Determinantes em Álgebra Linear

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UNIDADE 2 
ALGEBRA LINEAR 
 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos 
 DETERMINANTES 
1. Introdução: 
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram 
estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, 
embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os 
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões 
matemáticas complicadas. 
2. Definição: 
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da 
matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. 
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem 
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da 
matriz . 
Ex.: 
3
2
3
2

3. Cálculo dos Determinantes: 
DETERMINANTES 
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os 
produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária . 
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem 
Ex.: 
5381)]( . 3)[( 4). (2
41
32



3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) 
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas. 
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da 
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita. 
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os 
elementos das outras duas filas à sua direita. 
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3. 
Ex.: 

 531
420
321

 31-
20
21
 
531
420
321
- - - + + + 
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = -4 
4. Cofator de uma matriz 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij 
de A ao número real Aij = (-1
)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz 
A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij 
. 
Ex.: 
12A calcule ,
52-4
21-3
021
A Seja 
54
23
.)1(A 2112

)815( . 1 

A12 = -7
 
5. Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
Ex.: 

 5234
2003
3412
1121
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34
 = 
234
412
121
 . 2
523
341
112
 . 3 


 34
12
21
 
234
412
121
 . 2
23
41
12
 
523
341
112
 . 3
- - - + + + 
3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8) 
3 . (-48) - 2 . (16) = -144 - 32 = -176 
- - - + + + 
Propriedades dos Determinantes 
P1. Fila Nula 
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 . 
Ex.: 



6201
0000
4413
5421
     4262132213 
0 
P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais 
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então 
det A = 0 . 
Ex.: 
0
808
545
232


0
504
426
213



e 
2ª linha = 2 x 1ª linha 
Se liguem, sempre que 
nos referimos a filas, 
estamos falando de 
linhas e também de 
colunas! 
1ª coluna = 3ª coluna 
P3. Matriz Transposta 
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. 
Ex.: 
843
015
102 
43
15
02 = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1 
801
410
352
 01
10
52

= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1 
P4. Teorema de Binet 
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então: 
det(A . B) = det A . det B 
Ex.: 













21
03
B e 
32
14
A
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60 


















69
213
21
03
 . 
32
14
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60 
P5. Matriz Triangular 
P6. Troca de Filas Paralelas 
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da 
diagonal principal. 
Ex.: 
872
019
005

= 5 .1 .8 = 40 
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma 
outra matriz M´, tal que: 
det M´ = - det M 
Ex.: 
22286
27
43
 22628
43
27

P7. Produto de uma Fila por uma Constante 
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um 
mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado 
por k. 
Ex.: 
 
511
430
291
 11
30
91

= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11 
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos: 
 
531
490
2271



31
90
271


 = -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33 
Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos: 
det (k . A) = kn . det A 
P8. Determinante da Matria Inversa 
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então: 
A det
1
A det 1- 
523
12
13
A det 








 623
130
022
603
130
012
643
110
052
Ex.: 
5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A det 1- 


P9. Adição de Determinantes 
Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais 
aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j 
destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante. 
Ex.: 
623
110
042

+ + = 
P10. Teorema de Jacobi 
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, 
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal 
que: 
det M´ = det M 
Ex.: 
614
724
531

-3 
6114
7104
501


Regra de Chió 
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem 
n  2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma 
outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A. 
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a 
coluna deste elemento. 
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos 
eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna. 
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a 
linha e a coluna retiradas. 
Ex.: 
512
302
131 

)1.(253.21
)1.(233.20



75
56



2542

-17 
Matriz de Vandermonde 
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2, 
em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando 
de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de 
primeiro termo igual a 1). 
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz. 
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as 
diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores. 
Ex.: 
343125278
492594
7532
1111

7 5 3 2 (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5) 
1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2 
240 
EXEMPLO 1 6) Calcule o determinante de 
43
12 . 
 
14 
EXEMPLO 2 7) Calcule o determinante de 
63
24 . 
15 
EXEMPLO 3 8) Calcule o determinante de 
021
102
321
 
16 
EXEMPLO 4 
 
9) Calcule o determinante de: 
201
770
003
 
17 
EXEMPLO 5 
10) (FUVEST) É dada a matriz 
P = 




10
11 . 
a)Calcule P
2
 e P
3
 
b) Qual a expressão P
n
? 
18 
EXEMPLO 6-ESAF 
19 
EXEMPLO 7 
20 
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