Apostila Matematica Financeira Cap 1 e 2 Prof Marcos Alves

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Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha 
 
Aluno: _______________________ 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade 1 
 
 
 
Conceitos Fundamentais 
de Matemática Financeira 
 
 
 
 
Objetivos Específicos de Aprendizagem 
Ao finalizar esta Unidade, você deverá ser capaz de: 
 Identificar as variáveis envolvidas no estudo da Matemática 
 Financeira; 
 Conhecer a nomenclatura a ser utilizada na disciplina; 
 Conhecer a equação fundamental da Matemática 
Financeira; 
 Construir fluxos de caixa de operações financeiras; e 
 Conceituar taxa de juros. 
 
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Elementos Básicos 
 
Nossos Problemas 
 
• Português Financeiro: Leitura atenta e entendimento do enunciado dos problemas 
• Olho que não vê: A pessoa olha o numero 5.000 e lê o numero 5. 
• Memória que não lembra: A pessoa não consegue resolver um problema idêntico a outro que ela 
mesma resolveu minutos atrás. 
• Dedo torto: Digitação errada dos números na maquina. A pessoa quer digitar o numero 8 e digita o 
numero 9. Repete o problema e faz o mesmo erro. 
 
A Matemática Financeira é um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o 
decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em 
diversos pontos do tempo. Antes de iniciar o seu estudo, é necessário estabelecer uma linguagem própria 
para designar as variáveis que serão estudadas. Os elementos básicos do estudo desta disciplina serão 
inicialmente vistos por meio de uma situação prática para, na sequência, serem definidos. 
 
A Matemática Financeira reconhece que o dinheiro tem valor no tempo. É intuitivo entender que R$ 100,00 
em seu bolso hoje tenha mais valor do que R$ 100,00 que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. 
 
Situação prática 1.1 
 
Você necessita de $ 50.000,00 para atender a uma necessidade financeira. Um banco lhe propõe um 
empréstimo nesse valor que deverá ser pago após três meses; o banco depositará $ 50.000,00 em sua 
conta e você pagará a ele $60.000,00 ao final desse período. 
 
Essa situação permite a você, estudante, identificar os elementos básicos que serão estudados em 
Matemática Financeira. Nessa situação, você pode ver que: 
 
 existiu uma transação financeira entre o banco (agente credor) e o cliente (agente devedor) que 
será denominada de operação financeira; 
 essa operação financeira tem um valor inicial de $50.000,00 que será denominado de capital e um 
valor final de $ 60.000,00 que será denominado montante e teve uma duração de três meses; 
 há uma diferença entre o montante e o capital que será denominada juro da operação. Esse juro 
será um custo para você e uma remuneração para o banco; e 
 existe um agente que empresta o dinheiro que é denominado credor e existe um agente que toma 
o dinheiro emprestado que é denominado devedor. 
 
 
Leitura Complementar 
 
Oferta e demanda de recursos financeiros 
Não é difícil ao leitor entender que gastos e investimentos feitos pela sociedade devem ser financiados a 
partir de volume de recursos financeiros que são escassos; em outras palavras, não existe volume de 
recursos financeiros (dinheiro) suficiente para financiar todas as necessidades existentes. Os mercados 
financeiros, através das instituições que o compõem, fazem a intermediação da transferência de recursos 
econômicos dos agentes econômicos que os detêm para outros agentes econômicos que deles 
necessitam. Há um claro jogo de oferta e procura que acaba por atribuir um valor ao custo do dinheiro que, 
pelo menos teoricamente, deve ser tal que provoque um equilíbrio entre a oferta de recursos e a sua 
procura. Se a procura por recursos – mantida a oferta - se elevar, haverá uma elevação do custo do 
dinheiro o que tende a reduzir essa procura; de modo simétrico, se aumentar a oferta de recursos – 
mantida a demanda - haverá um diminuição do custo do dinheiro o que tenderá a provocar um aumento 
correspondente na procura por recursos. No modelo teórico, o custo do dinheiro é que estabelece o 
equilíbrio entre oferta e a procura de recursos financeiros. 
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Os agentes poupadores de recursos financeiros postergam seu consumo e/ou investimento ao se privarem 
do direito de despendê-los a qualquer tempo; isso corresponde a um sacrifício econômico que deve ser 
 
Oferta e Demanda de Recursos 
 
 
 
remunerado. Por outro lado, os tomadores de 
recursos financeiros são beneficiados com os 
recursos emprestados e estão dispostos a pagar 
um preço por esse benefício. O custo do dinheiro é 
a remuneração do sacrifício para o poupador ou o 
custo do benefício para o tomador. A figura 1.4 
permite entender o mecanismo teórico. 
O ponto em que as curvas de oferta e procura se 
cruzam é o ponto de equilíbrio (PE). No ponto PE a 
quantidade de recursos demandada e ofertada é M 
e o custo do dinheiro nesse ponto é ie. 
O aumento da procura por recursos se reflete no 
deslocamento da curva de procura para a direita e 
para cima; se a curva da oferta se mantém estável 
a quantidade demandada aumenta para M1 e a 
única maneira de se obter oferta equivalente é pelo 
aumento do custo do dinheiro que estimula mais 
agentes a fazerem um sacrifício e emprestar maior 
quantidade de recursos. Com o aumento da oferta 
até M1 tem-se estabelecido um novo patamar de 
equilíbrio em PE1, com custo do dinheiro em ie1 e 
quantidade de recursos procurada e ofertada M1. 
Deixa-se ao encargo do leitor fazer um exercício que espelhe o que acontece quando aumenta a oferta de 
recursos que se manifesta por um deslocamento da curva de oferta para a direita e para baixo. 
 
 
Conceitos Fundamentais 
Capital 
Capital (C) é o valor inicial de uma operação financeira expresso em unidades monetárias. Esse valor 
inicial pode ser: 
 numerário ou depósitos bancários disponíveis; 
 valor de um título de dívida no início de um processo financeiro; e 
 valor de ativos físicos (prédios, máquinas, veículos e outros) no início de um processo financeiro. 
 
Observe que na Situação prática 1.1, o capital corresponde ao valor de $ 50.000,00. 
 
Para que a caracterização de outras noções básicas importantes seja feita com clareza, o capital será 
visto como um ativo que pode ser cedido por um agente econômico a outro mediante condições 
previamente estabelecidas. 
 
Operação Financeira 
Operação financeira é o ato econômico pelo qual determinado agente possuidor de capital (C) – 
denominado credor – transfere esse capital (C) a outro agente econômico – denominado tomador – 
mediante condições previamente estabelecidas, que normalmente envolvem: 
 A remuneração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital (C); 
 Os prazos e as formas de devolução do capital (C) e da remuneração acordada; e 
 As garantias de pagamento que o tomador apresentará ao credor. 
 
Estaremos estudando apenas os dois primeiros itens, não abordaremos a questão das garantias. 
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A operação financeira é usualmente formalizada por meio de um documento que, genericamente, será 
denominado de título de crédito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Operação Financeira 
Fonte adaptada pelo autor 
 
Considere uma operação financeira em que o credor cede um capital (C) ao tomador por um tempo 
constituído de (n) períodos unitários ao fim do qual o tomador devolverá ao credor a soma do capital (C) e 
da remuneração acordada. Essa operação está sintetizada na Figura 1. A partir da configuração mostrada 
na Figura1, podemos definir alguns conceitos básicos desta disciplina 
 
 
Tempo 
O tempo é um dos fatores principais na matemática financeira, o capital é sempre ajustado em função 
deste. O período de tempo vem sempre acompanhado de uma unidade de medida. 
 
Exemplo: 1 ano 
4 trimestres 
12 meses 
 
Juros ou Juro 
Juro (J) é o valor da remuneração do capital (C) acordado entre o credor e o tomador em uma 
determinada operação financeira. Os juros têm como função, fazer com que o capital mantenha ao longo 
do tempo seu poder de compra. 
 
Exemplo: Se hoje eu compro um produto por R$ 100 reais, daqui à um ano eu consigo comprar este 
produto pelos mesmos R$ 100 reais, é lógico que não pois o valor das coisas muda com o decorrer do 
tempo, e para o dinheiro não perder seu poder de compra deve ser reajustado, e a forma de “reajuste” são 
os juros. 
 
Os juros normalmente são dados em percentuais acompanhados do período. 
Exemplo: 5 % a.m. = cinco por cento ao mês. 
60 % a.a. = Sessenta por cento ao ano. 
Dica: 
1) A unidade de medida do tempo deve ser sempre a mesma da unidade de medida da taxa de juros. 
2) Para se fazer os cálculos devemos usar os juros em linguagem decimal e nunca em percentual. 
5% = 5 = 0,05 
 100 
Tempo (períodos) 
C (PV) M (FV) 
J (juros) 
0 1 2 n-1 n 
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Montante 
 
Montante (M) é a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado na operação financeira e que é devido 
ao seu final. Essa definição mostra a você a seguinte relação: 
M = C + J 
Essa relação é denominada equação básica da Matemática Financeira. 
 
Valor Presente 
Valor presente (PV) é o valor de uma operação financeira na data presente. É um valor intermediário entre 
o montante (M) e o capital (C), conforme você pode ver na Figura 2. 
 
 
Figura 1. Operação Financeira 
Fonte adaptada pelo autor 
 
Observe que, para uma operação financeira iniciada hoje, o capital (C) e o valor presente (PV) coincidem; 
por essa razão, a expressão valor presente (PV) é, frequentemente, utilizada como sinônimo de capital 
(C), apesar da diferença conceitual existente. 
 
Valor Futuro 
Valor futuro (FV) é o valor de uma operação financeira em qualquer data compreendida entre a data atual 
e o vencimento da operação (Figura abaixo). De modo análogo ao valor presente (PV) e ao capital (C), 
também o valor futuro (FV) é, frequentemente, tomado como sinônimo de montante (M). 
 
Observe que, para uma operação financeira iniciada hoje, o capital (C) e o valor presente (PV) coincidem; 
por essa razão, a expressão valor presente (PV) é, frequentemente, utilizada como sinônimo de capital 
(C), apesar da diferença conceitual existente. 
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Valor Nominal 
Valor nominal (VN) é o valor de uma operação financeira constante do título de crédito que a documenta. 
Pode ser tanto o valor inicial, ou capital (C), quanto o valor final, ou montante (M), da operação. Alguns 
autores adotam a nomenclatura “valor de face” em vez de “valor nominal”. Frequentemente, valor nominal 
(VN), valor de futuro (FV) e montante (M) são tomados como sinônimos apesar das diferenças conceituais 
existentes. 
 
Fluxo de Caixa 
Os movimentos monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas 
de caixa definido como fluxo de caixa. 
O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, permitindo que se 
visualize no tempo o que ocorre com o capital 
 
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero 
indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). 
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de dinheiro, e as setas para 
baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro 
 
Você entrou numa loja para comprar uma geladeira. O vendedor lhe informa que o preço à vista da 
geladeira é $ 1.500,00. Informa também que o pagamento pode ser financiado em quatro parcelas iguais 
mensais de $ 400,00. 
 
Você faz a compra e opta pelo financiamento, de modo que terá quatro desembolsos mensais sucessivos 
de $ 400,00; esse é o seu “fluxo de caixa” dessa operação. A loja terá quatro entradas mensais de $ 
400,00, sendo esse o fluxo de caixa dela. Tanto para você como para a loja esse fluxo de caixa é 
equivalente a $ 1.500,00 na data 0. 
 
 
 
 
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Revisão de estudos 
 
Regra de Três Simples e Composta 
 
1. Grandezas 
 
É tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura 
entre outros. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre 
outros, são grandezas. 
 
1.1. Proporcionalidade entre Grandezas 
As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. 
 
1.1.1. Grandezas diretamente proporcionais 
O aumento de uma implica no aumento da outra. A redução de uma implica na redução da outra. 
 
Exemplo 1: 
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número 
de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela: 
 
 
1.1.2. Grandezas inversamente proporcionais 
O aumento de uma implica na redução da outra. A redução de uma implica no aumento da outra 
 
Exemplo 2: 
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 
alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 
6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. 
 
Número de alunos 
escolhidos. 
Números de livros 
para cada aluno 
2 12 
4 6 
6 4 
 
Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de 
livros cai para a terça parte. 
 
2. Regra de Três 
 
Regra de Três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais 
grandezas. As grandezas podem ser diretas ou grandezas inversamente proporcionais. A Regra de Três pode ser 
simples ou composta: 
Simples: envolve somente duas grandezas. 
Composta: envolve mais de duas grandezas. 
 
