,0 pontos): Determine a equac¸a˜o do c´ırculo que passa por A = (1, 2), B = (3, 4) e tem centro na reta y = 3x + 1. Soluc¸a˜o: Como o centro C do c´ırculo esta´ sobre a reta y = 3x + 1, enta˜o suas coor- denadas podem ser escritas na forma C = (x, 3x + 1), para algum x ∈ R. Ale´m disso, R = d(A,C) =︸︷︷︸ (∗) d(B,C), ja´ que, A e B sa˜o pontos do c´ırculo. Usando a igualdade (∗), temos: (x−1)2+(3x−1)2 = (x−3)2+(3x−3)2 =⇒ x2−2x+1+9x2−6x+1 = x2−6x+9+9x2−18x+9 −2x + 2 = −18x + 18 =⇒ x = 1. Assim, o centro e´ C = (1, 3(1) + 1) = (1, 4), o raio e´ R = d(A,C) = √ (4− 2)2 = 2 e, consequentemente, a equac¸a˜o do c´ırculo e´ (x− 1)2 + (y − 4)2 = 4. Questa˜o 4 (3,0 pontos): Considere o triaˆngulo iso´sceles ∆ABC com base BC (isto e´, |AC| = |AB|). Supondo A = (5, 3), o lado BC contido na reta r : x−2y = 4 e |BC| = 2√5, determine: (a) Equac¸o˜es parame´tricas para a reta l que conte´m a altura do triaˆngulo relativa a` sua base (isto e´, l passa por A e e´ perpendicular a` r). (b) As coordenadas do ponto me´dio M de BC. (c) Os poss´ıveis pontos B e C. Soluc¸a˜o: (a) Como r ⊥ −→v = (1,−2) e l ⊥ r, temos que l e´ paralela a`o vetor −→v . Assim, como A = (5, 3) ∈ l, temos as seguintes equac¸o˜es parame´tricas para l : { x = 5 + t y = 3− 2t , com t ∈ R. (b) Como o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles, a intersec¸a˜o entre as retas r e l e´ o ponto me´dio de BC. Ou seja, substituindo as equac¸o˜es de l, encontradas no item anterior, na equac¸a˜o de r : x− 2y = 4, encontramos M = (6, 1). Veja a ilustrac¸a˜o: 2 (c) Como |BC| = 2√5, enta˜o |BM | = √5. Assim, B = (x, y) ∈ r : x = 4 + 2y pode ser escrito na forma B = (4 + 2y, y) e: |BM |2 = (4 + 2y − 6)2 + (y − 1)2 = 5. Resolvendo esta u´ltima equac¸a˜o, obtemos y = 2 ou y = 0. Logo: • se y = 2, x = 4 + 2y = 8 e B = (8, 2). Neste caso, C = 2M − B = (4, 0) (ja´ que M = (B + C)/2); • se y = 0, x = 4 + 2y = 4 e B = (4, 0). Neste caso, C = 2M −B = (8, 2). 3
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