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Lei de Bio-Savart e Lei de Ampère
Sérgio Antenor de Carvalho
c©2011
2
Conteúdo
5 Lei de Bio-Savart e Lei de Ampère 5
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 Cargas em movimento - Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.3 Vetor Densidade de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.4 Princípio da Conservação da Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.5 Introdução a Campos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.6 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.7 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.8 Aplicação da Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.9 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.10 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.11 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.12 Equações de Maxwell para Campos Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.13 Primeira Equação de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.14 Segunda Equação de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.15 Terceira Equação de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.16 Quarta Equação de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.17 Introdução ao Potencial Magnético Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.18 Potencial Magnético Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.19 Potencial Magnético Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
4 CONTEÚDO
Capítulo 5
Lei de Bio-Savart e Lei de Ampère
5.1 Introdução
• até agora estudadamos cargas estacionárias no espaço livre (vácuo)
• sob estas condições encontramos
– os campos eletrostáticos ~E e ~D
– o campo escalar V
• e relacionamos um campo vetorial com um campo escalar ~E = −∇V
• agora permitiremos o movimento de cargas, com velocidade constante e introduziremos o con-
ceito de corrente
• esta corrente constante dá origem a um campo magnético estacionário
5.2 Cargas em movimento - Corrente
• assumimos que temos, no vácuo, um cilindro longo com uma distribuição volumétrica de cargas
ρv
• este cilindro está sob um campo elétrico
• ~E = Ex~ax
• o que acontece com o cilindro?
• o campo faz o cilindro se mover numa velocidade
• ~U = Ux~ax
• observemos um elemento de carga diferencial ∆q
• o elemento de carga diferencial ∆q está no volume ∆v = ∆s∆
• a sua velocidade é ~U = Ux~ax quando sujeito ao campo ~E = Ex~ax
• no tempo t0 ∆q deslocou-se do volume ∆v(costas) para o volume ∆v(frente)
5
6 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• no tempo t0 +∆t toda a carga ∆q está no volume ∆v(frente)
• no tempo ∆t a carga ∆q passou através da superfície ∆s, assim
∆q
∆t
=
ρv ∆v
∆t
= ρv
∆s∆x
∆t
= ρv
∆x
∆t
∆s
• no limite ∆t→ 0 temos a definição
do conceito de corrente I
I , lim
∆t→0
[
∆q
∆t
]
= lim
∆t→0
[
ρv
∆x
∆t
∆s
]
= ρv Ux∆s
I =
d q
d t
(A)
• a unidade da corrente é o Ampère (A), A = 1C/s
– 1A representa cerca de 6× 1018 elétrons fluindo pela área por segundo
• corrente é definida como o movimento de cargas através de uma dada superfície
I =
d q
d t
(A)
• é um escalar
5.3. VETOR DENSIDADE DE CORRENTE 7
[h]
5.3 Vetor Densidade de Corrente
• corrente é um escalar
• desenvolveremos um vetor densidade de corrente para englobar a informação do sentido do
fluxo de cargas
• consideremos a expressão
I = ρv Ux∆s
• dividimos por ∆s e tomamos o limite ∆s→ 0
lim
∆s→0
[
I
∆s
]
= ρv Ux
• que leva a definição da densidade de corrente na direção x
Jx , lim
∆s→0
[
I
∆s
]
= ρv Ux (A/m
2)
• na forma geral um vetor densidade de corrente é dado por
~J = ρv Ux~ax + ρv Uy~ay + ρv Uz~az
~J = Jx~ax + Jy~ay + Jz~az
~J = ρv ~U (A/m
2)
• analisemos o vetor densidade de corrente
– ρv > 0 sob o campo ~E = Ex~ax → ~J = Jx~ax
– ρv < 0 sob o campo ~E = Ex~ax → ~U = −Ux~ax → ~J = Jx~ax
• o vetor densidade de corrente ~J tem a mesma direção para
– ρv > 0 movendo-se na direção +x
– ρv < 0 movendo-se na direção −x
• se tivermos as duas densidades de cargas o vetor densidade de corrente é dado por
~J = ρ+v ~U+ + ρ
−
v
~U−
• carga em movimento constitui a corrente
8 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• este tipo de corrente é denominada de corrente de convecção e
• ~J é a densidade de corrente de convecção
• a corrente total I fluindo através de uma área é dada por
I =
∫
s
~J · ~ds
• Dado o vetor densidade de corrente ~J = 103 sen θ~ar (A/m2) em coordenadas esféricas, calcule
a corrente total que atravessa a casca esférica de raio r = 0, 02m.
I =
∫
s
~J · ~ds, ~ds = r2 sen θ d θ dφ~ar
I =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
103 (0, 02)2 sen2 θ d θ dφ
= 103 (0, 02)2(2pi)
[
θ
2
− sen 2 θ
4
]pi
0
≈ 3, 9478 A
• Dado o vetor densidade de corrente ~J = 100 cos 2 y~ax(A/m2) determine a corrente que atravessa
a porção do plano x = 0 definida por −pi/4 ≤ y ≤ pi/4m e −0, 01 ≤ z ≤ 0, 01m
I =
∫
s
~J · ~ds, ~ds = dy dz ~ax
I =
∫ 0,01
−0,01
∫ pi/4
−pi/4
100 cos 2 y dy dz
= 100(0, 02)
[
sen 2 y
2
]pi/4
−pi/4
= 2, 0 A
• Em uma região cilíndrica de 2mm de raio o vetor densidade de corrente varia com a distância
ao eixo do cilindro de acordo com ~J = 103 e−400 ρ~az (A/m2). Determine a corrente total.
