aula modelos2

Prévia do material em texto

Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es
em Engenharia de Teleinforma´tica
Guilherme de Alencar Barreto
guilherme@deti.ufc.br
Grupo de Aprendizado de Ma´quinas – GRAMA
Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica
Universidade Federal do Ceara´ – UFC
http://www.deti.ufc.br/∼guilherme
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Conteu´do da Apresentac¸a˜o
1 Objetivo Geral
2 Definic¸a˜o de Varia´vel Aleato´ria
3 Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA) e
suas Propriedades
4 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) e suas
Propriedades
5 Func¸o˜es de Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
6 Algumas FDPs Importantes em Teleinforma´tica
7 Exemplos no Matlab/Octave
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Pre´-Requisitos
1 Experimento Aleato´rio, Espac¸o Amostral e Eventos
2 Definic¸o˜es de Probabilidade: Cla´ssica e Frequ¨entista
3 Probabilidade Marginal e Condicional
4 Probabilidade Conjunta
5 Noc¸o˜es de Matlab/Octave/Scilab
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Objetivo Geral
Objetivo Geral da Aula
Definir conceitos relacionados a` quantificac¸a˜o (modelagem)
probabil´ıstica de eventos nume´ricos associados a problemas e
aplicac¸o˜es pro´prias da Engenharia de Teleinforma´tica.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Refereˆncias Importantes
1 A. Papoulis & S. U. Pillai (2001). Probability, Random
Variables and Stochastic Processes, 4a edic¸a˜o, McGraw-Hill.
2 R. G. Brown & P. Y. C. Hwang (1992). Introduction to
Random Signals and Applied Kalman Filtering, John Wiley &
Sons.
3 W. W. Hines et al. (2006). Probabilidade e Estat´ıstica na
Engenharia, Editora LTC, 4a. edic¸a˜o.
4 A. Hyva¨rinen, J. Karhunen & E. Oja (2001). Independent
Component Analysis, John Wiley & Sons.
5 G. A. Barreto - Notas de Aula dispon´ıveis em
http://www.deti.ufc.br/∼guilherme.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte I
Conceitos e Fundamentos
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
Conceitos e Fundamentos
“ALEA JACTA EST”
Traduc¸a˜o: Os dados esta˜o lanc¸ados!
General romano Ju´lio Ce´sar ao tomar a decisa˜o de cruzar com suas
legio˜es o rio Rubica˜o, que delimitava a divisa entre a Ga´lia ao sul
do Alpes e o territo´rio da Ita´lia.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
Conceitos e Fundamentos
Noc¸a˜o Geral
Grosso modo, uma varia´vel aleato´ria pode ser entendida como o
resultado nume´rico de um experimento (e.g. medic¸a˜o) que esta´
sob a influeˆncia de um ou mais mecanismos na˜o-determin´ısticos,
em geral desconhecidos e sobre os quais tem-se controle limitado.
Ao contra´rio da pra´tica comum com outras varia´veis
matema´ticas, uma varia´vel aleato´ria na˜o pode ter um u´nico
valor associado.
Uma varia´vel aleato´ria na˜o descreve o valor atual de uma
realizac¸a˜o de um evento (experimento) particular, mas
descreve a poss´ıvel, ainda que indeterminado, resultado em
termos de nu´meros reais.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
Conceitos e Fundamentos
Espac¸os Amostrais e Eventos
A descric¸a˜o do espac¸o amostral de um experimento aleato´rio
na˜o requer que um resultado individual seja um nu´mero.
Por exemplo, o espac¸o amostral S correspondente ao
lanc¸amento de dois dados honestos, um verde (Ai) e um
vermelho (Bj), pode ser definido como
S = {(Ai, Bj)}, i, j = 1, . . . , 6.
em que Ai denota a i-e´sima face do dado verde e Bj
simboliza a j-e´sima face do dado vermelho.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
Conceitos e Fundamentos
Espac¸os Amostrais e Eventos (cont.-1)
O espac¸o amostral S correspondente ao lanc¸amento de uma
moeda honesta treˆs vezes seguidas e´ definido como
S = {CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKK}
em que C = coroa e K = cara.
A representac¸a˜o dos resultados dos exemplos anteriores e´
simbo´lica.
Uma representac¸a˜o e´ dita simbo´lica quando na˜o podemos
utiliza´-la para realizar operac¸o˜es matema´ticas.
Por exemplo, a soma do resultado CCC com KKK na˜o faz
sentido algum.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
Conceitos e Fundamentos
Espac¸os Amostrais e Eventos (cont.-2)
Na pra´tica, entretanto, muitos problemas de interesse para
ETI requerem que os resultados sejam representados em
forma nu´merica.
A representac¸a˜o de um resultado e´ dita nume´rica quando
podemos utiliza´-la para realizar operac¸o˜es matema´ticas.
Pergunta Importante?
E´ poss´ıvel sair de uma representac¸a˜o simbo´lica de eventos
probabil´ısticos para uma representac¸a˜o nume´rica mais condizente
com a realidade da Engenharia?
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais
Conceitos e Fundamentos
Definic¸a˜o de Varia´vel Aleato´ria
Considere um experimento aleato´rio com espac¸o amostral S.
Seja A um elemento qualquer de S, ou seja, A ∈ S.
Uma varia´vel aleato´ria X(A) e´ uma func¸a˜o escalar que atribui
um nu´mero real a cada elemento A ∈ S.
S
A
R
X
X(A)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Definic¸a˜o Formal
Varia´vel aleato´ria (VA) e´ qualquer func¸a˜o definida no espac¸o
amostral S tal que:
{X : S → R, tal que x = X(A) ∈ R, A ∈ S} (1)
Note que:
1 Dom´ınio da func¸a˜o X e´ S.
2 Imagem da func¸a˜o X e´ a reta dos nu´meros reais.
3 Como toda func¸a˜o, a cada resultado A ∈ S corresponde
exatamente um valor x = X(A). Ou seja, X e´ uma func¸a˜o
sobrejetora.
4 Pore´m, valores diferentes de A podem levar ao mesmo x.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Exemplo 1: Lanc¸amento de uma Moeda Honesta
Representac¸a˜o Simbo´lica: S = {cara, coroa}.
Representac¸a˜o Nume´rica: X(cara) = 0 e X(coroa) = 1.
Logo, o conjunto-imagem de X e´ RX = {x : x = 0, 1}.
Exemplo 2: Lanc¸amento de Uma Moeda Honesta Treˆs Vezes
S = {CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKK}.
Seja X o nu´mero de caras, enta˜o:
X(CCC) = 0, X(CCK) = 1, X(CKC) = 1
X(CKK) = 2, X(KCC) = 1, X(KCK) = 2
X(KKC) = 2, X(CKK) = 3
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Exemplo 2 (continuac¸a˜o)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Atenc¸a˜o!
Quando o resultado em S ja´ e´ a caracter´ıstica nume´rica desejada,
enta˜o
x = X(A) = A (func¸a˜o identidade) (2)
Exemplo 3: Tempo ate´ primeira falha de um equipamento
S = {t : t ∈ R, t ≥ 0}.
Se X e´ o tempo ate´ a (primeira) falha do equipamento, enta˜o
x = X(t) = t (3)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Observac¸o˜es Importantes
Pela definic¸a˜o dada, uma VA na˜o e´ uma varia´vel de fato, mas
sim uma func¸a˜o.
Na pra´tica, consideramos como VA qualquer grandeza cujo
valor esta´ sujeito a variac¸o˜es (flutuac¸o˜es) aleato´rias.
Essas flutuac¸o˜es aleato´rias recebem o nome gene´ricode ru´ıdo
aleato´rio.
Por exemplo, o valor teo´rico (nominal) da tensa˜o em uma
tomada da sua casa e´ 220 Volts.
Contudo, se formos medir com o instrumento adequado, pode
ser que na˜o observemos exatamente este valor. Por que
mesmo?
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Observac¸o˜es Importantes (cont.-1)
Por causa das flutuac¸o˜es aleato´rias, que podem ter uma se´rie
de causas, tais como
1 Carga ele´trica pendurada na rede de energia.
2 Aferic¸a˜o inadequada do equipamento de medic¸a˜o.
3 Localizac¸a˜o de sua casa ao longo da linha de transmissa˜o.
4 Falha na rede de distribuic¸a˜o.
5 Erro do operador, dentre outras causas.
O melhor que podemos fazer e´ tentar diminuir a influeˆncia
que os fenoˆmenos f´ısicos que causam as flutuac¸o˜es exercem
sobre o processo de medic¸a˜o da varia´vel.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Observac¸o˜es Importantes (cont.-2)
E´ u´til entender a definic¸a˜o de VA atrave´s das seguintes
associac¸o˜es:
1 A varia´vel a ser medida e´ representada por X . Esta varia´vel e´
aleato´ria devido a flutuac¸o˜es que distorcem o seu valor.
2 As flutuac¸o˜es sa˜o, na verdade, sa˜o resultantes de um
acontecimento aleato´rio que ocorrem em S, cujo resultado na˜o
sabemos de antema˜o.
3 Podemos afirmar que S e´ o espac¸o do eventos
na˜o-observa´veis.
4 Um evento qualquer em S e´ simbolizado por A. E o efeito da
ocorreˆncia de A no mundo observa´vel e´ representado pelo
valor medido X(A), que e´ o valor mostrado pelo equipamento.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Eventos Definidos em Termos de Varia´veis Aleato´rias
Se X e´ uma VA e x e´ um nu´mero real fixo, podemos definir o
evento (X = x) como
(X = x) = {A : X(A) = x}. (4)
De modo semelhante, para nu´meros fixos x, x1 e x2, tal que
x1 < x2, podemos definir os seguintes eventos:
(X ≤ x) = {A : X(A) ≤ x} (5)
(X > x) = {A : X(A) > x} (6)
(x1 < X ≤ x2) = {A : x1 < X(A) ≤ x2} (7)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Probabilidades em Termos de Varia´veis Aleato´rias
Os eventos anteriores teˆm probabilidades que sa˜o denotadas
da seguinte forma:
P (X = x) = P{A : X(A) = x} (8)
P (X ≤ x) = P{A : X(A) ≤ x} (9)
P (X > x) = P{A : X(A) > x} (10)
P (x1 < X ≤ x2) = P{A : x1 < X(A) ≤ x2} (11)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas e Discretas
Uma VA e´ dita discreta se ela puder assumir apenas valores
(n´ıveis) espec´ıficos.
Uma forma de identificar uma varia´vel aleato´ria discreta e´
atrave´s do conjunto universo de X. Se este conjunto for
enumera´vela, finito ou infinito, enta˜o X e´ uma VA discreta.
Uma VA e´ dita cont´ınua se ela puder assumir qualquer valor
dentro de seu conjunto universo.
Uma forma de identificar uma varia´vel aleato´ria discreta e´
atrave´s do conjunto universo de X. Se este conjunto for
na˜o-enumera´vel, enta˜o X e´ uma VA cont´ınua.
aUm conjunto e´ dito enumera´vel se os seus elementos puderem ser
colocados em correspondeˆncia um-para-um com os nu´meros naturais.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Exemplo Resolvido 1
Seja X a soma dos nu´meros das faces resultantes do
lanc¸amento de dois dados honestos.
Se Ai e´ a face resultante de um dos dados e Bj e´ a face
resultante para o outro, enta˜o X = i+ j.
Assim, as probabilidades para os poss´ıveis valores de X sa˜o:
P (X = 2) = P{(1, 1)} = 1/36
P (X = 3) = P{(1, 2), (2, 1)} = 2/36
P (X = 4) = P{(1, 3), (3, 1), (2, 2)} = 3/36
P (X = 5) = P{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} = 4/36
P (X = 6) = P{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} = 5/36
P (X = 7) = P{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = 6/36
P (X = 8) = P{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5/36
P (X = 9) = P{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = 4/36
P (X = 10) = P{(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = 3/36
P (X = 11) = P{(5, 6), (6, 5)} = 2/36
P (X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Conceitos e Fundamentos
Exemplo de Varia´vel Aleato´rias
So´ porque uma VA tem um comportamento pontualmente
imprevis´ıvel, isto na˜o quer dizer que seu comportamento
global na˜o obedec¸a certos padro˜es nume´ricos.
Estes padro˜es refletem como o valor de uma certa grandeza
f´ısica se distribui na reta dos nu´meros reais.
Ha´ diferentes padro˜es de distribuic¸a˜o de valores de uma VA.
Estes padro˜es sa˜o formalizados matematicamente na forma de
leis probabil´ısticas, que quantificam as probabilidades de
ocorreˆncia de valores de uma certa VA:
1 Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA)
2 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte II
Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA)
Definic¸a˜o
FX(x) , P (X ≤ x) , −∞ < x <∞ (i.e. x ∈ R) (12)
em que P (·) significa probabilidade.
Exemplo: FDA Uniforme
FX(x) =


0, se x ≤ a
x−a
b−a
, se a < x ≤ b
1, se x > b
FX(x)
xa b0
1
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA)
Propriedades da FDA
1 Fx(x) ≥ 0, ∀x
2 FX(−∞) = P (X ≤ −∞) = lim
x→−∞
P (X ≤ x) = 0
3 FX(+∞) = P (X ≤ +∞) = lim
x→+∞
P (X ≤ x) = 1
4 P{x1 ≤ X ≤ x2} = FX(x2)− FX(x1)
5 P (X > x1) = 1− FX(x1)
6 A FDA e´ na˜o-decrescente.
Se x1 ≤ x2, enta˜o FX(x1) ≤ FX(x2)
7 A FDA e´ cont´ınua a` direita. Isto e´, para todo x e todo δ < 0,
lim
δ→0
[FX(x+ δ)− FX(x)] = 0.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA)
Exemplo Resolvido 2
A FDA para o Exemplo Resolvido 1 e´ mostrada abaixo.
−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X
F X
(x)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte III
Func¸a˜o Densidade de Probabilidade
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP)
Definic¸a˜o
fX(x) ,
d
dx
FX(x) , ∀x ∈ R (13)
Exemplo: FDA e FDP Uniforme
FX(x)
xa b0
1
fX(x)
xa b0
1
b−a
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP)
Propriedades da FDP
1 FX(x) =
x∫
−∞
fX(ξ) dξ
2 fX(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.
3 Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ b
a
fX(x)dx = FX(b)− FX(a), para a < b.
4
∫∞
−∞
fX(x)dx = 1.
5 fX(x) e´ cont´ınua por partes.
As propriedades de uma FDP sa˜o melhor compreendidas se
lembrarmos que uma FDP e´ obtida da derivada de uma FDA!
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP)
Propriedades da FDP (cont.-1)
Por exemplo, a Propriedade 3 estabelece que a a´rea sob a
curva nointervalo a ≤ X ≤ b corresponde exatamente a`
probabilidade de X assumir valores neste intervalo.
f (x)
X
<<a X b( )P
Xx = a x = b
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP)
Propriedades da FDP (cont.-2)
A Propriedade 4 pode ser inferida a partir da Propriedade 3 ao
fazermos a = −∞ e b =∞:
Pr(−∞ ≤ X ≤ ∞) =
∫ ∞
−∞
fX(x)dx
= FX(∞)− FX(−∞) (14)
= 1− 0 = 1
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Massa de Probabilidade (FMP)
Definic¸a˜o
Seja X uma VA discreta, em que associamos o nu´mero
pX(xi) = P (X = xi)
a cada valor xi, i = 1, 2, . . . , n, . . ..
Estes nu´meros pX(xi) satisfazem as seguintes condic¸o˜es:
1 pX(xi) ≥ 0, para todo i.
2
∑
∞
i=1
pX(xi) = 1.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Massa de Probabilidade (FMP)
Definic¸a˜o
De imediato, podemos perceber que
pX(xi) = FX(xi)− FX(xi−1) (15)
e que
FX(xi) = PX(X ≤ xi) =
∑
x≤xi
pX(x). (16)
A Eq. (15) e´ chamada de Func¸a˜o Massa de Probabilidade, ou
simplesmente, FMP.
A Eq. (15) equivale a` FDP, so´ que para VAs discretas.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Func¸a˜o Massa de Probabilidade (FMP)
Exemplo Resolvido 3
A FMP do Exemplo Resolvido 1 e´ mostrada abaixo.
