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Matemática Aplicada - Lista 4
1. Para os ítens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de inte-
gração e calcule a integral:
(a) ∫ pi0
∫ pi
x
sin y
y dydx
(b) ∫ 10
∫ 1
x x
2exy dydx
2. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos co-
ordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4− y2.
3. Calcule as integrais duplas abaixo:
(a) ∫∫D x cosydA, D é limitada por y = 0, y = x2, x = 1;
(b) ∫∫D (2x−y)dA, D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.
4. Nos ítens abaixo, esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. De-
pois expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a
integral:
(a) A curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln2
(b) As parábolas x = y2 e x = 2y− y2
5. Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade ρ = 3 limitada
pelas retas x = 0, y = x e pela parábola y = 2− x2 no primeiro quadrante.
6. Nos ítens abaixo, mude a integral cartesiana para uma integral polar equiv-
alente. Então calcule a integral polar.
(a) ∫ 20
∫
√
1−(x−1)2
0
x+y
x2+y2 dydx
(b) ∫ 1−1
∫
√
1−y2
−
√
1−y2 ln(x
2 + y2 +1)dydx
7. Seja D a região limitada pelos parabolóides z = 8− x2− y2 e z = x2 + y2.
Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume de D. Calcule
uma das integrais.
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8. Encontre a massa do sólido limitado pelos planos x+ z = 1, x− z = −1,
y = 0 e pela superfície y =√z. A densidade do sólido é ρ(x,y,z) = 2y+5.
9. Calcule
∫∫∫
R xydV , onde R é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0), (1,0,0),
(0,2,0) e (0,0,3).
10. Calcule
∫∫∫
R xdV , onde R é limitado pelo parabolóide x = 4y2 +4z2 e pelo
plano x = 4.
11. Determine o volume do sólido E que está acima do cone z =
√
x2 + y2 e
abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
12. Determine o jacobiano das seguintes transformações:
(a) x = uv, y = vw, z = uw;
(b) x = u
u+v , y =
v
u−v .
13. Utilize a transformação x = u/v, y = v para calcular
∫∫
R xydA, onde R é
a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3x e pelas
hipérboles xy = 1, xy = 3.
14. Calcule a integral
∫∫
R e
x+y dA, onde R é dada pela inequação |x|+ |y| ≤ 1,
fazendo uma mudança de variáveis apropriada.
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