I =
∫
s
~J · ~ds, ~ds = ρ dρ dφ~az
I =
∫ 2pi
0
∫ 0,002
0
103 e−400 ρ ρ dρ dφ
= 2pi 103
[
e−400 ρ
(−400)2 (−400 ρ− 1)
]0,002
0
= 7, 51mA
5.4. PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA CARGA 9
5.4 Princípio da Conservação da Carga
• o princípio estabelece que
carga elétrica não pode ser criada ou destruída
• podemos criar (ou destruir) simultaneamente quantidades iguais de cargas positivas e negativas
• carga total no universo é nula
• assumimos que um volume v, limitado por uma superfície s possui uma densidade de carga ρv
• a carga englobada pela superfície s será denominada qen, assim
qen =
∫
v
ρv dv
• a carga qen pode ser aumentada ou diminuída, se a carga está fluindo através de s, para dentro
ou para fora do volume
• a corrente através da superfície fechada s é
I =
∮
s
~J · ~ds
• a este fluxo para fora deve corresponder um decréscimo de cargas positivas (ou um aumento
de cargas negativas)
• por quê? princípio da conservação da carga
• dentro do volume a carga qen decresce numa razão
−d qen
dt
• a corrente na superfície é igual a uma taxa de cargas através dela
10 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• pela conservação da carga esta taxa é igual a taxa de decréscimo da carga no volume, assim
I = −d qen
dt
=
∮
s
~J · ~ds
• sabemos que qen =
∫
v
ρv dv, assim∮
s
~J · ~ds = − d
dt
∫
v
ρv dv
∮
s
~J · ~ds = − d
dt
∫
v
ρv dv
• usando o teorema da divergência temos∮
s
~J · ~ds =
∫
v
(∇ · ~J) dv = − d
dt
∫
v
ρv dv
• considerando que a superfície s é estacionária∫
v
(∇ · ~J) dv =
∫
v
− ∂
∂t
ρv dv
∫
v
(∇ · ~J) dv =
∫
v
− ∂
∂t
ρv dv
• que é verdadeira para qualquer volume
• para um volume diferencial temos
∇ · ~J ∆v = −∂ρ
∂t
∆v
∇ · ~J = −∂ρ
∂t
5.4. PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA CARGA 11
∇ · ~J = −∂ρ
∂t
• qual a interpretação física desta equação?
• a corrente (carga por segundo) que divergede um pequeno volume é igual a taxa de decréscimo
da densidade de carga neste volume
∮
s
~J · ~ds = − d
dt
∫
v
ρv dv
• qual a interpretação física desta equação?
• a corrente numa superfície fechada é igual a taxa de decréscimo da carga no volume limitado
por esta superfície
• Uma densidade volumétrica de cargas está decrescendo a uma taxa de 2× 108C/m3, encontre:
a) a corrente total que atravessa uma superfície esférica incremental de raio 10−5m
• Solução
a) I =
∮
s
~J · ~ds = −
∫
v
∂
∂t
ρ dv = −
∫
v
(−2× 108) dv
= 2× 1084
3
pi(10−5)3 ' 0, 838µA
• Uma densidade volumétrica de cargas está decrescendo a uma taxa de 2× 108C/m3, encontre:
b) o valor médio da componente da densidade de corrente dirigida para fora da superfície
• Solução b) ~J = J ~ar∮
s
J ~ar · ds~ar ⇒ J = Iárea
=
2× 108 4
3
pi(10−5)3
4pi (10−5)2
=
2
3
k A/m2A
• Para uma distribuição de cargas ρv, ao longo do cilindro da figura, movendo-se com velocidade
~U = 5 z ~az m/s encontre: a) ρv|z1=2 quando I|z1=2 = piµA b) ρv|z2=2 quando I|z2=2 = piµA c)
ρv(z) quando I(z) = piµA d) ~J A/m2
• assumimos que I e ~J são uniformes sobre a seção transversa do cilindro
12 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• Para uma distribuição de cargas ρv, ao longo do cilindro da figura, movendo-se com velocidade
~U = 5 z ~az m/s encontre:
I(z) =
∫
s
~J · ~ds, ~J = ρv ~U =
∫
s
ρv ~U · ~ds,
• como ρv(z) e ~U(z) não variam com ρ e φ e ~U(z)|| ~ds temos
I(z) = ρv(z)Uz(z)
∫
s
ds = ρv(z)Uz(z)pir
2
c
ρv(z) =
I(z)
pir2c Uz(z)
C/m3
• Para uma distribuição de cargas ρv, ao longo do cilindro da figura, movendo-se com velocidade
~U = 5 z ~az m/s encontre: a) ρv|z1=2 quando I|z1=2 = piµA
ρv(z)|z1=2 =
pi × 10−6
pi(0, 2)2 10
= 2, 5µC/m3
• Para uma distribuição de cargas ρv, ao longo do cilindro da figura, movendo-se com velocidade
~U = 5 z ~az m/s encontre:
5.4. PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA CARGA 13
b) ρv|z2=4 quando I|z2=4 = piµA
ρv(z)|z2=4 =
pi × 10−6
pi(0, 2)2 20
= 1, 25µC/m3
• Para uma distribuição de cargas ρv, ao longo do cilindro da figura, movendo-se com velocidade
~U = 5 z ~az m/s encontre:
c) ρv(z) quando I(z) = piµA
ρv(z) =
pi × 10−6
pi(0, 2)2 5 z
=
5
z
µC/m3
• Para uma distribuição de cargas ρv, ao longo do cilindro da figura, movendo-se com velocidade
~U = 5 z ~az m/s encontre:
d) ~J A/m2