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pX(xi)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
2 4 6 8 10 12
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Xi
p X
(x i)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte IV
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Motivac¸a˜o
A dupla FDA-FDP (VA’s cont´ınuas), assim como a dupla
FDA-FMP (VA’s discretas), sa˜o muito importantes para
caracterizar o comportamento qualitativo de uma varia´vel
aleato´ria.
Em muitas ocasio˜es, contudo, precisamos descrever o
comportamento quantitativo da VA de interesse.
Para isso, introduziremos aqui duas medidas descritivas
amplamente utilizadas na pra´tica: a me´dia e a variaˆncia de
uma varia´vel aleato´ria.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Definic¸a˜o de Me´dia de uma VA
A me´dia (ou valor esperado) de uma VA, representada pela
letra grega µ, e´ definida como:
µ =
∑
∀i
xipX(xi), para X discreta, (17)
ou
µ =
∫ ∞
−∞
xfX(x)dx, para X cont´ınua. (18)
em que pX(xi) e´ a FMP e fX(x) e´ a FDP da VA de interesse.
Note que a me´dia de uma VA e´ a soma (integral) dos
poss´ıveis valores que a varia´vel pode assumir ponderados pela
respectiva FMP (FDP).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Exemplo Resolvido 4: Calcular o valor me´dio da VA discreta do
Exemplo Resolvido 3
Para isso, usaremos a Eq. (17). Assim,
µ =
11X
i=1
xipX(xi)
= 2
„
1
36
«
+ 3
„
2
36
«
+ 4
„
3
36
«
+ 5
„
4
36
«
+ 6
„
5
36
«
+ 7
„
6
36
«
+
+8
„
5
36
«
+ 9
„
4
36
«
+ 10
„
3
36
«
+ 11
„
2
36
«
+ 12
„
1
36
«
= 7
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Exemplo Resolvido 5: Qual a relac¸a˜o entre me´dia aritme´tica e a
definic¸a˜o da Eq. (17)?
Considere que os N valores de xi para um certo problema sa˜o
equiprova´veis.
Neste caso, a FMP reduz-se a` seguinte expressa˜o:
pX(xi) =
1
N
, i = 1, 2, ..., N
Portanto, o valor esperado de X passa a ser escrito como:
µ =
11∑
i=1
xipX(xi) =
1
N
N∑
i=1
xi = x¯, i = 1, 2, ..., N (19)
que e´ a conhecida expressa˜o da me´dia aritme´tica!
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Definic¸a˜o de Variaˆncia de uma VA
A variaˆncia de X, representada por σ2:
σ2 =
∑
∀i
(xi − µ)2pX(xi), para X discreta, (20)
ou
σ2 =
∫ ∞
−∞
(x− µ)2fX(x)dx, para X cont´ınua.(21)
A variaˆncia e´ uma medida da dispersa˜o de X em torno de µ.
Variaˆncia alta (baixa) implica grande (pequena) dispersa˜o de
X em torno de µ.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Comenta´rios Importantes sobre a Variaˆncia de uma VA
Quando σ2 e´ alta, a VA tera´ alta probabilidade de assumir
valores muito diferentes (muito maiores ou muito menores)
que o seu valor me´dio.
Uma variaˆncia pequena indica que valores muito diferentes
(para cima ou para baixo) sa˜o pouco prova´veis de ocorrer.
A unidade de σ2 na˜o e´ a mesma de X. Se X esta´ em Volts,
enta˜o σ2 esta´ em (Volts)2.
Para se ter uma ide´ia do grau de dispersa˜o de X na mesma
unidade me´trica, define-se uma outra medida chamada
desvio-padra˜o de X:
σ =
√
σ2 (22)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Comenta´rios Importantes sobre a Variaˆncia de uma VA (cont.-1)
Formas alternativas (e bastante u´teis na pra´tica) para se
calcular a variaˆncia de uma VA sa˜o dadas por:
σ2 =
∑
∀i
x2i pX(xi)− µ2, para X discreta, (23)
ou
σ2 =
∫ ∞
−∞
x2fX(x)dx− µ2, para X cont´ınua.(24)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Exemplo Resolvido 6: Determine µ para uma FDP Uniforme
Considerando X uma VA uniforme cont´ınua no intervalo
[a, b], temos que sua FDP e´ dada por:
fX(x) =
1
b− a, a ≤ x ≤ b
Logo,
µ =
1
b− a
∫ b
a
xdx =
b2 − a2
2(b− a) =
(b+ a)(b− a)
2(b− a) =
(a+ b)
2
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Exerc´ıcio Proposto
Mostre que a variaˆncia σ2 de uma VA cont´ınua uniforme no
intervalo [a, b] e´ dada por:
σ2 =
(b− a)2
12
Dicas: Usar a Eq.(24) e o seguinte produto nota´vel:
b3 − a3 = (b− a)(a2 + ab+ b2)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Exemplo Resolvido 7: Obtenc¸a˜o da fo´rmula da variaˆncia amostral
Considere que foram medidos N valores de xi para um certo
problema. Sem conhecimento pre´vio sobre a FDP/FMP desta
VA assumimos que as observac¸o˜es xi sa˜o equiprova´veis:
pX(xi) =
1
N
, i = 1, 2, ..., N
Portanto, a variaˆncia das observac¸o˜es xi da VA X passa a ser
escrito como:
σ2 =
11∑
i=1
(xi − µ)2pX(xi) ≈ 1
N
N∑
i=1
(xi − x¯)2 = s2
em que s2 denota a variaˆncia amostral de X.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA no Matlab
Exemplo Computacional 2
Gerar observac¸o˜es de uma VA cont´ınua uniformemente
distribu´ıda no intervalo (2,10) no Matlab/Octave:
>> a=2; b=10; % intervaloda distribuicao
>> N=5000; % No. de observacoes desejadas
>> X=unifrnd(a,b,N,1); % gera VAs uniformes
Calcular a me´dia e a variaˆncia amostral:
>> mi=mean(X); % media amostral
mi = 6.0358
>> s2=var(X,1); % variancia amostral
s2 = 5.3481
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Desigualdade de Chebyshev
TEOREMA: Seja X uma varia´vel aleato´ria qualquer, discreta
ou cont´ınua, com me´dia µ e variaˆncia σ2. Seja k um nu´mero
inteiro positivo. Assim, pode-se afirmar que
Pr (|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1
k2
(25)
A desigualdade de Chebyshev fornece uma maneira de
compreender como a variaˆncia serve para determinar a
probabilidade de ocorreˆncia de desvios em torno da me´dia µ.
Na pra´tica, substitu´ımos µ e σ2 na Eq. (25) por x¯ e s2.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Desigualdade de Chebyshev (cont.-1)
Formas alternativas de se escrever a desigualdade de
Chebyshev sa˜o dadas a seguir:
Pr (|X − µ| < kσ) ≥ 1− 1
k2
(26)
ou
Pr (µ− kσ < X < µ+ kσ) ≥ 1− 1
k2
(27)
A utilidade da desigualdade de Chebyshev adve´m do fato de
ela na˜o impor condic¸a˜o alguma a` distribuic¸a˜o de X, bastando
apenas conhecer µ e σ2.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias
Exemplo Resolvido 8: Desigualdade de Chebyshev
Enunciado: A gerente de uma loja na˜o conhece a distribuic¸a˜o de
probabilidade do tempo necessa´rio para completar uma ordem de
compra. No entanto, do desempenho passado ela pode estimar a
me´dia e a variaˆncia como 14 dias e 2 (dias)2, respectivamente.
Ache um intervalo tal que a probabilidade de uma ordem ser
completada dentro desse per´ıodo seja, pelo menos, 0,75.
Soluc¸a˜o: Usando a Eq. (27), chegamos a:
1− 1
k2
=
3
4
⇒ k = 2
Da´ı, chegamos ao intervalo [14− 2√2, 14 + 2√2].
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte V
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Introduc¸a˜o
Sa˜o necessa´rios dois tipos de medida para descrever
adequadamente um conjunto de dados.
Medidas de tendeˆncia central fornecem informac¸a˜o quanto ao
“meio” de um conjunto de nu´meros.
A me´dia e´ uma medida de tendeˆncia central.
Medidas de dispersa˜o indicam se os valores esta˜o
relativamente pro´ximos uns dos outros ou separados.
A variaˆncia ou o desvio-padra˜o sa˜o medidas de dispersa˜o.
Pore´m existem va´rias outras medidas, cujas as mais
importantes iremos detalhar a seguir.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Medidas de Tendeˆncia Central
Medidas de tendeˆncia central sa˜o usadas para indicar um valor
que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto
de nu´meros.
As treˆs medidas mais usadas sa˜o a me´dia, mediana e a
moda.
Mas existem ainda va´rias outras de interesse para o analista
de dados, tais como me´dia podada, me´dia ponderada, me´dia
harmoˆnica e me´dia geome´trica.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Me´dia Aritme´tica (MA ou x¯)
A me´dia de um conjunto de nu´meros (amostra ou dados
amostrais), {x1, x2, ..., xn}, e´ representada pelo s´ımbolo x¯
(leia-se “x barra”), sendo calculada pela seguinte expressa˜o
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
(28)
A Eq. (28) e´ um caso especial da me´dia de uma varia´vel
aleato´ria discreta ja´ discutida na Eq. (19)s.
A me´dia aritme´tica e´ a ide´ia que ocorre a` maioria das pessoas
quando se fala em “me´dia”.
A me´dia aritme´tica possui certas propriedades matema´ticas
convenientes, sendo por isso a mais importante das medidas
de tendeˆncia centra que estudaremos.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Propriedades da Me´dia Aritme´tica
1 A me´dia de um conjunto de nu´meros pode sempre ser
calculada e e´ u´nica.
2 A me´dia e´ afetada por todos os valores do conjunto: se um
valor se modifica, a me´dia tambe´m se modifica.
3 Somando-se (ou subtraindo-se, ou multiplicando-se, ou
dividindo-se) uma constante a cada valor do conjunto, a
me´dia ficara´ aumentada do valor dessa constante.
4 A soma dos desvios dos nu´meros de um conjunto em relac¸a˜o a`
me´dia e´ zero:
n∑
i=1
(xi − x¯) = 0
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Me´dia Ponderada
A fo´rmula anterior para calcular a me´dia aritme´tica supo˜e que
cada observac¸a˜o tenha a mesma importaˆncia. Embora este
seja o caso mais geral, ha´ excec¸o˜es. Nestes casos, usamos a
fo´rmula da me´dia ponderada:
MP = me´dia ponderada =
∑n
i=1 wixi∑n
i=1 wi
, (29)
em que wi > 0 e´ o peso do i-e´simo valor.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Me´dia Ponderada (exemplos)
Suponha que em uma turma de alunos havera´ 3 avaliac¸o˜es no
semestre. As duas primeiras teˆm peso 0,3 (i.e. valem 30% do total
de pontos do curso) e a u´ltima tem peso 0,4.
Um aluno com as seguintes notas: 80 (primeiro exame), 90
(segundo exame) e 96 (exame final), tera´ a seguinte nota final:
MP =
0, 30(80) + 0, 30(90) + 0, 40(96)
0, 30 + 0, 30 + 0, 40
= 89, 4
Em outro curso ha´ um exame no meio do semestre e um exame
final, este com o dobro do peso daquele. Um aluno com notas 95
(primeiro exame) e 89 (exame final) tera´ a seguinte me´dia final:
MP =
1(95) + 2(89)
1 + 2
= 91, 0
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Mediana
A mediana de um conjunto de nu´meros e´ o valor que e´ maior
que uma metade dos valores e menor que a outra metade.
O algoritmo para determinar a mediana e´ o seguinte:
1 Ordenar os valores.
2 Verificar se ha´ um nu´mero ı´mpar ou par de valores.
3 Para um nu´mero ı´mpar de valores,a mediana e´ o valor do meio.
Para um nu´mero par de valores, a mediana e´ a me´dia dos dois
valores do meio.
Por exemplo, a mediana do conjunto {5, 6, 8} e´ 6, pois e´ valor
do meio. Para o conjunto {7, 8, 9, 10} e´ (8 + 9)/2 = 8,5.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Mediana versus Me´dia Aritme´tica
A me´dia e´ influenciada por cada valor do conjunto, em
especial pelos valores extremos (i.e. valores muito baixos ou
muito altos).
Por outro lado, a mediana e´ relativamente insens´ıvel aos
valores extremos.
A me´dia possui certas propriedades matema´ticas que a tornam
atraente.
A etapa de ordenac¸a˜o dos dados no ca´lculo da mediana requer
custo computacional adicional, podendo torna-se alta para
grande quantidade de dados.
O ca´lculo da mediana na˜o da´ para ser feito com um ma´quina
de calcular simples, ao contra´rio do que ocorre com a me´dia
aritme´tica.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de TendeˆnciaCentral e Dispersa˜o
Moda
A moda e´ o valor que ocorre com mais frequ¨eˆncia em um
conjunto de nu´meros.
Por exemplo, para o conjunto {10, 10, 8, 6, 10}, a moda e´
igual a 10, pois o mesmo ocorre 3 vezes.
Comparando com a me´dia e a mediana, a moda e´ a menos
u´til das medidas de tendeˆncia central, porque na˜o se presta a`
ana´lise matema´tica, ao contra´rio do que ocorre com as outras
duas medidas.
De um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o
valor “t´ıpico” em termos da maior ocorreˆncia.
Quando todos ou quase todos os valores ocorrem
aproximadamente com a mesma frequ¨eˆncia,a moda nada
acrescenta em termos de descric¸a˜o dos dados.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Me´dia Truncada
A me´dia truncada (ou podada) e´ a me´dia aritme´tica dos
valores restantes apo´s o descarte de uma certa quantidade dos
maiores e menores valores do conjunto.
Esta definic¸a˜o de me´dia e´ u´til porque sabe-se que a me´dia
aritme´tica e´ muito influenciada por valores extremos.
Por exemplo, para o conjunto {2, 5, 3, 3, 4, 7, 12}, a me´dia
aritme´tica e´ igual a 5,1429, enquanto a me´dia truncada e´ igual
4,4, apo´s o descarte do menor valor (2) e do maior valor (12).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Me´dia Geome´trica
A me´dia geome´trica (MG) de um conjunto de n nu´meros e´
obtida por meio da seguinte fo´rmula:
MG = n
√√√√ n∏
i=1
xi = (x1 · x2 · · · xn)
1
n . (30)
A me´dia geome´trica de um conjunto de nu´meros e´ sempre
menor ou igual a` me´dia aritme´tica dos membros desse
conjunto.
As duas me´dias sa˜o iguais se e somente se todos os membros
do conjunto sa˜o iguais.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Me´dia Harmoˆnica
A me´dia harmoˆnica (MH) de um conjunto de n nu´meros e´
obtida por meio da seguinte fo´rmula:
MH =
n
1
x1
+ 1
x2
+ · · ·+ 1
xn
=
1
1
n
∑n
i=1
1
xi
, (31)
para xi > 0 para todo xi
A MH nunca e´ maior do que a MG ou do que a MA (i.e.
MH ≤MG ≤MA).
Utiliza-se a MH quando se este´ tratando de observac¸o˜es de
grandezas inversamente proporcionais, tais como velocidade e
tempo.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Exemplo 1: Me´dia Harmoˆnica ou Aritme´tica?
Determinar a velocidade me´dia de um automo´vel que viajou
metade da distaˆncia a 40 Km\h e a outra metade a 60 Km\h.
Soluc¸a˜o:
Pode-se mostrar que a soluc¸a˜o desse problema e´ dada pela me´dia
harmoˆnica das velocidades em cada metade do percurso, ou seja:
v¯ =
2
1
40
+ 1
60
=
2 · 40 · 60
40 + 60
= 48 Km\ h (32)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Exemplo 2: Me´dia Harmoˆnica ou Aritme´tica?
Determinar a velocidade me´dia de um automo´vel que viajou
metade do tempo do percurso a 40 Km\h e a outra metade a 60
Km\h.
Soluc¸a˜o:
Neste caso, pode-se mostrar que a soluc¸a˜o desse problema e´ dada
pela me´dia aritme´tica das velocidades em cada metade do tempo,
ou seja:
v¯ =
40 + 60
2
= 50 Km\ h (33)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Intervalo
O intervalo de um grupo de nu´meros e´ a medida de dispersa˜o
mais simples de calcular e entender, pois focaliza o maior
(xmax) e o menor (xmin) valor no conjunto .
O intervalo pode ser expresso de duas maneiras:
1 A diferenc¸a entre o maior e o menor valor: xmax − xmin.
2 O maior e o menor valor no conjunto: [xmin, xmax].
3 Por exemplo, para o conjunto {1, 10, 25}, a diferenc¸a entre o
maior e o menor valor e´ 25-1=24. Alternativamente, pode-se
dizer que o intervalo de valores vai de 1 a 25.
4 Note que o mero conhecimento de que um intervalo de um
conjunto de nu´meros e´ 44 na˜o nos diz nada a respeito dos
nu´meros em si.
5 Pore´m, dizer que o intervalo vai de 300 a 344 ja´ nos da´ uma
informac¸a˜o adicional sobre a magnitude dos nu´meros.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Desvio Me´dio Absoluto (DMA)
O desvio me´dio absoluto (DMA) mede o desvio me´dio dos
valores em relac¸a˜o a` me´dia do grupo, ignorando o sinal do
desvio, sendo calculado pela seguinte fo´rmula:
DMA =
∑n
i=1 |xi − x¯|
n
, (34)
em que |u| e´ o valor absoluto (mo´dulo) de u.
Esta medida so´ tem significado devido a` presenc¸a da func¸a˜o
valor absoluto, caso contra´rio seu valor sera´ sempre zero.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Existem func¸o˜es prontas no Matlab/Octave que calculam todas as
medidas de tendeˆncia central e dispersa˜o vistas.
Medida Comando
Me´dia aritme´tica mean
Me´dia geome´trica geomean
Me´dia harmoˆnica harmmean
Me´dia truncada trimmean
Mediana median
Moda mode
Variaˆncia var
Desvio-padra˜o std
Intervalo min e max
Desvio me´dio absoluto mad
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o
Exemplo Nume´rico no Matlab/Octave
>> X = [2 5 3 3 4 7 12];
Comando Valor
mean(X) 5.1429
geomean(X) 4.3660
harmmean(X) 3.7984
trimmean(X,20) 4.4000
median(X) 4
mode(X) 3
var(X,1) 10.1224
std(X,1) 3.1816
min(X), max(X) 2,12
mad(X) 2.4898
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte VI
FDP Gaussiana e Propriedades
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Definic¸a˜o
Uma VA cont´ınua e´ chamada de normal ou gaussiana se
sua FDP e´ dada por:
fX(x) =
1√
2piσ
exp
{
−(x− µ)
2
2σ2
}
(35)
Conforme e´ de se esperar:
∫ ∞
−∞
fX(x)dx = 1 e
∫ b
a
fX(x)dx = Pr(a ≤ X ≤ b) (36)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana
A fim de trac¸ar um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o gaussiana,
precisamos determinar a primeira e a segunda da func¸a˜o
mostrada na Eq. (35).
A derivada primeira da Eq. (35) e´ dada por:
f
′
X(x) =
dfX(x)
dx
= −
1
√
2piσ3
exp

−
(x− µ)2
2σ2
ff
(x− µ) (37)
A derivada segunda da Eq. (35) e´ dada por:
f
′′
X
(x) = − 1√
2piσ3
"
exp
(
− (x− µ)
2
2σ2
)
(1) − (x− µ)
2
σ2
exp
(
− (x− µ)
2
2σ2
)#
= − 1√
2piσ3
exp
(
− (x− µ)
2
2σ2
) "
1 − (x− µ)
2
σ2
#
(38)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana
Ao fazermos f ′X(x) = 0, resulta que fX(x) tem um valor
ma´ximo para x = µ, dado por
fX(µ) =
1√
2piσ
. (39)
Este valor corresponde a um ma´ximo de fX(x) porque:
1 Para x→ ±∞, os valores assinto´ticos de fX(x) sa˜o zero.
2 A func¸a˜o fX(x) cresce para x ∈ (−∞, µ), ou seja
f ′X(x) > 0, para x < µ. (40)
3 A func¸a˜o fX(x) decresce para x ∈ (µ,+∞), ouseja
f ′
X
(x) < 0, para x > µ. (41)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana
Os pontos de inflexa˜o de fX(x) sa˜o aqueles em que
f ′′X(x) = 0, o que leva a` seguinte expressa˜o:
1− (x− µ)
2
σ2
= 0 ⇒ (x− µ)2 = σ2 (42)
Ao resolver essa expressa˜o, obtemos dois pontos de inflexa˜o:
1 x− µ = σ ⇒ x = µ+ σ.
2 x− µ = −σ ⇒ x = µ− σ.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana
Note que f ′′X(x) > 0 se
1− (x− µ)
2
σ2
< 0 ⇒ (x− µ)2 > σ2. (43)
De onde tiramos as seguintes inequac¸o˜es e suas respectivas
soluc¸o˜es:
1 x− µ > σ ⇒ x > µ+ σ.
2 x− µ < −σ ⇒ x < µ− σ.
Assim, para x ∈ (−∞, µ− σ) e x ∈ (µ+ σ,+∞), a func¸a˜o
fX(x) tem concavidade para cima.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana
Note que f ′′X(x) < 0 se
1− (x− µ)
2
σ2
> 0 ⇒ (x− µ)2 < σ2. (44)
De onde tiramos as seguintes inequac¸o˜es e suas respectivas
soluc¸o˜es:
1 x− µ < σ ⇒ x < µ+ σ.
2 x− µ > −σ ⇒ x > µ− σ.
Assim, para x ∈ (µ− σ, µ+ σ), a func¸a˜o fX(x) tem
concavidade para baixo.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Juntando as informac¸o˜es anteriores, pode-se esboc¸ar o gra´fico da
FDP gaussiana para uma V.A. de me´dia µ e variaˆncia σ2.
Gra´fico da FDP Gaussiana
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Definic¸a˜o (cont.-1)
A FDP gaussiana e´ completamente especificada por dois
paraˆmetros:
µ = E[X] =
∫ ∞
−∞
xfX(x)dx (45)
σ2 = E[(X − µ)2] =
∫ ∞
−∞
(x− µ)2fX(x)dx (46)
Notac¸a˜o simplificada:
X ∼ N(µ, σ2) (47)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Definic¸a˜o (cont.-2)
E´ equivalente fazer uma das seguintes afirmac¸o˜es:
1 Uma VA X segue uma lei de distribuic¸a˜o de probabilidade
dada pela func¸a˜o gaussiana, cujos paraˆmetros sa˜o a me´dia
µ = E[X ] e a variaˆncia σ2 = E[(X − µ)2].
2 Uma VA X esta´ distribu´ıda segundo uma FDP gaussiana de
me´dia µ = E[X ] e variaˆncia σ2 = E[(X − µ)2].
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Me´dia da FDP Gaussiana
Lembre-se que a me´dia de uma varia´vel aleato´ria X e´ dada por
E[X] =
∫ ∞
−∞
xfX(x)dx =
∫ ∞
−∞
x
σ
√
2pi
exp
{
−(x− µ)
2
2σ2
}
dx
Se fizermos z = (x− µ)/σ, enta˜o dx = σdz. Logo,
E[X] =
∫ ∞
−∞
1√
2pi
(µ+ σz) exp
{
−z
2
2
}
dz
= µ
∫ ∞
−∞
1√
2pi
exp
{
−z
2
2
}
dz + σ
∫ ∞
−∞
1√
2pi
z exp
{
−z
2
2
}
dz
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Me´dia da FDP Gaussiana (cont.)
O integrando da primeira integral e´ o de uma FDP gaussiana
com µ = 0 e σ2 = 1. Logo
∫ ∞
−∞
1√
2pi
exp
{
−z
2
2
}
dz = 1
A segunda integral tem valor zero, isto e´,
∫ ∞
−∞
1√
2pi
z exp
{
−z
2
2
}
dz = − 1√
2pi
exp
{
−z
2
2
}
|∞−∞ = 0
Portanto, chegamos ao seguinte resultado
E[X] = µ[1] + σ[0] = µ
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Exerc´ıcios Complementares
Exerc´ıcio 1 - Mostrar que a variaˆncia da FDP gaussiana e´
V (X) = E[(X − µ)2] = σ2.
Exerc´ıcio 2 - Mostrar que a FDP gaussiana satisfaz a seguinte
condic¸a˜o: ∫ ∞
−∞
fX(x)dx = 1 (48)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
Importaˆncia da FDP Gaussiana
A FDP gaussiana e´ uma das mais importantes em ETI e em
Cieˆncias de um modo geral, pois e´ usada como modelo das
flutuac¸o˜es aleato´rias (ru´ıdo) que distorcem valores medidos de
um determinada varia´vel.
Outras aplicac¸o˜es da FDP gaussiana:
1 Ru´ıdos em canais de comunicac¸o˜es.
2 Roboˆs manipuladores (repetibilidade).
3 Modelos de ru´ıdo em imagens digitais.
4 Ru´ıdos de medida em instrumentac¸a˜o eletroˆnica.
5 Detecc¸a˜o de anomalias em Monitoramento de Processos.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA Gaussiana
Definic¸a˜o
A FDA de uma VA cont´ınua e´ dada pela seguinte expressa˜o:
FX(x) =
∫ x
−∞
fX(u)du
=
∫ x
−∞
1√
2piσ
exp
{
−(u− µ)
2
2σ2
}
du (49)
Na˜o existe soluc¸a˜o anal´ıtica exata para a FDA gaussiana.
Soluc¸o˜es nume´ricas aproximadas sa˜o comumente dadas em
tabelas.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP e FDA Gaussianas
Gra´ficos Gene´ricos da FDA e FDP Gaussianas
f (x) F(x)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA Gaussiana
Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 1
Softwares como Matlab/Octave/Scilab/Excel possuem
comandos que determinam facilmente o valor de FX(x) para
qualquer valor de x.
Por exemplo, suponha que X ∼ N(100, 4) e que queremos
estimar a probabilidade de que X seja menor que ou igual a
104; isto e´, P (X ≤ 104) = FX(104).
Matlab/Octave: >> P=normcdf(104,100,sqrt(4));
Scilab: --> P=cdfnor("PQ",104,100,sqrt(4));
Excel: Usar a func¸a˜o DIST.NORM.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA Gaussiana
Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 2
Vamos agora abordar o problema de determinar valores de
FX(x) sob uma perspectiva diferente.
Suponha que temos um conjunto de N medidas de uma certa
varia´vel X, ou seja,
X = {X(1),X(2),X(3), . . . ,X(N)}.
Vamos gerar artificialmente N = 5000 medidas de uma
varia´vel aleato´ria X ∼ N(100, 4).
Matlab/Octave: >> X=normrnd(100,sqrt(4),5000,1);
Scilab: --> X=grand(5000,1,’nor’,100,sqrt(4));
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA Gaussiana
Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 3
De posse do conjuntos de medidas X , vamos determinar
FX(104) = P (X ≤ 104) de treˆs maneiras diferentes.
Me´todo 1: Consiste simplemente em contar quantos
elementos do conjunto X sa˜o menores que ou iguais a 104.
No Matlab/Octave/Scilab, usamos os seguintes comandos:
>> P=length(find(X<=104))/5000;
Me´todo 2: Consiste em determinar o valor buscado
diretamente no gra´fico da FDA empr´ırica do conjunto X .
No Matlab usamos o comando: >> cdfplot(X);
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP e FDA Gaussianas
Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 4
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA Gaussiana
Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 5
Me´todo 3: Trata-se, na verdade, do Me´todo 1 implementado
como uma func¸a˜o do Octave.
Neste caso usamos o comando:
>> P=empirical cdf(104,X);
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana ou Normal
FDP Gaussiana Padronizada
E´ comum trabalharcom VAs de me´dia 0 e variaˆncia 1.
Esta propriedade pode ser imposta a qualquer VA, se a
seguinte transformac¸a˜o de varia´veis for realizada:
Z =
X − µ
σ
(50)
Para o caso de VAs gaussianas, i.e. Z ∼ N (0, 1), a FDP
padronizada passa a ser escrita como
fZ(z) =
1√
2pi
· exp
(
−z
2
2
)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana Padronizada
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
f Z
(z
)
σ = 1
68%
95%
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana Padronizada
Entendendo a FDP Normal Padronizada
Com base no gra´fico da FDP normal padronizada temos que:
1 68% dos valores observados de Z estara˜o no intervalo [-1,+1].
2 95% dos valores observados de Z estara˜o no intervalo [-2,+2].
Estas propriedades da FDP normal padronizada podem, por
exemplo, ser usadas para detecc¸c¸a˜o de observac¸o˜es at´ıpicas
(anomalias em equipamentos ou processos industriais).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP Gaussiana Padronizada
Aplicac¸a˜o em Detecc¸a˜o de Anormalidades em Processos
Suponha que estejamos monitorando (medindo e
armazenando) uma grandeza f´ısica X que representa o estado
de um processo industrial.
Se ha´ razo˜es para assumir que X ∼ N(µ, σ2), enta˜o podemos
usar a seguinte regra de decisa˜o:
SE Z = X−µ
σ
/∈ [−2,+2],
ENTA˜O X e´ um estado anormal.
No caso de detectar alguma anormalidade, o operador deve
ser avisado (e.g. por meio de um alarme sonoro ou visual).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP/FDA Gaussianas no Matlab
Gerando e Visualizando VAs Gaussianas no Matlab
Gera um conjunto de observac¸o˜es de uma VA cont´ınua
gaussiana de me´dia µ e variaˆncia σ2 no Matlab:
>> mi=10; vari=2; % parametros da distribuicao
>> N=5000; % No. de observacoes desejadas
>> X=normrnd(mi,sqrt(vari),N,1); % gera VAs
gaussianas
Calcula a me´dia e a variaˆncia amostral:
>> mi=mean(X); % media amostral
mi = 6.0358
>> s2=var(X,1); % variancia amostral
s2 = 5.3481
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP/FDA Gaussianas no Matlab
Gerando e Visualizando VAs Gaussianas no Matlab
Os comandos abaixo geram e visualizam um conjunto de
observac¸o˜es de uma VA cont´ınua gaussiana de me´dia µ = 10
e variaˆncia σ2 = 2.
>> mi=10; vari=2; % parametros da distribuicao
>> N=5000; % No. de observacoes desejadas
>> X=normrnd(mi,sqrt(vari),N,1); % VAs gaussianas
>> mi=mean(X); % media amostral
mi = 9.9907
>> s2=var(X,1); % variancia amostral
s2 = 1.9932
>> cdfplot(X); % FDA empirica
>> histfit(X,20); % histograma de X
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP/FDA Gaussianas no Matlab
Gra´fico da FDA Emp´ırica
4 6 8 10 12 14 16
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X
F X
(x)
FDA Gaussiana Empírica
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP/FDA Gaussianas no Matlab
Gra´fico da FDP Emp´ırica (Histograma)
4 6 8 10 12 14 16
0
100
200
300
400
500
600
700
800
X
Qu
an
tid
ad
e
Histograma de X
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDP/FDA Gaussianas no Matlab
Entendendo o Histograma
Passo 1 - Calcula a me´dia (x¯) e a variaˆncia (s2) amostrais de
X.
Passo 2 - Define o dom´ınio de X: [x¯− k · s2, x¯+ k · s2] (e.g.
k = 5).
Passo 3 - Discretiza o dom´ınio de X em M + 1 pontos xi,
i = 0, 1, ...,M .
Passo 4 - Para cada intervalo ∆xi = xi − xi−1, i = 1, ...,M ,
determinar:
C(∆xi) = No. de observac¸o˜es de X ∈ ∆xi
Passo 5 - Desenha o gra´fico de barras C(∆xi)×∆xi.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte VII
Estimacao FDA e FDP
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA no Matlab
Exemplo Computacional 1
Gerar um conjunto de observac¸o˜es de uma VA conti´ınua
uniformemente distribu´ıda no intervalo (0,1) no Matlab:
>> N=1000; % No. de observacoes desejadas
>> X=rand(N,1); % gera VAs uniformes
Visualiza a FDA resultante:
>> cdfplot(X) % gera grafico da FDA
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA no Matlab
Exemplo Computacional 1 (cont.-1)
O gra´fico resultante da FDA estimada a partir do conjunto de
N = 1000 observac¸o˜es de X e´ mostrado abaixo.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X
F X
(x)
Empirical CDF
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA no Matlab
Olhando Dentro da Func¸a˜o cdfplot() do Matlab
Passo 1 - Ordena em ordem crescente os valores de X.
