Curso PGMC Algebra COMPLETO

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IPRJ - UERJ
Pós-graduação em modelagem computacional
Álgebra Linear
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
Álgebra Linear
Parte I - Matrizes
Aplicação na área de simulação de reservatórios de petróleo
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
Álgebra Linear
Parte I - Matrizes
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
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Parte I - Matrizes
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
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Parte I - Matrizes
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
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Parte I - Matrizes
Matriz “estrutura” ordenada de dados. Permite a organização de dados, o torna fácil a aplicação de técnicas de solução.
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
Exercício: Demonstre os itens abaixo de transposição de matrizes.
Resposta de iii
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
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Parte I - Matrizes
Exercício: Demonstre os itens abaixo de multiplicação de matrizes.
Respostas de iii e iv, respectivamente na ordem. 
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Parte II – Sistema Equações lineares
Neste capítulo o objetivo é aplicar técnicas matemáticas no tratamento e solução de sistemas lineares, os quais podem ser de grandes dimensões e complexos
Álgebra Linear
Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
Álgebra Linear
Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
Trocar as linhas 1 e 2, já que o primeiro termo da linha 1 deve ser diferente de zero
Álgebra Linear
Parte II – Sistema Equações lineares
Exercício 1: Aplique o método da substituição e resolva o sistema.
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Parte II – Sistema Equações lineares
Exercício 2: O Sistema abaixo corresponde a:
Verifique a validade das permutas abaixo na eliminação de etapas.
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
Exercício: Aplique a técnica de substituição para encontrar o posto e a nulidade do sistema abaixo: 
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte II – Sistema Equações lineares
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Determinante função matricial, associada a um escalar, que permite a análise e solução de sistemas de equações lineares.
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Permuta-> arranjos de elementos em ordem diferentes
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Recapitulando:
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: Obtenha a expressão do determinante de uma matriz 4x4. 
Para facilitar faça somente das seguintes permutas: (1 2 3 4) (4 3 2 1) e (4 2 3 1).
Quantas são as permutas?? n!=4!=4.3.2.1=24
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
(o mesmo para coluna)
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: Calcule o determinante de A.
R=5
Exercício: Aplique o método de Laplace ao longo da primeira linha a fim de obter o determinante
R=5
Exercício: Some a segunda linha à terceira e obtenha o determinante por Laplace.
R=5
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: Use Laplace para achar os determinantes.
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: Use Laplace para achar os determinantes.
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: calcule a inversa da matriz 
R:
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
* Exercício: aplique o teorema abaixo pra obter a inversa da matriz A:
R:
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
* Exercício: aplique o teorema abaixo pra obter a inversa da matriz A:
R:
Solução:
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Estudo de caso:
Para x1
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Estudo de caso:
Para x2
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exemplo:
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: aplique a regra de Cramer para resolver os sistemas abaixo:
R:
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
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Parte III – Determinante-Matriz Inversa
Exercício: determine as matrizes inversas de A através da metodologia de matriz-elementar (método Gauss-Jordan)
R:
R:
R:
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Parte IV – Espaço vetorial
Espaço vetorial é a representação vetorial (através de vetores) de soluções de equações lineares.
Vetor é uma propriedade que possui módulo, direção e sentido.
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Parte IV – Espaço vetorial
Vetor nulo é o vetor referência: vetor (2,2) –vetor (0,0)=vetor(2,2)
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
Vetor (0,0) é a referência
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
# Análise do sistema AX=0
Se b*u temos o mesmo resultado =0
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Parte IV – Espaço vetorial
# Análise do sistema AX=b
a) Caso u+v
b) Caso A(2*X)=b
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
# Análise da soma de vetores u+v e da multiplicação por escalar b
Obs: subespaço é uma reta sobre o eixo x
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
Exercício: Verifique a combinação linear dos dois casos abaixo:
R:
R:
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
* Exercício: encontre os vetores-solução da forma su+tv do sistema homogêneo abaixo:
Resposta:
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Parte IV – Espaço vetorial
* Exercício: encontre os vetores-solução da forma su+tv do sistema homogêneo abaixo: (SOLUÇÃO)
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte IV – Espaço vetorial
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Parte V – Transformações lineares
Álgebra Linear
Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
* Exemplo
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Parte V – Transformações lineares
* Exercício: avalie se existe a transformação linear abaixo:
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Parte V – Transformações lineares
* Exercício: avalie se existe a transformação linear abaixo:
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
Exercício: avalie a transformação linear R3 R2 a partir dos vetores R3 v1 e v2
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Parte V – Transformações lineares
Exercício: avalie a transformação linear R3 R2 a partir dos vetores R3 v1 e v2
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
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Parte V – Transformações lineares
*Exercício: avalie a transformação linear R2R2 dos dois vetores abaixo de um ângulo de –pi/2= -90 graus. Desenhe a transformação linear angular.
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Parte V – Transformações lineares
*Exercício: avalie a transformação linear R2R2 dos dois vetores abaixo de um ângulo de –pi/2= -90 graus. Desenhe a transformação linear angular.
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
Um autovetor ou vetor próprio representa uma direcção que é preservada por uma transformação linear. Que vetores levam a eles mesmos.
Seja T: V→ V uma transformação linear, v é um autovetor quando v não é o vetor nulo e existe um escalar tal que:
Neste caso associado existe um autovalor () associado a um autovetor v
.
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
Exercício: mostre que não existe autovalores na transformação abaixo
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
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Parte VI – Autovalor e Autovetor
Exercício: encontre os autovalores e autovetores associados às matrizes abaixo:
R:
R: