Introdução a Funções

Prévia do material em texto

PARTE 4 
 
INTRODUÇÃO A FUNÇÕES 
 
Situações-problema podem envolver diversas variáveis. As funções são instrumentos para estudar as 
relações, correspondências ou possíveis associações entre essas variáveis. As funções muitas vezes são 
modelos matemáticos que representam e simplificam situações reais. Supõe-se que uma das maneiras de 
construir o conceito de função é mostrar a importância e variedade de suas aplicações e relacioná-lo com 
outras ideias matemáticas. 
 
Situação 
Durante uma viagem de automóvel é feita uma tabela associando a cada hora à distância percorrida 
pelo carro desde o início do percurso, medida em quilômetros. 
Existem variáveis nesta afirmativa? Quais? 
Se existirem variáveis, de que forma elas se relacionam? 
Podemos dizer que a distância percorrida é função do tempo gasto no percurso? 
 
Alguns conceitos 
 
Variável: É um símbolo que representa qualquer um dos elementos de um determinado conjunto, símbolo 
como, por exemplo, “x”. 
 
Função: Expressa o relacionamento entre duas variáveis. Se duas variáveis “x” e “y” estão relacionadas de 
forma que “para cada valor atribuído a “x”, existe um único valor associado a “y”, então dizemos que “y” é 
uma função de “x” e escrevemos 𝑦 = 𝑓(𝑥)”. 
 
 
 
 
Exemplos 
1) O preço total pago pela gasolina posta em um automóvel depende do número de litros comprados, ou seja: 
 Preço = função do número de litros 
 P = 𝑓(

) 
2) Se tivermos y = x +1, para cada valor que x assume podemos determinar o valor da varável y, conforme a 
seguir: 
 x = 2  y = 2 + 1  y =3, obtendo dessa forma o par (x, y) = (2, 3); 
 x =10  y = 10 +1  y = 11, obtendo dessa forma o par (x, y) = (10, 11); 
Variável 
Variável 
y = f(x) 
 x = 3,45  y = 3,45 + 1  y = 4,45, obtendo dessa forma o par (x, y) = (3,45; 4,45); e assim 
sucessivamente. 
 Portanto em y = f(x) podemos caracterizar alguns conjuntos associados às variáveis envolvidas. 
 
Domínio: é o conjunto de todos os valores que se pode atribuir a variável x de modo que exista a variável y. 
 
Imagem: são os valores da variável y. 
Esquematicamente: 
y = x + 1 
 
 
 
assim: 
a) Domínio = {1, 2} 
b) Imagem = {2, 3} 
 
Modos de descrever uma função. 
Podemos descrever uma função das seguintes formas: 
1) analiticamente: através de uma lei (Fórmula); 
2) geometricamente: através de um gráfico; 
3) numericamente: através de uma tabela de valores. 
 
Zeros ou raízes de uma função: São os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0. Geometricamente, os zeros de 
uma função são as abcissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo dos x. 
 
 
Par Ordenado: Se a e b são números reais, então (a,b) é um par ordenado de números reais, onde a é o 
primeiro elemento e b é o segundo elemento. Todo par ordenado (ponto) pode ser localizado em um gráfico 
(sistema cartesiano ortogonal). Logo a corresponde a coordenada x, e b corresponde a coordenada y do gráfico. 
No gráfico a coordenada x é denominada eixo das abscissas e a coordenada y, eixo das ordenadas. 
 
 
1 
2 
 2 
3 
5 
Elemento do domínio 
imagem 
y = f(x) 
Localize em um gráfico os seguintes pontos A (2,3), B (-3,4), C(-3,-1), D(0,2) e E(-3,0). 
Observação: 
- Todo ponto com coordenada x = 0 está localizado sobre o eixo y. 
- Todo ponto com coordenada y = 0 está localizado sobre o eixo x. 
 
 
Teste da Vertical: uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e somente se nenhuma reta 
vertical cortar a curva mais de uma vez. 
 
Sinal de uma função: Para estudar o sinal de uma função temos que verificar para que valores de x temos 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑓(𝑥) = 0 ou 𝑓(𝑥) < 0. Quando a função está representada no plano cartesiano, basta examinar se 
é positiva, nula ou negativa a ordenada de cada ponto da curva. 
 
 
Função crescente e função decrescente: Sendo 𝑥1 e 𝑥2 elementos quaisquer de um conjunto 𝐴 ⊂ 𝐷(𝑓), com 
𝑥1 < 𝑥2, diz-se que a função é crescente em A se 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) e decrescente se 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
Considere a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida pelo gráfico. 
 
 
Observe que no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta 
também o valor de y. Dizemos então que a função é crescente no 
intervalo A. 
No intervalo B, aumentando o valor de x, o valor de y diminui. 
Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B. 
 
 
 
Exemplo 
Observando o gráfico da função 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, responder as questões: 
 
a) Qual é o domínio da função? 
b) Qual é a imagem da função? 
c) A função é decrescente? 
d) Para que valor de x, 𝑓(𝑥) > 0? 
e) Para que valores de x, 𝑓(𝑥) = 0? 
f) Para que valores de x, 𝑓(𝑥) < 0? 
g) A função tem algum ponto de máximo ou de 
mínimo? 
 
 
 
FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
FUNÇÃO LINEAR OU DO 1º GRAU 
 
Definição: Uma função f de  em  recebe o nome de função linear, definida pela lei 
  baxxf  
Com a e b pertencentes a , 
a  0
. 
 Os coeficientes de 
baxy 






retadal inearecoeficientb
retadadecl iveouangularecoeficienta 
 
Declividade (coeficiente angular) 
 A direção de uma reta é determinada pela sua declividade, que é definida em termos do ângulo entre a reta 
e o eixo x 
 
x
y
xx
yy
tga
12
12






 
então podemos escrever: 
 )xx(ayy 11
equação geral da reta 
 
Exemplos 
a) 
 
5
3
x2xf 
 b) 
3
2x
y


 c) 
  4
2
x3
xf 
 d) 
  x3xf 
 
 
Gráfico 
 O gráfico da função 
  baxxf 
 é uma reta não paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu domínio é 
  fD
 e sua imagem é 
  fIm
. 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DO 2º GRAU 
 
Definição: Uma função f de  em  recebe o nome de função quadrática, definida pela lei 
  cbxaxxf 2  
coma , b, c reais e 
a  0
. 
 
Exemplos 
a) 
  3x4xxf 2 
 b) 
2x9y 
 c) 
  2xxf  
d) 
 
5
2
x4
3
x
xf
2

 
 
Gráfico 
 O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva aberta chamada parábola. A parábola poderá ter 
concavidade voltada para cima ou para baixo. 
se
0a
, a concavidade é voltada para cima. 
se
0a
, a concavidade é voltada para baixo. 
 
Zeros (ou raízes) 
 Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2º grau os valores de x que anulam a função, ou seja, 
que tornam 
  0xf 
. 
 Assim, para determinar os zeros ou raízes de uma função do 2º grau devemos resolver a equação do 2º 
grau 
0cbxax2 
, que é resolvida através de Bháskara
a2
b
x


, onde 
ac4b2 
. 
se
0
: a função 
  cbxaxxf 2 
 tem duas raízes reais desiguais; 
se
0
: a função 
  cbxaxxf 2 
 tem duas raízes reais iguais; 
se
0
: a função 
  cbxaxxf 2 
 não tem raízes reais; 
 
Gráficos da Função Quadrática 
 
 
 
Gráficos para 
.menterespectiva,0e0,0,0a  
 
 
Gráficos para 
.menterespectiva,0e0,0,0a 
 
 
Estudo do Vértice: A parábola, que representa o gráfico da função 
  cbxaxxf 2 
, passa por um ponto 
V, chamado vértice, cujas coordenadas são 
a2
b
x v 
 (abscissa) e 
a4
y v


 (ordenada). 
Vértice de uma parábola: 





 

a4
,
a2
b
V
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
a) Construir o gráfico da função 
3x2xy 2 
, apresente os pontos das raízes, de intersecção com o eixo y e 
do vértice, dizendo se este é de máximo ou de mínimo. Determine o conjunto domínio e imagem, e os 
intervalos de x onde 𝑓(𝑥) > 0,𝑓(𝑥) = 0, 𝑓(𝑥) < 0 e onde a função é crescente ou decrescente. 
 
FUNÇÃO CÚBICA 
 
Definição: Uma função f de  em  recebe o nome de função cúbica, definida pela lei 
dcxbxaxy 23 
 
em que 
0a
 e b, c e d são constantes. 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função cúbica é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. O 
domínio e a imagem é sempre o conjunto dos números reais. Os valores para os quais f(x)=0, recebem o nome 
de zeros da função cúbica. Uma função de grau 3, tem exatamente 3 raízes reais ou complexas, (com no 
mínimo uma raiz real), desde que cada raiz seja contada de acordo com sua multiplicidade. O termo 
independente determina a interseção com o eixo y. 
 
Zeros (ou raízes) 
Caso 1. Quando o polinômio é da forma incompleta, não contendo o termo d, sempre uma das raízes será 
zero, ou seja, interceptará o eixo y na origem. 
 
Exemplos 
1. f(x)= x3 + 2x2 + x 
 
 
 
 
2. f(x)= x3 - 7x2 logo x3 - 7x2 = 0 
 
 
 
 
Caso 2: Quando o polinômio é da forma incompleta, contendo o termo d, ou da forma completa, as raízes 
serão determinadas aplicando o método de Briot-Ruffini. 
Exemplos 
1. Seja f(x) = x3 – 7x2 + 16x –10. Determine as raízes. 
 
 
 
 
 
2. Seja f(x) = x3 - 3x + 2,determinar as raízes e esboçar o gráfico. 
 
 
 
 
 
3. Seja
  x6xxxf 23 
 determinar o domínio, a imagem, as raízes e a interseção com o eixo y. 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO RACIONAL OU FRACIONÁRIA 
 
Definição: Uma função racional f é a razão entre dois polinômios: 
 
 
)x(Q
)x(P
xf 
 
onde P e Q são polinômios. 
 
Exemplo: Seja 
 
1x
1
xf


. Determinar o domínio a imagem, raízes, interseção com o eixo y, assíntota 
vertical assíntota horizontal. 
 
 
 
 
FUNÇÃO IRRACIONAL 
 
Definição: Uma função irracional f é dada pela lei 
 
  n )x(Pxf 
 
onde n é um número inteiro e P é um polinômio. 
 
Exemplo: Seja
2xy 
, determinar o domínio, a imagem, as raízes e a interseção com o eixo y. 
 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 
Definição: Uma função é modular se: 
x)x(f 
, como sendo, 
 






0xsex
0xsex
xf
 
 
Exemplo: Esboce o gráfico da 
1x)x(f 
, apresentando sua raiz, o ponto de intersecção com o eixo y, o 
domínio e a imagem da função: 
 
 
FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA SENTENÇA 
 
Definição: Uma função f pode ser definida por várias sentenças, cada uma das quais está ligada a um domínio 
D, contido no domínio de f. 
 
Exemplo: Esboce o gráfico da função 






2xpara,4x
2xpara,1x
)x(f
2 apresente as raízes se existirem, o conjunto 
domínio e imagem da função.