Passo 2 - Define o dom´ınio de X, a partir dos valores m´ınimo
e ma´ximo do conjunto de N observac¸o˜es.
Passo 3 - Discretiza o dom´ınio de X em M + 1 pontos xi,
i = 0, 1, ...,M .
Passo 4 - Calcula para cada valor xi no dom´ınio de X a
seguinte expressa˜o:
FX(xi) =
No. de observac¸o˜es de X ≤ xi
N
Passo 5 - Desenha o gra´fico de FX(xi)× xi, i = 0, 1, ...,M .
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
FDA no Matlab
Desafio Matlab/Octave
A func¸a˜o cdfplot() sempre considera que a VA e´ cont´ınua.
Desenvolva uma rotina no Matlab/Octave que possa ser
usada para gerar FDAs de VA discretas!
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte VIII
Teorema Central do Limite
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Teorema Central do Limite
O Teorema Central do Limite (TCL) e´ um dos resultados mais
marcantes da teoria de varia´veis aleato´rias. Em uma de suas
formas mais simples ele se apresenta da seguinte forma:
Seja X1,X2, . . . ,Xn um conjunto de varia´veis aleato´rias
independentes e identicamente distribu´ıdas (iid), cada uma com
me´dia µ e variaˆncia σ2, ou seja:
E[Xi] = µ e Var[Xi] = σ
2 (51)
Seja tambe´m uma nova varia´vel aleato´ria definida por:
Zn =
X¯n − µ
σ/
√
n
(52)
=
X1 +X2 + · · ·+Xn − nµ
σ
√
n
(53)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Teorema Central do Limite
Pode-se demostrar que a FDP de Zn tende a uma FDP gaussiana
de me´dia zero e variaˆncia unita´ria, a` medida que n→∞, ou seja:
Zn ∼ N(0, 1), a` medida que n→∞ (54)
Em poucas palavras, o TCL nos diz que para uma grande
quantidade n de varia´veis aleato´rias independentes, a varia´vel
aleato´ria resultante da soma dessas varia´veis, ou seja,
Sn = X1 +X2 + · · · +Xn,
sera´ sempre uma varia´vel aleato´ria gaussiana, qualquer que seja a
FDP das varia´veis aleato´rias X1,X2, . . . ,Xn.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Teorema Central do Limite
A implicac¸a˜o pra´tica do TCL para a Engenharia de
Teleinforma´tica, se da´ principalmente no que diz respeito ao
tratamento dispensado a varia´veis aleato´rias espu´rias ou
indesejadas.
Todo sistema sobre o qual fazemos medic¸o˜es, tais como
medidas de tensa˜o e/ou corrente em um equipamento
eletro-eletroˆnico, esta´ sujeito a interfereˆnciasindesejadas,
oriundas das mais diversas fontes (e.g. induc¸a˜o
eletromagne´tica).
Na˜o temos controle total sobre as fontes das interfereˆncias.
Podemos ate´ diminuir bastante seus efeitos, por meio de
processos de filtragem, mas e´ dif´ıcil elimina´-los
completamente.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Teorema Central do Limite
O TCL nos fornece uma justicativa para assumir que o efeito
combinado (somato´rio) destas interfereˆncias pode ser
modelado por uma u´nica varia´vel aleato´ria gaussiana, que
passaremos a chamar genericamente de ru´ıdo aditivo
gaussiano.
E´ importante sempre ter em mente que o ru´ıdo e´, na verdade,
a manifestac¸a˜o combinada de diversas fontes internas ou
externas de interfereˆncia espu´ria que atuam no seu sistema
distorcendo as observac¸o˜es (medic¸o˜es) das varia´veis de
interesse.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Teorema Central do Limite
Na pra´tica, contudo, nem todo ru´ıdo presente nas medic¸o˜es e´
do tipo aditivo gaussiano. Existem ru´ıdos que teˆm natureza
multiplicativa.
Por exemplo, em Processamento de Imagens, e´ comum a
presenc¸a de um tipo de ru´ıdo chamado Speckle. Este e´ o caso
em imagens geradas por radares de abertura sinte´tica (SAR).
Mesmo que na pra´tica nem todo ru´ıdo venha a ser classificado
como aditivo gaussiano, assumir inicialmente (ou seja, por
hipo´tese) que o ru´ıdo e´ gaussiano aditivo consiste numa
estrate´gia de modelagem muito utilizada para facilitar ana´lises
iniciais de um certo problema.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Teorema Central do Limite (cont.)
Atenc¸a˜o!
Caso o modelo probabil´ıstico adotado para modelar o
fenoˆmeno f´ısico observado na˜o se mostre adequado, a
hipo´tese de ru´ıdo gaussiano pode ser falsa e, portanto, deve
ser revista e modificada.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
A pergunta que na˜o sai da cabec¸a!
Como e´ que a soma de varia´veis aleato´rias independentes gera
uma varia´vel aleato´ria gaussiana?
Considere X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes, cujas
FDPs sa˜o simbolizadas por fX(x) e fY (y), respectivamente.
Como X e Y sa˜o independentes, tem-se que
fXY (x, y) = fX(x)fY (y).
Vamos definir outra varia´vel aleato´ria Z como a soma de X e Y :
Z = X + Y (55)
Assim, dadas as FDPs fX(x) e fY (y), deseja-se encontrar fZ(z).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Seja z um certo valor fixo que a varia´vel aleato´ria Z assume.
Considere todas as combinac¸o˜es poss´ıveis (i.e. lugar geome´trico)
de valores de X e Y que resultam no valor z:
x+ y = z ⇒ y = z − x (56)
que nada mais e´ do que a equac¸a˜o de uma reta no plano X × Y
(Figura 1).
∆x
+∆ zz
+∆ z
∆y = ∆z
x+y=z
y
x0
z
x+y=
z
Figure: Faixa diferencial usada para obter fZ(z).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Considere uma pequena perturbac¸a˜o ∆z que altera o valor de z
para z +∆z. O lugar geome´trico dos valores de X e Y que
resultam em z +∆z e´ tambe´m uma reta, conforme mostrado na
Figura 1.
E´ fa´cil perceber que todos os valores de x e y dentro da faixa
diferencial V entre as duas retas geram valores de Z entre z e
z +∆z.
Consequ¨entemente, podemos escrever a seguinte expressa˜o para a
probabilidade de obtermos um valor de Z entre z e z +∆z:
P (z ≤ Z ≤ z +∆z) = P (x, y ∈ V)
=
∫
x∈V
∫
y∈V
fXY (x, y)dxdy
=
∫
x∈V
∫
y∈V
fX(x)fY (y)dxdy (57)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Note que dentro da faixa diferencial V, os valores de y esta˜o
restringidos pelos de x, conforme mostrado na u´ltima expressa˜o da
Equac¸a˜o (56).
Notando tambe´m que como a largura da faixa diferencial e´ bem
pequena podemos reduzir a integral dupla da Equac¸a˜o (57) para
uma integral simples.
Assim, escolhendo x como a varia´vel de integrac¸a˜o e percebendo
que dy = dz (lembre-se que y = z − x), podemos escrever:
P (z ≤ Z ≤ z +∆z) =
[∫ ∞
−∞
fX(x)fY (z − x)dx
]
dz (58)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Note que a expressa˜o entre colchetes na Equac¸a˜o (58) nada mais e´
do que a ta˜o desejada FDP de Z, ou seja
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
fX(x)fY (z − x)dx. (59)
E´ importante perceber que a expressa˜o mostrada no lado direito da
Equac¸a˜o (59) e´ ta˜o somente uma integral de convoluc¸a˜o.
Convoluc¸a˜o e´ uma te´cnica muito utilizada em ana´lise de circuitos
ele´tricos para encontrar a resposta (forma de onda de sa´ıda) deste
circuito quando um impulso (func¸a˜o Delta de Dirac) e´ aplicado na
sua entrada.
