Lista de Algebra Linear

Prévia do material em texto

Álgebra Linear 1 � Lista 1
Prof. Washington S. da Silva
Abril de 2015
1. VETORES � O TRATAMENTO ALGÉBRICO
1. Dados os vetores ~u = (2,−3), ~v = (1,−1) e ~w = (−2, 1), determinar
a) 2~u− ~v c) ~v − ~u+ 2~w
b)
1
2
~u− 2~v − ~w d) 3~u− 1
2
~v − 1
2
~w
2. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~w = (−1, 2), determinar o vetor ~x tal que
a) 4(~u− ~v) + 1
3
~x = 2~u− ~x
b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u)
3. Dados os pontos A = (−1, 3), B = (2, 5), C = (3,−1) e O = (0, 0), calcular
a)
~OA− ~AB b) ~OC − ~BC c) 3 ~BA− 4 ~CB
4. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar a1 e a2 tais que
~w = a1~u+ a2~v
5. Sejam os pontos A = (−5, 1) e B = (1, 3). Determinar o vetor ~v = (a, b) tal que
a) B = A+ 2~v b) A = B + 3~v
6. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha módulo 4.
7. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a, 1
2
) seja unitário.
8. Provar que os pontos A = (−2,−1), B = (2, 2), C = (−1, 6) e D = (−5, 3), nesta
ordem, são vértices de um quadrado.
9. Dados os pontos A = (2,−2, 3) e B = (1, 1, 5) e o vetor ~v = (1, 3,−4), calcular:
a) A+ 3~v c) B + 2(B − A)
b) (A−B)− ~v d) 2~v − 3(B − A)
10. Sabendo que 3~u− 4~v = 2~w, determinar a, b e c, sendo ~u = (2,−1, c), ~v = (a, b− 2, 3)
e ~w = (4,−1, 0).
11. Dado o vetor ~w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2,−1) e
~v = (a, 6, b) + 2~w sejam paralelos.
12. Dados os pontos A(1, 0,−1), (4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que
|~v| = 7, sendo ~v = m ~AC + ~BC.
1
2. PRODUTO ESCALAR
13. Sejam os vetores ~u = (2, a,−1), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (2a − 1,−2, 4). Determinar a
de modo que ~u · ~v = (~u+ ~v) · (~v + ~w).
14. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~v · ~u = −42.
15. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v é ortogonal ao eixo Ox, ~v · ~w = 6 e
~w =~i+ 2~j.
16. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, ~v · ~v1 = 8 e ~v · ~v2 = −3, sendo ~v1 =
(3, 1,−2) e ~v2 = (−1, 1, 1).
17. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular (3~u+ 4~v) · (−2~u− 5~u).
18. Os pontos A, B e C são vértices de umtriângulo equilátero cujo lado mede 20 cm.
Calcular
~AB · ~AC e ~AB · ~CA.
19. Qual o valor de α para que os vetores ~a = (α, 2,−4) e ~b = (2, 1 − 2α, 3) sejam
ortogonais?
20. Determinar o vetor ~u tal que |~u| = 2, o ângulo entre ~u e ~v = (1,−1, 0) é 450 e ~u é
ortogonal a ~w = (1, 1, 0).
21. Deteminar o ângulo entre os vetores
a) ~u = (2,−1,−1) e ~v = (−1,−1, 2).
b) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−1, 1, 0).
22. Calcular o valor de m de modo que seja 1200 o ângulo entre os vetores ~u = (1,−2, 1)
e ~v = (−2, 1,m+ 1).
23. Calcular o valor de n de modo que seja 300 o ângulo entre os vetores ~v = (−3, 1, n) e
~k.
24. Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 600 com o vetor ~i.
25. Dados os vetores ~u = (3, 0, 1) e ~v = (−2, 1, 2), determinar proj~v~u e proj~u~v.
26. Para cada um dos pares de vetores ~u e ~v, encontrar a projeção ortogonal de ~v sobre
~u.
a) ~u = (1, 2,−2) e ~v = (3,−2, 1)
b) ~u = (1, 1, 1) e ~v = (3, 1,−1)
c) ~u = (2, 0, 0) e ~v = (3, 5, 4)
d) ~u = (3, 1,−3) e ~v = (2,−3, 1)
27. Determinar o valor de a para que seja 450 o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1) e
~v = (1, a).
28. Para cada um dos pares de vetores ~u e ~v, encontrar o vetor projeção ortogonal de ~v
sobre ~u.
a) ~u = (1, 0) e ~v = (4, 3)
b) ~u = (1, 1) e ~v = (2, 5)
c) ~u = (4, 3) e ~v = (1, 2)
2
3. PRODUTO VETORIAL
1. Dados os pontos A(2, 1,−1), B(3, 0, 1) e C(2,−1, 3), determinar o ponto D tal que
~AD = ~BC × ~AC.
2. Determinar o vetor ~x tal que ~x · (1, 4,−3) = −7 e ~x× (4,−2, 1) = (3, 5,−2).
3. Dados os vetores ~u = (3, 1, 1), ~v = (−4, 1, 3) e ~w = (1, 2, 0), determinar ~x de modo que
~x⊥~w e ~x× ~u = ~v.
4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ~u + 2~v e ~v − ~u, sendo
~u = (−3, 2, 0) e ~v = (0,−1,−2).
5. Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1,−1, 1) e
C(4, 1,−2).
6. Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 2) determinar um vetor unitário simulta-
neamente ortogonal a ~u e ~v.
7. Sendo |~u| = 2√2, |~v| = 4 e 450 o ângulo entre ~u e ~v, calcular |2~u× ~v|.
8. Determinar ~u · ~v, sabendo que |~u× ~v| = 12, |~u| = 13 e ~v é unitário.
9. Dados os vetores ~u = (3,−1, 2) e ~v = (−2, 2, 1), calcular a área do paralelogramo
determinado por ~u e ~v.
10. Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por ~u =
(m,−3, 1) e ~v = (1,−2, 2) seja igual a √26.
11. Sabendo que |~u| = 6, |~v| = 4 e 300 o ângulo entre ~u e ~v, calcular
a) calcular a área do triângulo determinado por ~u e ~v;
b) calcular a área do paralelogramo determinado por ~u e ~−v.
12. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P , Q e R e calcular
a área do triângulo PQR sendo P (2, 3, 0), B(0, 2, 1) e C(2, 0, 2).
5. A RETA
1. Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, 3) e é paralela à reta
r : (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1).
2. A reta r passa pelo ponto A(4,−3,−2) e é paralela à reta
s :

