REGRA DE TRÊS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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O
S
1
IP, se tem que haver proporção inversa.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. 12 operários fazem um determinado trabalho em 
24 dias. Se fossem 6 operários a mais, em quanto tempo o 
trabalho ficaria pronto?
Solução:
IP
Oper.
12
18
→
→
Dias
24
x
18x 12 24
12 24x
18
x 16d
= ⋅
⋅
=
=
R.2. Um veículo faz um determinado percurso em 50 
min. Quanto tempo ele gastaria para fazer esse mesmo per-
curso se utilizar uma velocidade 20% menor?
Solução:
 IP
Vel.
10
8
→
→
Min.
50
x
8x 10 50
10 50x
8
x 62,5 min
= ⋅
⋅
=
=
IMPORTANTE
Todas as vezes que os valores de uma grandeza forem 
relacionados através de um percentual adota-se um valor (no 
caso, 10) para uma grandeza e obtém-se o outro valor (no caso, 
8) aplicando-se a taxa que relaciona esses valores entre si.
NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
REGRA DE TRÊS
Existem dois tipos de regras de três:
• simples: apresenta apenas duas grandezas;
• composta: apresenta mais de duas grandezas.
IMPORTANTE
Grandeza é uma palavra-chave que recebe um valor numérico o 
qual muda ao longo do problema.
Para entendermos melhor o que é considerado grandeza, 
veja os seguintes exemplos:
1) 10 operários em 20 dias constroem 30km de estrada. 
Quantos km de estrada serão construídos por 15 operários 
em 40 dias?
OPER. DIAS KM
3 Grandezas (quantidade de 
operários, dias e km)
10 20 30
15 40 X
2) 10 operários em 20 dias constroem 30km de estrada. 
Quantos km constroem 10 operários em 40 dias?
OPER. DIAS KM
2 Grandezas 
(quantidade de dias e km)
10 20 30
10 40 X
OOs.:� Operários não são considerados grandezas no 2o 
exemplo, pois a razão entre 10 e 10 é igual a 1. 
Sempre que a razão for unitária não consideramos 
grandeza!
Classificação das Grandezas
Um par de grandezas é considerado:
DP, se tem que haver proporção.
ADENDO
SERPRO - TÉCNICO
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS - ROBERTO VASCONCELOS
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R.3. Um operário faz um determinado trabalho em 12h. 
Quanto tempo gastaria outro operário 50% mais eficiente, 
para fazer o mesmo trabalho?
Solução:
IP
Efic.
10
15
→
→
Horas
12
x
15x 10 12
10 12x
15
x 8h
= ⋅
⋅
=
=
Regra de três composta
Devemos organizar as grandezas e fazer a classifica-
ção de cada uma delas isoladamente com a grandeza que se 
quer calcular, formando regras de três simples. Daí fazemos 
a classificação (DP ou IP). Na hora em que formos montar a 
proporção devemos conservar as DP e inverter as IP.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são neces-
sários 2200kg de milho. Retirando-se 7 vacas, em quanto 
tempo serão consumidos 1280kg?
Solução:
Vacas
15
18
Dias
11
x
Milho
2200
1280
IP DP
11 18
X
=
15
2200
⋅
1280
11 1 11
X 3 4
11
= ⋅
X
=
11
12
X 12d=
R.2. Uma estrada vai ser construída em 36 dias, utili-
zando-se 21 operários. Decorridos 24 dias tinha-se construído 
apenas 60% da obra. Qual o número de operários que devem 
ser contratados para terminar a obra no tempo marcado?
Solução:
Dias
24
12
Oper
21
x
Estrada
60%
40%
IP DP
21 12
X
=
24
60
⋅
40
21 1 3
X 2 2
21
= ⋅
X
=
3
4
7 1
x 280p
X 4
= ⇒ =
Resp.: como já se tem 21 operários e precisamos de 
28, logo temos que contratar 7 operários.
R.3. 15 operários furam uma vala de 80m de compri-
mento em 10 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos dias 
serão necessários para que 32 operários furem outra vala de 
100m de comprimento, trabalhando 12 horas por dia e cuja 
dificuldade seja 3
5
 maior?
Solução:
Operários Comp. (m) Dias H/D Dificuldade
15 80 10 8 5/5
32 100 X 12 8/5
1P DP 1P DP
10 32 80 12 5
x 15 100 8 8
10 8
x 5
8x 50
50 1x d x 6 d
8 4
= ⋅ ⋅ ⋅
=
=
= ⇒ =
É bom lembrar que 1
4
 do dia corresponde nesse caso 
a 3 horas de trabalho (já que 100% do dia de trabalho cor-
responde a 12 horas).
Logo, a nova turma vai gastar 6 dias mais 3 horas de 
trabalho.
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REGRAS DE TRÊS SIMPLES
1. Determine, em cada caso, se a relação entre as gran-
dezas é de proporção direta (DP) ou inversa (IP).
a. O número de operários trabalhando e a quantida-
de de peças que eles produzem durante um certo 
tempo.
b. O número de pedreiros trabalhando e o tempo que 
levam para construir um muro.
c. A velocidade de um carro e o tempo que ele leva 
para fazer um certo percurso.
d. A quantidade de comida e o n. de dias que um gru-
po de crianças pode ser alimentado, numa colônia 
de férias.
e. A quantidade de comida e o número de crianças 
que podem ser alimentadas com ela durante um 
tempo numa colônia de férias.
f. O tamanho de um livro e o tempo necessário para 
escrevê-lo.
g. O número de linhas por página e o total de páginas 
de um livro.
h. A capacidade de um operário e o tempo necessário 
para ele executar um serviço.
i. A dificuldade de um trabalho e o tempo necessário 
para uma pessoa executá-lo.
j. A capacidade de um operário e a dificuldade de 
uma tarefa.
k. O tempo necessário para fazer um trabalho e a ca-
pacidade dos operários envolvidos nesse trabalho.
2. Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto 
custarão 33 metros do mesmo tecido? R$ 198,00
3. Em 180 dias, 24 operários constroem uma casa. Quan-
tos operários serão necessários para fazer uma casa 
igual em 120 dias?
4. Na fabricação de uma lata com capacidade de 350ml 
gastam-se 14g de alumínio, enquanto na lata com ca-
pacidade de 500ml gastam-se 18g de alumínio. Consi-
derando a estimativa de três bilhões de latas de alumí-
nio de 350ml vendidas anualmente no Brasil, calcule a 
quantidade de alumínio economizado se o mesmo volu-
me do líquido fosse distribuído em latas de 500ml.
5. 100 gramas de ouro produzem 96 gramas de uma cer-
ta substância. Quantos gramas de ouro serão neces-
sários para produzir 300 gramas dessa substância?
6. Às 13h45min iniciei um trabalho. Às 16h45min já tinha 
executado 3/4 desse trabalho. Prosseguindo nesse rit-
mo, terminarei meu trabalho às:
a. 17h15min.
b. 17h.
c. 17h30min.
d. 17h 45min.
7. Se um relógio atrasa 36 minutos por dia, quanto terá 
atrasado ao longo de 3 horas?
8. Em uma mistura com álcool e gasolina, foram utili-
zados 10,8 litros de álcool e 34,2 litros de gasolina. 
Essa mistura contém:
a. 23% de álcool.
b. 24% de álcool.
c. 25% de álcool.
d. 26% de álcool.
e. 28% de álcool.
9. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma 
casa, quanto tempo levará para construí-la 10 pedrei-
ros?
10. Um automóvel com a velocidade de 60 km/h faz o 
percurso entre as cidades A e B, em 2 horas. Quanto 
tempo levará se fizer o mesmo percurso a uma velo-
cidade de 80 km/h?
11. Uma onça persegue uma lebre. Enquanto a onça 
anda 20 metros, a lebre anda 14 metros. Se a distân-
cia inicial entre elas é de 30 metros, qual a distância 
que a onça deverá percorrer até alcançar a lebre?
12. Dois carregadores levam caixas de um depósito para 
uma loja. Um deles, o mais fraco e mais rápido, leva 
3 caixas por vez e demora 2 minutos em cada via-
gem. O outro, mais forte e mais vagaroso, leva 7 cai-
xas por vez e demora 5 minutos na viagem. Enquanto 
o mais fraco leva 180 caixas, quantas caixas levam 
o outro?
13. Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e 
caixas de maçãs de 20kg. Pelo transporte, ele recebe 
R$ 2,00 por caixa de uvas e R$ 2,50 por caixa de ma-
çãs. O caminhão utilizado tem capacidade para trans-
portar cargas de até 2.500kg. Se forem disponíveis 80 
caixas de uvas e 80 caixasde maçãs, quantas caixas 
de maçãs ele deve transportar de forma a receber o 
máximo possível pela carga transportada?
a. 80.
b. 75.
c. 70.
d. 65.
e. 60.
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4
14. Dois irmãos, Pedro e João, decidiram brincar de pe-
ga-pega. Como Pedro é mais velho, enquanto João 
dá 6 passos, Pedro dá apenas 5. No entanto, 2 pas-
sos de Pedro equivalem à distância que João percor-
re com 3 passos. Para começar a brincadeira, João 
dá 60 passos antes de Pedro começar a persegui-lo. 
Depois de quantos passos Pedro alcança João?
a. 200 passos.
b. 120 passos.
c. 180 passos.
d. 150 passos.
15. José limpa o vestiário de um clube de futebol em 30 
minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa o mesmo 
vestiário em 45 minutos. Quanto tempo levará os dois 
para limpar o vestiário juntos?
a. 15 minutos e 30 segundos
b. 18 minutos.
c. 20 minutos.
d. 36 minutos.
e. 37 minutos e 30 segundos.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
16. Para alimentar 15 vacas leiteiras durante 11 dias são 
necessários 2.200kg de milho. Retirando-se 7 vacas, 
em quanto tempo serão consumidos 1.280kg de milho?
17. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas 
e cada linha com 60 letras. Quantas linhas teriam em 
cada página, se cada linha tivesse 40 letras e o livro 
tivesse 150 páginas?
18. Uma estrada vai ser construída em 36 dias, utilizando-se 
21 operários. Decorridos 24 dias, constatou-se que 
se tinha construído apenas 60% da obra. Nessas 
condições, o número de novos operários que devem 
ser contratados para terminar a obra na data fixada 
será de:
a. 7.
b. 9.
c. 10.
d. 11.
e. 12.
19. Um fabricante de queijo gasta 60 litros de leite para fa-
zer 18 queijos de 2,5kg cada um. Quantos queijos de 2kg 
ele faz com 80 litros de leite?
a. 30 queijos.
b. 19 queijos e 
2
5
 de queijo.
c. 10 queijos e 
4
5
 de queijo.
d. 36 queijos.
20. Um avicultor possui 600 galinhas e 4.500kg de ração, 
que é suficiente para alimentá-las por 30 dias. Ad-
mitindo que ele tenha adquirido mais 400 galinhas e 
1.500kg de ração, por quantos dias a alimentação de 
que dispõe será suficiente para alimentar as aves?
21. Uma obra será executada por 13 operários (de mesma 
capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias 
com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorri-
dos 8 dias do início da obra, 3 operários adoeceram e 
a obra deverá ser concluída pelos operários restantes 
no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser 
a jornada diária de trabalho dos operários restantes 
nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo 
previsto?
a. 7h42.
b. 7h44.
c. 7h46.
d. 7h48.
e. 7h50.
22. Se 8 operários constroem, em 6 dias, um muro com 
40 metros de comprimento, quantos operários serão 
necessários para construir outro muro com 70 metros, 
trabalhando 14 dias?
23. 24 operários fazem 2
5
 de determinado serviço em 10 
dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra 
estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 
operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora 
por dia?
a. 8.
b. 11.
c. 12.
d. 21.
e. 18.
24. Suponha que x2 macacos comem x3 bananas em x mi-
nutos (onde x é um número natural dado). Em quanto 
tempo espera-se que 5 destes macacos comam 90 ba-
nanas?
a. 11 minutos.
b. 18 minutos.
c. 16 minutos.
d. 13 minutos.
e. 15 minutos.
25. Uma fazenda dispõe de duas colheitadeiras: A e B. 
Sabe-se que a colheitadeira B colhe o dobro do que 
colhe a colheitadeira A e que, em 2 dias, a colheitadeira 
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A colhe 4 alqueires, trabalhando 8 horas por dia. Sob as 
mesmas condições, é correto afirmar que a colheitadei-
ra B, trabalhando 6 horas por dia, durante 3 dias, colhe:
a. 16,0 alqueires.
b. 9,0 alqueires.
c. 4,5 alqueires.
d. 7,6 alqueires.
e. 12,0 alqueires.
26. Um tanque tem três torneiras. As duas primeiras o 
enchem, sozinhas, respectivamente, em 4 horas e 6 
horas. A terceira o esvazia em 3 horas. Quantas horas 
serão necessárias para enchê-lo se as três torneiras 
ficarem abertas e o tanque já estiver ocupado com 3
4
 