Visto que a convoluc¸a˜o e´ uma operac¸a˜o comutativa, a Eq. (59)
tambe´m pode ser escrita da seguinte forma:
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
fY (y)fX(z − y)dy (60)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Exerc´ıcio Ilustrativo: Este exemplo ilustra que a FDP resultante
da soma de varia´veis aleato´rias independentes sempre tende u`
normalidade, qualquer que seja a FDP das varia´veis que participam
da soma.
Para isso, vamos assumir que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias
uniformes no intervalo de 0 a 1 (Figura 2).
Xf Yfou
0
1
1 x
Figure: FDP uniforme da varia´vel aleatoria X (ou Y ).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Primeiramente, note que a FDP mostrada na Figura 2 e´ uma
func¸a˜o par, ou seja, f(−x) = f(x). Assim, fY (z−x) = fY (x− z).
Neste caso, a integral de convoluc¸a˜o da Equac¸a˜o (59) e´ enta˜o a
integral de um pulso retangular multiplicado por um pulso
semelhante, pore´m deslocado para a direita de uma quantidade z.
Dependendo do valor de z, as seguintes situac¸o˜es sa˜o poss´ıveis:
Situac¸a˜o 1 (z < 0 ou z > 2) - Neste caso, na˜o existe sobreposic¸a˜o
dos pulsos e, consequ¨entemente, o produto de um
pelo outro e´ zero.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Situac¸a˜o 2 (0 < z < 1) - Um dos pulsos (neste caso, fY (z − x))
se move para a direita em func¸a˜o de z, avanc¸ando
sobre o pulso que esta´ fixo fX(x), tal que a a´rea da
regia˜o de sobreposic¸a˜o dos pulsos vai aumentando
ate´ atingir seu pico em torno de z = 1, quando um
pulso estara´ exatamente sobre o outro. A soluc¸a˜o da
integral de convoluc¸a˜o e´ a seguinte:
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
fX(x)fY (z − x)dx =
∫ z
0
(1)(1)dx = z. (61)
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Situac¸a˜o 3 (1 < z < 2) - Para este intervalo, a a´rea da regia˜o de
sobreposic¸a˜o dos pulsos comec¸a a diminuir ate´ atingir
seu m´ınimo em torno de z = 2, quando o pulso
mo´vel tera´ passado totalmente atrave´s do outro.
Para este intervalo de z, a soluc¸a˜o da integral de
convoluc¸a˜o e´ a seguinte:
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
fX(x)fY (z − x)dx =
∫
1
z−1
(1)(1)dx = 2− z. (62)
Portanto, a FDP de Z e´ dada pela seguinte expressa˜o:
fZ(z) =


z, 0 < z < 1
2− z, 1 < z < 2
0, z < 1 e z > 2
(63)
da qual se nota que fZ(z) tem a forma triangular (Figura 3).
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
0
1
1
f
Z
z2
Figure:FDP de Z, em que Z = X + Y .
A FDP de Z e´ mais pro´xima (visualmente falando) da gaussiana
que fX(x) e fY (y)!
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
Pode-se ir mais um passo adiante e encontrar a FDP
correspondente a` soma de treˆs varia´veis uniformemente
distribu´ıdas. Seja a varia´vel aleato´ria W definida como:
W = X + Y + V = Z + V (64)
em que V e´ uma terceira varia´vel aleato´ria uniforme inclu´ıda na
soma.
Para encontrar a FDP de W , ou seja, fW (w) basta calcular a
seguinte integral de convoluc¸a˜o:
fW (w) =
∫ ∞
−∞
fV (v)fZ(w − v)dv (65)
cujos detalhes da soluc¸a˜o sa˜o deixados como exerc´ıcio.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
O resultado final da convoluc¸a˜o das FDPs fV (v) (uniforme) e
fZ(w − v) (triangular) esta´ mostrado na Figura 4.
f
W
w
Segmento 2
Segmento 3
Segmento 1
Figure: FDP de W = X + Y + Z, X , Y e Z send varia´veis uniformes
entre 0 e 1.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Entendendo o Teorema Central do Limite
A olho nu e´ quase imposs´ıvel distinguir o gra´fico da Figura 4
de uma func¸a˜o gaussiana.
Embora o gra´fico ja´ seja bastante semelhante a uma func¸a˜o
gaussiana, cada um dos segmentos rotulados corresponde a
um arco de para´bola.
Para os curiosos, me´todos alternativos para encontrar a FDP
resultante da soma de duas ou mais varia´veis aleato´rias
uniformes sa˜o apresentados nos exerc´ıcios resolvidos 4.17 (p.
137) e 4.19 (pg. 138) da seguinte refereˆncia:
H. Hsu (1997). Probability, Random Variables, & Random
Processes, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Parte IX
Introduc¸a˜o a` Teoria dos Erros
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o
Definic¸a˜o do Problema
Suponha que estamos interessados em medir o valor de uma
grandeza f´ısica.
Sensores sa˜o usados para converter a grandeza f´ısica em um
sinal ele´trico que pode ser facilmente tratado por meio de
te´cnicas de processamento de sinais.
Sensores sa˜o parte integrantes de equipamentos de medic¸a˜o
especificamente projetados para medir uma certa grandeza
f´ısica.
Exemplos de equipamentos de medic¸a˜o: volt´ımetro,
amper´ımetro, fotoˆmetro, microfone, termovisor, contador
geiger, aceleroˆmetro, etc.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o
Tipos de Erros
Erro Sistema´tico - Componente do erro da medic¸a˜o que se
mante´m constante ou varia de forma previs´ıvel quando se
efetuam va´rias medic¸o˜es de uma mesma grandeza. Os erros
sistema´ticos e suas causas podem ser conhecidos ou
desconhecidos.
Erro Aleato´rio - Componente do erro de medic¸a˜o que varia
de forma imprevis´ıvel quando se efetuam va´rias medic¸o˜es da
mesma grandeza.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o
Exatida˜o
A exatida˜o ou acura´cia significa que o valor real da varia´vel
pode ser determinado por um sensor sem nenhum erro
sistema´tico, positivo ou negativo, na medic¸a˜o. Sobre um
grande nu´mero de medic¸o˜es da varia´vel, o erro me´dio entre o
valor real e o valor determinado pelo sensor ira´ tender a zero.
Atenc¸a˜o!
A exatida˜o de uma medida deve sempre ser a mais alta poss´ıvel.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o
Precisa˜o
A precisa˜o, tambe´m chamada de repetibilidade, significa
que existe pouca ou nenhuma variabilidade aleato´ria na
varia´vel medida. A dispersa˜o nos valores de uma se´rie de
medic¸o˜es sera´ m´ınima.
Atenc¸a˜o!
A precisa˜o da medic¸a˜o tambe´m deve ser a mais alta poss´ıvel.
Lembre-se que alta precisa˜o implica em baixa dispersa˜o dos valores
medidos em torno do valor me´dio das medidas.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o
Exatida˜o e Precisa˜o em um Gra´fico
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o
Poss´ıveis Resultados de Ca´lculos ou Medic¸o˜es
Caso 1- Alta exatida˜o e alta precisa˜o.
Caso 2- Baixa exatida˜o, mas com alta precisa˜o.
Caso 3- Alta exatida˜o, mas com baixa precisa˜o.
Caso 4- Baixa exatida˜o e baixa precisa˜o.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo
Caso 1: Alta exatida˜o e alta precisa˜o.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo
Caso 2: Baixa exatida˜o, mas com alta precisa˜o.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo
Caso 3: Alta exatida˜o, mas com baixa precisa˜o.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo
Caso 4: Baixa exatida˜o e baixa precisa˜o.
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o - Aplica c¸a˜o em Robo´tica
Roboˆs Manipuladores
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
Varia´veis aleato´rias
Exatida˜o e Precisa˜o - Aplica c¸a˜o em Robo´tica
Roboˆs Manipuladores
c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia
	Conceitos e Fundamentos
	Função Distribuição de Probabilidade Acumulada
	Função Densidade de Probabilidade
	Média e Variância de Variáveis Aleatórias
	Outras Medidas de Tendência Central e Dispersão
	FDP Gaussiana e Propriedades
	Estimacao FDA e FDP
	Teorema Central do Limite
	Introdução à Teoria dos Erros