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Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia de Teleinforma´tica Guilherme de Alencar Barreto guilherme@deti.ufc.br Grupo de Aprendizado de Ma´quinas – GRAMA Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica Universidade Federal do Ceara´ – UFC http://www.deti.ufc.br/∼guilherme c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Conteu´do da Apresentac¸a˜o 1 Objetivo Geral 2 Definic¸a˜o de Varia´vel Aleato´ria 3 Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA) e suas Propriedades 4 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) e suas Propriedades 5 Func¸o˜es de Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais 6 Algumas FDPs Importantes em Teleinforma´tica 7 Exemplos no Matlab/Octave c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Pre´-Requisitos 1 Experimento Aleato´rio, Espac¸o Amostral e Eventos 2 Definic¸o˜es de Probabilidade: Cla´ssica e Frequ¨entista 3 Probabilidade Marginal e Condicional 4 Probabilidade Conjunta 5 Noc¸o˜es de Matlab/Octave/Scilab c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Objetivo Geral Objetivo Geral da Aula Definir conceitos relacionados a` quantificac¸a˜o (modelagem) probabil´ıstica de eventos nume´ricos associados a problemas e aplicac¸o˜es pro´prias da Engenharia de Teleinforma´tica. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Refereˆncias Importantes 1 A. Papoulis & S. U. Pillai (2001). Probability, Random Variables and Stochastic Processes, 4a edic¸a˜o, McGraw-Hill. 2 R. G. Brown & P. Y. C. Hwang (1992). Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, John Wiley & Sons. 3 W. W. Hines et al. (2006). Probabilidade e Estat´ıstica na Engenharia, Editora LTC, 4a. edic¸a˜o. 4 A. Hyva¨rinen, J. Karhunen & E. Oja (2001). Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. 5 G. A. Barreto - Notas de Aula dispon´ıveis em http://www.deti.ufc.br/∼guilherme. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte I Conceitos e Fundamentos c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais Conceitos e Fundamentos “ALEA JACTA EST” Traduc¸a˜o: Os dados esta˜o lanc¸ados! General romano Ju´lio Ce´sar ao tomar a decisa˜o de cruzar com suas legio˜es o rio Rubica˜o, que delimitava a divisa entre a Ga´lia ao sul do Alpes e o territo´rio da Ita´lia. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais Conceitos e Fundamentos Noc¸a˜o Geral Grosso modo, uma varia´vel aleato´ria pode ser entendida como o resultado nume´rico de um experimento (e.g. medic¸a˜o) que esta´ sob a influeˆncia de um ou mais mecanismos na˜o-determin´ısticos, em geral desconhecidos e sobre os quais tem-se controle limitado. Ao contra´rio da pra´tica comum com outras varia´veis matema´ticas, uma varia´vel aleato´ria na˜o pode ter um u´nico valor associado. Uma varia´vel aleato´ria na˜o descreve o valor atual de uma realizac¸a˜o de um evento (experimento) particular, mas descreve a poss´ıvel, ainda que indeterminado, resultado em termos de nu´meros reais. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais Conceitos e Fundamentos Espac¸os Amostrais e Eventos A descric¸a˜o do espac¸o amostral de um experimento aleato´rio na˜o requer que um resultado individual seja um nu´mero. Por exemplo, o espac¸o amostral S correspondente ao lanc¸amento de dois dados honestos, um verde (Ai) e um vermelho (Bj), pode ser definido como S = {(Ai, Bj)}, i, j = 1, . . . , 6. em que Ai denota a i-e´sima face do dado verde e Bj simboliza a j-e´sima face do dado vermelho. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais Conceitos e Fundamentos Espac¸os Amostrais e Eventos (cont.-1) O espac¸o amostral S correspondente ao lanc¸amento de uma moeda honesta treˆs vezes seguidas e´ definido como S = {CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKK} em que C = coroa e K = cara. A representac¸a˜o dos resultados dos exemplos anteriores e´ simbo´lica. Uma representac¸a˜o e´ dita simbo´lica quando na˜o podemos utiliza´-la para realizar operac¸o˜es matema´ticas. Por exemplo, a soma do resultado CCC com KKK na˜o faz sentido algum. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais Conceitos e Fundamentos Espac¸os Amostrais e Eventos (cont.-2) Na pra´tica, entretanto, muitos problemas de interesse para ETI requerem que os resultados sejam representados em forma nu´merica. A representac¸a˜o de um resultado e´ dita nume´rica quando podemos utiliza´-la para realizar operac¸o˜es matema´ticas. Pergunta Importante? E´ poss´ıvel sair de uma representac¸a˜o simbo´lica de eventos probabil´ısticos para uma representac¸a˜o nume´rica mais condizente com a realidade da Engenharia? c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais Conceitos e Fundamentos Definic¸a˜o de Varia´vel Aleato´ria Considere um experimento aleato´rio com espac¸o amostral S. Seja A um elemento qualquer de S, ou seja, A ∈ S. Uma varia´vel aleato´ria X(A) e´ uma func¸a˜o escalar que atribui um nu´mero real a cada elemento A ∈ S. S A R X X(A) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Definic¸a˜o Formal Varia´vel aleato´ria (VA) e´ qualquer func¸a˜o definida no espac¸o amostral S tal que: {X : S → R, tal que x = X(A) ∈ R, A ∈ S} (1) Note que: 1 Dom´ınio da func¸a˜o X e´ S. 2 Imagem da func¸a˜o X e´ a reta dos nu´meros reais. 3 Como toda func¸a˜o, a cada resultado A ∈ S corresponde exatamente um valor x = X(A). Ou seja, X e´ uma func¸a˜o sobrejetora. 4 Pore´m, valores diferentes de A podem levar ao mesmo x. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Exemplo 1: Lanc¸amento de uma Moeda Honesta Representac¸a˜o Simbo´lica: S = {cara, coroa}. Representac¸a˜o Nume´rica: X(cara) = 0 e X(coroa) = 1. Logo, o conjunto-imagem de X e´ RX = {x : x = 0, 1}. Exemplo 2: Lanc¸amento de Uma Moeda Honesta Treˆs Vezes S = {CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKK}. Seja X o nu´mero de caras, enta˜o: X(CCC) = 0, X(CCK) = 1, X(CKC) = 1 X(CKK) = 2, X(KCC) = 1, X(KCK) = 2 X(KKC) = 2, X(CKK) = 3 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Exemplo 2 (continuac¸a˜o) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Atenc¸a˜o! Quando o resultado em S ja´ e´ a caracter´ıstica nume´rica desejada, enta˜o x = X(A) = A (func¸a˜o identidade) (2) Exemplo 3: Tempo ate´ primeira falha de um equipamento S = {t : t ∈ R, t ≥ 0}. Se X e´ o tempo ate´ a (primeira) falha do equipamento, enta˜o x = X(t) = t (3) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Observac¸o˜es Importantes Pela definic¸a˜o dada, uma VA na˜o e´ uma varia´vel de fato, mas sim uma func¸a˜o. Na pra´tica, consideramos como VA qualquer grandeza cujo valor esta´ sujeito a variac¸o˜es (flutuac¸o˜es) aleato´rias. Essas flutuac¸o˜es aleato´rias recebem o nome gene´ricode ru´ıdo aleato´rio. Por exemplo, o valor teo´rico (nominal) da tensa˜o em uma tomada da sua casa e´ 220 Volts. Contudo, se formos medir com o instrumento adequado, pode ser que na˜o observemos exatamente este valor. Por que mesmo? c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Observac¸o˜es Importantes (cont.