de sua capacidade?
a. 2h.
b. 3h.
c. 4h.
d. 5h.
e. 6h30m.
G A B A R I T O
REGRA DE TRÊS SIMPLES
1. a. DP
 b. IP
 c. IP
 d. DP
 e. DP
 f. DP
 g. IP
 h. IP
 i. DP
 j. DP
 k. IP
2. R$ 198,00
3. 36 Operários
4. 4,2 x 109 gramas de alumínio.
5. 312,5 gramas
6. a
7. 4min30seg.
8. b
9. 252 dias
10. 1 hora e 30 minutos
11. 100 metros
12. 168
13. d
14. a
15. b
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
16. 21 dias
17. 90 linhas por página
18. a
19. a
20. 24 dias
21. d
22. 6 operários
23. d
24. b
25. b
26. b
PORCENTAGEM
PORCENTAGEM SIMPLES
São os problemas que podem ser relacionados a uma 
regra de três simples (Diretamente Proporcional), tal como:
N1
N2
 
i1
i2 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Em um concurso apenas 600 candidatos foram 
aprovados. Determine o total de inscritos sabendo que a 
taxa de reprovação foi de 85%.
Solução:
N1 i1 600 15%
N2 i2 x 100%
15x
x 4000
60000
→
⇒
→
⇒ =
R.2. Numa sala há 100 pessoas, das quais 99% são 
mulheres. Quantas mulheres devem sair da sala de tal modo 
que o número delas passe a representar 98% das pessoas 
que permaneceram?
Solução:
1 1
2 2
N i 1 pessoa 2%
N i x 98%
2x 98 x 49
→
⇒
→
= ⇒ =
Tinham 99 mulheres, agora só tem 49, então: o número 
de mulheres que saíram foi de 50 mulheres.
OOs.:� para determinarmos a taxa que um valor “a”, repre-
sente de um valor “b”, basta fazermos:
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
6
ai
b
= → TaxaUnitária
a
i 100 %
b
 = ⋅ 
 