~J = ρv ~U =
5
z
µ 5 z ~az
= 25~az µA/m
2
14 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
5.5 Introdução a Campos Magnéticos
• já estamos familiarizados com o conceito de campo
– campo elétrico estacionário ~E
– vetor densidade de fluxo elétrico ~D
– campo escalar V
• agora estudaremos o campo magnético estacionário
• ele surge a partir de uma corrente constante
• na natureza temos uma fonte de campo magnético estacionário
– a pedra magnética descoberta por Tales - ímã
• distribuição de cargas ⇒ campo elétrico
• cargas em movimento ⇒ campo magnético
5.6 Lei de Biot-Savart
• lei que estabelece a relação entre corrente e campo magnético
d ~H2 =
I1 d~l1 × ~a12
4pi R212
(A/m)
• os elementos são
• ~I1− corrente em P1 (A)
• d~l1− elemento diferencial (m)
• ~a12− vetor unitário da fonte ao ponto de observação
• R12− distância entre a fonte e o ponto de observação (m)
• como se comporta o campo magnético?
d ~H2 =
I1 d~l1 × ~a12
4pi R212
(A/m)
5.6. LEI DE BIOT-SAVART 15
• o campo magnético circula em torno da corrente que o gera
• não podemos isolar um elemento diferencial de corrente
d ~H =
I d~l × ~aR
4pi R2
(A/m)
• assim a lei de Biot-Savart não pode ser verificada experimentalmente
• estamos considerando corrente contínuas
– ∇ · ~J = −∂ρv/∂t = 0
–
∮
s
~J · ~ds = 0
• a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula∮
s
~J · ~ds = 0
• está condição só pode ser satisfeita se considerarmos a corrente fluindo em torno de um caminho
fechado
16 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• teremos três tipos de corrente
– corrente filamentar
– corrente superfícial - densidade superficial de corrente ~Js
– corrente volumétrica - densidade volumétrica de corrente ~Jv
• é obtida integrando-se a contribuição de cada elemento diferencial de corrente
~H =
∮
I d~l × ~aR
4pi R2
(A/m)
• é obtida integrando-se a contribuição de cada elemento diferencial superficial de corrente
~H =
∫
s
~Js × ds~aR
4pi R2
(A/m)
5.6. LEI DE BIOT-SAVART 17
• é obtida integrando-se a contribuição de cada elemento diferencial volumétrico de corrente
~H =
∫
v
~Jv × dv~aR
4pi R2
(A/m)
• cada uma das integrais anteriores representam a contribuição de cada elemento de corrente ao
campo magnético num ponto
– I d~l ou ~Js ds ou ~Jv dv
– geram um campo magnético d ~H diferencial num ponto
• I d~l ≡ ~Js ds ≡ ~Jv dv (Am)
• I d~l ≡ ~Js ds ≡ ~Jv dv (Am)
• analisemos as unidades de cada corrente
• I d~l : (Am)⇒ I (A)
• ~Js ds (Am)⇒ ~Js (A/m) vetor densidade superficial de corrente
• ~Jv dv (Am)⇒ ~Jv (A/m2) vetor densidade volumétrica de corrente
18 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
exemplo de aplicação no 1
• consideremos um filamento de comprimento finito com corrente constante
• temos uma corrente num filamento, usaremos
~H =
∮
I d~l × ~aR
4pi R2
(A/m)
• estamos analisando só a contribuição de um trecho da linha
~H =
∫ b
a
I d~l × ~aR
4pi R2
(A/m)
• filamento de comprimento finito com corrente
• a contribuição de um elemento diferencial de corrente é
d ~H =
I d~l × ~aR
4pi R2
• vamos definir os elementos da equação
I d~l = I dz′~az
R~aR = ρ~aρ − (z′ − z)~az
R =
√
ρ2 + (z′ − z)2
• substituindo os elementos na equação
~H =
∫ b
a
I d~l × ~aR
4pi R2
(A/m)
• obtemos
d ~H =
I dz′~az × [ρ~aρ − (z′ − z)~az]
4pi R3
~H =
∫ b
a
I ρ dz′~aφ
4pi [ρ2 + (z′ − z)2]3/2
5.6. LEI DE BIOT-SAVART 19
• quais são os elementos que variam na região de integração? a coordenada z, ρ e ~aφ são constantes
• para resolver a integração
~H =
∫ b
a
I ρ dz′~aφ
4pi [ρ2 + (z′ − z)2]3/2
• faremos a seguinte transformação
cos α =
ρ
[ρ2 + (z′ − z)2]3/2
,
tanα =
(z′ − z)
ρ
⇒ dz
′
ρ
=
dα
cos2α
• substituindo na equação
~H =
∫ b
a
I ρ dz′~aφ
4pi [ρ2 + (z′ − z)2]3/2
• obtemos
~H =
I ρ
4pi
~aφ
∫ α2
α1
ρ dα
cos2α
cos3α
ρ3
20 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• os limites são conseqüência de
senα =
z′ − z
[ρ2 + (z′ − z)2]3/2
z′ = b⇒ α = α2, z′ = a⇒ α = −α1
• resolvendo a integral
~H =
I ρ
4pi
~aφ
∫ α2
α1
ρ dα
cos2α
cos3α
ρ3
• obtemos
~H =
I
4pi ρ
~aφ [senα]
α2
α1
~H =
I [senα2 − senα1]
4pi ρ
~aφ
• deixamos o parâmetro α1 positivo porque na sua definição aparecerá o sinal caso a coordenada
z′ do ponto a (ou b) for menor que a z do ponto P .
