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Matemática Aplicada - Lista 1
1. Escreva os dez termos iniciais da sequência definida recursivamente por a1 = 2,
a2 =−1, an+2 = an+1/an.
2. Encontre uma fórmula para o n-ésimo termo das seguintes sequências:
(a) 1,−14 , 19 ,− 116 , 125 , ....
(b) 1,0,1,0,1, ....
3. Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada
sequência convergente.
(a) an = n2−2n+1n−1 .
(b) an = sennn .
(c) an = n2n .
(d) an =
(1
n
)1/(lnn)
.
4. Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série 1− 12 + 14 − 18 + ...+
(−1)n−1 12n−1 + ... e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
5. Escreva os primeiros termos de
∞
∑
n=0
(
5
2n
− 13n
)
,
e calcule sua soma.
6. Quais séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se
uma série convergir, calcule sua soma.
(a) ∑∞n=0(
√
2)n.
(b) ∑∞n=0 1xn , |x|> 1.
(c) ∑∞n=1
(
1− 1
n
)n
.
7. A figura a seguir mostra os primeiros cinco quadrados de uma sequência. O quadrado
externo tem área de 4 m2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os
pontos médios dos lados do quadrado do quadrado anterior. Calcule a soma das
áreas de todos os quadrados.
1
Figura 1: Problema 7
8. Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
(Quando estiver checando suas respostas, lembre-se de que pode existir mais de
uma maneira de determinar a convergência ou divergência de uma série.)
a)
∞
∑
n=1
1
(ln2)n
b)
∞
∑
n=1
2n
3n
c)
∞
∑
n=1
1
2n−1 d)
∞
∑
n=1
√
n
lnn
e)
∞
∑
n=1
8tan−1 n
1+n2
f)
∞
∑
n=1
1+ cosn
n2
g)
∞
∑
n=1
1√
n3 +2
h)
∞
∑
n=1
(lnn)3
n3
i)
∞
∑
n=1
1√
n lnn
j)
∞
∑
n=1
n2e−n
k)
∞
∑
n=1
(lnn)n
nn
l)
∞
∑
n=1
n2n(n+1)!
3n n!
9. Nem o teste da razão nem o teste da raiz ajudam muito quando lidamos com p-
séries. Experimente-os em
∞
∑
n=1
1
np
e mostre que nenhum dos dois nos dá informações sobre a convergência da série.
2
10. Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem e quais divergem?
Justifique suas respostas.
a)
∞
∑
n=1
(−1)n 1√
n
b)
∞
∑
n=1
(−1)n+1 1+n
n2
c)
∞
∑
n=1
(−1)n n
n+1
d)
∞
∑
n=1
(−5)−n
11. (a) Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série dada. Para quais
valores de x a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente?
a)
∞
∑
n=0
xn b)
∞
∑
n=0
n(x+3)n
5n
c)
∞
∑
n=0
nxn
4n(n2 +1) d)
∞
∑
n=1
(3x+1)n+1
2n+2
12. A série
ex = 1+ x+
x2
2!
+
x3
3! +
x4
4!
+
x5
5! + · · ·
converge para ex para todo x.
(a) Encontre uma série para (d/dx)ex.
(b) Encontre uma série para ∫ ex dx.
(c) Substitua x por −x na série para ex para encontrar uma série que convirja para
e−x para todo x. Então, multiplique a série para ex e e−x para encontrar os seis
primeiros termos de uma série para e−x · ex.
13. Encontre a série de Taylor gerada por f em x = a:
(a) f (x) = 1/x2, a = 1.
(b) f (x) = x/(1− x), a = 0.
14. Encontre a série de Maclaurin para as funções abaixo:
(a) sen3x.
(b) 11−x .
15. Encontre as séries de Taylor em x = 0 para x2 cos(x2).
3
16. Para quais valores positivos de x você pode substituir ln(1+ x) por x com um erro
que não ultrapasse 1% do valor de x?
17. Use a identidade sen2x = (1−cos2x)/2 para obter a série de Maclaurin para sen2x.
Então, derive a série para chegar à série de Maclaurin para 2senx cosx. Verifique
se esta é a série para sen2x.
18. Encontre a série binomial para (1+ x2)3.
19. Use uma série para estimar o valor da integral abaixo com um erro menor que 10−3:
∫ 0,2
0
e−x−1
x
dx.
20. Use uma série para calcular o limite dado:
lim
n→∞ x
2(e−1/x
2 −1).
21. Calcule a série de Taylor para 1/(1+ x)2 a partir da série para −1/(1+ x).
22. Encontre as séries de Fourier das funções abaixo e esboce cada função encontrada:
(a) f (x) =
{
1, 0≤ x≤ pi
−1, pi≤ x≤ 2pi
(b) f (x) =
{
x2, 0≤ x≤ pi
0, pi≤ x≤ 2pi
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