→
Taxa
Percentual
R.3. Determine a taxa percentual que a fração 3
4
 repre-
senta da fração 5
8
 .
Solução:
3
3 84i 100 % i 100 % i 120%
5 4 5
8
 
   = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =   
   
 
R.4. Numa cidade, o litro de gasolina que custava R$ 
2,50 passou a custar R$ 2,60. Determine a taxa percentual 
do aumento da gasolina.
Solução:
Vi = R$ 2,50
Aumentou R$ 
0,10Vf = R$ 2,60
0,10
i 100 %
2,50
100
i %
2,50
i 4%
 = ⋅ 
 
=
=
R.5. Escreva as seguintes frações na forma de taxa 
percentual:
a.
16
100
b.
1
4
c.
2
5
Solução:
a.
16
16%
100
=
b.
1 25
0,25 25%
4 100
= = =
c.
2 40
0,4 40%
5 100
= = =
R.6. Escreva cada número decimal a seguir na forma 
de taxa percentual:
a. 0,56
b. 0,08
c. 1,03
d. 0,173
Solução:
a.
56
0,56 56%
100
= =
b.
8
0,08 8%
100
= =
c.
103
1,03 103%
100
= =
d.
17,3
0,173 17,3%
100
= =
PROPORÇÃO FALSA
É uma técnica utilizada para resolver problemas de por-
centagem onde duas ou mais grandezas estão relacionadas 
entre si através de percentuais.
Consiste em adotarmos um valor falso para uma das 
grandezas e a partir daí obtermos os valores (falsos) das 
demais grandezas.
Ao final, faz-se uma regra de três simples conveniente 
para ajustar os valores.
R.7. Considere 3 números de tal modo que o 1º seja 20% 
maior que o 2º e o 3º seja 20% menor. Sabendo que a soma 
dos três números é igual a 1.500, determine o 3º número.
Solução:
120
A + 20% – 20%B C
100 80
A + B + C C
300 80
1500 XValor Real Valor Real
Valores Falsos Valores Falsos
300x 1500= 80
x 5 8
x 400
⋅
= ⋅
=
R.8. Antônio, Beatriz e Carlos são funcionários da 
mesma empresa. Sabe-se que Antônio ganha 30% a mais 
que a Beatriz e Carlos ganha 20% a menos que Antônio. 
A diferença entre o salário de Carlos e de Beatriz é de R$ 
80,00. Determine o salário de Antônio.
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S
7
Solução:130
A + 20%
– 20%
B C
100 104
C – B A
4 130
80 XValor Real Valor Real
Valores Falsos Valores Falsos
= ⋅
= ⋅
=
4x 80 130
x 20 130
x 2600
TAXAS SUCESSIVAS
São problemas que apresentam um conjunto de taxas 
que incidem cumulativamente sobre certo valor.
( ) ( )f i 1 2V V 1 i 1 i ...= ⋅ ± ⋅ ±
Vf = Valor final (depois das taxas)
Vi = Valor final (depois das taxas)
i1 ; i2... = Taxas unitárias (ex.: 3% = 0,03; 84% = 0,84)
+ = Reajustes, inflação etc...
– = Abatimentos, deflação etc...
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Considere que em cada um dos dois últimos 
anos a inflação tenha sido de 200%. Quanto custava há 
dois anos um objeto que hoje custa R$ 450,00?
Solução:
→
→
→ =
+ →
f
i
1 2
V R$ 450,00.
V é o que se quer saber.
i ,i 200% 2.
 inflação.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= ⋅ ± ⋅ ±
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ ⋅
= ⋅
=
f i 1 2
i
i
i
i
V V 1 i 1 i
450 V 1 2 1 2
450 V 3 3
450 V 9
V R$ 50,00
R.2. Paulo iniciou um jogo de cartas com R$ 48,00. 
Arriscando, ganhar ou perder, a metade do que possuía no 
momento em que aposta. Sabendo-se que ele apostou 4 
vezes e perdeu exatamente 2, podemos afirmar que Paulo:
a. não ganhou nem perdeu.
b. ganhou ou perdeu dependendo da ordem que su-
cederam as vitórias e derrotas.
c. perdeu R$ 27,00.
d. ganhou R$ 16,00.
e. perdeu R$ 21,00.
Solução:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f i 1 2 3 4
f
f
f
i f
V V 1 i 1 i 1 i 1 i
V 48 1 0,5 1 0,5 1 0,5
V 48 0,5625
V R$ 27,00
V V
48 27 R$ 21,00
= ⋅ ± ⋅ ± ⋅ ± ⋅ ±
= ⋅ + ⋅ + ⋅ −
= ⋅
=
−
− =
O resultado final indica que houve uma perda, pois o 
valor final é menor que o valor inicial.
OOs.:� Se um conjunto de taxas for utilizado para reajus-
tes sucessivos e esse mesmo conjunto for utilizado 
para abatimentos sucessivos, temos:
f i
V V<
R.3. Em janeiro, Fernando ganhava um salário de R$ 
600,00. Nos meses de fevereiro, março e abril seu salário foi 
aumentado em 10%, 15% e 8%, respectivamente. Quantos 
reais Fernando passou a ganhar em abril?
Solução:
Sendo x o salário de Fernando no mês de abril, temos que:
( ) ( ) ( )x 600 1 0,1 1 0,15 1 0,08
x 600 1,1 1,15 1,08
x 600 1,3662
x 819,72
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
=
Portanto, o salário de Fernando, no mês de abril, 
passou a ser de R$ 819,72.
OOs.:� Ao escrevermos x = 600 . 1,3662, estamos calculan-
do 136,62% de 600. Como R$ 600,00 representa o 
salário em janeiro (100%), verifica-se que o aumen-
to total do salário de Fernando foi de (136,62% – 
100%) = 36,62% e não de 33%.
OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
São os problemas que falam de lucro ou prejuízo na 
venda de mercadorias.
R
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8
V C L
V Venda
C Custo
L Lucro
= +
=
 =
 =
IMPORTANTE
1) Existem dois tipos de lucro: lucro sobre o custo e lucro 
sobre a venda.
2)	 Quando	o	problema	não	mencionar	o	tipo	do	lucro	significa	
que é lucro sobre o custo.
3) O prejuízo é considerado um lucro negativo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Um objeto que custou R$ 210,00 foi vendido com 
um lucro de 30% sobre o valor da venda. Por quanto foi 
vendido?
Solução:
C 210
L 30% sobre V
V ?
=
 =
 =
V C L
V 210 0,3V
V 0,3V 210
0,7V 210
V R$ 300,00
= +
= +
− =
=
=
R.2. Um terreno que custou R$ 24.000 foi vendido com 
um prejuízo de 20% sobre o valor de venda. Por quanto foi 
vendido?
Solução:
C 24000
P 20% sobre V
V ?
=
 =
 =
( )
V C L
V 24000 0,2V
V 0,2V 24000
1,2V 24000
V R$ 20.000,00
= +
= + −
+ =
=
=
E X E R C Í C I O S
1. Um comerciante vendeu três objetos que custaram, 
respectivamente, quarenta reais, sessenta reais e oi-
tenta reais. Ganhou com a venda do primeiro objeto 
oito reais, com a venda do segundo nove reais e doze 
reais com a venda do terceiro. O objeto que rendeu 
maior percentual de lucro foi:
a. o primeiro objeto.
b. o segundo objeto.
c. os três objetos apresentaram o mesmo lucro.
d. o terceiro objeto.
2. Um feirante comprou 33 caixas de tomate e cada uma 
custou R$ 20,00. Se na compra seguinte o preço de 
cada caixa aumentou em 10%, o feirante, com a mes-
ma quantia gasta na primeira vez, pôde comprar um 
número de caixas igual a:
a. 31.
b. 32.
c. 29.
d. 28.
e. 30.
3. Se P é 30% de Q, Q é 20% de R, e S é 50% de R, 
então P
S
 é igual a:
a.
3
250
b.
3
25
c.
6
5
d.
4
3
4. Um vendedor de frutas levava um carregamento de 
caixas de laranjas para vender a seu cliente a R$ 8,40 
cada caixa. Ao chegar para a venda percebeu que ha-
via doze caixas com frutas impróprias para o consumo, 
que foram descartadas, e as que sobraram foram ven-
didas por ele com acréscimo de 15% em seu preço. 
Com isso, obteve o mesmo montante que conseguiria 
caso não tivesse perdido as doze caixas e as tivesse 
vendido a R$ 8,40. A quantidade de caixas de laranjas 
vendidas foi de:
a. 80.
b. 86.
c. 92.
d. 96.
5. Um jogador de basquete acertou 16 cestas dos 40 ar-
remessos que fez. Qual a taxa percentual das cestas 
feitas por esse jogador?
6. Em um concurso havia 15.000 homens e 10.000 mu-
lheres. Sabe-se que 60% dos homens e 55% das mu-
lheres foram aprovados. Do total de candidatos, quan-
tos por cento foram reprovados?
7. Joana e Marta vendem um perfume a domicílio. Joana 
dá desconto de R$ 10,00 sobre o preço do perfume e 
recebe de comissão 15% do preço de venda. Marta 
vende o mesmo perfume com desconto de R$ 20,00 e 
recebe 30% de comissão sobre o preço de venda. Se 
as duas recebem o mesmo valor de comissão, qual o 
preço do perfume?
a. R$ 26,00.
b. R$ 27,00.
c. R$ 28,00.
C
O
N
H
EC
IM
EN
TO
S 
ES
P
EC
ÍF
IC
O
S
9
d. R$ 29,00.
e. R$ 30,00.
8. Uma mercadoria custava R$12,50 e teve um aumento, 
passando a custar R$13,50. De quanto por cento foi o 
aumento sobre o preço antigo?
9. Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% 
do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar 
é:
a. 10%
b. 15%
c. 23%
d. 28%
e. 33%
10. Uma raquete custa na loja A R$ 15,00 a mais que na 
loja B. O proprietário da loja A, percebendo a diferen-
ça, lança uma promoção, oferecendo um desconto de 
10% para que o preço da sua mercadoria se torne o 
mesmo da loja B. Quanto custa a raquete na loja B?
11. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de 
rapazes é 
13
12
. A porcentagem de rapazes na festa é:
a. 44 %
b. 45 %
c. 40 %
d. 48 %
e. 46 %
12. Carlos recebeu R$ 240.000,00 pela venda de um imóvel. 
Gastou metade dessa quantia na compra de um apar-
tamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em 
fundos de investimentos de três instituições financeiras: 
40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. 
Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$ 
144.000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimen-
tos anuais foram de +20%, −10% e +30%, respectiva-
mente, nos Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em 
um ano, Carlos aumentou o capital de R$ 240.000,00, 
recebido inicialmente, em:
a. 80%
b. 36%
c. 20%
d. 18,50%
e. 17%
13. O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 
40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em reais, o preço 
