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Matemática Aplicada - Lista 3
1. Nos itens (a)-(c):
a) Encontre o domínio da função;
b) Encontre a imagem da função;
c) Descreva as curvas de nível da função;
d) Encontre a fronteira do domínio da função;
e) Decida se o domínio é limitado ou não limitado.
(a) f (x,y) = y− x;
(b) f (x,y) = 1√
16−x2−y2
;
(c) f (x,y) = ln(x2 + y2);
2. Nos itens (a) e (b), esboce uma superfície de nível típica para a função:
(a) f (x,y,z) = x2 + y2 + z2;
(b) f (x,y,z) = x+ z.
3. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
(a)
lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 +4x3y−5xy2);
(b)
lim
(x,y)→(0,0)
8x2y2
x4 + y4
;
(c)
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
;
(d)
lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
√
x2 + y2 +1−1
;
1
(e)
lim
(x,y,z)→(3,0,1)
exysen(piz/2);
4. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre
que as funções nos itens (a)-(d) não tem limite quando (x,y)→ (0,0):
(a) f (x,y) =− x√
x2+y2
;
(b) f (x,y) = x4−y2
x4+y2 ;
5. Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f (x,y) = x2y3−2x4y; fxxx
(b) f (x,y,z) = x5 + x4y4z3 + yz2; fxxy
(c) z = xseny; ∂3z∂y2∂x
6. A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T ,
pressão P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante dos gases. Mostre
que:
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P =−1 (1)
7. O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo.
A certo instante as dimensões da caixa são l = 1 m e w = h = 2 m, e l e w
estão aumentando a uma taxa de 2 m/s, ao passo que h está diminuindo à
taxa de 3 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes
quantidades estão variando:
(a) O volume
(b) A área da superfície
(c) O comprimento da diagonal
8. Determine a derivada direcional de f (x,y) =√xy em P(2,8) na direção de
Q(5,4).
9. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em
que isso ocorre:
2
(a) f (x,y) = xe−y +3y, (1,0)
(b) f (x,y) = sen(xy), (1,0)
10. Nos itens abaixo, encontre equações para:
a) O plano tangente;
b) A reta normal no ponto P0 na superfície dada.
(a) x2 + y2 + z2 = 3, P0(1,1,1)
(b) cos(pix)− x2y+ exz + yz = 4, P0(0,1,2)
11. Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas
funções abaixo:
(a) f (x,y) = x2 + xy+ y2 +3x−3y+4
(b) f (x,y) = x2 + xy+3x+2y+5
(c) f (x,y) = x2− y2−2x+4y+6
(d) f (x,y) = 3+2x+2y−2x2−2xy− y2
12. Encontre os máximos e mínimos absolutos das funções abaixo nos domínios
dados:
(a) f (x,y) = 2x2−4x+ y2−4y+1 na placa triangular fechada e limitada
pelas retas x = 0, y = 2, y = 2x no primeiro quadrante.
(b) f (x,y) = x2+xy+y2−6x+2 na placa retangular 0≤ x≤ 5,−3≤ y≤
0.
13. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo com área
máxima e que tem perímetro constante p é um quadrado.
14. A temperatura em um ponto (x,y) sobre uma placa metálica é T (x,y) =
4x2−4xy+y2. Uma formiga anda sobre a chapa ao redor da circunferência
de raio 5 centrada na origem. Quais são as temperaturas máxima e mínima
encontradas pela formiga?
15. Encontre as dimensões da caixa retangular fechada com máximo volume
que pode ser inscrita na esfera unitária.
16. Encontre o valor máximo que f (x,y,z) = x2 +2y− z2 pode ter sobre a reta
dada pela intersecção dos planos 2x− y = 0 e y+ z = 0.
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