Notas de Aula de Topografia

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Notas de Aulas de Topografia - Prof. ROLIM, CEFET - SE - 2007-1 
Bibliografia: ESPARTEL, Lelis - Curso de topografia - Editora globo - Porto Alegre - 1987. 
UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
GODOY, Reinaldo - Topografia - Escola Superior de Agricultura Luiz Queiroz - USP. 
BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
NETO, Ozório Florêncio de Carvalho. Apostila de Topografia. Aracaju. SENAI-SE. 2006 
DA SILVA, Gilberto Fontes – Apostila de Topografia – CEFET - SE 
 
 
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1.0 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
1.1 Definição de Topografia 
 
- Do dicionário de Aurélio, descrição minuciosa de uma localidade, arte de representar no 
papel a configuração duma porção do terreno com todos os acidentes e objetos que se 
achem à sua superfície; 
- Da Etimologia - “origem da palavra” - descrição do lugar; 
- É uma ciência aplicada, baseada na geometria e na trigonometria, de forma restrita, pois 
não considera a esfericidade da Terra. 
 
1.2 Finalidade da Topografia 
 
- Obtenção do contorno, dimensões e posição relativa de uma porção limitada da 
superfície terrestre e representar sobre uma superfície plana os dados obtidos, detalhes 
naturais e artificiais. 
 
1.3 Importância da Topografia 
 
- Representar os serviços básicos para o desenvolvimento de obras de Engenharia de uma 
forma geral além da Arquitetura e Agronomia. 
 
1.4 Aplicação da Topografia 
 
- Em estradas (rodoviárias e ferroviárias), barragens, irrigação, construções verticais 
(edifícios), Engenharia Mecânica (base para maquinas), Engenharia Elétrica (redes de 
alta e baixa tensão - levantamentos e execução). 
 
1.5 Limite da Topografia 
 
- A topografia limita-se a uma área restrita da superfície terrestre descrita por um círculo 
de raio de 50 km. O erro está em torno de 1,4 m, insignificante para esta área. 
 
1.6 Distinção entre Topografia e Geodesia. 
 
- Topografia tem por objetivo o estudo que trata da descrição de uma parte limitada da 
superfície terrestre, desenvolvendo hipóteses para representar graficamente sua projeção 
horizontal; 
 
- Geodesia tem por objetivo o estudo das formas e dimensões da terra levando em conta 
considerações a forma da Terra, desenvolvendo soluções para transformar a superfície 
do elipsoide em uma superfície plana com a carta. 
 
 
 
 
Notas de Aulas de Topografia - Prof. ROLIM, CEFET - SE - 2007-1 
Bibliografia: ESPARTEL, Lelis - Curso de topografia - Editora globo - Porto Alegre - 1987. 
UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
GODOY, Reinaldo - Topografia - Escola Superior de Agricultura Luiz Queiroz - USP. 
BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
NETO, Ozório Florêncio de Carvalho. Apostila de Topografia. Aracaju. SENAI-SE. 2006 
DA SILVA, Gilberto Fontes – Apostila de Topografia – CEFET - SE 
 
 
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2.0 MEDIDAS DE ÂNGULOS 
 
2.1 Azimute de um Alinhamento 
 
 Definimos azimute de um alinhamento o ângulo formado pelo meridiano e este alinhamento, 
sempre medido no sentido horário, e a partir da ponta Norte variando de 0º a 360º e representamos 
por Az. 
 
O intervalo é dividido em 4 (quatro) quadrantes medidos a partir da ponta Norte e no sentido 
horário. O primeiro quadrante varia de 0º a 90º, o segundo quadrante varia de 90º00’01” a 180º, o 
terceiro quadrante varia de 180º00’01” a 270º e o quarto e ultimo quadrante varia de 270º00’01” a 
360º. Por exemplo: O Az1-2 ou Az1 = 45º indica que o azimute da estação 1 para estação 2 é de 45º e 
este azimute esta no primeiro quadrante. 
 
 O azimute pode ser verdadeiro, magnético e assumido ou arbitrário. O verdadeiro 
corresponde à direção indicada pelos pólos geográficos da terra, o magnético corresponde à direção 
indicada pela agulha magnética e o arbitrário ou assumido quando não se enquadra em nenhum dos 
dois anteriores. 
 
2.2 Rumo de um Alinhamento 
 
 Definimos rumo de um alinhamento como sendo o menor ângulo que este alinhamento faz 
com direção Norte-Sul e sendo sempre medido a partir da ponta Norte ou Sul, varia de 0º a 90º e 
representamos por R. Como no azimute pode ser verdadeiro, magnético e assumido ou arbitrário. 
Temos as seguintes considerações a fazer: 
 
a- Como no azimute temos o rumo dividido em quatro quadrantes e devemos observar o 
seguinte: No primeiro quadrante o rumo é lido no sentido horário e varia da ponta Norte 
(N) a ponta Leste (E), no segundo quadrante o rumo é lido no sentido anti-horário e varia 
da ponta Sul (S) a ponta Leste (E), no terceiro quadrante o rumo volta ser lido no sentido 
horário e varia da ponta Sul (S) a ponta Oeste (W) e no quarto e ultimo quadrante o rumo 
é lido no sentido anti-horário e varia da ponta Norte (N) a ponta Oeste (W). 
 
b- Somente o ângulo não define o rumo de um alinhamento se faz necessário indicar o 
sentido do ângulo, por exemplo: Quando o rumo forma o ângulo de 30º a contar da ponta 
Norte e está situado no primeiro quadrante devemos indicar 30º NE; de 45º no segundo 
quadrante temos 45º SE; de 89º no terceiro quadrante temos 89º SW e de 80º no quarto 
quadrante temos 80º NW. Devemos observar que quando temos 90º NE ou 90º SE 
indicamos apenas por 90º E e do mesmo modo quando temos 90º SW ou 90º NW 
indicamos por 90º W. 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas de Topografia - Prof. ROLIM, CEFET - SE - 2007-1 
Bibliografia: ESPARTEL, Lelis - Curso de topografia - Editora globo - Porto Alegre - 1987. 
UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
GODOY, Reinaldo - Topografia - Escola Superior de Agricultura Luiz Queiroz - USP. 
BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
NETO, Ozório Florêncio de Carvalho. Apostila de Topografia. Aracaju. SENAI-SE. 2006 
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2.3 Conversão de Rumo em Azimute e vise versa. 
 
 O rumo de um alinhamento sempre pode ser convertido em azimute e vise versa, porém 
devemos observar primeiramente em qual quadrante se localiza este alinhamento para efetuarmos a 
conversão. Esta conversão pode ser observada na tabela abaixo. 
 
CONVERSÃO DE RUMO EM AZIMUTE E VICE E VERSA 
Quadrante Ângulos Rumo Azimute 
I (NE) 0º a 90º R1 Az1 = R1 
II (SE) 90º 00’01” a 180º R2 Az2 = 180º - R2 
III (SW) 180º 00’01” a 270º R3 Az3 = 180º + R3 
IV (NW) 270º 00’01” a 360ºR4 Az4 = 360º - R4 
 
Para fixamos o que foi exposto acima temos os seguintes exemplos abaixo: 
 
R1 = 30º NE Az1 = 30º 
R2 = 45º SE Az2 = 180º - 45º = 135º Az2 = 135º 
R3 = 60º SW Az3 =180º + 60º = 240º Az3 = 240º 
R4 = 80º NW Az4 = 360º - 80º = 280º Az4 = 280º 
 