deste aparelho elétrico sem este desconto.
14. Após um reajuste de 15%, o salário bruto de um em-
pregado passou a ser R$ 862,50. Sabendo-se que, so-
bre o salário bruto incide, a todo tempo, um desconto 
de 10% referente ao INSS, pode-se afirmar que o salá-
rio líquido deste empregado, antes do reajuste, era de:
a. R$ 800,00.
b. R$ 770,25.
c. R$ 750,00.
d. R$ 675,00.
e. R$ 645,50.
15. Antônio e Ricardo são operários de certa empresa. Antônio 
ganha 30% a mais que João, e Ricardo 10% a menos 
que Antônio. A soma dos salários dos três, neste mês, 
foi de R$ 4.858,00.Qual a quantia que coube a Antônio?
16. Um galão de dez litros está cheio de um combustível 
resultante de uma mistura que tem 14% de álcool de 
86% de gasolina; outro galão de vinte litros está cheio 
com outra mistura que tem 20% de álcool e 80% de 
gasolina. Despejando-se o conteúdo dos dois galões 
em um só recipiente, obtém-se uma nova mistura cuja 
porcentagem de gasolina é:
a. 75,0%
b. 77,0%
c. 79,0%
d. 81,0%
e. 82,0%
17. Considere a gasolina comum, usada no abastecimento 
dos veículos automotores, contendo 25% de álcool e 
75% de gasolina pura. Para encher um tanque vazio, 
com capacidade de 45 litros, quantos litros de álcool e 
de gasolina comum devem ser colocados, de modo a 
obter-se uma mistura homogênea composta de 50% 
de gasolina pura e de 50% de álcool?
18. Se a liga A contém 25% de ouro e 75% de prata e a liga 
B contém 55% de ouro e 45% de prata, quantas gramas 
da liga A se deve misturar com a da liga B de modo a 
se obter 120g de uma liga com a mesma concentração 
de ouro e prata?
19. Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já con-
tém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% 
de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova 
mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resul-
tante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool 
nessa nova mistura deve ser de:
a. 20%
b. 22%
c. 24%
d. 26%
e. 28%
20. Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria 
sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para 
desidratar até o ponto em que a água represente 60% da 
massa total. Quantos litros de água serão evaporados? 
(lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).
a. 15 litros.
b. 80 litros.
c. 75 litros.
d. 45 litros.
21. Uma pilha de melancias tinha 500kg de massa, das 
quais 99% era água e 1% era matéria sólida. Em um 
dia muito quente, as melancias sofreram perda de 
água por evaporação, de forma que a porcentagem de 
água da massa total passou para 98%. Com base nessa 
situação, escolha apenas uma das opções a seguir e 
faça o que se pede, desprezando, para a marcação 
na folha de respostas, a parte fracionária do resultado 
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
10
final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados.
a. Calcule a massa, em kg, correspondente à água da 
pilha de melancias antes da evaporação.
b. Calcule a massa da matéria sólida da pilha de me-
lancias, em kg, após a evaporação.
c. Calcule a massa total da pilha de melancias, em 
kg, após a evaporação.
22. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No pri-
meiro mês ela perdeu 40% do total investido e no se-
gundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido.
a. Com quantos reais ela ficou após os dois meses?
b. Qual foi o seu prejuízo após os dois meses, em 
porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?
23. O salário de Pedro era de x reais em janeiro. Em maio, 
ele recebeu um aumento de 20% e outro de 15%, em 
novembro. Seu salário atual é R$ 2.208,00. Calcule o 
salário de Pedro em janeiro.
24. Uma empresa aplica o chamado “golpe do desconto” 
que consiste em marcar suas mercadorias por um pre-
ço e na venda conceder um desconto de 20%. Se o 
lucro em cada mercadoria vendida por esta empresa é 
de 30%, a mercadoria que custou para esta empresa 
R$ 400,00 por quanto é marcada para ser vendida?
25. Certa loja compra um eletrodoméstico por R$ 1.200,00 
e o vende dando ao freguês 10% de desconto sobre o 
preço por ela estabelecido. Mesmo assim, a loja teve 
um lucro de 20% sobre o preço de compra. Então, o 
preço estabelecido pela loja para a venda desse ele-
trodoméstico, em reais, era:
a. 1440,00.
b. 1500,00.
c. 1600,00.
d. 1720,00.
26. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente a R$ 
27,00 o litro. Que quantidade de água deve adicionar à 
aguardente para vender o litro a R$ 35,00 e ganhar o 
equivalente a 30% do preço de compra?
a. 1 litro.
b. 2 litros.
c. 3 litros.
d. 4 litros.
e. 5 litros.
27. Um produto, que foi colocado à venda pelo mesmo 
preço nas lojas A e B, sofreu, durante três meses, as 
seguintes variações acumulativas de preço:
Loja 1º Mês 2º Mês 3º Mês
A Aumento de 
20%
Aumento de 
10%
Desconto de 
25%
B
Desconto de 
15%
Aumento de 
20%
Sem reajuste
Dessa forma, após três meses, o preço do produto:
a. é maior na loja A.
b. é maior na loja B.
c. aumentou exatamente 5 % nas duas lojas.
d. aumentou exatamente 2 % nas duas lojas.
e. diminuiu exatamente 1 % nas duas lojas.
28. Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitá-
ria de um determinado município registrou o seguinte 
quadro, quanto ao número de casos positivos:
• em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um 
aumento de 10%; e
• em março, relativamente a fevereiro, houve uma 
redução de 10%.
Em todo o período considerado, a variação foi de:
a. −1%.
b. 0,1%.
c. −0,1%.
d. 1%.
e. 0%.
29. Na reprodução de uma figura, a primeira cópia obtida 
reduziu em 30% a área desta figura. A seguir, esta có-
pia foi reproduzida com ampliação de 40%. A área da 
figura obtida na segunda cópia, comparada com a área 
da figura original, é:
a. 98% menor.
b. 90% maior.
c. exatamente igual.
d. 2% menor.
e. 10% maior.
30. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto 
que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente 
da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas 
sem resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 
10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço 
inicial desse terno era superior ao preço final em:
a. R$ 162,00.
b. R$ 132,45.
c. R$ 152,00.
d. R$ 71,28.
e. R$ 85,00.
G A B A R I T O
1. a
2. e
3. b
4. a
5. 40%
6. 42%
7. e
8. 8%
9. d
10. R$ 135,00
11. d
12. e
13. R$ 60,00
14. d
C
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N
H
EC
IM
EN
TO
S 
ES
P
EC
ÍF
IC
O
S
11
15. R$1.820,00
16. e
17. 15 litros de álcool e 30 litros de gasolina
18. 20 gramas
19. d
20. c
21. a. 495
 b. 005
 c. 495
22. a. R$ 2.160,00
 b. 28%
23. R$1.600,00
24. R$ 650,00
25. c
26. a
27. b
28. a
29. d
30. c
JUROS SIMPLES
INTRODUÇÃO
Juro é o rendimento que se obtém pela aplicação de um 
capital. No caso de juros simples a taxa contratada incide 
sempre sobre o capital inicial, independente do período de 
aplicação.
Por exemplo, se uma pessoa aplicar R$ 1000,00, por 2 
anos, obtendo rendimento de 10% e 20%, respectivamente 
nesses dois anos, o juro obtido em cada ano será:
1 1
10
j 10% de1000 1000 J 100
100
= = ⋅ ⇒ =
2 2
20
j 20% de1000 1000 J 200
100
= = ⋅ ⇒ =
Observe que o rendimento do 1º ano (R$ 100,00) não 
se juntou ao capital inicial (R$ 1000,00) para o juro do 2º 
ano. Nesse caso, dizemos que o regime de aplicação do 
capital é “juros simples”.
Existem 2 modos de se calcular o juro simples: um que 
se baseia no prazo comercial (1 ano = 360 dias) e outro que 
se baseia no prazo exato (ano com com 365 dias ou 366 
dias). Nesse último caso é denominado de juros simples 
exato, enquanto no primeiro caso é denominado de juros 
simples comercial ou simplesmente juro simples.
JUROS COM TAXA CONSTANTE
Considere a seguinte situação hipotética:
Uma pessoa aplica R$ 1000 durante 3 anos com rendi-
mentos anuais de 10%, 20% e 30%, respectivamente. Qual 
o juro obtido nos 3 anos?
Lembre-se que no sistema de juros simples a taxa 
incide sempre sobre o capital inicial. logo:
J1 = 10% de 1000 ⇒ J1 = 100
J2 = 20% de 1000 ⇒ J2 = 200
J3 = 30% de 1000 ⇒ J3 = 300
Portanto temos que JT = 100 + 200 + 300 ⇒ JT = 600. 
Uma outra forma de encontrarmos esse valor para o juro total 
(JT) era somarmos as taxas (10% + 20% + 30% = 60%) e apli-
carmos esse índice sobre o capital inicial:
JT = 60% de 1000 ⇒ JT = 600
Veja que no cálculo do juro simples então basta 
somarmos as taxas dos períodos considerados e aplicar-
mos sobre o capital inicial.
Quando a taxa do período for constante,poderemos 
substituir a soma das taxas por um produto. Veja:
Vamos considerar que uma pessoa tenha aplicado R$ 
1000,00 durante 3 anos à uma taxa de 10% em cada ano, 
isto é, 10% aa.
Assim o juro será dado por:
JT = (10% + 10% + 10%) de 1000
JT = 30% de 1000 ⇒ JT = 300 TJ 300=
Repare que para encontrarmos a taxa de 30% bastaria 
fazermos “3 × 10%”.
Num caso em que a aplicação fosse, digamos de 10% aa 
durante 8 anos, então bastaria fazermos (para obtermos a 
taxa total):
8 vezes
10% 10% 10% ... 10% 8.10% 80%+ + + + = =

Daí podemos adotar a seguinte regra para o cálculo do 
juro simples com taxa constante:

J i n c
Juro (Taxadoperíodo) (nº deperíodos) (Capitalinicial)= ⋅ ⋅
  
ou ainda:
J c i n= ⋅ ⋅
onde:
J → juro simples
c → capital aplicado
i → taxa do período (dia, mês, trimestre, etc)
n → nº de períodos (dias, meses, trimestres, etc)
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
12
OOs.:� A taxa (i) e o número de períodos (n) devem estar 
sempre nas mesmas unidades.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine o juro simples das aplicações de R$ 
2500,00, durante 5 meses à taxa de z% am.
 I – Solução:
c 2500
i 2%am 0,02am
n 5me
J ?






=
= =
=
=
J = c . i . n
J = 2500 . 0,02 . 5
J = 250
R.2. Qual a taxa mensal que se deve aplicar um capital de 
R$ 3000,00 para obtermos R$ 600,00 de juros simples 
em 4 meses de aplicação?
 I – Solução:
c 3000
J 600
n 4meses
i ?
=
 =

=
 =
J = c . i . n
600 = 3000 . i . 4
600 = 12000 . i
i = 
600
12000
i = 0,05
i 5%am=
R.3. Qual o tempo necessário para que um certo capital 
aplicado a juros simples simples numa taxa de 8% aa 
apresente 80% do seu próprio valor de rendimentoo?
Solução:
c x
J 80%de x 0,8x
i 8%aa 0,08aa
n ?






=
= =
= =
=
J = c . i . n
0,8x = x . 0,08 . n
0,8 80n
0,08 8
= =
n= 10 anos
R.4) Qual é o capital que aplicado a juros simples de 3% 
am, durante 7 meses apresenta um juro de R$ 420,00?
Solução:
i 3% am 0,03 am
n 7meses
J 420
c ?






