1 PROJ. ELEM MÁQUI ESTUDO DE TENSÕES

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Fase elástica
Fase plástica
Módulo de elasticidade
É a relação entre tensão e deformação.
E = Modul. Elast. Logitudinal relacionado com as tensõe normais
G = Mod. Els transversal relacionado com as tensões tangenciais
S = Strength = Resistência
Ut = Ultimate Tensile = Limite de tração
Y = Yield = Escoamento
ESTUDO DE TENSÕES (Revisão)
Tensões Normais : Agem perpendicularmente as faces do
 elemento ( Tração ou compressão)
Tensões Cisalhantes : Agem paralelamente faces do elemento
 aos pares e em faces opostas
Tensões Principais: Haverá planos onde as tensões cisalhantes serão
 nula, as tensões normais agindo nesse planos 
 serão chamadas de Tensões Principais e os 
 planos de Planos Principais 
 Existe um outro conjunto de eixos ortogonais onde a tensão de 
 cisalhamento será máxima e será denominada tensão máxima de 
 cisalhamento. Essa tensão ocorre em plano à 45 graus do Plano 
 Principal.
 
ESTUDO DE TENSÕES (Revisão)
Tensões Normais em um cubo elementar
Tensões Principais e Planos Principais
Tensões principais de cisalhamento
ESTUDO DE TENSÕES (Revisão)
Porque as peças falham ?
Provavelmente diríamos : “ Falhou porque a tensão aplicada ultrapassou o limite de resistência da peça “
Não esta errado, mas qual o tipo de tensão foi ultrapassada? Compressão, tração, cisalhamento ?
A resposta é : 
DEPENDE
 - Depende do material empregado, da sua resistência á tração, compressão ou cisalhamento
- Depende das características do carregamento, ou seja, estático ou dinâmico
- Depende da presença de trincas, poros, fissuras, presentes na peça
- Depende do acabamento superficial, da geometria da peça
- Depende como o tratamento térmico foi aplicado 
ESTUDO DE FALHAS ESTÁTICAS
A solicitação estática é aquela caracterizada pelo valor constante da tensão ao longo do tempo.
Pode ocorrer uma variação lenta ao longo do tempo onde o efeito de massa ( inércia pode ser desprezado.
No caso de haver variação, a mesma chega a um máximo e então permanecer constante
Este tipo de solicitação ocorre geralmente em estruturas de sustentação de máquinas e equipamentos
ESTUDO DE FALHAS ESTÁTICAS
As teorias envolvendo falhas devido a carregamentos estáticos são divididas em dois grupos
Modelos teóricos para Materiais frágeis
Modelos teóricos para Materiais dúcteis
Portanto quando estivermos dimensionando um equipamento, um componente etc, deveremos desde o inicio considerarmos qual tipo de material será utilizado na fabricação da peça, pois como vimos, o tipo de material é de suma importância na escolha da teoria que será abordada nos cálculos 
ESTUDO DE FALHAS ESTÁTICAS
Esta teoria estabelece que a falha ocorre sempre que a maior tensão principal se iguala ao limite de ruptura ,ou seja , σ1 = σe.
Esta teoria estabelece que somente a tensão principal conduz à falha e despreza as demais. Devido a este fato, suas previsões não concordam em muitos casos com os dados experimentais. Por este motivo na maioria das vezes utilizamos estes cálculos somente para fins de comparação.
Esta teoria se adequa mais a materiais frágeis
TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA
 Neste caso, para materiais frágeis o fator de segurança pode ser calculado pelas expressões abaixo: Sendo o estado de tensão ordenado σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
σA = Sut onde σA ≥ σB ≥ 0
 N
 σA - σB = 1 onde σA ≥ 0 ≥ σB 
 Sut Suc N 
σB = - Suc onde 0 ≥ σA ≥ σB 
 N 
Sut = Limite de resistência à tração e Suc = Limite de resistência à compressão
 
TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA 
(Coulumb – Mohr )
TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA 
(Coulumb – Mohr modificada)
 Neste caso, para materiais frágeis o fator de segurança pode ser calculado pelas expressões abaixo: Sendo o estado de tensão ordenado σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
σA = Sut onde σA ≥ σB ≥ 0
 N
 σB = - Suc onde 0 ≥ σA ≥ σB 
 N 
 
(Suc – S ut) * σA - σB = 1 onde σA ≥ 0 ≥ σB 
 Suc * Sut Suc N
Sut = Limite de resistência à tração e Suc = Limite de resistência à compressão
 
 O gráfico abaixo mostra os valores das tensões.
 Caso a tensão caia dentro dos limites do quadrado 
 não haverá falha.
 
TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA
Esta teoria se aplica somente à materiais Dúcteis. 
Ela estabelece que o escoamento começa sempre que a tensão de cisalhamento máxima em uma determinada peça for igual à tensão de cisalhamento máxima obtida no copo de prova
quando se inicia o escoamento deste. Sabemos que
 o escoamento se inicia quando : τmax = Sy 
 2 
Para o estado duplo de tensões sabemos que : 
 σ1 - σ3 = Sy 
O coeficiente de segurança pode ser calculado pelas 
expressões : 
 Ʈmax = Sy ou σ1 - σ3 = Sy
 2n n
Gráfico das tensões segundo Tresca
Caso a tensão caiam dentro dos 
limites do hexágono, não haverá falha.
Sy = Limite de escoamento à tração
TEORIA DA TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO (TRESCA)
Problemas de tensão plana resultantes da presença de uma tensão principal nula e duas outras σ A e σB 
Assumindo que σA maior ou igual σB, existem 3 casos à considerar:
Caso 1 : σA ≥ σB ≥ 0 , neste caso σ1 = σA e σ3 = 0 σA ≥ Sy 
Caso 2 : σA ≥ 0 ≥ σB , neste caso σ1 = σA e σ3 = σB σA - σB ≥ Sy
Caso 3 : 0 ≥ σA ≥ σB, neste caso σ1 = 0 e σ3 = σB σB ≤ - Sy
TEORIA DA TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO
(TRESCA)
Esta teoria também se aplica quando estamos tratando de materiais dúcteis.
Para a analise do projeto será importante definir uma
tensão efetiva segundo Von Mises, como sendo : 
Ou ainda σ’ pode ser reescrita como : 
Assumindo que σA maior ou igual σB, existem 3 casos à considerar:
Caso 1 : σA ≥ σB ≥ 0 , neste caso σ1 = σA e σ3 = 0 σA ≥ Sy 
Caso 2 : σA ≥ 0 ≥ σB , neste caso σ1 = σA e σ3 = σB σA - σB ≥ Sy
Caso 3 : 0 ≥ σA ≥ σB, neste caso σ1 = 0 e σ3 = σB σB ≤ - Sy
TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO (VON MISES)
A teoria de Von Mises prevê que a falha por escoamento ocorrera sempre que
a tensão efetiva se igualar à tensão de escoamento do corpo de prova, assim temos a expressão para esse calculo: σ’ ≥ Sy
Gráfico das tensões segundo Von Mises.
Caso a tensão caiam dentro dos limites da elipse, não haverá falha.
Sy = Limite de escoamento à tração
TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO
(VON
MISES)
A TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO ( VON MISES ), É A QUE MELHOR PREVÊ O ESCOAMENTO EM TODOS OS QUADRANTES. NO MOMENTO ESTA TEORIA É CONSIDERADA A MAIS CORRETA.
PODEMOS NOTAR NA FIGURA AO LADO QUE A TEORIA DA
 MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO SEMPRE CONDUZIRÁ
 A RESULTADOS A FAVOR DA SEGURANÇA, VISTO QUE
 O GRAFICO DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO ESTÁ
 CONTIDO DENTRO DO GRÁFICO DA MÁXIMA ENERGIA DE 
DISTORÇÃO.
TAMBÉM PODEMOS NOTAR QUE A TEORIA DA TENSÃO
 NORMAL, SÓ CONDUZ A RESULTADOS SEGUROS SE O 
SINAL DAS DUAS TENSÕES PRINCIPAIS FOREM IGUAIS
Tensão de cisalhamento na flexão para alguns perfis pode ser calculada como :
Viga de seção circular maciça : τ max = 4 x V
 3 x A Onde :
Viga de seção retangular maciça : τ max = 3 x V 
 2 x A V = Força cortante
 
Viga de seção circular oca ( tubo) : τ max = 2 x V A = Área da seção resistente
 A
Viga de seção tipo I: τ max = V 
 A 
 Onde A = Área da alma
LEMBRETES IMPORTANTES JÁ ESTUDADOS EM RESISTÊNCIA DOS MATERIÁIS E 
 DETALHADOS POR EXEMPLO NO LIVRO 
 PROJETO DE MÁQUINAS – de ROBERT L. NORTON 
SELEÇÃO DO CRITÉRIO DE FALHAS
Para materiais dúcteis, o critério mais adotado é o da Energia de Distorção
 ( Von Mises ), podemos aplicar também o critério da Tensão de Cisalhamento Máxima ( Tresca) , este critério é mais simples e mais conservativo.
Para comportamento frágil, a hipótese original de Mhor se adeque, porém por ser um mais adequado para quem dispõem de cálculos computacionais, podemos utilizar as teorias de Coulumb-Mohr ou Mhor Modificada.
Adotamos que o material se comporta como sendo frágil ou dúctil quando :
 Dúctil : Sua deformação efetiva for maior ou igual à 0,05 
Frágil : Sua deformação efetiva for menor do que 0,05