2.4 Rumo e Azimute de Vante e de Ré 
 
 Na conversão de rumo de vante para ré ou vice versa devemos observar o seguinte: 
 
a- O rumo de vante e de ré têm o mesmo ângulo; 
 
b- Quando queremos converter o rumo de vante para ré ou vice versa devemos apenas 
mudar o sentido, por exemplo: Seja 30º NE o rumo de ré de um alinhamento, o seu 
rumo de vante será 30º SW; do mesmo modo seja 30º NE o rumo de vante, de outro 
alinhamento, o seu rumo de ré será 30º SW. Com este exemplo queremos mostrar o que 
já mencionamos anteriormente: QUEM DEFINE O RUMO NÃO É O ÂNGULO E 
SIM O SENTIDO (NE, NW, SE ou SW); 
 
c- Devemos ainda observar que o sentido de qualquer rumo sempre começa com N ou S, e 
se o rumo de vante tem o sentido de NE o de ré terá SW e vice e versa, ou seja: terá 
sempre meridiano oposto. 
 
Na conversão de azimute de vante para ré ou vice versa devemos observar a tabela adiante: 
 
CONVERSÃO DE AZIMUTE DE VANTE PARA RÉ E VICE VERSA 
Quadrante Ângulo Azimute de Vante Azimute de Ré 
I 0º a 90º AzV1 AzR1 = AzV1 + 180º 
II 90º 00’01” a 180º AzV2 AzR2 = AzV2 + 180º 
III 180º 00’01” a 270º AzV3 AzR3 = AzV3 - 180º 
IV 270º 00’01” a 360º AzV4 AzR4 = AzV4 - 180º 
 
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BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
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PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
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2.5 Ângulos externos e internos 
 
 Em topografia consideramos somente a medida dos ângulos contidos em dois planos, um 
horizontal ou azimutal e outro vertical ou zenital. Neste momento trataremos dos ângulos 
horizontais. 
 
Quando o ângulo entre dois pontos é mencionado, entende-se um ângulo horizontal ou 
ângulo entre as projeções horizontais de duas linhas que passam através desses dois pontos e 
convergem a um terceiro ponto. 
 
O ângulo horizontal pode ser de flexão ou de deflexão (veremos somente o de flexão), e o 
definimos como sendo o ângulo formado por dois caminhamentos sucessivos e o mesmo pode ser 
interno ou externo. 
 
O ângulo horizontal medido será externo quando o caminhamento for realizado no sentido 
horário e o designamos pela letra grega alfa ( ), e o ângulo horizontal medido será interno quando o 
caminhamento for realizado no sentido anti-horário e o designamos pela letra grega beta ( ). 
 
Devemos observar que a soma do ângulo de flexão interno com o ângulo de flexão externo, 
em um mesmo vértice, será sempre 360º (trezentos e sessenta graus). 
 
 
2.6 Equação Geral do Calculo dos Azimutes 
 
2.6.1 Considerações Iniciais 
 
 Antes de aplicarmos a formula, adiante relacionada, devemos fazer a verificação e 
distribuição dos erros angulares da poligonal fechada conforme item 3.0 adiante relacionado. 
 
2.6.2 Equação e considerações de aplicação 
 
 A equação do calculo de azimutes é dada pela seguinte expressão: 
 
Az(n) = [Az(n-1) + (n)] 180º, onde: 
 
 n = corresponde ao vértice onde se que calcular o azimute; 
(n - 1) = corresponde ao vértice imediatamente anterior ao vértice onde se que calcular o 
azimute; 
 Az(n) = azimute que se quer calcular; 
 Az(n-1) = azimute imediatamente anterior ao azimute que se quer calcular; 
 (n) = ângulo externo do vértice que se que calcular o azimute; 
 180º = fator de compensação. 
 
 Quanto ao fator de compensação devemos observar as seguintes situações: 
 
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Bibliografia: ESPARTEL, Lelis - Curso de topografia - Editora globo - Porto Alegre - 1987. 
UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
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BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
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1- Utilizaremos (+180º) quando tivermos: [(Az(n-1) + (n))] < 180º; 
2- Utilizaremos (-180º) quando tivermos: [(Az(n-1) + (n))] > 180º, e caso após esta operação 
obtermos um valor superior a 360º devemos subtrair deste valor 360º porque não existe 
azimute superior a 360º (ver definição). 
 