= =
=
=
=
J = c . i . n
420 = c . 0,03 . 7
420 = c . 0,21
420 42000c
0,21 21
= =
c 2000=
TAXAS DE JUROS
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores 
formam uma proporção com as suas unidades.
Exemplos: 10% as e 20% aa; 10% am e 30% at; etc.
Relação de proporcionalidade
qd s t s am ii i i i ii
1 30 60 90 120 180 360
= = = = = =
onde:
id → taxa diária
im → taxa mensal
ib → taxa bimestral
i t → taxa trimestral
iq → taxa quadrimestral
is → taxa semestral
ia → taxa anual
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre 
o mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzirem o 
mesmos juros.
No caso de juro simples duas taxas proporcionais são 
equivalentes (e vice-versa).
Logo para encontrarmos uma taxa equivalente a outra 
taxa dada, basta calcularmos a taxa proporcional.
Exemplos:
• 30% as e 60% aa (são proporcionais e equivalen-
tes).
• 8% am e 24% at (são proporcionais e equivalentes).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine a taxa mensal equivalente a cada taxa 
dada:
a.  10% ab
b. 18% aa
c. 12% as
d. 21% at
C
O
N
H
EC
IM
EN
TO
S 
ES
P
EC
ÍF
IC
O
S
13
Solução:
Como a equivalência se dá por proporção, temos:
a. mi
30
bi
60
=
 � mi 10%
1 2
=
 �
mi 5%=
b. m
i
30
ai
360
=
 � mi 18%
1 12
=
 �
mi 1,5%=
c. m
i
30
si
180
=
 � mi 12%
1 6
=
 �
mi 2%=
d. mi
30
ti
90
=
 � mi 21%
1 3
=
 � mi 7%=
R.2. Um capital de R$ 5000,00 foi aplicado a juros simples 
de 24% aa, durante 8 meses. Determine o rendimento.
Solução:
c 5000
i 24%aa 0,24aa
n 8meses
J ?
=
 = =

=
 =
Como a taxa e o tempo (nº de períodos) não estão nas 
mesmas unidades temos que fazer uma transformação 
prévia antes de utilizarmos a equação “J = c . i . n”.
Nesse caso, ou transformamos a taxa de 24% aa para 
uma equivalente “ao mês” ou transformamos 8 meses 
em um tempo equivalente “em ano”.
Vamos transformar a taxa:
mi
30
ai
360
= m
i 24%
1 12
⇒ = ⇒
mi 2%am=
Logo, teremos:
J = c · i · n
J = 5000 · 0,02 · 8
J 800=
MONTANTE (M)
O montante é, por definição, o valor obtido pela soma do 
capital investido com os juros recebidos ao longo da aplicação.
M c J= +
Se substituirmos “J” por “c . i . n”, teremos:
M = c + c . i . n
M c (1 i n)= ⋅ + ⋅
onde:
M → montante
c → capital
i → taxa
n → nº de períodos
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.1. Determine o montante da aplicação de R$ 8000,00, 
durante 3 meses à taxa de 36% aa.
Solução:
=
 = =

=
 =
c 8.000
i 36%aa 0,36aa
n 3meses
M ?
mi
30
ai
360
= m
1 12
i 36%
1 12
= = ⇒ mi 3%=
M = c . (1 + i . n)
M = 8000 (1 + 0,03 . 3)
M = 8000 . 1,09
M = 8.720
E X E R C Í C I O S
1. Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um ban-
co comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo 
de três meses para pagar de volta este valor acrescido 
de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa 
só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo, 
porque, por força do contrato, usou o restante para fa-
zer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 
150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa 
efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte 
do empréstimo que utilizou em proveito próprio.
a.  12% ao trimestre
b. 14% ao trimestre
c. 15% ao trimestre
d. 16% ao trimestre
e. 18% ao trimestre
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
14
2. Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 
2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?
a.  R$ 20 000,00.
b. R$ 20 100,00.
c. R$ 20 420,00.
d. R$ 22 000,00.
e. R$ 21 400,00.
3. Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de 
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma 
taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro 
simples exato ao fim do período, como porcentagem 
do capital inicial, desprezando as casas decimais su-
periores à segunda.
a.  4,70%
b. 4,75%
c. 4,80%
d. 4,88%
e. 4,93%
4. Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 
6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros sim-
ples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. 
Obtenha o tempo necessário para que a soma desses 
capitais produza juros; à mesma taxa, iguais à soma 
dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos.
a.  6 meses
b. 6 meses e meio
c. 7 meses
d. 7 meses e dez dias
e. 7 meses e dezoito dias
5. Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 
e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas 
de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número 
de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação 
destes capitais.
a.  3,5%
b. 4%
c. 4,25%
d. 4,5%
e. 5%
6. Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma 
quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada?
a.  20% ao ano
b. 125% ao ano
c. 12,5% ao ano
d. 200% ao ano
e. 10% ao ano
7. Um capital de R$ 14.400 aplicado a 22% ao ano ren-
deu R$ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve 
empregado?
a.  3 meses e 3 dias
b. 3 meses e 8 dias 
c. 2 meses e 23 dias
d. 3 meses e 10 dias
e. 27 dias
8. Qual é o capital que diminuído dos seus juros sim-
ples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a R$ 
8.736,00?
a.  R$ 9.800,00
b. R$ 9.760,66
c. R$ 9.600,00
d. R$ 10.308,48
e. R$ 9.522,24
9. Qual a taxa necessária para que um capital, colocado 
a juros simples, decuplique de valor em 7 anos
a.  50% a.a.
b. 128 4/7% a.a.
c. 142 6/7% a.a.
d. 1 2/7% a.m.
e. 12% a.m.
10. Mário aplicou suas economias, a juros simples comer-
ciais, em um banco, a juros de 15% a.a., durante 2 
anos. Findo o prazo reaplicou o montantee mais R$ 
2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à 
taxa de 20% a.a., sob mesmo regime de capitalização. 
Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram 
R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação 
era de R$
a. 11.200,00
b. 13.200,00
c. 13.500,00
d. 12.700,00
e. 12.400,00
G A B A R I T O
1. e
2. b
3. c
4. c
5. d
6. c
7. d
8. c
9. b
10. b
JUROS COMPOSTOS
INTRODUÇÃO
No regime de juros compostos dizemos que os “juros são 
cumulativos”. Isso significa que em cada período de aplicação 
a taxa incide sobre o montante do final do período anterior.
Por exemplo, se uma pessoa aplicar R$ 1000,00 por 2 
anos com taxas de 10% e 20%, respectivamente em cada 
ano teremos:
• J1 = 10% de 1000 = 1J = 100
 ∴
 M1 = 10100 + 100 = 1M = 1100
• J2 = 20% de 1100 = 2J = 220
 ∴
 M2 = 1100 + 220 = 2M = 1320
C
O
N
H
EC
IM
EN
TO
S 
ES
P
EC
ÍF
IC
O
S
15
Observe que o capital base para o cálculo do juro no 2º 
ano foi o montante do final do 1º ano (M1 = 1100). Se fosse 
juro simples, esse capital base seria sempre o capital inicial 
(R$ 1000,00), não sofrendo assim o processo chamado de 
“juros sobre juros” ou “juros capitalizados” ou simplesmente 
juros compostos.
CÁLCULO DO MONTANTE
1 2 nM = c.(i+i ) (1 i ) ... (1 i )⋅ + ⋅ ⋅ +
Onde:
M → Montante
c → Capital
1 2 ni ;i ;...;i → Taxas unitárias de cada período.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.1. Determine o montante e o juro composto da apli-
cação de R$ 1000,00 durante 3 anos, sabendo que as taxas 
anuais foram respectivamete de 10%, 15%, e 20%.
Solução:
1 2 3
c 10000,00
i 10%; i 15%; i 20%
M ?
J ?
=
 = = =