-1) Por causa das flutuac¸o˜es aleato´rias, que podem ter uma se´rie de causas, tais como 1 Carga ele´trica pendurada na rede de energia. 2 Aferic¸a˜o inadequada do equipamento de medic¸a˜o. 3 Localizac¸a˜o de sua casa ao longo da linha de transmissa˜o. 4 Falha na rede de distribuic¸a˜o. 5 Erro do operador, dentre outras causas. O melhor que podemos fazer e´ tentar diminuir a influeˆncia que os fenoˆmenos f´ısicos que causam as flutuac¸o˜es exercem sobre o processo de medic¸a˜o da varia´vel. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Observac¸o˜es Importantes (cont.-2) E´ u´til entender a definic¸a˜o de VA atrave´s das seguintes associac¸o˜es: 1 A varia´vel a ser medida e´ representada por X . Esta varia´vel e´ aleato´ria devido a flutuac¸o˜es que distorcem o seu valor. 2 As flutuac¸o˜es sa˜o, na verdade, sa˜o resultantes de um acontecimento aleato´rio que ocorrem em S, cujo resultado na˜o sabemos de antema˜o. 3 Podemos afirmar que S e´ o espac¸o do eventos na˜o-observa´veis. 4 Um evento qualquer em S e´ simbolizado por A. E o efeito da ocorreˆncia de A no mundo observa´vel e´ representado pelo valor medido X(A), que e´ o valor mostrado pelo equipamento. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Eventos Definidos em Termos de Varia´veis Aleato´rias Se X e´ uma VA e x e´ um nu´mero real fixo, podemos definir o evento (X = x) como (X = x) = {A : X(A) = x}. (4) De modo semelhante, para nu´meros fixos x, x1 e x2, tal que x1 < x2, podemos definir os seguintes eventos: (X ≤ x) = {A : X(A) ≤ x} (5) (X > x) = {A : X(A) > x} (6) (x1 < X ≤ x2) = {A : x1 < X(A) ≤ x2} (7) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Probabilidades em Termos de Varia´veis Aleato´rias Os eventos anteriores teˆm probabilidades que sa˜o denotadas da seguinte forma: P (X = x) = P{A : X(A) = x} (8) P (X ≤ x) = P{A : X(A) ≤ x} (9) P (X > x) = P{A : X(A) > x} (10) P (x1 < X ≤ x2) = P{A : x1 < X(A) ≤ x2} (11) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas e Discretas Uma VA e´ dita discreta se ela puder assumir apenas valores (n´ıveis) espec´ıficos. Uma forma de identificar uma varia´vel aleato´ria discreta e´ atrave´s do conjunto universo de X. Se este conjunto for enumera´vela, finito ou infinito, enta˜o X e´ uma VA discreta. Uma VA e´ dita cont´ınua se ela puder assumir qualquer valor dentro de seu conjunto universo. Uma forma de identificar uma varia´vel aleato´ria discreta e´ atrave´s do conjunto universo de X. Se este conjunto for na˜o-enumera´vel, enta˜o X e´ uma VA cont´ınua. aUm conjunto e´ dito enumera´vel se os seus elementos puderem ser colocados em correspondeˆncia um-para-um com os nu´meros naturais. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Exemplo Resolvido 1 Seja X a soma dos nu´meros das faces resultantes do lanc¸amento de dois dados honestos. Se Ai e´ a face resultante de um dos dados e Bj e´ a face resultante para o outro, enta˜o X = i+ j. Assim, as probabilidades para os poss´ıveis valores de X sa˜o: P (X = 2) = P{(1, 1)} = 1/36 P (X = 3) = P{(1, 2), (2, 1)} = 2/36 P (X = 4) = P{(1, 3), (3, 1), (2, 2)} = 3/36 P (X = 5) = P{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} = 4/36 P (X = 6) = P{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} = 5/36 P (X = 7) = P{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = 6/36 P (X = 8) = P{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5/36 P (X = 9) = P{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = 4/36 P (X = 10) = P{(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = 3/36 P (X = 11) = P{(5, 6), (6, 5)} = 2/36 P (X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Conceitos e Fundamentos Exemplo de Varia´vel Aleato´rias So´ porque uma VA tem um comportamento pontualmente imprevis´ıvel, isto na˜o quer dizer que seu comportamento global na˜o obedec¸a certos padro˜es nume´ricos. Estes padro˜es refletem como o valor de uma certa grandeza f´ısica se distribui na reta dos nu´meros reais. Ha´ diferentes padro˜es de distribuic¸a˜o de valores de uma VA. Estes padro˜es sa˜o formalizados matematicamente na forma de leis probabil´ısticas, que quantificam as probabilidades de ocorreˆncia de valores de uma certa VA: 1 Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA) 2 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte II Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA) Definic¸a˜o FX(x) , P (X ≤ x) , −∞ < x <∞ (i.e. x ∈ R) (12) em que P (·) significa probabilidade. Exemplo: FDA Uniforme FX(x) = 0, se x ≤ a x−a b−a , se a < x ≤ b 1, se x > b FX(x) xa b0 1 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA) Propriedades da FDA 1 Fx(x) ≥ 0, ∀x 2 FX(−∞) = P (X ≤ −∞) = lim x→−∞ P (X ≤ x) = 0 3 FX(+∞) = P (X ≤ +∞) = lim x→+∞ P (X ≤ x) = 1 4 P{x1 ≤ X ≤ x2} = FX(x2)− FX(x1) 5 P (X > x1) = 1− FX(x1) 6 A FDA e´ na˜o-decrescente. Se x1 ≤ x2, enta˜o FX(x1) ≤ FX(x2) 7 A FDA e´ cont´ınua a` direita. Isto e´, para todo x e todo δ < 0, lim δ→0 [FX(x+ δ)− FX(x)] = 0. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade Acumulada (FDA) Exemplo Resolvido 2 A FDA para o Exemplo Resolvido 1 e´ mostrada abaixo. −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X F X (x) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte III Func¸a˜o Densidade de Probabilidade c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) Definic¸a˜o fX(x) , d dx FX(x) , ∀x ∈ R (13) Exemplo: FDA e FDP Uniforme FX(x) xa b0 1 fX(x) xa b0 1 b−a c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) Propriedades da FDP 1 FX(x) = x∫ −∞ fX(ξ) dξ 2 fX(x) ≥ 0, para todo x ∈ R. 3 Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a fX(x)dx = FX(b)− FX(a), para a < b. 4 ∫∞ −∞ fX(x)dx = 1. 5 fX(x) e´ cont´ınua por partes. As propriedades de uma FDP sa˜o melhor compreendidas se lembrarmos que uma FDP e´ obtida da derivada de uma FDA! c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) Propriedades da FDP (cont.-1) Por exemplo, a Propriedade 3 estabelece que a a´rea sob a curva nointervalo a ≤ X ≤ b corresponde exatamente a` probabilidade de X assumir valores neste intervalo. f (x) X <<a X b( )P Xx = a x = b c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Densidade de Probabilidade (FDP) Propriedades da FDP (cont.-2) A Propriedade 4 pode ser inferida a partir da Propriedade 3 ao fazermos a = −∞ e b =∞: Pr(−∞ ≤ X ≤ ∞) = ∫ ∞ −∞ fX(x)dx = FX(∞)− FX(−∞) (14) = 1− 0 = 1 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Massa de Probabilidade (FMP) Definic¸a˜o Seja X uma VA discreta, em que associamos o nu´mero pX(xi) = P (X = xi) a cada valor xi, i = 1, 2, . . . , n, . . .. Estes nu´meros pX(xi) satisfazem as seguintes condic¸o˜es: 1 pX(xi) ≥ 0, para todo i. 2 ∑ ∞ i=1 pX(xi) = 1. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Massa de Probabilidade (FMP) Definic¸a˜o De imediato, podemos perceber que pX(xi) = FX(xi)− FX(xi−1) (15) e que FX(xi) = PX(X ≤ xi) = ∑ x≤xi pX(x). (16) A Eq. (15) e´ chamada de Func¸a˜o Massa de Probabilidade, ou simplesmente, FMP. A Eq. (15) equivale a` FDP, so´ que para VAs discretas. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Func¸a˜o Massa de Probabilidade (FMP) Exemplo Resolvido 3 A FMP do Exemplo Resolvido 1 e´ mostrada abaixo. xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pX(xi) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 4 6 8 10 12 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Xi p X (x i) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte IV Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Motivac¸a˜o A dupla FDA-FDP (VA’s cont´ınuas), assim como a dupla FDA-FMP (VA’s discretas), sa˜o muito importantes para caracterizar o comportamento qualitativo de uma varia´vel aleato´ria. Em muitas ocasio˜es, contudo, precisamos descrever o comportamento quantitativo da VA de interesse. Para isso, introduziremos aqui duas medidas descritivas amplamente utilizadas na pra´tica: a me´dia e a variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Definic¸a˜o de Me´dia de uma VA A me´dia (ou valor esperado) de uma VA, representada pela letra grega µ, e´ definida como: µ = ∑ ∀i xipX(xi), para X discreta, (17) ou µ = ∫ ∞ −∞ xfX(x)dx, para X cont´ınua. (18) em que pX(xi) e´ a FMP e fX(x) e´ a FDP da VA de interesse. Note que a me´dia de uma VA e´ a soma (integral) dos poss´ıveis valores que a varia´vel pode assumir ponderados pela respectiva FMP (FDP). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Exemplo Resolvido 4: Calcular o valor me´dio da VA discreta do Exemplo Resolvido 3 Para isso, usaremos a Eq. (17). Assim, µ = 11X i=1 xipX(xi) = 2 „ 1 36 « + 3 „ 2 36 « + 4 „ 3 36 « + 5 „ 4 36 « + 6 „ 5 36 « + 7 „ 6 36 « + +8 „ 5 36 « + 9 „ 4 36 « + 10 „ 3 36 « + 11 „ 2 36 « + 12 „ 1 36 « = 7 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Exemplo Resolvido 5: Qual a relac¸a˜o entre me´dia aritme´tica e a definic¸a˜o da Eq. (17)? Considere que os N valores de xi para um certo problema sa˜o equiprova´veis. Neste caso, a FMP reduz-se a` seguinte expressa˜o: pX(xi) = 1 N , i = 1, 2, ..., N Portanto, o valor esperado de X passa a ser escrito como: µ = 11∑ i=1 xipX(xi) = 1 N N∑ i=1 xi = x¯, i = 1, 2, ..., N (19) que e´ a conhecida expressa˜o da me´dia aritme´tica! c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Definic¸a˜o de Variaˆncia de uma VA A variaˆncia de X, representada por σ2: σ2 = ∑ ∀i (xi − µ)2pX(xi), para X discreta, (20) ou σ2 = ∫ ∞ −∞ (x− µ)2fX(x)dx, para X cont´ınua.(21) A variaˆncia e´ uma medida da dispersa˜o de X em torno de µ. Variaˆncia alta (baixa) implica grande (pequena) dispersa˜o de X em torno de µ. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Comenta´rios Importantes sobre a Variaˆncia de uma VA Quando σ2 e´ alta, a VA tera´ alta probabilidade de assumir valores muito diferentes (muito maiores ou muito menores) que o seu valor me´dio. Uma variaˆncia pequena indica que valores muito diferentes (para cima ou para baixo) sa˜o pouco prova´veis de ocorrer. A unidade de σ2 na˜o e´ a mesma de X. Se X esta´ em Volts, enta˜o σ2 esta´ em (Volts)2. Para se ter uma ide´ia do grau de dispersa˜o de X na mesma unidade me´trica, define-se uma outra medida chamada desvio-padra˜o de X: σ = √ σ2 (22) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Comenta´rios Importantes sobre a Variaˆncia de uma VA (cont.-1) Formas alternativas (e bastante u´teis na pra´tica) para se calcular a variaˆncia de uma VA sa˜o dadas por: σ2 = ∑ ∀i x2i pX(xi)− µ2, para X discreta, (23) ou σ2 = ∫ ∞ −∞ x2fX(x)dx− µ2, para X cont´ınua.(24) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Exemplo Resolvido 6: Determine µ para uma FDP Uniforme Considerando X uma VA uniforme cont´ınua no intervalo [a, b], temos que sua FDP e´ dada por: fX(x) = 1 b− a, a ≤ x ≤ b Logo, µ = 1 b− a ∫ b a xdx = b2 − a2 2(b− a) = (b+ a)(b− a) 2(b− a) = (a+ b) 2 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Exerc´ıcio Proposto Mostre que a variaˆncia σ2 de uma VA cont´ınua uniforme no intervalo [a, b] e´ dada por: σ2 = (b− a)2 12 Dicas: Usar a Eq.(24) e o seguinte produto nota´vel: b3 − a3 = (b− a)(a2 + ab+ b2) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Exemplo Resolvido 7: Obtenc¸a˜o da fo´rmula da variaˆncia amostral Considere que foram medidos N valores de xi para um certo problema. Sem conhecimento pre´vio sobre a FDP/FMP desta VA assumimos que as observac¸o˜es xi sa˜o equiprova´veis: pX(xi) = 1 N , i = 1, 2, ..., N Portanto, a variaˆncia das observac¸o˜es xi da VA X passa a ser escrito como: σ2 = 11∑ i=1 (xi − µ)2pX(xi) ≈ 1 N N∑ i=1 (xi − x¯)2 = s2 em que s2 denota a variaˆncia amostral de X. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA no Matlab Exemplo Computacional 2 Gerar observac¸o˜es de uma VA cont´ınua uniformemente distribu´ıda no intervalo (2,10) no Matlab/Octave: >> a=2; b=10; % intervaloda distribuicao >> N=5000; % No. de observacoes desejadas >> X=unifrnd(a,b,N,1); % gera VAs uniformes Calcular a me´dia e a variaˆncia amostral: >> mi=mean(X); % media amostral mi = 6.0358 >> s2=var(X,1); % variancia amostral s2 = 5.3481 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Desigualdade de Chebyshev TEOREMA: Seja X uma varia´vel aleato´ria qualquer, discreta ou cont´ınua, com me´dia µ e variaˆncia σ2. Seja k um nu´mero inteiro positivo. Assim, pode-se afirmar que Pr (|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1 k2 (25) A desigualdade de Chebyshev fornece uma maneira de compreender como a variaˆncia serve para determinar a probabilidade de ocorreˆncia de desvios em torno da me´dia µ. Na pra´tica, substitu´ımos µ e σ2 na Eq. (25) por x¯ e s2. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Desigualdade de Chebyshev (cont.-1) Formas alternativas de se escrever a desigualdade de Chebyshev sa˜o dadas a seguir: Pr (|X − µ| < kσ) ≥ 1− 1 k2 (26) ou Pr (µ− kσ < X < µ+ kσ) ≥ 1− 1 k2 (27) A utilidade da desigualdade de Chebyshev adve´m do fato de ela na˜o impor condic¸a˜o alguma a` distribuic¸a˜o de X, bastando apenas conhecer µ e σ2. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Me´dia e Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Exemplo Resolvido 8: Desigualdade de Chebyshev Enunciado: A gerente de uma loja na˜o conhece a distribuic¸a˜o de probabilidade do tempo necessa´rio para completar uma ordem de compra. No entanto, do desempenho passado ela pode estimar a me´dia e a variaˆncia como 14 dias e 2 (dias)2, respectivamente. Ache um intervalo tal que a probabilidade de uma ordem ser completada dentro desse per´ıodo seja, pelo menos, 0,75. Soluc¸a˜o: Usando a Eq. (27), chegamos a: 1− 1 k2 = 3 4 ⇒ k = 2 Da´ı, chegamos ao intervalo [14− 2√2, 14 + 2√2]. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte V Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Introduc¸a˜o Sa˜o necessa´rios dois tipos de medida para descrever adequadamente um conjunto de dados. Medidas de tendeˆncia central fornecem informac¸a˜o quanto ao “meio” de um conjunto de nu´meros. A me´dia e´ uma medida de tendeˆncia central. Medidas de dispersa˜o indicam se os valores esta˜o relativamente pro´ximos uns dos outros ou separados. A variaˆncia ou o desvio-padra˜o sa˜o medidas de dispersa˜o. Pore´m existem va´rias outras medidas, cujas as mais importantes iremos detalhar a seguir. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Medidas de Tendeˆncia Central Medidas de tendeˆncia central sa˜o usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de nu´meros. As treˆs medidas mais usadas sa˜o a me´dia, mediana e a moda. Mas existem ainda va´rias outras de interesse para o analista de dados, tais como me´dia podada, me´dia ponderada, me´dia harmoˆnica e me´dia geome´trica. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Me´dia Aritme´tica (MA ou x¯) A me´dia de um conjunto de nu´meros (amostra ou dados amostrais), {x1, x2, ..., xn}, e´ representada pelo s´ımbolo x¯ (leia-se “x barra”), sendo calculada pela seguinte expressa˜o x¯ = ∑n i=1 xi n (28) A Eq. (28) e´ um caso especial da me´dia de uma varia´vel aleato´ria discreta ja´ discutida na Eq. (19)s. A me´dia aritme´tica e´ a ide´ia que ocorre a` maioria das pessoas quando se fala em “me´dia”. A me´dia aritme´tica possui certas propriedades matema´ticas convenientes, sendo por isso a mais importante das medidas de tendeˆncia centra que estudaremos. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Propriedades da Me´dia Aritme´tica 1 A me´dia de um conjunto de nu´meros pode sempre ser calculada e e´ u´nica. 2 A me´dia e´ afetada por todos os valores do conjunto: se um valor se modifica, a me´dia tambe´m se modifica. 3 Somando-se (ou subtraindo-se, ou multiplicando-se, ou dividindo-se) uma constante a cada valor do conjunto, a me´dia ficara´ aumentada do valor dessa constante. 4 A soma dos desvios dos nu´meros de um conjunto em relac¸a˜o a` me´dia e´ zero: n∑ i=1 (xi − x¯) = 0 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Me´dia Ponderada A fo´rmula anterior para calcular a me´dia aritme´tica supo˜e que cada observac¸a˜o tenha a mesma importaˆncia. Embora este seja o caso mais geral, ha´ excec¸o˜es. Nestes casos, usamos a fo´rmula da me´dia ponderada: MP = me´dia ponderada = ∑n i=1 wixi∑n i=1 wi , (29) em que wi > 0 e´ o peso do i-e´simo valor. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Me´dia Ponderada (exemplos) Suponha que em uma turma de alunos havera´ 3 avaliac¸o˜es no semestre. As duas primeiras teˆm peso 0,3 (i.e. valem 30% do total de pontos do curso) e a u´ltima tem peso 0,4. Um aluno com as seguintes notas: 80 (primeiro exame), 90 (segundo exame) e 96 (exame final), tera´ a seguinte nota final: MP = 0, 30(80) + 0, 30(90) + 0, 40(96) 0, 30 + 0, 30 + 0, 40 = 89, 4 Em outro curso ha´ um exame no meio do semestre e um exame final, este com o dobro do peso daquele. Um aluno com notas 95 (primeiro exame) e 89 (exame final) tera´ a seguinte me´dia final: MP = 1(95) + 2(89) 1 + 2 = 91, 0 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Mediana A mediana de um conjunto de nu´meros e´ o valor que e´ maior que uma metade dos valores e menor que a outra metade. O algoritmo para determinar a mediana e´ o seguinte: 1 Ordenar os valores. 2 Verificar se ha´ um nu´mero ı´mpar ou par de valores. 3 Para um nu´mero ı´mpar de valores,a mediana e´ o valor do meio. Para um nu´mero par de valores, a mediana e´ a me´dia dos dois valores do meio. Por exemplo, a mediana do conjunto {5, 6, 8} e´ 6, pois e´ valor do meio. Para o conjunto {7, 8, 9, 10} e´ (8 + 9)/2 = 8,5. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Mediana versus Me´dia Aritme´tica A me´dia e´ influenciada por cada valor do conjunto, em especial pelos valores extremos (i.e. valores muito baixos ou muito altos). Por outro lado, a mediana e´ relativamente insens´ıvel aos valores extremos. A me´dia possui certas propriedades matema´ticas que a tornam atraente. A etapa de ordenac¸a˜o dos dados no ca´lculo da mediana requer custo computacional adicional, podendo torna-se alta para grande quantidade de dados. O ca´lculo da mediana na˜o da´ para ser feito com um ma´quina de calcular simples, ao contra´rio do que ocorre com a me´dia aritme´tica. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de TendeˆnciaCentral e Dispersa˜o Moda A moda e´ o valor que ocorre com mais frequ¨eˆncia em um conjunto de nu´meros. Por exemplo, para o conjunto {10, 10, 8, 6, 10}, a moda e´ igual a 10, pois o mesmo ocorre 3 vezes. Comparando com a me´dia e a mediana, a moda e´ a menos u´til das medidas de tendeˆncia central, porque na˜o se presta a` ana´lise matema´tica, ao contra´rio do que ocorre com as outras duas medidas. De um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor “t´ıpico” em termos da maior ocorreˆncia. Quando todos ou quase todos os valores ocorrem aproximadamente com a mesma frequ¨eˆncia,a moda nada acrescenta em termos de descric¸a˜o dos dados. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Me´dia Truncada A me´dia truncada (ou podada) e´ a me´dia aritme´tica dos valores restantes apo´s o descarte de uma certa quantidade dos maiores e menores valores do conjunto. Esta definic¸a˜o de me´dia e´ u´til porque sabe-se que a me´dia aritme´tica e´ muito influenciada por valores extremos. Por exemplo, para o conjunto {2, 5, 3, 3, 4, 7, 12}, a me´dia aritme´tica e´ igual a 5,1429, enquanto a me´dia truncada e´ igual 4,4, apo´s o descarte do menor valor (2) e do maior valor (12). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Me´dia Geome´trica A me´dia geome´trica (MG) de um conjunto de n nu´meros e´ obtida por meio da seguinte fo´rmula: MG = n √√√√ n∏ i=1 xi = (x1 · x2 · · · xn) 1 n . (30) A me´dia geome´trica de um conjunto de nu´meros e´ sempre menor ou igual a` me´dia aritme´tica dos membros desse conjunto. As duas me´dias sa˜o iguais se e somente se todos os membros do conjunto sa˜o iguais. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Me´dia Harmoˆnica A me´dia harmoˆnica (MH) de um conjunto de n nu´meros e´ obtida por meio da seguinte fo´rmula: MH = n 1 x1 + 1 x2 + · · ·+ 1 xn = 1 1 n ∑n i=1 1 xi , (31) para xi > 0 para todo xi A MH nunca e´ maior do que a MG ou do que a MA (i.e. MH ≤MG ≤MA). Utiliza-se a MH quando se este´ tratando de observac¸o˜es de grandezas inversamente proporcionais, tais como velocidade e tempo. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Exemplo 1: Me´dia Harmoˆnica ou Aritme´tica? Determinar a velocidade me´dia de um automo´vel que viajou metade da distaˆncia a 40 Km\h e a outra metade a 60 Km\h. Soluc¸a˜o: Pode-se mostrar que a soluc¸a˜o desse problema e´ dada pela me´dia harmoˆnica das velocidades em cada metade do percurso, ou seja: v¯ = 2 1 40 + 1 60 = 2 · 40 · 60 40 + 60 = 48 Km\ h (32) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Exemplo 2: Me´dia Harmoˆnica ou Aritme´tica? Determinar a velocidade me´dia de um automo´vel que viajou metade do tempo do percurso a 40 Km\h e a outra metade a 60 Km\h. Soluc¸a˜o: Neste caso, pode-se mostrar que a soluc¸a˜o desse problema e´ dada pela me´dia aritme´tica das velocidades em cada metade do tempo, ou seja: v¯ = 40 + 60 2 = 50 Km\ h (33) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Intervalo O intervalo de um grupo de nu´meros e´ a medida de dispersa˜o mais simples de calcular e entender, pois focaliza o maior (xmax) e o menor (xmin) valor no conjunto . O intervalo pode ser expresso de duas maneiras: 1 A diferenc¸a entre o maior e o menor valor: xmax − xmin. 2 O maior e o menor valor no conjunto: [xmin, xmax]. 