• no caso de uma linha infinita teremos
senα =
z′ − z
[ρ2 + (z′ − z)2]3/2
z′ = ∞⇒ α2 = pi
2
z′ = −∞⇒ α1 = −pi
2
• assim
~H =
I
2pi ρ
~aφ
• como o campo magnético ~H se comporta?
5.6. LEI DE BIOT-SAVART 21
exemplo de aplicação no 2
• consideremos uma lâmina metálica longa de largura `, percorrida por uma corrente i uniforme-
mente distribuída. Calcular o campo magnético ~H no plano da lâmina, a uma distância a do
lado mais próximo.
• como podemos resolver o problema usando o resultado de uma linha infinita?
• considerando a lâmina constituída de filetes de corrente di
• lâmina constituída de filetes de corrente di
• cada filete gera um campo magnético dado por
d ~H =
di
2pi R
~aφ A/m
• cada filete ocupa uma largura dR assim
di = dR
i
`
• o campo total é dado pela integração
~H =
∫ a+`
a
i
2pi R
dR~aφ =
i
2pi `
ln
[
a+ `
a]
~aφ A/m
22 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
exemplo de aplicação no 3
• consideremos uma espira circular com corrente constante
• queremos determinar o campo magnético no eixo do anel
• a contribuição de um elemento de corrente ao campo ~H é
d ~H =
I d~l × ~aR
4pi R2
A/m
• vamos definir os elementos da equação
• na figura temos os elementos definidos
d ~H =
I d~l × ~aR
4pi R2
A/m
I d~l = I ρ′ dφ′~aφ
R~aR = (z − z′)~az − ρ′~aρ
R =
√
ρ′2 + (z − z′)2
d ~H =
I ρ′ dφ′~aφ × [(z − z′)~az − ρ′~aρ]
4pi R3
A/m
• para avaliar a expressão precisamos
~aφ × ~az = ~aρ = ~ax cos φ′ + ~ay sen φ′
~aφ × (−~aρ) = ~az
5.6. LEI DE BIOT-SAVART 23
• substituindo
d ~H =
I ρ′ dφ′ (z − z′) [~ax cos φ′ + ~ay sen φ′]
4pi R3
+
I dφ′ ρ′2
4pi R3
~az
• pela simetria as integrações em cos φ′ e sen φ′ são nulas, assim
~H =
∫ 2pi
0
I dφ′ ρ′2
4pi R3
~az
=
I a2
2R3
~az =
I a2
2 (a2 + z2)3/2
~az A/m
• em termos do ângulo θ, escrevemos
~H =
I a sen θ
2 (a2 + z2)
~az A/m
• linhas de campo magnético de uma espira circular
24 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• campo magnético no eixo da espira circular
~H =
I a sen θ
2 (a2 + z2)
~az A/m
exemplo de aplicação no 4
• Um solenoide de comprimento l, com N espiras de corrente é percorrido por uma corrente i.
Calcule o campo ~H em um ponto P do seu eixo. Se o solenoide for de comprimento infinito
qual o valor do campo ~H.
• Um solenoide de comprimento l, com N espiras de corrente é percorrido por uma corrente i.
Calcule o campo ~H em um ponto P do seu eixo. Se o solenoide for de comprimento infinito
qual o valor do campo ~H.
• Respostas:
~H =
N i
2 l
(cos θ2 − cos θ1)~ax A/m comprimento finito
~H =
N i
2 l
~ax A/m comprimento infinito
5.7. LEI DE AMPÈRE 25
5.7 Lei de Ampère
• a Lei de Ampère estabelece que
a integral de linha da componente tangêncial do campo magnético em torno de um caminho
fechado é igual a corrente líqüida envolvida pelo caminho∮
~H · d~l = I
• a Lei de Ampère é similar à Lei de Gauss
• na aplicação da lei de Ampère caminhos diferentes fornecem o mesmo resultado∮
a
~H · d~l =
∮
b
~H · d~l = I
• se o caminho não engloba toda a corrente temos∮
c
~H · d~l = Ic < I
• a facilidade de aplicação da Lei de Ampère dependerá
– do conhecimento de como o campo ~H se comporta
– do caminho de integração escolhido
∮
~H · d~l = I
H
∮
dl = I ⇒ H = I
`
• condições para facilitar a integração
– campo ~H perpendicular ou tangêncial ao percurso
– campo ~H constante no percurso
• o caminho que atende estas condições é a caminho amperiano
26 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
5.8 Aplicação da Lei de Ampère
• linha infinita com corrente
• como se comporta o campo magnético?