=
 =
1 2 3M c.(1 i ) (1 i ) (1 i )
M 10000(1 0,10) (1 0,15) (1 0,20)
M 10000 1,10 1,15 1,20
= + ⋅ + ⋅ +
= + ⋅ + ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅
M 15180=
 ∴
J 15180 10000= −
J 5180=
CÁLCULO DO MONTANTE COM TAXA CONSTANTE
Quando a taxa for a mesma durante todos os períodos 
de aplicação, teremos:
1 2 3 ni i i ... i i= = = = =
Logo:
1 2 3 nM c (1 i ) (1 i ) (1 i ) ... (n i )= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +
"n" vezes
M c (1 i) (1 i) (1 i) ... (1 i)= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

nM c (1 i)= ⋅ +
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine o juro completo da aplicação de 
R$ 5000,00, durante 2 anos à taxa de 30% aa.
Solução:
c 5000
i 30%aa 0,3aa
n 2anos
J ?
=
 = =

=
 =
n
2
M c (1 i)
M 5000 (1 0,3)
M 5000 1,69
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
M 8450= ∴ J = 8450 – 5000  J 3450=
R.2. Determine o juro composto da aplicação de 
R$ 10000,00 durante 4 meses à taxa de 20% aa.
Solução:
c 10000
i 20%ab 0,2ab
n 2bimestres(4meses)
J ?
=
 = =