2.6.3 Exemplo de aplicação da Equação Geral dos Azimutes 
 
 A seguir teremos os cálculos da tabela apresentada no item 3.6, onde: 
1 = 297º 53’ 20” 
2 = 327º 39’ 32” 
3 = 141º 48’ 6” 
4 = 312º 39’ 2” 
 
Da equação Az(n) = [Az(n-1) + (n)] 180º temos: 
Az(2) = Az(1) + (2) 180º, substituindo temos: 
Az(2) = [(244º + 327º 39’32”)] - 180º = 571º 39’32” - 180º = 391º 39’ 32”, como é maior que 
360º devemos ter Az(2) = 391º 39’32” - 360º = 31º 39’32” Az(2) = 31º 39’32” 
 
Az(3) = [Az(2) + (3)] 180º, substituindo os valores tem: 
 Az(3) = [31º 39’ 32”+ 141º 48’6”] + 180º = 173º 27’38” +180º Az(3) = 353º 27’38” 
 
Az(4) = [Az(3) + (4)] 180º, substituindo os valores tem: 
Az(4) = [353º 27’38” + 312º 39’2”] - 180º = 666º 6’40” -180º = 486º 6’40” como é maior 
que 360º devemos ter Az(4) = 486º 6’40” - 360º = 126º 6’40” Az(4) = 126º 6’40” 
 
Calcularemos Az(1) utilizando a Equação e este cálculo serve de prova se os cálculos 
anteriores estão, pois devemos ter Az(1) = 244º, vejamos: 
 
Az(1) = [Az(4) + (1)] 180º, substituindo os valores tem: 
 Az(1) = [126º 6’ 40”+ 297º 53’20”] - 180º = 424º -180º Az(1) = 244º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
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3.0 CÁLCULOS ANALÍTICOS DE UMA POLIGONAL FECHADA 
 
Para execução dos cálculos de uma poligonal fechada devem ser seguidos determinados 
passos que consistem na seguinte seqüência: 
 
3.1 Verificação e Distribuição do Erro Angular, se o mesmo for tolerável. 
 
3.1.1 Inicialmente devemos comparar a soma dos ângulos da poligonal lidos no campo, aqui 
chamado de Âlidos, com a soma dos ângulos obtidos com uma do seguinte formulas: 
a- Se os ângulos utilizados forem externos teremos Âe = (n + 2)x180º, e 
b- Se os ângulos utilizados forem internos teremos Âi = (n - 2)x180º, onde n corresponde 
ao número de lados desta poligonal; 
 
3.1.2 Comparando Âlidos com qualquer uma das formulas acima teremos um erro angular (ea) 
que deverá ser menor ou igual ao erro admissível (eadm) determinado em função da precisão 
do instrumento utilizado. Este erro admissível é obtido pela seguinte expressão: 
eadm = p n, onde: p é a menor leitura com precisão que pode ser lida no 
aparelho. No caso do instrumento ZEISS 080-A esta leitura 
corresponde a 5’ (cinco minutos); 
n é o número de lados ou de vértices da poligonal. 
 
3.1.3 A compensação angular ( ) é feita, em geral, distribuindo-se o erro angular por todos os 
vértices do polígono, ou seja: = ea/n, onde ea = Âlidos - Âe. Os novos valores dos 
ângulos que foram lidos no campo serão corrigidos somando-se ou subtraindo-se o valor . 
Serão somados se o erro angular der a menos e subtraídos se o erro angular der a mais. 
 
3.2 Verificação Linear, erros e distribuição 
 
 Neste aspecto vamos calcular os erros de fechamento linear absoluto (EF) e relativo (ER). 
Este se comparando com as tolerâncias permitidas pelas normas ou exigências dos órgãos é 
que vai definir o rigor do levantamento em função das distâncias lidas no campo 
 
3.2.1 Erro de fechamento linear absoluto 
 
 Calculam-se, inicialmente, as projeções dos alinhamentos sobre os eixos X e Y (E e N), ou 
sejam, X e Y, feito isto, somam-se os valores algebricamente na direção de X e na 
direção de Y, se o somatório destes valores, respectivamente, for diferente de zero é porque 
há erros lineares de fechamento, sendo determinados pelas seguintes expressões: 
a- Na direção de X temos ex = X, onde: X = l.senAz., e 
b- Na direção de Y temos ey = Y, onde: Y = l.cosAz. 
 