2.1. Regra de três simples 
 
Exemplos (Grandezas diretamente proporcionais): 
 
1) Se 3 garrafinhas de água mineral custa R$ 4,50. Quanto custa 7 garrafinhas? 
 
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Resolução: 
GarrafaValor
3__________ 4,50 
7__________ x 
 
As grandezas são diretamente proporcionais, aumentando a quantidade de garrafas aumenta na mesma proporção o 
preço a ser pago. 
 
 
Assim 7 garrafas custam 10,50. 
 
2) Um automóvel gasta 31L de gasolina para percorrer 325 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 
600km? 
 
Resolução: 
GasolinaDistância
31L___________325Km 
 x ___________ 600Km 
 
As grandezas são diretamente proporcionais. Aumentando a quantidade de gasolina, podemos percorrer uma 
distância maior. 
 
 
Logo, para percorrer 600 Km serão gastos 57,23L de gasolina. 
 
3) Uma torneira despeja 30 litros de água em 6 minutos. Para encher um tanque de 1 000 litros, essa torneira levará 
quanto tempo? 
 
Resolução: 
Água (l) Tempo
 30 _____________ 6 min 
1000 _____________ x 
 
As grandezas são diretamente proporcionais. 
 
 
 
Assim, para encher o reservatório gastará 200 minutos. Mas, 200 minutos corresponde a 3h20min. 
 
4) Se um relógio adianta 18 min por dia, quanto terá adiantado ao longo de 4h40min? 
 
Resolução: 
 
 
 
Em 4h40min o relógio adiantará 3,5min ou 3 min e 30s. 
AdiantaTempo
18 min ______ 1 dia 
 x ______ 4h40min 
 AdiantaTempo
18 min ______ 1440 min 
 x _______ 280 min 
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Exemplos (Grandezas inversamente proporcionais): 
 
1) Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80 km/h, em 
quantas horas seria feito o mesmo percurso? 
 
Resolução: 
Velocidade(Km/h) Tempo
60 _____________ 4 
80 _____________ x 
 
As grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa. 
 
 
O tempo a ser gasto é 3 horas. 
 
2) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, construiu uma casa em 20 dias. Se o número de horas de 
serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 
 
Resolução: 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 ___________________ 20 
5 ___________________ x 
 
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para o término aumenta. As grandezas são 
inversamente proporcionais. 
 
 
O prazo para término da obra é de 32 dias. 
 
Exercícios de regra de três simples: 
 
1) Com 10 kg de soja pode fabricar 7 kg de farelo de soja. Quantos quilogramas de soja são necessários para 
fabricar 28 kg de farelo? R: 40 kg 
2) Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de quirela. Quantas sacas de 60 kg de quirela podemos obter com 1200 kg 
de milho? R: 14sacas 
3) Sete litros de leite dão 1,5 kg de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 kg de 
manteiga? R: 42 L 
4) Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem 
colocadas apenas 30 linhas em cada página? R: 320 páginas 
5) Um criador de coelhos verificou que seus coelhos consomem 80kg de ração em um período de 3 dias. Dispondo 
de um estoque de 360kg de ração, nas condições acima espera-se que o estoque dure? 13,5 dias 
6) Andando a velocidade média de 60 km/h uma pessoa leva 2 horas para chegar a seu destino, caso ela resolva 
aumentar sua velocidade média para 80 km/h, em quanto tempo espera-se que ela demore para chegar ao seu 
destino? R: 1,5h 
7) Um trabalhador A leva 12 horas para executar um determinado serviço, um outro trabalhador B é 50% mais 
eficiente que A, espera-se que ele execute o mesmo serviço em? R: 8h 
8) Um operário recebe R$836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias. R. 1.463.00 
9) E um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há viveres para 45 dias. Quanto tempo durarão os viveres se 
o navio receber mais 100 marinheiros. R. 40 dias 
10) Se 1 cl (centilitro) de álcool pesa 8g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool. R. 40 l. 
 
 
 
 
 
 
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2.2. Regra de três composta 
 
 Coluna do x no final 
 Comparar todas as colunas com a coluna do x. 
 Direta (D), Inversa (I). 
 Inverter as colunas (I). 
 
Exemplos: 
 
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2 420 kg de ração. Se mais 02 bois são comprados, 
quantos quilogramas de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias? 
 
Resolução: 
 
(D) (D) 
BoisDias Ração
2 __________ 8 ___________ 2.420 
4 __________12 ___________ x 
 
2 8 2.420 
4 12 x 
 
2 2.420 
6 x 
 
2x = 2420 x 6 
2x = 14520 
X = 14520 x = 7.260 
 2 
 
 
 
Assim, serão necessários 7 260 kg de ração. 
 
2) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de milho. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para 
descarregar 125m3? 
 
Resolução: 
(I) (D) 
Horas Milho Caminhões
8 ___________ 160 m3 ______________ 20 
5 ____________125 m3 ______________ x 
 
Diminuindo o número de horas de trabalho, temos que aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é 
inversamente proporcional. Diminuindo o volume de milho, devemos diminuir o número de caminhões. Portanto a 
relação é diretamente proporcional. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões 
de acordo com o sentido das setas. 
 
5 160 20 
8 125 x 
 
20 20 
25 x 
 
20x = 20 x 25 
20x = 500 
X = 500 x = 25 
 20 
 
 
Será preciso de 25 caminhões. 
 
3) Em 06 dias de trabalho, 12 funcionários fazem 960 bolsas. Em quantos dias 4 funcionários poderão fazer 320 
bolsas? 
Resolução: 
TempoFuncionáriosBolsas
6 _________________ 12 _______________ 960 
x __________________ 4 ________________320 
 
 
4) Em 18 dias, 12 homens trabalhando 8 horas por dia, fabricam 9 plantadeiras. Em quantos dias, 8 homens, 
trabalhando 6 horas por dia fabricariam 15 plantadeiras? 
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Resolução: 
 
DiasHomensHoras por diaPlantadeiras
18 _________ 12 _________________ 8 ______________ 9 
x ___________8 _________________ 6 _______________15 
 
A grandeza homens é inversamente proporcional a grandeza dias, porque menos homens necessitarão de mais dias. 
A grandeza horas por dia é inversamente proporcional a grandeza dias porque trabalhando menos horas por dia, 
serão necessários mais dias. 
A grandeza plantadeiras é diretamente proporcional a grandeza dias porque para fabricar mais máquinas, são 
necessários mais dias. 
 
 
 
Exercícios de regra de três composta: 
 
1) Um caminhão percorre 1 116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 
em 10 dias, correndo 14 horas por dia? R: 2 170 km 
2) Certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12 000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por 
dia essa máquina deveria funcionar para fabricar 20 000 pregos em 20 dias? R: 2 horas 
3) Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 
200 km, pedalando 4 horas por dia? R: 4 dias 
4) Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de tecido de 80 cm de largura. Quantos quilogramas 
serão precisos para produzir 350 m de tecido com 1,2 m de largura? R: 150 kg 
5) Em 30 dias, uma frota de 25 taxis consome 100 000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota 
de 36 taxis consumiria 240 000 de combustível? R: 50 dias 
6) Sabendo que 10 máquinas produzem 300 peças funcionando 8 horas por dia em 18 dias. Determine 
em quantos dias serão produzidas 1.200 peças se o regime de trabalho for aumentado para 12 horas 
por dia e o número de máquinas aumentar para 15. R: 32 dias 
7) Sabendo que 10 trabalhadores realizaram 1/3 de determinado serviço em um período de 9 dias e qe 
após isso foram contratados mais 5 trabalhadores, determine o número de dias que espera-se que o 
restante do serviço seja concluído. R: 12 dias 
8) Um folheto enviado pela Saneago informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 
dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve 
pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados. R: 
250 litros 
9) Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 
pares de bota. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de bota por dia, com 10 
horas de trabalho diário? R: 32 operários 
10) Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a 
mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas? R: 15 dias 
11) Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 
dias. Em quantos dias esse mesmo número deoperários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de 
comprimento? R: 16 dias 
12) Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo 
percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele 
faria o mesmo percurso? R: 4 dias 
13) O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será 
o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia? R: 7 kw 
14) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias? R: 24 ovos 
15) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos? R: 5 min 
16) Com 16 máquinas de costura confeccionaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas 
serão necessárias para confeccionar 2 160 uniformes em 24 dias? R: 12 máquinas 
 
 
 
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Porcentagem 
 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou 
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 Exemplos: 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 14 
 
 Calcular 10% de 300. 
 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
 EXERCÍCIOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em 
gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa 
percentual de lucro obtida? 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em 
relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor 
apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, 
multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 15 
 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
Exercícios de Porcentagem 
a) A quantia de R$ 1.143,00 representa qual porcentagem de R$ 2.540,00? 
 
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 
 
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam 
Matemática nessa escola? 
 
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 
102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 
 
Calcule as porcentagens correspondentes: 
e) 2% de 700 laranjas 
f) 40% de 48 m 
g) 38% de 200 Kg 
h) 6% de 50 telhas 
i) 37,6% de 200 
j) 22,5% de 60 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 16 
 
 
 
 
 
Unidade 2 
 
 
 
Capitalização e Juros 
Simples 
 
 
Algumas operações bancárias são realizadas com a utilização da 
capitalização simples, como o desconto bancário de duplicatas e 
outros títulos, cálculo de juros de cheque especial etc. 
 
O objetivo deste capítulo é apresentar o cálculo de juros 
simples por meio de fórmulas de juros e montante. 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 17 
 
Critérios de capitalização dos juros 
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente 
incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nesta conceituação podem ser identificados dois regimes 
de capitalização de juros: 
• Simples (ou linear) 
• Composto (ou exponencial) 
 
Regime de Capitalização Simples 
• Comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do 
tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou 
empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados. 
Exemplo: Admita um empréstimo de $1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao 
ano. O quadro a seguir ilustra a evolução desta operação ao período, indicando os vários resultados. 
Ano Saldo no início 
de cada Ano ($) 
Juros apurados para cada a 
Ano ($) 
Saldo devedor ao 
final de cada Ano ($) 
Crescimento mensal 
do saldo devedor ($) 
Início do 1º Ano - - 1.000,00 - 
Fim do 1º Ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00 
Fim do 2º Ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00 
Fim do 3º Ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00 
Fim do 4º Ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00 
Fim do 5º Ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00 
 
Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado nos outros meses corresponde ao saldo do 
mês anterior. 
 
Juros mensais – No caso de juros simples os juros são aplicados sempre sobre o capital. 
 
Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros mensais. 
 
Pela Tabela podemos perceber que os juros só incidem sobre o capital e não sobre os juros ou o saldo do final do 
mês anterior; sendo assim, no final dos 5 meses foram pagos R$ 500,00 de juros ( R$ 100,00 por mês vezes os 5 
meses) e o saldo final (montante) foi de R$ 1.500,00 (R$ 1.000,00 do capital mais R$ 500,00 de juros. 
 
J = J1 + J2 + J3 + J4 + J5 
 
Observe ainda que: 
 
J1 = J2 = J3 = J4 = J5 = C*i logo, 
J = C*i + C*i + C*i + C*i + C*i 
 
cinco períodos 
 
Essa expressão fatorada leva a: 
J = (C * i) * 5 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 18 
 
Substituindo os valores dados no enunciado, segue: 
 J = 1.000,00*0,1*5 = $ 500,00 
Pode-se então concluir que o valor dos juros é igual ao capital multiplicado pela taxa e multiplicado pelo numero de 
meses, ou seja: 
J = C.i.n 
Observe que o multiplicador do fator C*i é o número cinco, que corresponde ao número de períodos da operação ou 
de incidência de juro; essa simples constatação permite uma generalização(utilizando o método da indução finita 
para n períodos de incidência, bastando substituir o número cinco por n na expressão mostrada anteriormente). 
Temos como resultante a fórmula geral de juros em regime de juros simples e as fórmulas derivadas que mostramos 
a seguir: 
J = C.i.n C = 
J 
i = 
J 
n = 
J 
i * n c * n c * i 
 
E que o saldo no final do período (montante) é igual ao capital inicial mais os juros. 
M = C + J 
Como J = C.i.n 
M = C + C.i.n 
M = 1.C + C.i.n 
M = C . (1) + C . (i.n) 
M = C . (1+ i.n) 
 
Comportamento dos juros simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 19 
 
 1. Cálculo do Capital 
 
Fórmula de juros simples J = VP . i . n 
 
Um empréstimo foi concedido pelo prazo de 6 meses à taxa de 2% ao mês e o devedor deverá resgatar ao credor, 
no final desse prazo, a importância inicial e mais R$ 1.000,00 de juros. Qual foi o valor do empréstimo? 
 
Dados: 
n = 6 meses 
i = 2% ao mês 
J = R$ 1.000,00 
 
Solução: 
 
C = 
J 
i * n 
 
C = 
1.000 
0,02 * 6 
 
C = 
1.000 
0,12 
 
 C = 8.333,33 
Ou 
J = VP . i . n 
1.000,00 = VP . 0,02 . 6 
1.000,00 = VP . 0,12 
VP = 1.000,00 
 0,12 
VP = 8.333,33 
 
 
O valor do empréstimo é de R$ 8.333,33. 
 
2. Cálculo da taxa de juros 
 
Calcular a taxa mensal de juros simples para 20 dias de aplicação de um capital de R$ 20.000 que rendeu, nesse 
período, R$ 200,00 de juros. 
Dados: 
n = 20 dias 
VP = R$ 20.000 
J = 200 
i = ? 
 
Solução: 
 
i = 
J 
C * n 
 
i = 
200 
20.000 * 20 
 
i = 
200 
400.000 
 
 I = 0,0005 ou i = 0,05% 
Ou 
 
J = VP . i . n 
200 = 20.000 . i . 20 
200 = 400.000 . i 
i = 200 / 400.000 = 0,0005 ou 
0,05% ao dia 
 
 
Taxa referente aos 20 dias = 0,05% dia x 20 = 1% 
Taxa mensal = 0,05 x 30 = 1,5% ao mês 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 20 
 
3. Cálculo do período (tempo) de aplicação ou financiamento 
 
Calcular o período de uma aplicação de R$ 3.000,00, à taxa de 2% ao mês, que gera um juros de R$240,00. 
Dados: 
C = R$ 3.000 
n = ? 
i = 2,% ao mês = 0,02 
M = R$ 3.240,00 
Solução: 
 
n = 
J 
C * i 
 
n = 
240 
3.000 * 0,02 
 
n = 
240 
60 
 
 n = 4 meses 
ou 
J = VP . i . n 
240 = 3.000 . 0,02 . n 
240 = 60 . n 
n = 240 / 60 
n = 4 meses 
ou 
 
M = C . (1 + i . n) 
3.240 = 3.000 . (1+ 0,02 . n) 
3.240 = 1 + 0,02.n 
3.000 
1,08 = 1 + 0,02.n 
1,08 – 1 = 0,02.n 
0,06 = 0,02.n 
0,02.n = 0,08 
n = 0,08 / 0,02 
n = 4 meses 
 
 
4. Cálculo do Montante ou Valor Futuro 
 
Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de 2,1% ao mês. 
Dados: 
C = R$ 3.000 
n = 12 meses 
i = 2,1% ao mês 
M = ? 
Solução: 
 
J = C . i . n 
J = 3.000 . 0,021 . 12 
J = 126 
M = C + J 
M = 3.000 + 126 
M = 3.126 
Se M = C + J e J = C . i . n 
Podemos substituir o J, na primeira equação, por C . i . n. 
M = C + C . i . n. Colocando C em evidência, temos 
M = C. (1 + i . n). Assim, poderíamos calcular o montante com esta fórmula: 
M = 3.000 . (1 + 0,021 . 12) 
M = 3.000 . (1 + 0,042) 
M = 3.000 . 1,042 = R$ 3.126 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 21 
 
Exercícios 
 
1) Você financiou a compra de um eletrodoméstico, cujo valor à vista é $ 2.500,00, em quatro prestações mensais, 
sucessivas, iguais, no valor de $ 650,00 cada uma, vencendo a primeira em 30 dias da data da compra. Construa 
o seu fluxo de caixa dessa operação. 
2) Um banco concedeu um empréstimo no valor de $ 2.000,00 por 60 dias a um cliente. Ao final desse prazo, o 
cliente deverá devolver ao banco o total de $ 2.250,00. 
a) Identifique o capital (C), o montante (M) e o juro (J) devidos. 
b) Construa o fluxo de caixa da operação, observando as convenções dadas. 
3) Uma loja vende um eletrodoméstico nas seguintes condições: uma entrada de $ 200,00 e mais dois pagamentos 
em 30 e em 60 dias no valor de $ 250,00 cada. Construa o fluxo de caixa dessa operação para o comprador e 
para a loja. Compare os dois fluxos de caixa. 
4) Um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 7 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Calcule os 
juros e o montante desta aplicação. 
5) Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 800,00 durante 2 anos a uma taxa de juros simples de 
6% ao mês. 
6) Qual o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir de uma aplicação de 
um principal de R$ 1.000,00, com uma taxa de 2% ao semestre (juros simples). 
7) Determinar que valor que deve ser aplicado a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano para produzir R$ 
100.000,00 em 15 meses. 
8) Determine qual o tempo que um capital de R$ 800,00 deve ser aplicado para resultar em um montante de 
R$ 1.520,00, a uma taxa de juros simples de 9% ao mês. 
9) Qual o tempo que devo aplicar um capital para ele triplicar de valor, com uma capitalização simples de 2% 
ao mês. 
10) Uma pessoa aplicou em um banco o capital de R$ 1.200,00 por um ano e resgatou R$ 1.776,00, qual a taxa 
da aplicação (juros simples). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 22 
 
Taxas de Juros Efetivas, Proporcionais e Equivalentes 
 
A noção de proporcionalidade e equivalência de taxas de juros é muito importante em Matemática 
Financeira. 
Taxas Efetivas 
Segundo o dicionário efetiva significa real, verdadeira, que produz efeito. Isto quer dizer que para efeitos 
de cálculo utilizamos a taxa efetiva, a taxa nominal não é utilizada para estes fins. 
É a taxa onde a sua unidade de medida coincide com a unidade de medida do tempo (período de 
capitalização). 
São exemplos de taxa efetiva: 
 
 2% ao mês, com capitalização mensal. 
 24% ao ano, com capitalização anual. 
 
Normalmente costuma-se dizer apenas, 2% a.m. ou 24% a.a., ou seja, a taxa efetiva é a que se usa na 
calculadora, no momento de se fazer as contas. 
 
Taxas Proporcionais 
 
Duas taxas de juros i1 e i2 relativas aos períodos n1 e n2 serão proporcionais quando observarem a 
relação de proporcionalidade e os tempos n1 e n2 estiverem expressos na mesma unidade: 
 
Pode-se dizer que duas taxas são proporcionais se a razão entre elas for igual a razão entre seus 
períodos. 
 
( i1 / i2 ) = ( n1 / n2 ) 
 
Exemplo: Converta a taxa de juros 24% ao semestre a uma taxa de juros mensal 
 
24 
= 
x 
ou 6x = 24 X = 4% am 
6 1 
 
Há uma maneira mais imediata para você tratar taxas proporcionais: tome um tempo (n) para o qual está 
definida uma taxa de juros (in) e subdivida-o em períodos (k); qual a taxa de juros proporcional a in para 
esse período (k)? 
A taxa de juros proporcional do período (k) pode ser determinada dividindo-se a in pelo número de 
períodos (k) contidos em n: 
 
ik = in * 
1 
k 
 
 
Exemplo 
 
Converta a taxa de juros de 18% a.a em taxa de juros mensal por proporcionalidade. 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 23 
 
 
Solução 
 
Aplique a condição de proporcionalidade observando que o tempo deve estar expresso nas mesmas 
unidades (no caso, um mês e 12 meses). 
Situação 1 i1 = x% am n1 = 1 mês 
Situação 2 i2 = 18% a.a n2 = 1 ano = 12 meses 
Aplicando a fórmula da proporcionalidade temos: 
 
x 
= 
1 
ou 12x = 18 X = 1,5% am 
18 12 
 
Ou seja: 1,5% a.m é a taxa mensal proporcional a 18% a.a. 
 
Para a segunda situação: lembre-se de que o ano tem 12 meses, portanto, n = 12, e 
 
ik = in * 
1 
ik = in * 
1ik = 18% * 
1 
= 1,5% A.M 
k 12 12 
 
 
Taxas Equivalentes 
 
Duas taxas i1 e i2 são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo 
tempo, gerarem o mesmo montante. 
 
Exemplo 
 
Verifique se 1,5% a.m e 18% a.a são taxas equivalentes. Tome como referência um capital de $ 1.000,00. 
 
Solução 
 
Aplicando as fórmulas temos: 
 
a) O montante gerado por um capital de $ 1.000,00 em 12 meses a 1,5% am será: 
C = $ 1.000,00 i1 = 1,5% am n1 = 12 meses 
M1 = C*(1+i*n) =1.000,00*(1 + 0,015*12) = $ 1.180,00 
 
b) O montante gerado por um capital de $ 1.000,00 em um ano a 18% a.a será: 
C = $ 1.000,00 i2 = 18% aa n2 = 1 ano 
M2 = C*(1+i*n) =1.000,00*(1 + 0,18*1) = $ 1.180,00 
 
Os montantes M1 e M2 gerados nas duas situações propostas são iguais, o que mostra que as taxas de 
juros de 1,5% a.m e de 18% a.a são taxas equivalentes em regime de juros simples. Combinando os 
resultados dos Exemplos, podemos concluir que em regime de juros simples, as taxas de juros 
proporcionais são também taxas de juros equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 24 
 
Exercícios de Fixação: 
 
1) Calcule as taxas mensais, bimensais e trimestrais proporcionais à taxa de 30% a.s. 
2) Determine a taxa mensal proporcional a 16,8% ao ano. 
3) Determine a taxa anual proporcional a 2,2% ao mês. 
4) Quais as taxas bimestrais e trimestrais proporcionais a taxa de 4% ao semestre? 
5) Gilberto aplicou R$ 1.000,00 durante seis meses a uma taxa de 8% ao ano; qual o valor irá resgatar. 
6) Determine o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado por: 
a) 4 meses a 2% a.m. 
b) 8 meses a 6% a.a. 
c) 85 dias a 2,5% a.m. 
7) O montante de uma dada aplicação é $ 12.000,00. Sabe-se que o prazo da operação foi de quatro 
meses e que o juro gerado foi de $1.500,00. Determine: 
a) O capital aplicado. 
b) A taxa de juros mensal da aplicação. 
8) Determine o prazo em que um certo capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% am. Em 
quanto tempo esse capital triplicaria? 
9) O valor nominal de um título é 7/5 do seu valor atual. Sendo o prazo de aplicação de seis meses, qual 
a taxa de juros mensal aplicada? 
10) Por quanto tempo um capital deve ser aplicado a 30% a.a para que os juros gerados correspondam a 
2,5 vezes o valor do capital? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 25 
 
DESCONTOS EM REGIME DE JUROS SIMPLES 
Desconto, como diz o próprio nome é um abatimento, uma redução que uma pessoa ganha ao pagar um 
contrato de compra ou um empréstimo, antes do vencimento estipulado. 
As operações de desconto são feitas com os títulos de crédito usados nos meios comerciais e bancários, 
como os cheques, notas promissórias, duplicatas e as letras de câmbio. 
Assim, Desconto é a diferença entre o valor nominal do título e o valor pago por ele numa certa data 
(anterior à data do vencimento). É uma operação financeira criada para atender a detentores de títulos de 
crédito, como nota promissória e duplicata mercantil e de serviços, que necessitam transformá-los em 
dinheiro antes da data do vencimento; nesse caso, o detentor poderá negociar com um agente financeiro 
que lhe antecipará um valor inferior ao valor nominal. 
 
 
Da definição de desconto e da Figura 8 podemos ver com clareza que: 
D = FV – PV 
Em que: 
 D  é o desconto; 
 FV (VN)  é o valor nominal do título (no vencimento); e 
 PV  é o valor atual do título (pago pelo Agente Financeiro). 
Exemplo 1: 
Considere que Jordana que pagar uma duplicata que vai vencer no “mês que vem (tempo 1) no valor de 
R$110,00, o credor negocia e propõem um desconto para recebimento hoje (tempo 0), Jordana aceita o 
desconto e quita a duplicata pagando o valor de R$100,00. 
 