– ~H ⊥ ao plano formado por d~l = dz′~az e ~R
– ~H na direção ~aφ → Hφ(ρ)
• qual é o caminho amperiano?
• circunferência de raio ρ∫ 2pi
0
Hφ(ρ) ρ d φ = I
Hφ =
I
2pi ρ
~H =
I
2pi ρ
~aφ A/m
• Calcule o campo ~H no interior e no exterior de um fio grosso de raio a com uma corrente
uniformemente distribuída
• qual é o caminho amperiano?
• escolhemos uma circunferência de raio ρ
– campo ~H constante e tangencial ao percurso
– campo só tem a componente ~aφ
5.8. APLICAÇÃO DA LEI DE AMPÈRE 27
• para ρ > a temos∮
~H · d~l = I →
∮
Hφ~aφ · ρ dφ~aφ =
∫ 2pi
0
Hφ ρ dφ
Hφ =
I
2pi ρ
• para ρ < a temos
Hφ =
I ′
2pi ρ
• como a corrente é uniforme a densidade de corrente também é, assim
J =
I
pi a2
=
I ′
pi ρ2
→ I ′ = I ρ
2
a2
• para ρ < a temos
Hφ =
I ′
2pi ρ
=
I ρ
2pi a2
• campo gerado por um fio com corrente uniforme
• para ρ > a temos
~H =
I
2pi ρ
~aφ A/m
• para ρ < a temos
~H =
I ρ
2pi a2
~aφ A/m
• Linha de transmissão coaxial
28 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• como se comporta o campo magnético?
– condutores formados por filamentos de corrente
– ~H não varia com φ ou z → Hφ(ρ)
– simetria cancela Hρ
• Linha de transmissão coaxial
• o campo magnético é dado por
Hφ =
Ienv
2pi ρ
A/m
• campo dentro do condutor interno (ρ ≤ a)
Ienv = I
ρ2
a2
→ Hφ = I ρ
2pi a
A/m
• campo entre os condutores (a ≤ ρ ≤ b)
Hφ =
I
2pi ρ
A/m
• campo dentro do condutor externo (b ≤ ρ ≤ c)
Ienv = I − I (ρ
2 − b2)
(c2 − b2) → Hφ =
I
2pi ρ
{
1− (ρ
2 − b2)
(c2 − b2)
}
A/m
• campo externo ρ > c Hφ = 0
5.9. ROTACIONAL 29
• Linha de transmissão coaxial
5.9 Rotacional
• aplicando a Lei de Gauss num volume diferencial chegamos ao conceito de divergência
• agora aplicaremos a Lei de Ampère num perímetro diferencial e chegaremos ao conceito de
rotacional
• consideremos um percurso diferencial fechado
• aplicando a Lei de Ampère temos∮
~H · d~l ≈
4∑
i=1
~Hi ·∆~li = ∆I
• aplicando a Lei de Ampère temos∮
~H · d~l ≈
4∑
i=1
~Hi ·∆~li = ∆I
• ( ~H ·∆~l)12 = H12y ∆y,
• ( ~H ·∆~l)34 = H34y ∆y,
30 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• ( ~H ·∆~l)23 = H23x ∆x,
• ( ~H ·∆~l)41 = H41x ∆x,
• aproximaremos H ijy e H ijx pelo campo no centro do perímetro
• aproximando H ijy e H ijx pelo campo no centro do perímetro obtemos
( ~H ·∆~l)12 ≈
(
Hy0 +
1
2
∂Hy
∂x
∆x
)
∆y
( ~H ·∆~l)34 ≈ −
(
Hy0 − 1
2
∂Hy
∂x
∆x
)
∆y
• aproximando H ijy e H ijx pelo campo no centro do perímetro obtemos
( ~H ·∆~l)23 ≈ −
(
Hx0 +
1
2
∂Hx
∂y
∆y
)
∆x
( ~H ·∆~l)41 ≈
(
Hx0 − 1
2
∂Hx
∂y
∆y
)
∆x
5.9. ROTACIONAL 31
• substituindo as aproximações encontramos∮
~H · d~l ≈
(
∂Hy
∂x
− ∂Hx
∂y
)
∆x∆y = ∆I
• ∆I é a corrente envolvida pelo percurso, atravessa ∆s
• ∆I ≈ Jz ∆x∆y∮
~H · d~l ≈
(
∂Hy
∂x
− ∂Hx
∂y
)
∆x∆y
= Jz ∆x∆y
• no limite a expressão∮
~H · d~l ≈
(
∂Hy
∂x
− ∂Hx
∂y
)
∆x∆y
= Jz ∆x∆y
• torna-se exata e dada por
lim
∆x,∆y→0
∮
~H · d~l
∆x∆y
=
(
∂Hy
∂x
− ∂Hx
∂y
)
= Jz
• considerando os outros caminhos fechados perpendiculares aos outros eixos temos
lim
∆y,∆z→0
∮
~H · d~l
∆y∆z
=
(
∂Hz
∂y
− ∂Hy
∂z
)
= Jx
lim
∆x,∆z→0
∮
~H · d~l
∆x∆z
=
(
∂Hx
∂z
− ∂Hz
∂x
)
= Jy
• o rotacional é uma operação vetorial definida por
∇× ~H , lim
∆Sn→0
∮
~H · d~l
∆Sn
= ~J
• o que significa?