Determinados o erro linear de fechamento nas direções de X e Y temos que determinar o 
erro total de fechamento que é obtido utilizando o teorema de Pitágoras: EF = ex
2
 + ey
2
 
 
 
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3.2.2 Erro de fechamento linear relativo 
 
 Este erro informara a precisão com que foram medidas as distâncias dos alinhamentos, 
comparando-se com as tolerâncias permitidas (erro admissíveis), é dado por: ER = 1/M, 
onde M é igual ao resultado da divisão do perímetro do polígono pelo erro linear absoluto 
(M = P/EF). O erro linear relativo (ER ) tem como tolerância mínima o valor 1/1.000. 
 
3.3 Correções (Compensações) 
 
A compensação ocorrerá se o erro linear estiver dentro da tolerância permitida, ou seja, o ER 
 1/1.000. Aceita esta condição o polígono é compensado, e esta compensação poderá ser: 
a- Igualitariamente pelas projeções respectivas; 
b- Proporcionalmente aos lados do polígono; 
c- Proporcionalmente às projeções dos lados do polígono; 
d- Pelo método dos mínimos quadrados (MMQ). 
 
Estas compensações têm como objetivo o desenho topográfico. Deve-se levar em conta 
apenas o rigor com que foram efetuadas as medidas angulares e lineares. 
 
Temos dois processos a considerar: 
a- Se o polígono tiver melhor rigor na medida dos ângulos do que nas distâncias, o erro 
deverá ser compensado proporcionalmente às projeções dos lados; 
b- Se o rigor for o mesmo nas medidas de ângulos e distâncias, o erro deverá ser 
compensado proporcionalmente às medidas dos lados. 
 
Em geral (comumente) se usa este último processo, ou seja, distribuição proporcional aos 
lados. 
 
3.4 Valor das Correções. 
 
As correções são realizadas em ambos os eixos, X e Y, respectivamente, através das 
seguintes expressões: 
CX = -(ex.l)/P e CY = -(ey.l)/P, onde o sinal negativo significa que sendo o erro negativo a 
correção será positiva, e se for positivo a correção será negativa, sendo l = lado do polígono 
e P = perímetro do polígono. 
 
3.5 Projeções Compensadas 
 
Para cada projeção de cada lado (em X ou Y), serão somados valores de CX ou CY, ou seja: 
X’ = X + CX e Y’ = Y + CY 
 
Os novos somatórios em X ( X’) e em Y ( Y’) deverão ser iguais a zero. 
 
 
 
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3.6 Coordenadas Absolutas ou Totais 
 
As coordenadas absolutas são medidas em relação a uma origem (Datum), e são sempre 
somadas algebricamente com as projeções parciais compensadas. 
 
OBS: Adiante segue um exemplo como modelo. 
 
 
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UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
GODOY, Reinaldo - Topografia - Escola Superior de Agricultura Luiz Queiroz - USP. 
BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO,Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
NETO, Ozório Florêncio de Carvalho. Apostila de Topografia. Aracaju. SENAI-SE. 2006 
DA SILVA, Gilberto Fontes – Apostila de Topografia – CEFET - SE 
 
