Lista_exercicios_3

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Universidade Federal do Ceara´ (UFC)
Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI)
Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI)
Modelos Probabil´ısticos para Eng. de Teleinforma´tica - TI 048
Prof. Dr. Charles Casimiro Cavalcante
Nu´mero de cre´ditos: 8,0
Carga hora´ria total: 128 h
Per´ıodo: 2013
Lista de Exerc´ıcios No 3: Distribuic¸o˜es de Probabilidade Conjuntas
1. A distaˆncia X (em quiloˆmetros) de um local para o epicentro de potenciais terremotos dentro de
50 km e´ distribu´ıdo de acordo com
pX(x) =
{ 2x
2500
, para 0 ≤ x ≤ 50
0, caso contra´rio.
A magnitude Y do potencial terremoto na escala de 5 a 9 e´ distribu´ıdo de acordo com
pY (y) =


3 (9− y)2
64
, para 5 ≤ x ≤ 9
0, caso contra´rio.
Assuma que X e Y sa˜o independentes. Determine a probabilidade do pro´ximo poss´ıvel terremoto
estar localizado em um raio de 25 km e ter uma magnitude de pelo menos 8 pontos.
2. Seja a seguinte func¸a˜o de densidade de probabilidade conjunta
pXY (x, y) =
{
k · exp(x+ y), para 0 < x < 1 e 0 < y < 2;
0, caso contra´rio.
(a) Qual deve ser o valor de k?
(b) Determine as densidades marginais de X e Y .
(c) As varia´veis X e Y sa˜o independentes? Por que?
3. Um alvo e´ feito de treˆs c´ırculos conceˆntricos de raios de 3−1/2, 1 e 31/2 metros. Acertos no c´ırculo
central contam 4 pontos, no segundo c´ırculo 3 pontos e no u´ltimo c´ırculo 2 pontos. Acertos fora do
alvo contam zero pontos. Seja R a varia´vel aleato´ria representando a distaˆncia do ponto atingido
ao centro. Suponha que a func¸a˜o de densidade de probabilidade de R e´ dada por
pXY (x, y) =


2
pi (1 + r2)
, para r > 0;
0, caso contra´rio.
Calcule a me´dia de pontos de cada tentativa.
4. Suponha que o tempo de espera (em minutos) a` tarde numa parada oˆnibus e´ uniformemente
distribu´ıdo no intervalo [0, 5], enquanto que o tempo de espera pela manha˜ e´ distribu´ıdo de acordo
com com a Figura 1. Estes tempos de espera sa˜o assumidos serem independentes para qualquer dia
e de um dia para o outro.
(a) Se voceˆ pega um oˆnibus pela manha˜ e outro a` tarde, durante cinco dias, qual e´ a me´dia de seu
tempo total de espera?
(b) Qual a variaˆncia de seu tempo total de espera em cinco dias?
Lista de exerc´ıcios: Distribuic¸o˜es de probabilidade conjuntas 1
Universidade Federal do Ceara´ (UFC)
Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI)
Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI)
10
t
pT (t)
0
Figure 1: Func¸a˜o de densidade de probabilidade do tempo de espera pela manha˜.
(c) Qual a me´dia e variaˆncia da diferenc¸a entre os tempos de espera da manha˜ e da tarde em um
dado dia?
(d) Qual a me´dia e variaˆncia entre os tempos totais de espera da manha˜ e tarde num per´ıodo de
cinco dias?
5. As varia´veis X e Y sa˜o independentes e Z = X + Y . Encontre fY (y) se
fX(x) = c · exp(−cx) e fZ(z) = c
2
· z · exp(−zc)
para x, z > 0.
6. As varia´veis aleato´rias X e Y independentes e Y e´ uniformemente distribu´ıda no intervalo (0, 1).
Mostre que, se Z = X + Y , enta˜o
fZ(z) = FX(z)− FX(z − 1)
7. Mostre que a convoluc¸a˜o de duas densidades de probabilidade normais (gaussianas) e´ uma densidade
normal.
8. Sejam as seguintes func¸o˜es
Z = X · cos(φ) + Y · sin(φ) W = −X · sin(φ) + Y · cos(φ)
em que X e Y sa˜o varia´veis uniformemente distribu´ıdas entre (0, 1). Calcule a densidade conjunta
fZ,W (z, w).
9. Sendo o seguinte sistema
Z = X − Y W =
X
Y
,
calcule a densidade conjunta fZ,W (z, w) em func¸a˜o da densidade conjunta fX,Y (x, y).
Lista de exerc´ıcios: Distribuic¸o˜es de probabilidade conjuntas 2