32 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
5.10 Teorema de Stokes
• consideremos uma superfície S, dividida em superfícies incrementais ∆S
• aplicando a definição do rotacional em uma dessas superfícies temos(
∇× ~H
)
N
,
∮
~H · d~l∆S
∆S
• onde o índice N indica uma normal a superfície segundo a regra da mão direita
• multiplicando escalarmente o
(
∇× ~H
)
por ~aN obtemos
(
∇× ~H
)
· ~aN ,
∮
~H · d~l∆S
∆S(
∇× ~H
)
·∆~S ,
∮
~H · d~l∆S
• se somarmos o rotacional das m superfícies incrementais obtemos
m∑
k=1
∮
ck
~H · d~l =
m∑
k=1
(
∇× ~H
)
·∆~S
• soma das m superfícies incrementais
m∑
k=1
∮
ck
~H · d~l =
m∑
k+1
(
∇× ~H
)
·∆~S
• se fizermos m→∞ o que obteremos?∮
c
~H · d~l =
∫
S
(
∇× ~H
)
· d~S
5.10. TEOREMA DE STOKES 33
• que é válido para qualquer campo vetorial e conhecido como Teorema de Stokes
• consideremos uma seção de uma superfície esférica mostrada na figura
• a superfície é definida por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1pi, 0 ≤ φ ≤ 0, 3pi
• o percurso fechado é formado por três arcos de circunferência
• dado o campo magnético ~H = 6 r sen φ~ar + 18 r sen θ cos φ~aθ determine ambos os lados do
teorema de Stokes
• o 1o arco é descrito como r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1pi e φ = 0
• o 2o arco é descrito como r = 4, θ = 0, 1pi e 0 ≤ φ ≤ 0, 3pi
• o 3o arco é descrito como r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1pi e φ= 0, 3pi
• o elemento diferencial de percurso é d~l = dr~ar + r dθ~aθ + r senθ dφ~aφ
• analisando o elemento diferencial de percurso e os segmentos o que acontece?
• o elemento diferencial de percurso é d~l = dr~ar︸︷︷︸
1o termo
+ r dθ~aθ︸ ︷︷ ︸
2o termo
+ r senθ dφ~aφ︸ ︷︷ ︸
3o termo
• o 1o termo é zero nos três segmentos, por que? não temos variação com a coordenada r
• o 2o termo é zero no segmento 2
34 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• o 3o termo é zero nos segmentos 1 e 3
• com estas considerações obteremos
• com estas considerações obteremos∮
~H ·d~l =
∫
1
Hθ r dθ+
∫
2
Hφ r senθ dφ+
∫
3
Hθ r dθ
• como Hθ = 0 só temos a 2o integral para calcular∫
2
Hφ r senθ dφ =
∫ 0,3pi
0
[18 (4) sen 0, 1pi cos φ] 4 sen 0, 1pi dφ
= 288 sen20, 1pi sen 0, 3pi ≈ 22, 2A
• para avaliar a integral de superfície primeiro calculamos o rotacional
∇× ~H = 1
r sen θ
(36 r sen θ cos θ cos φ)~ar
+
1
r
(
6 r cos φ
sen θ
− 36 r sen θ cos φ
)
~aθ
• o elemento de área é d~S = r2 sen θ dθ dφ~ar
• usando os dados anteriores obtemos∫
S
(
∇× ~H
)
· d~S =
∫ 0,3pi
0
∫ 0,1pi
0
(36rsenθcosφ) 16senθdθdφ
=
∫ 0,3pi
0
576
(
1
2
sen2θ
)∣∣∣∣0,1pi
0
cos φ dφ
= 288 sen20, 1pi sen 0, 3pi ≈ 22, 2A
5.11 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético
• vamos definir o vetor densidade de fluxo magnético como
~B = µ0 ~H Wb/m
2
• onde ~B é medido em webers por metro quadrado (Wb/m2)
• ou numa unidade mais recente adotada no Sistema Internacional de Unidades, tesla (T)
• a constante µ0 é a permeabilidade do espaço livre dada por
µ0 = 4 pi × 10−7 H/m
• o fluxo magnético Φ é a integral de ~B por uma superfície, assim
Φ =
∫
s
~B · d~S Wb
5.11. FLUXO MAGNÉTICO E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO 35
• nenhuma fonte de fluxo magnético jamais foi descoberta
• não observamos, até agora, cargas magnéticas
• as linhas de fluxo são fechadas, assim, a lei de Gauss para campos magnéticos é∮
s
~B · d~S = 0 forma integral
∇ · ~B = 0 forma diferencial
• para um campo magnético dado por ~H = 103~aφ A/m, determine o fluxo magnético que atrav-
essa a superfície plana definida por 2 ≤ ρ ≤ 4m, φ = pi/2 e 0 ≤ z ≤ 2m
Φ =
∫
s
~B · d~S =
∫ 2
0
∫ 4
2
µ0 10
3~aφ · dρ dz ~aφ
= µ0 12× 103 ≈ 158, 8× 10−4 Wb
36 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
5.12 Equações de Maxwell para Campos Estacionários
• da teoria eletromagnética estudada temos∮
s
~D · ~ds = Q =
∫
v
ρv dv ∇ · ~D = ρv∮
~E · ~dl = 0 ∇× ~E = 0∮
~H · ~dl = I =
∫
s
~J · ~ds ∇× ~H = ~J∮
s
~B · ~ds = 0 ∇ · ~B = 0
5.13 Primeira Equação de Maxwell∮
s
~D · ~ds = Q =
∫
v
ρv dv ∇ · ~D = ρv
• o que estas equações estabelecem?