3 Por exemplo, para o conjunto {1, 10, 25}, a diferenc¸a entre o maior e o menor valor e´ 25-1=24. Alternativamente, pode-se dizer que o intervalo de valores vai de 1 a 25. 4 Note que o mero conhecimento de que um intervalo de um conjunto de nu´meros e´ 44 na˜o nos diz nada a respeito dos nu´meros em si. 5 Pore´m, dizer que o intervalo vai de 300 a 344 ja´ nos da´ uma informac¸a˜o adicional sobre a magnitude dos nu´meros. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Desvio Me´dio Absoluto (DMA) O desvio me´dio absoluto (DMA) mede o desvio me´dio dos valores em relac¸a˜o a` me´dia do grupo, ignorando o sinal do desvio, sendo calculado pela seguinte fo´rmula: DMA = ∑n i=1 |xi − x¯| n , (34) em que |u| e´ o valor absoluto (mo´dulo) de u. Esta medida so´ tem significado devido a` presenc¸a da func¸a˜o valor absoluto, caso contra´rio seu valor sera´ sempre zero. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Existem func¸o˜es prontas no Matlab/Octave que calculam todas as medidas de tendeˆncia central e dispersa˜o vistas. Medida Comando Me´dia aritme´tica mean Me´dia geome´trica geomean Me´dia harmoˆnica harmmean Me´dia truncada trimmean Mediana median Moda mode Variaˆncia var Desvio-padra˜o std Intervalo min e max Desvio me´dio absoluto mad c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Outras Medidas de Tendeˆncia Central e Dispersa˜o Exemplo Nume´rico no Matlab/Octave >> X = [2 5 3 3 4 7 12]; Comando Valor mean(X) 5.1429 geomean(X) 4.3660 harmmean(X) 3.7984 trimmean(X,20) 4.4000 median(X) 4 mode(X) 3 var(X,1) 10.1224 std(X,1) 3.1816 min(X), max(X) 2,12 mad(X) 2.4898 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte VI FDP Gaussiana e Propriedades c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Definic¸a˜o Uma VA cont´ınua e´ chamada de normal ou gaussiana se sua FDP e´ dada por: fX(x) = 1√ 2piσ exp { −(x− µ) 2 2σ2 } (35) Conforme e´ de se esperar: ∫ ∞ −∞ fX(x)dx = 1 e ∫ b a fX(x)dx = Pr(a ≤ X ≤ b) (36) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana A fim de trac¸ar um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o gaussiana, precisamos determinar a primeira e a segunda da func¸a˜o mostrada na Eq. (35). A derivada primeira da Eq. (35) e´ dada por: f ′ X(x) = dfX(x) dx = − 1 √ 2piσ3 exp − (x− µ)2 2σ2 ff (x− µ) (37) A derivada segunda da Eq. (35) e´ dada por: f ′′ X (x) = − 1√ 2piσ3 " exp ( − (x− µ) 2 2σ2 ) (1) − (x− µ) 2 σ2 exp ( − (x− µ) 2 2σ2 )# = − 1√ 2piσ3 exp ( − (x− µ) 2 2σ2 ) " 1 − (x− µ) 2 σ2 # (38) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana Ao fazermos f ′X(x) = 0, resulta que fX(x) tem um valor ma´ximo para x = µ, dado por fX(µ) = 1√ 2piσ . (39) Este valor corresponde a um ma´ximo de fX(x) porque: 1 Para x→ ±∞, os valores assinto´ticos de fX(x) sa˜o zero. 2 A func¸a˜o fX(x) cresce para x ∈ (−∞, µ), ou seja f ′X(x) > 0, para x < µ. (40) 3 A func¸a˜o fX(x) decresce para x ∈ (µ,+∞), ouseja f ′ X (x) < 0, para x > µ. (41) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana Os pontos de inflexa˜o de fX(x) sa˜o aqueles em que f ′′X(x) = 0, o que leva a` seguinte expressa˜o: 1− (x− µ) 2 σ2 = 0 ⇒ (x− µ)2 = σ2 (42) Ao resolver essa expressa˜o, obtemos dois pontos de inflexa˜o: 1 x− µ = σ ⇒ x = µ+ σ. 2 x− µ = −σ ⇒ x = µ− σ. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana Note que f ′′X(x) > 0 se 1− (x− µ) 2 σ2 < 0 ⇒ (x− µ)2 > σ2. (43) De onde tiramos as seguintes inequac¸o˜es e suas respectivas soluc¸o˜es: 1 x− µ > σ ⇒ x > µ+ σ. 2 x− µ < −σ ⇒ x < µ− σ. Assim, para x ∈ (−∞, µ− σ) e x ∈ (µ+ σ,+∞), a func¸a˜o fX(x) tem concavidade para cima. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Gra´fico da Func¸a˜o Gaussiana Note que f ′′X(x) < 0 se 1− (x− µ) 2 σ2 > 0 ⇒ (x− µ)2 < σ2. (44) De onde tiramos as seguintes inequac¸o˜es e suas respectivas soluc¸o˜es: 1 x− µ < σ ⇒ x < µ+ σ. 2 x− µ > −σ ⇒ x > µ− σ. Assim, para x ∈ (µ− σ, µ+ σ), a func¸a˜o fX(x) tem concavidade para baixo. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Juntando as informac¸o˜es anteriores, pode-se esboc¸ar o gra´fico da FDP gaussiana para uma V.A. de me´dia µ e variaˆncia σ2. Gra´fico da FDP Gaussiana c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Definic¸a˜o (cont.-1) A FDP gaussiana e´ completamente especificada por dois paraˆmetros: µ = E[X] = ∫ ∞ −∞ xfX(x)dx (45) σ2 = E[(X − µ)2] = ∫ ∞ −∞ (x− µ)2fX(x)dx (46) Notac¸a˜o simplificada: X ∼ N(µ, σ2) (47) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Definic¸a˜o (cont.-2) E´ equivalente fazer uma das seguintes afirmac¸o˜es: 1 Uma VA X segue uma lei de distribuic¸a˜o de probabilidade dada pela func¸a˜o gaussiana, cujos paraˆmetros sa˜o a me´dia µ = E[X ] e a variaˆncia σ2 = E[(X − µ)2]. 2 Uma VA X esta´ distribu´ıda segundo uma FDP gaussiana de me´dia µ = E[X ] e variaˆncia σ2 = E[(X − µ)2]. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Me´dia da FDP Gaussiana Lembre-se que a me´dia de uma varia´vel aleato´ria X e´ dada por E[X] = ∫ ∞ −∞ xfX(x)dx = ∫ ∞ −∞ x σ √ 2pi exp { −(x− µ) 2 2σ2 } dx Se fizermos z = (x− µ)/σ, enta˜o dx = σdz. Logo, E[X] = ∫ ∞ −∞ 1√ 2pi (µ+ σz) exp { −z 2 2 } dz = µ ∫ ∞ −∞ 1√ 2pi exp { −z 2 2 } dz + σ ∫ ∞ −∞ 1√ 2pi z exp { −z 2 2 } dz c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Me´dia da FDP Gaussiana (cont.) O integrando da primeira integral e´ o de uma FDP gaussiana com µ = 0 e σ2 = 1. Logo ∫ ∞ −∞ 1√ 2pi exp { −z 2 2 } dz = 1 A segunda integral tem valor zero, isto e´, ∫ ∞ −∞ 1√ 2pi z exp { −z 2 2 } dz = − 1√ 2pi exp { −z 2 2 } |∞−∞ = 0 Portanto, chegamos ao seguinte resultado E[X] = µ[1] + σ[0] = µ c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Exerc´ıcios Complementares Exerc´ıcio 1 - Mostrar que a variaˆncia da FDP gaussiana e´ V (X) = E[(X − µ)2] = σ2. Exerc´ıcio 2 - Mostrar que a FDP gaussiana satisfaz a seguinte condic¸a˜o: ∫ ∞ −∞ fX(x)dx = 1 (48) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal Importaˆncia da FDP Gaussiana A FDP gaussiana e´ uma das mais importantes em ETI e em Cieˆncias de um modo geral, pois e´ usada como modelo das flutuac¸o˜es aleato´rias (ru´ıdo) que distorcem valores medidos de um determinada varia´vel. Outras aplicac¸o˜es da FDP gaussiana: 1 Ru´ıdos em canais de comunicac¸o˜es. 2 Roboˆs manipuladores (repetibilidade). 3 Modelos de ru´ıdo em imagens digitais. 4 Ru´ıdos de medida em instrumentac¸a˜o eletroˆnica. 5 Detecc¸a˜o de anomalias em Monitoramento de Processos. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA Gaussiana Definic¸a˜o A FDA de uma VA cont´ınua e´ dada pela seguinte expressa˜o: FX(x) = ∫ x −∞ fX(u)du = ∫ x −∞ 1√ 2piσ exp { −(u− µ) 2 2σ2 } du (49) Na˜o existe soluc¸a˜o anal´ıtica exata para a FDA gaussiana. Soluc¸o˜es nume´ricas aproximadas sa˜o comumente dadas em tabelas. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP e FDA Gaussianas Gra´ficos Gene´ricos da FDA e FDP Gaussianas f (x) F(x) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA Gaussiana Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 1 Softwares como Matlab/Octave/Scilab/Excel possuem comandos que determinam facilmente o valor de FX(x) para qualquer valor de x. Por exemplo, suponha que X ∼ N(100, 4) e que queremos estimar a probabilidade de que X seja menor que ou igual a 104; isto e´, P (X ≤ 104) = FX(104). Matlab/Octave: >> P=normcdf(104,100,sqrt(4)); Scilab: --> P=cdfnor("PQ",104,100,sqrt(4)); Excel: Usar a func¸a˜o DIST.NORM. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA Gaussiana Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 2 Vamos agora abordar o problema de determinar valores de FX(x) sob uma perspectiva diferente. Suponha que temos um conjunto de N medidas de uma certa varia´vel X, ou seja, X = {X(1),X(2),X(3), . . . ,X(N)}. Vamos gerar artificialmente N = 5000 medidas de uma varia´vel aleato´ria X ∼ N(100, 4). Matlab/Octave: >> X=normrnd(100,sqrt(4),5000,1); Scilab: --> X=grand(5000,1,’nor’,100,sqrt(4)); c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA Gaussiana Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 3 De posse do conjuntos de medidas X , vamos determinar FX(104) = P (X ≤ 104) de treˆs maneiras diferentes. Me´todo 1: Consiste simplemente em contar quantos elementos do conjunto X sa˜o menores que ou iguais a 104. No Matlab/Octave/Scilab, usamos os seguintes comandos: >> P=length(find(X<=104))/5000; Me´todo 2: Consiste em determinar o valor buscado diretamente no gra´fico da FDA empr´ırica do conjunto X . No Matlab usamos o comando: >> cdfplot(X); c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP e FDA Gaussianas Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 4 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA Gaussiana Soluc¸o˜es Aproximadas da FDA Gaussiana - Parte 5 Me´todo 3: Trata-se, na verdade, do Me´todo 1 implementado como uma func¸a˜o do Octave. Neste caso usamos o comando: >> P=empirical cdf(104,X); c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana ou Normal FDP Gaussiana Padronizada E´ comum trabalharcom VAs de me´dia 0 e variaˆncia 1. Esta propriedade pode ser imposta a qualquer VA, se a seguinte transformac¸a˜o de varia´veis for realizada: Z = X − µ σ (50) Para o caso de VAs gaussianas, i.e. Z ∼ N (0, 1), a FDP padronizada passa a ser escrita como fZ(z) = 1√ 2pi · exp ( −z 2 2 ) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana Padronizada -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 f Z (z ) σ = 1 68% 95% c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana Padronizada Entendendo a FDP Normal Padronizada Com base no gra´fico da FDP normal padronizada temos que: 1 68% dos valores observados de Z estara˜o no intervalo [-1,+1]. 2 95% dos valores observados de Z estara˜o no intervalo [-2,+2]. Estas propriedades da FDP normal padronizada podem, por exemplo, ser usadas para detecc¸c¸a˜o de observac¸o˜es at´ıpicas (anomalias em equipamentos ou processos industriais). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP Gaussiana Padronizada Aplicac¸a˜o em Detecc¸a˜o de Anormalidades em Processos Suponha que estejamos monitorando (medindo e armazenando) uma grandeza f´ısica X que representa o estado de um processo industrial. Se ha´ razo˜es para assumir que X ∼ N(µ, σ2), enta˜o podemos usar a seguinte regra de decisa˜o: SE Z = X−µ σ /∈ [−2,+2], ENTA˜O X e´ um estado anormal. No caso de detectar alguma anormalidade, o operador deve ser avisado (e.g. por meio de um alarme sonoro ou visual). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP/FDA Gaussianas no Matlab Gerando e Visualizando VAs Gaussianas no Matlab Gera um conjunto de observac¸o˜es de uma VA cont´ınua gaussiana de me´dia µ e variaˆncia σ2 no Matlab: >> mi=10; vari=2; % parametros da distribuicao >> N=5000; % No. de observacoes desejadas >> X=normrnd(mi,sqrt(vari),N,1); % gera VAs gaussianas Calcula a me´dia e a variaˆncia amostral: >> mi=mean(X); % media amostral mi = 6.0358 >> s2=var(X,1); % variancia amostral s2 = 5.3481 c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP/FDA Gaussianas no Matlab Gerando e Visualizando VAs Gaussianas no Matlab Os comandos abaixo geram e visualizam um conjunto de observac¸o˜es de uma VA cont´ınua gaussiana de me´dia µ = 10 e variaˆncia σ2 = 2. >> mi=10; vari=2; % parametros da distribuicao >> N=5000; % No. de observacoes desejadas >> X=normrnd(mi,sqrt(vari),N,1); % VAs gaussianas >> mi=mean(X); % media amostral mi = 9.9907 >> s2=var(X,1); % variancia amostral s2 = 1.9932 >> cdfplot(X); % FDA empirica >> histfit(X,20); % histograma de X c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP/FDA Gaussianas no Matlab Gra´fico da FDA Emp´ırica 4 6 8 10 12 14 16 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X F X (x) FDA Gaussiana Empírica c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP/FDA Gaussianas no Matlab Gra´fico da FDP Emp´ırica (Histograma) 4 6 8 10 12 14 16 0 100 200 300 400 500 600 700 800 X Qu an tid ad e Histograma de X c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDP/FDA Gaussianas no Matlab Entendendo o Histograma Passo 1 - Calcula a me´dia (x¯) e a variaˆncia (s2) amostrais de X. Passo 2 - Define o dom´ınio de X: [x¯− k · s2, x¯+ k · s2] (e.g. k = 5). Passo 3 - Discretiza o dom´ınio de X em M + 1 pontos xi, i = 0, 1, ...,M . Passo 4 - Para cada intervalo ∆xi = xi − xi−1, i = 1, ...,M , determinar: C(∆xi) = No. de observac¸o˜es de X ∈ ∆xi Passo 5 - Desenha o gra´fico de barras C(∆xi)×∆xi. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte VII Estimacao FDA e FDP c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA no Matlab Exemplo Computacional 1 Gerar um conjunto de observac¸o˜es de uma VA conti´ınua uniformemente distribu´ıda no intervalo (0,1) no Matlab: >> N=1000; % No. de observacoes desejadas >> X=rand(N,1); % gera VAs uniformes Visualiza a FDA resultante: >> cdfplot(X) % gera grafico da FDA c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA no Matlab Exemplo Computacional 1 (cont.-1) O gra´fico resultante da FDA estimada a partir do conjunto de N = 1000 observac¸o˜es de X e´ mostrado abaixo. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X F X (x) Empirical CDF c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA no Matlab Olhando Dentro da Func¸a˜o cdfplot() do Matlab Passo 1 - Ordena em ordem crescente os valores de X. Passo 2 - Define o dom´ınio de X, a partir dos valores m´ınimo e ma´ximo do conjunto de N observac¸o˜es. Passo 3 - Discretiza o dom´ınio de X em M + 1 pontos xi, i = 0, 1, ...,M . Passo 4 - Calcula para cada valor xi no dom´ınio de X a seguinte expressa˜o: FX(xi) = No. de observac¸o˜es de X ≤ xi N Passo 5 - Desenha o gra´fico de FX(xi)× xi, i = 0, 1, ...,M . c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias FDA no Matlab Desafio Matlab/Octave A func¸a˜o cdfplot() sempre considera que a VA e´ cont´ınua. Desenvolva uma rotina no Matlab/Octave que possa ser usada para gerar FDAs de VA discretas! c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte VIII Teorema Central do Limite c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Teorema Central do Limite O Teorema Central do Limite (TCL) e´ um dos resultados mais marcantes da teoria de varia´veis aleato´rias. Em uma de suas formas mais simples ele se apresenta da seguinte forma: Seja X1,X2, . . . ,Xn um conjunto de varia´veis aleato´rias independentes e identicamente distribu´ıdas (iid), cada uma com me´dia µ e variaˆncia σ2, ou seja: E[Xi] = µ e Var[Xi] = σ 2 (51) Seja tambe´m uma nova varia´vel aleato´ria definida por: Zn = X¯n − µ σ/ √ n (52) = X1 +X2 + · · ·+Xn − nµ σ √ n (53) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Teorema Central do Limite Pode-se demostrar que a FDP de Zn tende a uma FDP gaussiana de me´dia zero e variaˆncia unita´ria, a` medida que n→∞, ou seja: Zn ∼ N(0, 1), a` medida que n→∞ (54) Em poucas palavras, o TCL nos diz que para uma grande quantidade n de varia´veis aleato´rias independentes, a varia´vel aleato´ria resultante da soma dessas varia´veis, ou seja, Sn = X1 +X2 + · · · +Xn, sera´ sempre uma varia´vel aleato´ria gaussiana, qualquer que seja a FDP das varia´veis aleato´rias X1,X2, . . . ,Xn. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Teorema Central do Limite A implicac¸a˜o pra´tica do TCL para a Engenharia de Teleinforma´tica, se da´ principalmente no que diz respeito ao tratamento dispensado a varia´veis aleato´rias espu´rias ou indesejadas. Todo sistema sobre o qual fazemos medic¸o˜es, tais como medidas de tensa˜o e/ou corrente em um equipamento eletro-eletroˆnico, esta´ sujeito a interfereˆnciasindesejadas, oriundas das mais diversas fontes (e.g. induc¸a˜o eletromagne´tica). Na˜o temos controle total sobre as fontes das interfereˆncias. Podemos ate´ diminuir bastante seus efeitos, por meio de processos de filtragem, mas e´ dif´ıcil elimina´-los completamente. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Teorema Central do Limite O TCL nos fornece uma justicativa para assumir que o efeito combinado (somato´rio) destas interfereˆncias pode ser modelado por uma u´nica varia´vel aleato´ria gaussiana, que passaremos a chamar genericamente de ru´ıdo aditivo gaussiano. E´ importante sempre ter em mente que o ru´ıdo e´, na verdade, a manifestac¸a˜o combinada de diversas fontes internas ou externas de interfereˆncia espu´ria que atuam no seu sistema distorcendo as observac¸o˜es (medic¸o˜es) das varia´veis de interesse. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Teorema Central do Limite Na pra´tica, contudo, nem todo ru´ıdo presente nas medic¸o˜es e´ do tipo aditivo gaussiano. Existem ru´ıdos que teˆm natureza multiplicativa. Por exemplo, em Processamento de Imagens, e´ comum a presenc¸a de um tipo de ru´ıdo chamado Speckle. Este e´ o caso em imagens geradas por radares de abertura sinte´tica (SAR). Mesmo que na pra´tica nem todo ru´ıdo venha a ser classificado como aditivo gaussiano, assumir inicialmente (ou seja, por hipo´tese) que o ru´ıdo e´ gaussiano aditivo consiste numa estrate´gia de modelagem muito utilizada para facilitar ana´lises iniciais de um certo problema. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Teorema Central do Limite (cont.) Atenc¸a˜o! Caso o modelo probabil´ıstico adotado para modelar o fenoˆmeno f´ısico observado na˜o se mostre adequado, a hipo´tese de ru´ıdo gaussiano pode ser falsa e, portanto, deve ser revista e modificada. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite A pergunta que na˜o sai da cabec¸a! Como e´ que a soma de varia´veis aleato´rias independentes gera uma varia´vel aleato´ria gaussiana? Considere X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes, cujas FDPs sa˜o simbolizadas por fX(x) e fY (y), respectivamente. Como X e Y sa˜o independentes, tem-se que fXY (x, y) = fX(x)fY (y). Vamos definir outra varia´vel aleato´ria Z como a soma de X e Y : Z = X + Y (55) Assim, dadas as FDPs fX(x) e fY (y), deseja-se encontrar fZ(z). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Seja z um certo valor fixo que a varia´vel aleato´ria Z assume. Considere todas as combinac¸o˜es poss´ıveis (i.e. lugar geome´trico) de valores de X e Y que resultam no valor z: x+ y = z ⇒ y = z − x (56) que nada mais e´ do que a equac¸a˜o de uma reta no plano X × Y (Figura 1). ∆x +∆ zz +∆ z ∆y = ∆z x+y=z y x0 z x+y= z Figure: Faixa diferencial usada para obter fZ(z). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Considere uma pequena perturbac¸a˜o ∆z que altera o valor de z para z +∆z. O lugar geome´trico dos valores de X e Y que resultam em z +∆z e´ tambe´m uma reta, conforme mostrado na Figura 1. E´ fa´cil perceber que todos os valores de x e y dentro da faixa diferencial V entre as duas retas geram valores de Z entre z e z +∆z. Consequ¨entemente, podemos escrever a seguinte expressa˜o para a probabilidade de obtermos um valor de Z entre z e z +∆z: P (z ≤ Z ≤ z +∆z) = P (x, y ∈ V) = ∫ x∈V ∫ y∈V fXY (x, y)dxdy = ∫ x∈V ∫ y∈V fX(x)fY (y)dxdy (57) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Note que dentro da faixa diferencial V, os valores de y esta˜o restringidos pelos de x, conforme mostrado na u´ltima expressa˜o da Equac¸a˜o (56). Notando tambe´m que como a largura da faixa diferencial e´ bem pequena podemos reduzir a integral dupla da Equac¸a˜o (57) para uma integral simples. Assim, escolhendo x como a varia´vel de integrac¸a˜o e percebendo que dy = dz (lembre-se que y = z − x), podemos escrever: P (z ≤ Z ≤ z +∆z) = [∫ ∞ −∞ fX(x)fY (z − x)dx ] dz (58) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Note que a expressa˜o entre colchetes na Equac¸a˜o (58) nada mais e´ do que a ta˜o desejada FDP de Z, ou seja fZ(z) = ∫ ∞ −∞ fX(x)fY (z − x)dx. (59) E´ importante perceber que a expressa˜o mostrada no lado direito da Equac¸a˜o (59) e´ ta˜o somente uma integral de convoluc¸a˜o. Convoluc¸a˜o e´ uma te´cnica muito utilizada em ana´lise de circuitos ele´tricos para encontrar a resposta (forma de onda de sa´ıda) deste circuito quando um impulso (func¸a˜o Delta de Dirac) e´ aplicado na sua entrada. Visto que a convoluc¸a˜o e´ uma operac¸a˜o comutativa, a Eq. (59) tambe´m pode ser escrita da seguinte forma: fZ(z) = ∫ ∞ −∞ fY (y)fX(z − y)dy (60) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Exerc´ıcio Ilustrativo: Este exemplo ilustra que a FDP resultante da soma de varia´veis aleato´rias independentes sempre tende u` normalidade, qualquer que seja a FDP das varia´veis que participam da soma. Para isso, vamos assumir que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias uniformes no intervalo de 0 a 1 (Figura 2). Xf Yfou 0 1 1 x Figure: FDP uniforme da varia´vel aleatoria X (ou Y ). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Primeiramente, note que a FDP mostrada na Figura 2 e´ uma func¸a˜o par, ou seja, f(−x) = f(x). Assim, fY (z−x) = fY (x− z). Neste caso, a integral de convoluc¸a˜o da Equac¸a˜o (59) e´ enta˜o a integral de um pulso retangular multiplicado por um pulso semelhante, pore´m deslocado para a direita de uma quantidade z. Dependendo do valor de z, as seguintes situac¸o˜es sa˜o poss´ıveis: Situac¸a˜o 1 (z < 0 ou z > 2) - Neste caso, na˜o existe sobreposic¸a˜o dos pulsos e, consequ¨entemente, o produto de um pelo outro e´ zero. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Situac¸a˜o 2 (0 < z < 1) - Um dos pulsos (neste caso, fY (z − x)) se move para a direita em func¸a˜o de z, avanc¸ando sobre o pulso que esta´ fixo fX(x), tal que a a´rea da regia˜o de sobreposic¸a˜o dos pulsos vai aumentando ate´ atingir seu pico em torno de z = 1, quando um pulso estara´ exatamente sobre o outro. A soluc¸a˜o da integral de convoluc¸a˜o e´ a seguinte: fZ(z) = ∫ ∞ −∞ fX(x)fY (z − x)dx = ∫ z 0 (1)(1)dx = z. (61) c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Situac¸a˜o 3 (1 < z < 2) - Para este intervalo, a a´rea da regia˜o de sobreposic¸a˜o dos pulsos comec¸a a diminuir ate´ atingir seu m´ınimo em torno de z = 2, quando o pulso mo´vel tera´ passado totalmente atrave´s do outro. Para este intervalo de z, a soluc¸a˜o da integral de convoluc¸a˜o e´ a seguinte: fZ(z) = ∫ ∞ −∞ fX(x)fY (z − x)dx = ∫ 1 z−1 (1)(1)dx = 2− z. (62) Portanto, a FDP de Z e´ dada pela seguinte expressa˜o: fZ(z) = z, 0 < z < 1 2− z, 1 < z < 2 0, z < 1 e z > 2 (63) da qual se nota que fZ(z) tem a forma triangular (Figura 3). c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite 0 1 1 f Z z2 Figure:FDP de Z, em que Z = X + Y . A FDP de Z e´ mais pro´xima (visualmente falando) da gaussiana que fX(x) e fY (y)! c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite Pode-se ir mais um passo adiante e encontrar a FDP correspondente a` soma de treˆs varia´veis uniformemente distribu´ıdas. Seja a varia´vel aleato´ria W definida como: W = X + Y + V = Z + V (64) em que V e´ uma terceira varia´vel aleato´ria uniforme inclu´ıda na soma. Para encontrar a FDP de W , ou seja, fW (w) basta calcular a seguinte integral de convoluc¸a˜o: fW (w) = ∫ ∞ −∞ fV (v)fZ(w − v)dv (65) cujos detalhes da soluc¸a˜o sa˜o deixados como exerc´ıcio. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite O resultado final da convoluc¸a˜o das FDPs fV (v) (uniforme) e fZ(w − v) (triangular) esta´ mostrado na Figura 4. f W w Segmento 2 Segmento 3 Segmento 1 Figure: FDP de W = X + Y + Z, X , Y e Z send varia´veis uniformes entre 0 e 1. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Entendendo o Teorema Central do Limite A olho nu e´ quase imposs´ıvel distinguir o gra´fico da Figura 4 de uma func¸a˜o gaussiana. Embora o gra´fico ja´ seja bastante semelhante a uma func¸a˜o gaussiana, cada um dos segmentos rotulados corresponde a um arco de para´bola. Para os curiosos, me´todos alternativos para encontrar a FDP resultante da soma de duas ou mais varia´veis aleato´rias uniformes sa˜o apresentados nos exerc´ıcios resolvidos 4.17 (p. 137) e 4.19 (pg. 138) da seguinte refereˆncia: H. Hsu (1997). Probability, Random Variables, & Random Processes, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Parte IX Introduc¸a˜o a` Teoria dos Erros c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o Definic¸a˜o do Problema Suponha que estamos interessados em medir o valor de uma grandeza f´ısica. Sensores sa˜o usados para converter a grandeza f´ısica em um sinal ele´trico que pode ser facilmente tratado por meio de te´cnicas de processamento de sinais. Sensores sa˜o parte integrantes de equipamentos de medic¸a˜o especificamente projetados para medir uma certa grandeza f´ısica. Exemplos de equipamentos de medic¸a˜o: volt´ımetro, amper´ımetro, fotoˆmetro, microfone, termovisor, contador geiger, aceleroˆmetro, etc. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o Tipos de Erros Erro Sistema´tico - Componente do erro da medic¸a˜o que se mante´m constante ou varia de forma previs´ıvel quando se efetuam va´rias medic¸o˜es de uma mesma grandeza. Os erros sistema´ticos e suas causas podem ser conhecidos ou desconhecidos. Erro Aleato´rio - Componente do erro de medic¸a˜o que varia de forma imprevis´ıvel quando se efetuam va´rias medic¸o˜es da mesma grandeza. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o Exatida˜o A exatida˜o ou acura´cia significa que o valor real da varia´vel pode ser determinado por um sensor sem nenhum erro sistema´tico, positivo ou negativo, na medic¸a˜o. Sobre um grande nu´mero de medic¸o˜es da varia´vel, o erro me´dio entre o valor real e o valor determinado pelo sensor ira´ tender a zero. Atenc¸a˜o! A exatida˜o de uma medida deve sempre ser a mais alta poss´ıvel. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o Precisa˜o A precisa˜o, tambe´m chamada de repetibilidade, significa que existe pouca ou nenhuma variabilidade aleato´ria na varia´vel medida. A dispersa˜o nos valores de uma se´rie de medic¸o˜es sera´ m´ınima. Atenc¸a˜o! A precisa˜o da medic¸a˜o tambe´m deve ser a mais alta poss´ıvel. Lembre-se que alta precisa˜o implica em baixa dispersa˜o dos valores medidos em torno do valor me´dio das medidas. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o Exatida˜o e Precisa˜o em um Gra´fico c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o Poss´ıveis Resultados de Ca´lculos ou Medic¸o˜es Caso 1- Alta exatida˜o e alta precisa˜o. Caso 2- Baixa exatida˜o, mas com alta precisa˜o. Caso 3- Alta exatida˜o, mas com baixa precisa˜o. Caso 4- Baixa exatida˜o e baixa precisa˜o. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo Caso 1: Alta exatida˜o e alta precisa˜o. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo Caso 2: Baixa exatida˜o, mas com alta precisa˜o. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo Caso 3: Alta exatida˜o, mas com baixa precisa˜o. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o - Analogia com Tiro-ao-Alvo Caso 4: Baixa exatida˜o e baixa precisa˜o. c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o - Aplica c¸a˜o em Robo´tica Roboˆs Manipuladores c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Varia´veis aleato´rias Exatida˜o e Precisa˜o - Aplica c¸a˜o em Robo´tica Roboˆs Manipuladores c© G. A. Barreto Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais e Aplicac¸o˜es em Engenharia Conceitos e Fundamentos Função Distribuição de Probabilidade Acumulada Função Densidade de Probabilidade Média e Variância de Variáveis Aleatórias Outras Medidas de Tendência Central e Dispersão FDP Gaussiana e Propriedades Estimacao FDA e FDP Teorema Central do Limite Introdução à Teoria dos Erros
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