=
 =
IMPORTANTE
Em juros compostos NÃO 
podemos transformar a taxa 
de maneira proporcional.
Logo é mais conveniente 
transformar o tempo em 
bimestre
n
2
M c (1 i)
M 10000(1 0,2)
M 14400
= ⋅ +
= +
=
 ∴
J = 14400 – 10000
J 4400=
TAXAS DE JUROS
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores 
formam uma proporção com as suas unidades.
Exemplos:
a. 2% am e 24% aa
b. 5% as e 10% aa
c. 4% am e 12% at
Relação de proporcionalidade
qd b t s ami ii i i ii = = = = = = 
i 30 60 90 120 180 360
(é a mesma do juros simples)
Onde:
id → taxa diária
im → taxa mensal
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
16
ib → taxa bimestral
it → taxa trimestral
iq → taxa quadrimestral
is → taxa semestral
ia → taxa anual
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine a taxa semestral proporcional à taxa de 
7% am.
Solução:
Devemos selecionar na relação de proporcionalidade 
as taxas-envolvidas no exercício. Neste caso as taxas 
semestral (as) e mensal (am) pedida e dada, respec-
tivamente.
Daí temos:
s m
s
i i = 
180 30
i
180
7% = 
30
s
s
i 7%
6 1
i 42%
=
=
R.2. Determine a taxa anual proporcional à taxa de 
4% ab.
Solução:
Da relação de proporcionalidade, temos:
a
360
i b
60
i = 
a
a
i 4%
6 1
i 24%
=
=
R.3. Determine a taxa trimestral proporcional à taxa de 
8% aa.
Solução:
Da relação de proporcianalidade, temos:
t
90
i a
360
i = 
t
t
i 8%
1 4
i 2%
=
=
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre 
o mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzirem juros 
iguais.
No regime de juros simples, duas taxas proporcionais 
também são equivalentes (e vice-versa).
No regime de juros compostos, taxas proporcionais são 
diferentes de taxas equivalentes. Por exemplo, aplicar um 
capital, por um determinado período, à taxa de 2% am é 
diferente de aplicá-lo à taxa de 24% aa.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS
(JUROS COMPOSTOS)
1 2 3 4 6 12 360
a q t b m(1 i ) (1 is) (i i ) (i i ) (i i ) (1 i ) (1 id)+ = + = + = + = + = + = +is id
Onde:
ia → taxa anual (forma unitária)
is → taxa semestral (forma unitária)
iq → quadrimestral (forma unitária)
it → taxa trimestral (forma unitária)
ib → taxa bimestral (forma unitária)
im → taxa mensal (forma unitária)
id → taxa diária (forma unitária)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine a taxa trimestral composta, equivalente 
à taxa de 10% am.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
4
t(1 i )+
1
12
m(1 i )= +
3
3
t
t
t
t
t
1 i (1 0,1)
1 i 1,331
i 1,331 1
i 0,331
i 33,1%
+ = +
+ =
= −
=
=
R.2. Determine a taxa anual composta, equivalente à 
taxa de 5% as.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
1 2
a s
2
a
a
a
a
(1 1 ) (1 1 )
1 i (1 0,05)
1 i 1,1025
i 0,1025
i 10,25%
+ = +
+ = +
+ =
=
=
C
O
N
H
EC
IM
EN
TO
S 
ES
P
EC
ÍF
IC
O
S
17
R.3. Determine a taxa bimestral composta equivalente 
à taxa de 44% aq.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
26 3
b q(1 i ) (1 i )+ = +
1
2 1
b q
2 1
b
b
b
b
b
b
(1 i ) (1 i )
(1 i ) (1 0,44)
1 i 1,44
1 i 1,2
i 1,2 1
i 0,2
i 20%
+ = +
+ = +
+ =
+ =
= −
=
=
TAXA NOMINAL
Uma taxa é nominal quando a sua unidade é diferente 
do período de capitalização. Ela não corresponde ao verda-
deiro juro embutido numa operação financeira e por isso não 
podemos efetuar cálculos financeiros envolvendo tal taxa.
Exemplos:
40% aa, capitalizados semestralmente
40% aa, capitalizados trimestralmente.
12% at, capitalizados mensalmente.
0,5% ad, capitalizados anualmente.
OOs.:� Entende-se por período de capitalização o tempo 
necessário para que o juro seja incorporado ao 
capital, formando assim um capital maior que servi-
rá de base para o juro do período seguinte. Portan-
to, quando dizemos que a “capitalização é mensal”, 
por exemplo, estamos indicando que mês a mês 
incorporamos o juro ao capital.
TAXA EFETIVA
É aquela cuja unidade é igual ao período de capitali-
zação. Ela corresponde ao verdadeiro juro embutido numa 
operação financeira.
OOs.:� Quando um problema não mencionar o período de 
capitalização da taxa, significa que ela já é efetiva, 
ou seja, a capitalização ocorrerá na periodicidade 
que a própria taxa indica.
Por exemplo, se for mencionado que “um capital é 
aplicado a juros compostos, numa taxa de 5% am”. Desse 
modo, a taxa de 5% am já é efetiva e significa que a capita-
lização é mensal.
TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA
Para transformarmos uma taxa nominal em efetiva basta 
calcularmos a taxa proporcional ao período de capitalização.
Exemplo:
24% aa, capitalizados mensalmente corresponde a 
uma taxa efetiva de 2% am. Veja que para obtermos a taxa 
de 2% am buscamos na relação de proporção:
a
12
i
360
m
1
i
30
=
m
m
i24%
12 1
i 2%
=
=
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.1. Dê a taxa efetiva em cada caso:
a.  8% ab,capitalizados mensalmente.
b. 60% aa, capitalizados mensalmente.
c. 30% as, capitalizados trimestralmente.
d. 15% am, capitalizados diariamente.
e. 4% aa, capitalizados anualmente.
f. 2% am, capitalizados mensalmente.
Solução:
a. 
b mi i
60 30
8%
60
=
m
2
i
30
=
1
mi 4%=
Portanto a taxa efetiva é de 4% am.
b. 
a mi i
360 30
60%
360
=
m
12
i
30
=
1
mi 5%=
Portanto a taxa efetiva é de 5% am.
c. s ti i
180 90
30%
180
=
t
2
i
90
=
1
ti 15%=
Portanto a taxa efetiva é de 15% at.
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
18
d. 
dm
d
d
ii
30 1
i15%
30 1
i 0,5%
=
=
=
Portanto a taxa efetiva é de 0,5% ad.
e. Como a taxa é de 4% aa, capitalizada anualmente, 
ela já é efetiva (a unidade da taxa é igual ao perío-
do de capitalização).
f. Como a taxa é de 2% am, capitalizada mensalmen-
te, ela já é efetiva (a unidade da taxa é igual ao 
período de capitalização).
TAXA REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO
Quando aplicamos um capital num mercado finan-
ceiro que sofre a ação de um processo inflancionário, a 
taxa paga pelo banco é denominada de taxa aparente, 
pois a inflação “absorve” uma parte do rendimento.
A taxa real (que mede o poder de compra do investi-
dor) não é aquela paga pelo banco e sim, menor (conside-
rando que haja inflação).
Consideremos que um capital “x” tenha sido aplicado 
num banco hoje e que um objeto custe hoje também “x”. 
Dentro de um certo período, o banco remunerou o capital 
a uma taxa “ia” e o objeto foi reajustado (no mesmo prazo) 
a uma taxa “ii” (taxa de inflação).
Logo teremos que:
F(CAP) a
F(OBJ) i
I V x.(1 i )
II V x.(1 i )
− = +
− = +
F(CAP) a
F(OBJ) i
I V x.(1 i )
II V x.(1 i )
− = +
− = +
Onde:
VF(CAP) → valor final do capital aplicado (ao final do prazo)
VF(OBJ) → valor final do objeto (ao final do prazo).
Para sabermos o ganho real (ir) devemos verificar 
qual a taxa que a diferença “VF(CAP) – VF(OBJ)” (que indica 
a sobra do valor aplicado, adquirindo o Objeto no final do 
período) representa sobre o valor final do objeto “VF(OBJ)”.
Logo:
F(CAP) F(OBJ)
r
F(OBJ)
V V
i
V
−
= III
Substituindo I e II em III, temos:
( )
( )
a
r
i
r
x (1 i ) x 1 i
i
x 1 i
x
i
⋅ + − +
=
⋅ +
=
( )a1 i x⋅ + − ( )i1 i
x
 + 
( )i
a i
r
i i
a
r
i
a
r
i
1 i
1 i 1 ii
1 i 1 i
1 1i 1
1 i
1 i1 i IV
1 i
⋅ +
+ +
= −
+ +
+
= −
+
+
+ =
+
Lembrando que:
a b a b
b b b
−
= −
Da relação IV podemos tirar:
a r iV 1 i (1 i ) (1 i )− + = + ⋅ + V
Onde:
ia → taxa aparente (unitária)
ir → taxa real (unitária)
ii → taxa de inflação (unitária)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Num determinado ano, a caderneta de poupança 
remunerou os investidores em 43% e a inflação foi de 30%. 
De quanto foi o ganho real dos poupadores?
Solução:
Dos dados temos:
ia = 43% = 0,43
ii = 30% = 0,30
ir = ?
Da relação IV, temos:
a
i
r
r
r
r
r
r
1 i1 ir
1 i
1 0,431 i
1 0,30
1,431 i
1,30
1 i 1,1
i 1,1 1
i 0,1
i 10%
+
+ =
+
+
+ =
+
+ =
+ =
= −
=
=
a
i
r
r
r
r
r
r
1 i1 ir
1 i
1 0,431 i
1 0,30
1,431 i
1,30
1 i 1,1
i 1,1 1
i 0,1
i 10%
+
+ =
+
+
+ =
+
+ =
+ =
= −
=
=
Portanto, o ganho real foi de 10% no período.
OOs.:� A taxa real é sempre menor que a diferença entre a 
taxa aparente e a de inflação.
C
O
N
H
EC
IM
EN
TO
S 
ES
P
EC
ÍF
IC
O
S
19
R.2. Um determinado contrato de investimento em um 
banco consta que o banco deve pagar ao investidor num 
certo período 10% com correção monetária igual a inflação 
no referido período. Considerando que nesse prazo a infla-
ção tenha sido de 20%, quanto o banco deverá pagar para 
o investidor?
Solução:
A expressão “10% com correção monetária...” indica 
que essa taxa (de 10%) é a taxa real, em um problema. Logo, 
temos:
ir = 10% = 0,10
ii = 20% = 0,20
ia = ?
Da relação V temos:
a r i
a
a
a
a
a
a
1 i (1 i ) (1 i )
1 i (1 0,1) (1 0,2)
1 i 1,1 1,2
1 i 1,32 1
i 1,32 1
i 0,32
i 32%
+ = + ⋅ +
+ = + ⋅ +
+ = ⋅
+ = −
= −
=
=
Portanto o banco deverá pagar 32% sobre o valor 
investido.
E X E R C Í C I O S
1. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplica-
do à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por 
um prazo de quinze meses, usando a convenção linear 
para cálculo do montante.
a.  22,5%
b.  24%
c.  25%
d.  26,906%
e.  27,05%
2.  Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por 
um capital unitário aplicado a uma taxa de juros nomi-
nal de 36% ao ano com capitalização mensal.
a.  1,54
b.  1,7024
c.  2,7024
d.  54%
e.  70,24%
3.  A que taxa mensal de juros compostos um capital apli-
cado aumenta 80% ao fim de quinze meses.
a.  4%.
b.  5%.
c.  5,33%.
d.  6,5%.
e.  7%.
4.  Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à 
taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses en-
quanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao 
mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. 
Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que 
as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21 
144,02 ao fim do prazo.
a.  R$ 25 000,00.
b.  R$ 39 000,00.
c.  R$ 31 000,00.
d.  R$ 48 000,00.
e.  R$ 50 000,00.
5.  Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa 
nominal de 48% ao ano com capitalização mensal?
a.  3,321% ao mês.
b.  24% ao semestre.
c.  26,532% ao semestre.
d.  10,773% ao trimestre.
e.  8,825% ao bimestre.
6.  Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compos-
tos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o 
montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para 
reais).
a.  R$ 625,00
b.  R$ 630,00
c.  R$ 636,00
d.  R$ 650,00
e.  R$ 676,00
7.  Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa men-
sal de 5%, a juros compostos, em porcentagem e com 
aproximação de uma casa decimal.
a.  60,0%
b.  69,0%
c.  72,8%
d.  74,9%
e.  79,6%
8.  Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nomi-
nal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu 
um montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre. 
Desprezando os centavos, o capital aplicado foi de
a.  R$ 9.800,00
b.  R$ 9.889,00
c.  R$ 9.919,00
d.  R$ 9.975,00
e.  R$ 10.000,00
9.  Qual a taxa efetiva, em porcentagem e aproximada em 
uma casa decimal, de um financiamento à taxa nomi-
nal de 36% ao ano com capitalização mensal
a.  36,0% ao ano
b.  39,2% ao ano
c.  41,2% ao ano
d.  41,9% ao ano
e.  42,6% ao ano
R
O
B
ER
TO
 V
A
SC
O
N
C
ELO
S
20
10.  Um capital é aplicado a juros compostos durante dois 
períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Cal-
cule o montante em relação ao capital inicial, conside-
rando a convenção linear para cálculo do montante.
a.  150%
b.  157,74%
c.  158,4%
d.  160%
e.  162%
G A B A R I T O
1. e
2. b
3. a
4. e
5. c
6. a
7. e
8. d
9. e
10. c