– carga elétrica gera um vetor densidade de fluxo elétrico ~D e consequentemente um campo
elétrico ~E
– uma distribuição de carga elétrica é a fonte de ~E e ~D
• exemplos de aplicações
– campo de uma carga pontual
– campo de uma linha infinita
– uma distribuição de carga gerando um campo elétrico
5.14 Segunda Equação de Maxwell∮
~E · ~dl = 0 ∇× ~E = 0
• o que estas equações estabelecem?
– campo elétrico estacionário é conservativo
– deslocar uma carga sob um campo elétrico pode gerar uma variação de energia
• exemplos de aplicações
– cálculo do trabalho realizado ao deslocar uma carga sob um campo elétrico
– cálculo da diferença de potencial
– cálculo do potencial de uma distribuição de cargas
– cálculo do campo elétrico a partir do campo potencial
5.15. TERCEIRA EQUAÇÃO DE MAXWELL 37
5.15 Terceira Equação de Maxwell∮
~H · ~dl = I =
∫
s
~J · ~ds ∇× ~H = ~J
• o que estas equações estabelecem?
– corrente estacionária gera um campo magnético
– campo magnético não é conservativo
• exemplos de aplicações
– cálculo do campo magnético a partir de um fluxo de cargas
– campo magnético de uma espira circular
– campo magnético de uma lâmina de corrente
– campo magnético gerado por um fio com uma distribuição de corrente
5.16 Quarta Equação de Maxwell∮
s
~B · ~ds = 0 ∇ · ~B = 0
• o que estas equações estabelecem?
– não existe carga magnética
– as linhas de fluxo magnético são fechados
• exemplos de aplicações
– cálculo do fluxo magnético por uma abertura
– cálculo do fluxo magnético entre condutores
38 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
5.17 Introdução ao Potencial Magnético Escalar
• na solução de problemas de campo eletrostático o uso do potencial eletrostático escalar V foi
muito útil
• este potencial eletrostático possue um significado físico
– trabalho realizado
• de uma configuração de cargas calculamos V e deste ~E
• podemos definir uma função potencial a partir da distribuição de corrente? sim
• pode um potencial magnético escalar ser definido semelhante ao potencial eletrostático escalar?
algumas vezes
• o potencial magnético vetorial está baseado na condição ∇ · ~B = 0
5.18 Potencial Magnético Escalar
• consideremos a segunda questão sobre o potencial magnético escalar
– potencial magnético escalar semelhante ao potencial elétrico escalar
• chamaremos de Vm o potencial magnético escalar, assim
• ~H = −∇Vm
• essa definição não deve entrar em conflito com nossos resultados anteriores, assim
• ∇ × ~H = ~J = ∇× (−∇Vm)
• mais temos uma identidade vetorial que fornece ∇×∇A ≡ 0
• assim é possível ~H = −∇Vm se ~J = 0
• temos uma diferença importante entre V e Vm
• o potencial elétrico V é uma função unívoca
– definido a referência temos apenas um valor de V associado a cada ponto na região
• o potencial magnético Vm não é uma função unívoca
• a razão disto é que no caso eletrostático temos
–
∮
~E · ~dl = 0, ∇× ~E = 0, assim
– Vab = −
∫ a
b
~E · ~dl independe do percuso
• no caso magnetostático temos
– ∇× ~H = 0 porque ~J = 0 mas ∮ ~H · ~dl = I
– Vm,ab = −
∫ a
b
~H · ~dl é função do caminho especificado
5.18. POTENCIAL MAGNÉTICO ESCALAR 39
• campo elétrico ~E conservativo - potencial elétrico V conservativo
• campo magnético ~H não conservativo - potencial magnético Vm não conservativo
• conclusão
– se nenhuma corrente é envolvida pelo caminho temos um campo magnético conservativo
e assim uma função potencial magnético Vm unívoca
• consideremos uma seção transversal de uma linha coaxial
• na região a < ρ < b temos ~J = 0 assim podemos estabelecer um potencial magnético escalar
• o valor de campo ~H nesta região é
~H =
I
2pi ρ
~aφ
• onde I é a corrente total fluindo na direção ~azno condutor interno