9 
ESTAÇÃO RÉ DIST.
VANTE (m) X=l.senAz Y=l.cosAz Cx Cy X' Y' X Y
M4 - Norte
M2
M1
M3
M2
M4
M3
M1
M4
M2
4 314,17 1079 º 59 ' 56 " 1080 º 0 ' 0 " -0,179 -0,838 0,179 0,838 0,000 0,000
Calculos:
ErroT= -4 "
Erro= -1,00 "
ErroAd= 2,00 "
EF = 0,856
ER = 0,0027 (Obs.ER tem que se menor que 1) 
77,313 -56,401 0,054
0,133
0,162
26,295 42,644 0,029
-6,898 60,175 0,034
26,324 42,777 903,173
-6,864 60,337
2.000,000
2.056,145
929,497
922,633
1.995,808
1.000,000SW0 ' 0 "0 " 64 º244 º 0 '
0,256 77,367 -56,145" SEº 53 ' 20' 40 " 53" 126 º 6º 39 ' 2' 1 " 31295,70 312 º 39M4
M1
'M1
M2
M3
'
'º 48 ' 6 " NWº 32 ' 2238 " 6" 353 º 27
1.953,031
60,57 141 º 48 ' 5 " 141
" NEº 39 ' 3232 " 31" 31 º 39 'º 39 ' 32' 31 " 32750,10 327 º 39
-46,969 1.000,000 2.000,000SW -47,256 0,062 0,287 -96,827º 0 " -96,8890 0 " 64 º 0' 20 " 244107,80 297 º 53
TABELA DE ELEMENTOS TOPOGRÁFICOS
PROJEÇÕES PARCIAIS CORREÇÕES PROJEÇÕES CORRIGIDAS COORDENADASÂNGULOS ( º ' " )
CORRIGIDOS AZIMUTE RUMOS
' 19 "
LIDOS EXTERNOS
297 º 53
Poligonal de Quatro Lados
1.940,0
1.960,0
1.980,0
2.000,0
2.020,0
2.040,0
2.060,0
2.080,0
880,0 900,0 920,0 940,0 960,0 980,0 1000,0 1020,0
Coordenadas
Co
or
de
na
da
s
3
4
2
1
 
Notas de Aulas de Topografia - Prof. ROLIM, CEFET - SE - 2007-1 
Bibliografia: ESPARTEL, Lelis - Curso de topografia - Editora globo - Porto Alegre - 1987. 
UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
GODOY, Reinaldo - Topografia - Escola Superior de Agricultura Luiz Queiroz - USP. 
BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
NETO, Ozório Florêncio de Carvalho. Apostila de Topografia. Aracaju. SENAI-SE. 2006 
DA SILVA, Gilberto Fontes – Apostila de Topografia – CEFET - SE 
 
 
11 
4.0 CALCULO DA DISTANCIA, RUMO E AZIMUTE CONHECENDO AS 
COORDENADAS DOS VÉRTICES. 
 
4.1 Considerações Gerais 
 
 Aqui, como fizemos no item anterior, consideraremos o Norte (N) sendo o eixo dos y 
positivos e o Sul (S) sendo o eixo dos y negativos, e o Leste (E) sendo o eixo dos x positivos e o 
Oeste (W) sendo o eixo dos x negativos, e assim teremos o seguinte: 
 
NE 
+ X 
+ Y 
 
SE 
+ X 
- Y 
 
SW 
- X 
- Y 
 
NW 
- X 
+ Y 
 
4.2 Calculo da distancia entre dois vértices de uma poligonal. 
 
Consideremos como exemplo, para determinação das formulas, a poligonal do item 3.0, 
assim a distancia do vértice 1 ao vértice 2 é dada pela seguinte expressão: 
d
2
1-2 = d
2
 = X
2
 + Y
2
, onde X = X2 - X1 e Y = Y2 - Y1, da mesma maneira a distancia do 
vértice 2 para o vértice 3 d
2
2-3 = d
2
 = X
2
 + Y
2
, onde X = X3 - X2 e Y = Y3 - Y2 e a da 
vértice 3 para o vértice 4 d
2
3-4 = d
2
 = X
2
 + Y
2
, onde X = X4 - X3 e Y = Y4 - Y3 e a da 
vértice 4 para o vértice 1 d
2
4-1 = d
2
 = X
2
 + Y
2
, onde X = X1 - X4 e Y = Y1 - Y4, assim: 
no vértice 1 (1.000,000 - 2.000,000), sendo: X1 = 1.000,000 e Y1 = 2.000,000 
no vértice 2 (903,173 - 1.953,031), sendo: X2 = 903,173 e Y2 = 1.953,031 
no vértice 3 (929,497 - 1.995,808), sendo: X3 = 929,497 e Y3 = 1.995,808 
no vértice 4 (922,633 - 2.056,145), sendo: X4 = 922,633 e Y4 = 2.056,145, substituindo os 
valores nas expressões acima terão: 
a distância do vértice 1 para o vértice 2 igual a: 107,62m 
a distância do vértice 2 para o vértice 3 igual a: 50,23m 
a distância do vértice 3 para o vértice 4 igual a: 60,73m 
a distância do vértice 4 para o vértice 1 igual a: 95,59m 
 