x = 1 + 3t
y = 2− 4t
z = 3− t
Se P (m,n,−5) ∈ r, determinar m e n.
3. Determinar equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes
casos:
a) A(1,−1, 2) e B(2, 1, 0)
b) A(3, 1, 4) e B(3,−2, 2)
c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2)
3
d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0)
4. O ponto P (m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3,−1, 4) e B(4,−3,−1). Deter-
minar P .
5. Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por
a) A(3,−2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
b) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz;
c) A(−2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
d) A(4,−1, 3) e tem a direção de 3~i− 2~j;
d) A(3,−1, 3) e B(3, 3, 4).
6. O PLANO
1. Determinar uma equação geral do plano paralelo ao plano pi : 2x − 3y − z + 5 = 0 e
que contenha o ponto A(4,−2, 1).
2. Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta
r :

x = 2 + 2t
y = 1− 3t
z = 4t
e que contenha o ponto A(−1, 2, 3).
3. Sendo 
x = 1 + h− 2t
y = 1− t
z = 4 + 2h− 2t
equações paramétricas de um plano pi, obter uma equação geral.
4. Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determi-
nado pelos pontos:
a) A(1, 0, 2), B(−1, 2,−1) e C(1, 1, 1);
b) A(0, 0, 0), B(1, 1, 5) e C(−1, 1, 1);
c) A(2, 0,−1), B(−2, 6, 3) e C(0, 3, 4);
d) A(2, 1, 0), B(−4,−2,−1) e C(0, 0, 1);
e) A(2, 1, 3), B(−3,−1, 3) e C(4, 2, 3).
5. Determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos:
a) O plano passa por A(2, 0,−2) e é paralelo aos vetores ~u =~i−~j + ~k e ~v = 2~i+ 3~j.
b) O plano contém os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e é perpendicular ao plano pi1 :
2x+ y − z + 8 = 0.
c) O plano contém os pontos A(2, 1, 2) e B(1,−1, 4) e é perpendicular ao plano xOy.
4
d) O plano contém a reta
r :

x = 2 + t
y = 1− t
z = 3 + 2t
e é perpendicular ao plano pi1 : 2x+ 2y − 3z = 0.
e) O plano contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos pi1 : 2x+ y − 3z = 0 e
pi2 : x+ y − 2z − 3 = 0
6. Obter uma equação geral do plano
a) paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos A(0, 3, 4) e B(2, 0,−2);
b) paralelo ao eixo dos x e que contenha os pontos A(−2, 0, 2) e B(0,−2, 1);
c) paralelo ao eixo dos y e que contenha os pontos A(2, 3, 0) e B(0, 4, 1);
d) paralelo ao plano xOy e que contenha o ponto A(5,−2, 3);
e) perpendicular ao eixo dos y e que contenha o ponto A(3, 4,−1).
BIBLIOGRAFIA: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo:
Pearson Makron Books, 2000.
5