• obtemos Vm integrando a equação ~H = −∇Vm
• usando a componente adequada do gradiente temos
I
2pi ρ
~aφ = −∇Vm|φ = −1
ρ
∂ Vm
∂ φ
∂ Vm
∂ φ
= − I
2pi
• assim
Vm = − I
2pi
φ
• onde fizemos a constante de integração igual a zero
• observe que em φ = 0 Vm = 0 mas em φ = 2 pi Vm = −I
• o potencial magnético escalar não é uma função unívoca
40 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
5.19 Potencial Magnético Vetorial
• o potencial magnético vetorial é conseqüência da identidade vetorial ∇·∇× ~A ≡ 0 e ∇· ~B = 0
• provemos a identidade vetorial
• consideremos que ∇ · ∇ × ~A = T
• integremos esta expressão num volume qualquer∫
v
(∇ · ∇ × ~A) dv =
∫
v
T dv
• apliquemos o teorema da divergência no lado esquerdo da equação anterior, obtemos∮
s
(∇× ~A) · ~ds =
∫
v
T dv
• qual deve ser o resultado do lado esquerdo da equação∮
s
(∇× ~A) · ~ds =
∫
v
T dv
• o lado esquerdo é a integral de superficie do teorema de Stokes numa superfície fechada∮
c
~A · ~dl ≡
∫
s
(∇× ~A) · ~ds
• assim ∮
s
(∇× ~A) · ~ds = 0 =
∫
v
T dv logo ∇ · ∇ × ~A ≡ 0
• o potencial magnético vetorial é conseqüência da identidade vetorial ∇·∇× ~A ≡ 0 e ∇· ~B = 0
• assim podemos escrever ~B em termos de
~B = ∇× ~A
• onde ~A é o potencial magnéticovetorial
• este potencial satisfaz a condição de que ~B é um campo solenoidal, isto é, tem divergência nula
• o campo ~H é dado por
~H =
1
µ0
∇× ~A
5.19. POTENCIAL MAGNÉTICO VETORIAL 41
• o potencial ~A está relacionado com a fonte ~J através de
∇× ~H = ~J = 1
µ0
∇×∇× ~A
• vamos relacionar o potencial ~A com a corrente num fio
• partimos com a expressão
~B =
µ0
4pi
∫
I ~dl × ~ar
r2
• da analise vetorial temos
∇
(
1
r
)
= − 1
r2
~ar
• assim
~B =
µ0
4pi
∫
I ~dl×
(
− 1
r2
~ar
)
• usando
∇×
(
1
r
~dl
)
=
1
r
∇× ~dl − ~dl ×∇
(
1
r
)
• na equação
~B =
µ0
4pi
∫
I ~dl ×
(
− 1
r2
~ar
)
• obtemos
~B =
µ0
4pi
∫
I
(
∇×
(
1
r
~dl
)
− 1
r
∇× ~dl
)
• analisemos o termo ∇× ~dl da integral
~B =
µ0
4pi
∫
I
(
∇×
(
1
r
~dl
)
− 1
r
∇× ~dl
)
• o elemento diferencial ~dl é função das variáveis x′, y′, z′ assim
• ∇ × ~dl(x′, y′, z′) é nulo, por quê?
– o operador ∇× (rotacional) atua sobre as coordenadas do ponto de observação (x, y, z)
• a expressão para ~B reduz-se a
~B =
µ0
4pi
∫
I∇×
(
1
r
~dl
)
42 CAPÍTULO 5. LEI DE BIO-SAVART E LEI DE AMPÈRE
• retirando o operador rotacional de dentro da integral
~B =
µ0
4pi
∫
I∇×
(
1
r
~dl
)
• obtemos
~B = ∇×
∫
I
µ0
4pi
(
1
r
~dl
)
• como queremos representar ~B = ∇× ~A temos
~A =
µ0
4pi
∫
I
1
r
~dl
• temos uma nova abordagem para calcular o campo ~H ou ~B
• a abordagem anterior é fazer uma integração direta
• fonte I −−−−−−−→integração campo ~H
• na nova abordagem
• fonte I −−−−−−−→integração potencial vetor ~A −−−−−−→derivação (rotacional) campo ~H
~A =
µ0
4pi
∫
I
1
r
~dl
• esta é a abordagem usada para calcular os campos radiados por uma antena
5.19. POTENCIAL MAGNÉTICO VETORIAL 43
• podemos obter as expressões para o potencial vetor ~A para as outras distribuições de corrente
~Js e ~Jv de maneira similar, mas
• como I ~dl ≡ ~Js ds ≡ ~Jv (Am) as expressões das outras distribuições de corrente são
~A =
µ0
4pi
∫
s
~Js
1
r
ds
~A =
µ0
4pi
∫
v
~Jv
1
r
dv
• calcular o potencial vetor ~A e o campo ~B criados por um pequeno comprimento de fio ` com
uma corrente i
• vamos considerar que ` � r, assim, podemos fazer r = cte, isto é, r é constante dentro da
integral
~A =
µ0
4pi
∫
i
1
r
~dl
=
µ0 i
4pi r
∫
~dl
=
µ0 i
4pi r
`~az = Az ~az
• para facilitar o cálculo do campo ~B vamos passar ~A para coordenadas esféricas assim
Ar = Az cos θ =
µ0 i `
4pi r
cos θ
Aθ = −Az sen θ = −µ0 i `
4pi r
sen θ
• o campo ~B é dado por ~B = ∇× ~A, assim
~B = ∇× ~A = 1
r
[
∂ (r Aθ)
∂ r
− ∂Ar
∂ θ
]
~aφ
~B =
µ0 i `
4pi r2
sen θ~aφ (Wb/m
2)