 Observamos que os valores estão diferentes dos valores do levantamento realizado, e esta 
diferença é em virtude de aproximações consideradas na resolução das expressões. 
 
 
 
 
Notas de Aulas de Topografia - Prof. ROLIM, CEFET - SE - 2007-1 
Bibliografia: ESPARTEL, Lelis - Curso de topografia - Editora globo - Porto Alegre - 1987. 
UZEDA, Olívio Jardim de - Topografia - Editora Ao Livro Técnico S/A - Rio de Janeiro - 1963. 
GARCIA, Gilberto J. e PIEDADE, Gertrudes C. R. - Topografia Aplicada às Ciências Agrárias - Editora Nobel - 1985. 
BORGES, Alberto Campos - Topografia (vols. 1 e 2) São Paulo. Edgard Blücher, 1993. 
BORGES, Alberto Campos - Exercício de Topografia. São Paulo. Edgard Blücher, 1987. 
CARDÃO, Celso - Topografia - Belo Horizonte - Engenharia e Arquitetura. 
GODOY, Reinaldo - Topografia - Escola Superior de Agricultura Luiz Queiroz - USP. 
BRANDALIZE, Maria C. Bonato. Apostilas TOPOGRAFIA. PUC-PR. 1999. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de Topografia. Salvador. UFBA. 
NETO, Ozório Florêncio de Carvalho. Apostila de Topografia. Aracaju. SENAI-SE. 2006 
DA SILVA, Gilberto Fontes – Apostila de Topografia – CEFET - SE 
 
 
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4.3 Calculo do Rumo 
 
Os Rumos são determinados pela seguinte expressão: R = Arctang 
( X) 
, assim 
( Y) 
 
o Rumo do vértice 1 para o vértice 2 e dado por: R1-2 =R1 = Arctang 
(X2 - X1) , então 
(Y2 - Y1) 
 
 
o Rumo do vértice 2 para o vértice 3 e dado por: R2-3 =R2 = Arctang 
(X3 - X2) 
(Y3 - Y2) 
 
 
o Rumo do vértice 3 para o vértice 4 e dado por: R3-4 =R3 = Arctang 
(X4 - X3) 
(Y4 - Y3) 
 
 
o Rumo do vértice 4 para o vértice 1 e dado por: R4-1 =R4 = Arctang 
(X1 - X4) 
(Y1 - Y4) 
 
quando substituímos os valores devemos observar os sinais dos x e dos y, de acordo com o item 4.1, 
para indicar o quadrante do Rumo calculado. 
 
 Substituindo os valores das coordenadas nas expressões acima teremos: 
 
R1 = 64º 07’ 22” SW 
R2 = 31º 36’ 26” NE 
R3 = 6º 29’ 24” NW 
R4 = 54º 01’ 54” SE, aqui também verificamos que os valores estão diferentes do exemplo 
considerado e isto é também das aproximações observadas. 
 
4.4 Calculo do Azimute 
 
Os azimutes serão calculados em função dos Rumos determinados no item anterior, e para 
isso utilizaremos as expressões determinadas no item 2.3. Realizando os cálculos teremos: 
 
Az1 = 244º 07’ 22” 
Az2 = 31º 36’ 26” 
Az3 = 353º 30’ 36” 
Az4 = 125º 58’ 06”