A Figura 1 mostra como funciona o dinheiro no tempo, se eu tiver um capital de R$ 100,00 (hoje – Tempo 
0) e aplicar por um mês (Tempo 1) receberei um montante de R$ 110,00, ou seja R$ 10,00 de juros. No 
entanto se tiver que pagar uma duplicata que vai vencer no “mês que vem” (Tempo 1) no valor de R$ 
110,00 e quiser antecipar este pagamento em um mês, pagando hoje (Tempo 0), irei pagar o valor de R$ 
100,00, ou seja, irei obter um desconto de R$ 10,00. 
 
VN = FV = $ 110,00 
valor pago por Jordana pela duplicata = PV = $ 100,00 
desconto: D = FV – PV = 110,00 – 100,00 = $ 10,00 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 26 
 
 
Figura 1: Valor do dinheiro no tempo 
 
Exemplo 2: 
Considere um título de dívida com as seguintes características: data de emissão: 30/03/X0; data de 
vencimento: 30/03/X1; favorecido: Gabriel dias; emitente: Lucas Soares; e valor nominal no vencimento: $ 
10.000,00. Em 30/07/X0, Gabriel vai a um banco e propõe o desconto desse título. O banco aceita a 
operação e lhe paga a quantia de $ 8.000,00 pelo título naquela data. 
 
VN = FV = $ 10.000,00 
valor creditado para Cícero = PV = $ 8.000,00 
desconto: D = FV – PV = 10.000,00 – 8.000,00 = $ 2.000,00 
 
Fazendo a análise: o banco despendeu $ 8.000,00 em 30/07/X0 a favor de Gabriel e receberá $10.000,00 
de Lucas em 30/03/X1, percebendo, portanto, $ 2.000,00 pela prestação do serviço. Observe que na 
solução desse exemplo o valor inicial à vista que originou o título de dívida (o capital) não foi levado em 
conta, o que é comum em finanças. 
 
Chama-se Desconto Simples por ser calculado dentro do regime de capitalização simples. Para o estudo 
da matemática financeira iremos estudar o desconto simples de duas maneiras: 
 
1) Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora 
2) Desconto Racional ou por dentro 
 
A nomenclatura utilizada é: 
 
PV – Valor de Resgate (ou valor presente, pois ocorre antes de FV) 
FV – Valor de Face ou Valor Nominal 
i - Taxa de Desconto (taxa de juros e deve ser expressa com uma determinada periodicidade. 
n – Período de antecipação 
Db – Desconto Bancário ou Dc Desconto Comercial 
Dr – Desconto Racional 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 27 
 
Desconto Simples Racional 
 
Desconto racional é o valor do juro gerado no tempo (n), com taxa de juros (i), calculado sobre o PV. 
 
 
Desconto Racional sobre o regime de juros simples. 
 
Também chamado de Desconto “Por Dentro”, pois a taxa de desconto e aplicada sobre o valor de resgate. 
É aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido, isto é, sobre o valor 
atual. 
 
Da definição de desconto racional, temos: 
Dr = PV * ir * n 
Combinando essa equação e a equação do juros simples representativa do conceito de desconto, 
chegamos a: 
FV = PV * (1 + ir * n) 
 
PV = ffFVff 
 (1+i*n) 
 
As expressões combinadas resultam em: 
Dr = FV * ir*n 
 (1+ir*n) 
 
Se você observar cuidadosamente essas fórmulas, verá que o desconto racional corresponde ao juro 
simples (J) da operação proposta; em outras palavras, o desconto racional se vale de todas as fórmulas 
vistas para juros simples por operar nesse regime. 
 
Imagine a seguinte situação: 
 
Uma loja compra um produto por R$ 100,00 e vende com um lucro de 50%, ou seja: por R$ 150,00. O 
dono da loja resolve pegar este produto para ele e sabe que o preço de venda é de R$ 150,00 e que o 
lucro é de 50%, então ele pega o Preço de R$ 150,00 e desconta os 50% (do lucro) e paga R$ 75,00 pelo 
produto. 
 
 
Esta conta está certa? 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 28 
 
Apesar de aplicar a mesma taxa (50%) nos deparamos na seguinte situação: 
R$ 75,00(Valor pago) - R$ 100,00(Preço de compra) = - R$ 25,00, ou seja, a loja teve prejuízo. 
 
O desconto é o mesmo, mas o valor não, em um está aplicando o desconto sobre R$ 100,00 e no outro 
estou aplicando sobre R$ 150,00. 
 
No desconto racional a taxa de descontoque é dada, é sobre o capital e não sobre o montante. 
 
Então o desconto seria igual aos juros, aplicado sobre o capital. 
 
J = C.i.n então D = C.i.n 
 
Se analisarmos o problema anterior podemos constatar que o preço de custo é de R$ 100,00, e que o 
preço de venda é de R$ 150,00, ou seja, o desconto máximo que se pode dar para não ter prejuízo é de 
R$ 50,00. 
R$ 150,00 (preço de venda) – R$100,00 (Preço de compra) = R$ 50,00 
O preço de venda neste caso equivale ao montante, o custo seria o capital e o lucro seria o desconto. 
Sendo assim podemos concluir que: 
 
 
 
 
 
Fórmulas para desconto racional 
 
 
 
Os problemas envolvendo desconto racional podem ser catalogados em três tipos, como mostramos a 
seguir: 
 
Tipo 1 
Conhecidos FV, i e n, calcular Dr. 
 
Um banco operou o desconto racional de um título no valor nominal de $ 3.000,00 com vencimento para 
90 dias e aplicou uma taxa de juros de 3% am. Qual o valor do desconto e qual o valor recebido pelo 
detentor do título? 
 
Sumário de dados: FV = $ 3.000,00, n = 3 meses, i = 3% am 
Dr = VF.i.n 
 (1+i.n) 
 Dr = 
150 x 0,5 x 1 
(1 + 0,5 x 1) 
 
 
 
Dr = 
75.000 
1,5 
 
 
 
 
 
Dr = 50.000 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 29 
 
 
Solução 
É o caso mais típico de desconto de títulos. A taxa de juros está expressa em base mensal, por isso o 
prazo também será expresso nessa base e n = 3 meses. 
 
a) Aplique a fórmula 
 
 
 
b) O portador do título receberá: 
PV = FV – Dr = 3.000,00 – 247,70 
PV = $ 2.752,30 
 
Tipo 2 
Conhecidos Dr, i e n, calcular FV. 
 
