Lista_exercicios_2

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Universidade Federal do Ceara´ (UFC)
Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI)
Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI)
Modelos Probabil´ısticos para Eng. de Teleinforma´tica - TI 048
Prof. Dr. Charles Casimiro Cavalcante
Nu´mero de cre´ditos: 8,0
Carga hora´ria total: 128 h
Per´ıodo: 2013
Lista de Exerc´ıcios No 2: Noc¸o˜es Gerais sobre Varia´veis Aleato´rias
1. Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine a constante a tal que as func¸o˜es possuam as
caracter´ısticas de func¸a˜o de distribuic¸a˜o cumulativa (fdc) de probabilidade. Determine, em cada
caso, a func¸a˜o de densidade de probabilidade (pdf) associada a cada uma das func¸o˜es e esboce o
gra´fico das func¸o˜es FX(x) e pX(x).
(a) Caso 1:
FX(x) =
{
0, para x < 5;
a, para x ≥ 5.
(b) Caso 2:
FX(x) =


0, para x < 5;
1
3 , para 5 ≤ x ≤ 7;
a, para x > 7.
(c) Caso 3:
FX(x) =


0, para x < 1;
k∑
j=1
1
aj
, para k ≤ x < k + 1; e k = 1, 2, · · ·
(d) Caso 4:
FX(x) =
{
0, para x ≤ 0;
1− exp(−ax), para x > 0
(e) Caso 5:
FX(x) =


0, para x < 0;
xa, para 0 ≤ x ≤ 1;
1, para x > 1.
(f) Caso 6:
FX(x) =


0, para x < 0;
a
sin
(√
(x)
) , para 0 ≤ x ≤ 1;
1, para x > 1.
(g) Caso 7:
FX(x) =


0, para x < 0;
a
(
1− exp
(−x
2
))
+
1
2
, para x ≥ 0
2. Para cada item do Problema 1, determine:
(a) Pr(X ≤ 6);
(b) Pr(12 < X ≤ 7).
Lista de exerc´ıcios: Noc¸o˜es Gerais sobre Varia´veis Aleato´rias 1
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Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI)
3. Seja T uma varia´vel aleato´ria que denota a vida (em meses) de um componente eletroˆnico e seja
sua pdf dada por
pT (t) =
{
1
15
− t
450
, para 0 ≤ t ≤ 30;
0, caso contra´rio.
Determine:
(a) Gra´fico de pT (t) versus t;
(b) Encontre FT (t) e fac¸a o gra´fico de FT (t) versus t;
(c) Determine, usando pT (t), a probabilidade de que o componente dure pelo menos 15 meses;
(d) Determine, usando FT (t), a probabilidade de que o componente dure pelo menos 12 meses;
(e) Uma vez que o componente ja´ durou 15 meses, qual a probabilidade de que ele dure mais um
meˆs?
4. O tempo, em minutos, necessa´rio para um estudante viajar de casa ate´ a universidade e´
uniformemente distribu´ıdo entre 20 e 25. Se o estudante deixa sua casa pontualmente a`s 7:38 h,
qual a probabilidade de que o estudante na˜o chegara´ atrasado na aula de 8:00 h?
5. Uma part´ıcula esta´ em repouso na origem (x = 0) no tempo t = 0. Num instante de tempo
selecionado aleatoriamente no intervalo 0 < t < 1, a part´ıcula repentinamente ganha uma velocidade
v na direc¸a˜o positiva da direc¸a˜o x. Determine:
(a) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o cumulativa de probabilidade da distaˆncia em relac¸a˜o ao tempo e fac¸a
o gra´fico FX(x) versus x;
(b) Calcule a probabilidade da part´ıcula estar pelo menos v3 distante da origem no tempo t = 0, 5.
6. A distaˆncia X (em quiloˆmetros) de um local para o epicentro de potenciais terremotos dentro de
50 km e´ distribu´ıdo de acordo com
pX(x) =
{
2x
2500
, para 0 ≤ x ≤ 50
0, caso contra´rio.
A magnitude Y do potencial terremoto na escala de 5 a 9 e´ distribu´ıdo de acordo com
pX(x) =


3 (9− y)2
64
, para 5 ≤ x ≤ 9
0, caso contra´rio.
Assuma que X e Y sa˜o independentes. Determine a probabilidade do pro´ximo poss´ıvel terremoto
estar localizado em um raio de 25 km e ter uma magnitude de pelo menos 8 pontos.
7. Para cada um dos ı´tens do Problema 1, calcule a me´dia e a variaˆncia, se existir, da varia´vel aleato´ria
X .
8. Um alvo e´ feito de treˆs c´ırculos conceˆntricos de raios de 3−1/2, 1 e 31/2 metros. Acertos no c´ırculo
central contam 4 pontos, no segundo c´ırculo 3 pontos e no u´ltimo c´ırculo 2 pontos. Acertos fora do
alvo contam zero pontos. Seja R a varia´vel aleato´ria representando a distaˆncia do ponto atingido
ao centro. Suponha que a func¸a˜o de densidade de probabilidade de R e´ dada por
pR(r) =


2
pi (1 + r2)
, para r > 0;
0, caso contra´rio.
Calcule a me´dia de pontos de cada tentativa.
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9. Suponha que o tempo de espera (em minutos) a` tarde numa parada oˆnibus e´ uniformemente
distribu´ıdo no intervalo [0, 5], enquanto que o tempo de espera pela manha˜ e´ distribu´ıdo de acordo
com com a Figura 1. Estes tempos de espera sa˜o assumidos serem independentes para qualquer dia
e de um dia para o outro.
(a) Se voceˆ pega um oˆnibus pela manha˜ e outro a` tarde, durante cinco dias, qual e´ a me´dia de seu
tempo total de espera?
(b) Qual a variaˆncia de seu tempo total de espera em cinco dias?
(c) Qual a me´dia e variaˆncia da diferenc¸a entre os tempos de espera da manha˜ e da tarde em um
dado dia?
(d) Qual a me´dia e variaˆncia entre os tempos totais de espera da manha˜ e tarde num per´ıodo de
cinco dias?
10
t
pT (t)
0
Figure 1: Func¸a˜o de densidade de probabilidade do tempo de espera pela manha˜.
10. O prec¸o pedido para um certo produto eletroˆnico e´ distribu´ıdo normalmente, com me´dia de R$
50,00 e um desvio padra˜o de R$ 5,00. Os compradores desejam pagar uma quantia que e´ tambe´m
nornmalmente distribu´ıda , com me´dia de R$ 45,00 e desvio padra˜o de R$ 2,50. Qual e´ a
probabilidade de que a transac¸a˜o se efetue?
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