O problema é análogo ao anterior e se resolve com a utilização da mesma fórmula anterior, só que 
devidamente reordenada: 
 
 
Exemplo: 
 
Uma operação de desconto de um título que vence daqui a 90 dias produziu um desconto de $ 247,70. 
Sabendo-se que o banco opera em desconto racional simples e com juros de 3% am, qual o valor nominal 
e o valor presente desse título. 
Sumário de dados: FV = ?, Dr = $ 247,70, n = 3 meses, i = 3% am 
 
Solução 
A taxa de juros está expressa em base mensal, por isso o prazo também será expresso nessa base e n = 
3 meses. 
 
a) Aplique a fórmula: 
 
 
 
b) O portador do título receberá: 
PV = FV – Dr = 3.000,00 – 247,77 
PV = $ 2.752,23 
 
Tipo 3 
Conhecidos FV ou PV, Dr e i, calcular n. 
 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 30 
 
 
Na operação de desconto mencionada considere conhecidos: 
o valor nominal de $ 3.000,00; o valor do desconto de $ 247,70; e a taxa de juros de 3% am. Qual o prazo 
de antecipação do título? 
Sumário de dados: FV = $ 3.000,00, Dr = $ 247,70, n = ?, i = 3% am 
 
A taxa de juros e o prazo foram compatibilizados para meses. 
 
a) Inicialmente calcule PV 
 
 
 
Desconto Comercial (Desconto Bancário, ou Por Fora) 
 
Desconto comercial é o valor dos juros gerados no tempo (n), com taxa de desconto (i), calculado sobre o 
valor nominal (FV) do título. 
 
 
 
Db = FV.i.n 
Db = FV – PV 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 31 
 
 
 
Definido dessa maneira, o desconto comercial não segue o modelo puro do regime de capitalização 
simples, sendo, na verdade, uma corruptela dele. A taxa de desconto aplicada à FV descaracteriza o 
regime de juros simples. 
 
Os problemas mais comuns envolvendo Dc podem ser catalogados em três tipos, como mostramos a 
seguir: 
 
Tipo 1 
 
Conhecidos FV, ic e n, calcular Dc. 
Esse tipo de problema é resolvido pela fórmula : Dc = FV * i * n 
 
Exemplo 
 
Um banco operou o desconto comercial de um título com valor nominal de $ 3.000,00 e vencimento para 
90 dias e aplicou uma taxa de juros de 3% am. Qual o valor do desconto e qual o valor recebido pelo 
detentor do título? 
 
Sumário de dados: FV = $ 3.000,00, n = 3 meses, i = 3% am, Dc = ? 
 
Solução 
a taxa de juros está expressa em base mensal, por isso o prazo também será expresso nessa base e n = 3 
meses. 
 
a) Aplique a fórmula: 
 
Dc = FV * i * n 
Dc = 3.000,00 * 0,03 * 3 = $ 270,00 
 
b) O portador do título receberá: 
PV = FV – Dc = 3.000,00 – 270,00 = $ 2.730,00 
 
Tipo 2 
 
Conhecidos Dc, i e n, calcular FV. 
 
Esse problema é resolvido pela mesma fórmula anterior, só que agora devidamente reordenada: 
 
 
Exemplo 
 
Uma operação de desconto de um título que vencerá daqui a 90 dias produziu um desconto de $ 270,00. 
Sabendo-se que o banco opera em desconto comercial simples e com juros de 3% am, qual o valor 
nominal e o valor presente desse título? 
Sumário de dados: FV = ?, Dc = $ 270,00, n = 3 meses, i = 3% am 
 
Professor: Marcos Alves da Rocha Página 32 
 
a taxa de juros está expressa em base mensal, por isso o prazo também será expresso nessa base e n = 3 
meses. 
 
a) Aplique a fórmula: 
 
 
 
b) O portador do título receberá: 
PV = FV – Dc = 3.000,00 – 270,00 = $ 2.730,00 
 
Tipo 3 
Conhecidos FV ou PV, Dr e i, calcular n. 
O problema é resolvido com o auxílio da fórmula básica de desconto 
FV = PV + Dc 
PV = FV * (1 – i * n) 
 
Exemplo 
 
Na operação de desconto mencionada anteriormente, considere conhecidos: o valor nominal de $ 
3.000,00; o valor do desconto comercial de $ 270,00; e a taxa de juros de 3% am. Qual o prazo de 
antecipação do título? 
Sumário de dados: FV = $ 3.000,00, Dc = $ 270,00, n = ?, i = 3% am 
 
Solução 
a taxa de juros está expressa em base mensal, por isso o prazo (n) também será expresso em meses. 
 
a) Você pode calcular PV com a fórmula básica de descontos e a seguir aplicar a fórmula: 
FV = PV + Dc 
3.000,00 = PV + 270,00 
PV = 3.000,00 – 270,00 = $ 2.730,00 
PV = FV * (1 – i * n) 
 
Substituindo os valores, você tem: 
2.730,00 = 3.000,00 * (1 – 0,03 * n) e n = 3,0000 meses 
 
Exercícios 
 
1. Qual o valor do desconto de um título de $22.500 descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma 
taxa de desconto simples racional de 2,8% ao mês? 
2. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes do seu vencimento por $1.280,00 sabendo 
que a taxa de desconto simples racional utilizada foi de 3,2% ao mês? 
3. Um título de $ 10.000,00 foi resgatado 45 dias antes do seu vencimento por $9.550,00. Calcular a taxa 
de desconto simples racional utilizada. 
4. Um título de $15.000,00 foi resgatado por $12.350,00 sendo aplicada uma taxa de desconto simples 
racional de 7,9% ao trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi antecipado? 
5. Qual o valor do desconto de um título de $22.500 descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma 
taxa de desconto simples bancário de 2,8% ao mês? 
6. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes do seu vencimento por $1.280,00 sabendo 
que a taxa de desconto simples bancário utilizada foi de 3,2% ao mês? 
7. Um título de $ 10.000,00 foi resgatado 45 dias antes do seu vencimento por $9.550,00. Calcular a taxa 
de desconto simples bancário utilizada. 
8. Um título de $15.000,00 foi resgatado por $12.350,00 sendo aplicada uma taxa de desconto simples 
bancário de 7,9% ao trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi antecipado?