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Álgebra Linear 1 � Lista 1 Prof. Washington S. da Silva Abril de 2015 1. VETORES � O TRATAMENTO ALGÉBRICO 1. Dados os vetores ~u = (2,−3), ~v = (1,−1) e ~w = (−2, 1), determinar a) 2~u− ~v c) ~v − ~u+ 2~w b) 1 2 ~u− 2~v − ~w d) 3~u− 1 2 ~v − 1 2 ~w 2. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~w = (−1, 2), determinar o vetor ~x tal que a) 4(~u− ~v) + 1 3 ~x = 2~u− ~x b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u) 3. Dados os pontos A = (−1, 3), B = (2, 5), C = (3,−1) e O = (0, 0), calcular a) ~OA− ~AB b) ~OC − ~BC c) 3 ~BA− 4 ~CB 4. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar a1 e a2 tais que ~w = a1~u+ a2~v 5. Sejam os pontos A = (−5, 1) e B = (1, 3). Determinar o vetor ~v = (a, b) tal que a) B = A+ 2~v b) A = B + 3~v 6. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha módulo 4. 7. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a, 1 2 ) seja unitário. 8. Provar que os pontos A = (−2,−1), B = (2, 2), C = (−1, 6) e D = (−5, 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado. 9. Dados os pontos A = (2,−2, 3) e B = (1, 1, 5) e o vetor ~v = (1, 3,−4), calcular: a) A+ 3~v c) B + 2(B − A) b) (A−B)− ~v d) 2~v − 3(B − A) 10. Sabendo que 3~u− 4~v = 2~w, determinar a, b e c, sendo ~u = (2,−1, c), ~v = (a, b− 2, 3) e ~w = (4,−1, 0). 11. Dado o vetor ~w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2,−1) e ~v = (a, 6, b) + 2~w sejam paralelos. 12. Dados os pontos A(1, 0,−1), (4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |~v| = 7, sendo ~v = m ~AC + ~BC. 1 2. PRODUTO ESCALAR 13. Sejam os vetores ~u = (2, a,−1), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (2a − 1,−2, 4). Determinar a de modo que ~u · ~v = (~u+ ~v) · (~v + ~w). 14. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~v · ~u = −42. 15. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v é ortogonal ao eixo Ox, ~v · ~w = 6 e ~w =~i+ 2~j. 16. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, ~v · ~v1 = 8 e ~v · ~v2 = −3, sendo ~v1 = (3, 1,−2) e ~v2 = (−1, 1, 1). 17. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular (3~u+ 4~v) · (−2~u− 5~u). 18. Os pontos A, B e C são vértices de umtriângulo equilátero cujo lado mede 20 cm. Calcular ~AB · ~AC e ~AB · ~CA. 19. Qual o valor de α para que os vetores ~a = (α, 2,−4) e ~b = (2, 1 − 2α, 3) sejam ortogonais? 20. Determinar o vetor ~u tal que |~u| = 2, o ângulo entre ~u e ~v = (1,−1, 0) é 450 e ~u é ortogonal a ~w = (1, 1, 0). 21. Deteminar o ângulo entre os vetores a) ~u = (2,−1,−1) e ~v = (−1,−1, 2). b) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−1, 1, 0). 22. Calcular o valor de m de modo que seja 1200 o ângulo entre os vetores ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−2, 1,m+ 1). 23. Calcular o valor de n de modo que seja 300 o ângulo entre os vetores ~v = (−3, 1, n) e ~k. 24. Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 600 com o vetor ~i. 25. Dados os vetores ~u = (3, 0, 1) e ~v = (−2, 1, 2), determinar proj~v~u e proj~u~v. 26. Para cada um dos pares de vetores ~u e ~v, encontrar a projeção ortogonal de ~v sobre ~u. a) ~u = (1, 2,−2) e ~v = (3,−2, 1) b) ~u = (1, 1, 1) e ~v = (3, 1,−1) c) ~u = (2, 0, 0) e ~v = (3, 5, 4) d) ~u = (3, 1,−3) e ~v = (2,−3, 1) 27. Determinar o valor de a para que seja 450 o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (1, a). 28. Para cada um dos pares de vetores ~u e ~v, encontrar o vetor projeção ortogonal de ~v sobre ~u. a) ~u = (1, 0) e ~v = (4, 3) b) ~u = (1, 1) e ~v = (2, 5) c) ~u = (4, 3) e ~v = (1, 2) 2 3. PRODUTO VETORIAL 1. Dados os pontos A(2, 1,−1), B(3, 0, 1) e C(2,−1, 3), determinar o ponto D tal que ~AD = ~BC × ~AC. 2. Determinar o vetor ~x tal que ~x · (1, 4,−3) = −7 e ~x× (4,−2, 1) = (3, 5,−2). 3. Dados os vetores ~u = (3, 1, 1), ~v = (−4, 1, 3) e ~w = (1, 2, 0), determinar ~x de modo que ~x⊥~w e ~x× ~u = ~v. 4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ~u + 2~v e ~v − ~u, sendo ~u = (−3, 2, 0) e ~v = (0,−1,−2). 5. Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1,−1, 1) e C(4, 1,−2). 6. Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 2) determinar um vetor unitário simulta- neamente ortogonal a ~u e ~v. 7. Sendo |~u| = 2√2, |~v| = 4 e 450 o ângulo entre ~u e ~v, calcular |2~u× ~v|. 8. Determinar ~u · ~v, sabendo que |~u× ~v| = 12, |~u| = 13 e ~v é unitário. 9. Dados os vetores ~u = (3,−1, 2) e ~v = (−2, 2, 1), calcular a área do paralelogramo determinado por ~u e ~v. 10. Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por ~u = (m,−3, 1) e ~v = (1,−2, 2) seja igual a √26. 11. Sabendo que |~u| = 6, |~v| = 4 e 300 o ângulo entre ~u e ~v, calcular a) calcular a área do triângulo determinado por ~u e ~v; b) calcular a área do paralelogramo determinado por ~u e ~−v. 12. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P , Q e R e calcular a área do triângulo PQR sendo P (2, 3, 0), B(0, 2, 1) e C(2, 0, 2). 5. A RETA 1. Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, 3) e é paralela à reta r : (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1). 2. A reta r passa pelo ponto A(4,−3,−2) e é paralela à reta s : x = 1 + 3t y = 2− 4t z = 3− t Se P (m,n,−5) ∈ r, determinar m e n. 3. Determinar equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: a) A(1,−1, 2) e B(2, 1, 0) b) A(3, 1, 4) e B(3,−2, 2) c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2) 3 d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0) 4. O ponto P (m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3,−1, 4) e B(4,−3,−1). Deter- minar P . 5. Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por a) A(3,−2, 4) e é paralela ao eixo dos x; b) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz; c) A(−2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; d) A(4,−1, 3) e tem a direção de 3~i− 2~j; d) A(3,−1, 3) e B(3, 3, 4). 6. O PLANO 1. Determinar uma equação geral do plano paralelo ao plano pi : 2x − 3y − z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4,−2, 1). 2. Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta r : x = 2 + 2t y = 1− 3t z = 4t e que contenha o ponto A(−1, 2, 3). 3. Sendo x = 1 + h− 2t y = 1− t z = 4 + 2h− 2t equações paramétricas de um plano pi, obter uma equação geral. 4. Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determi- nado pelos pontos: a) A(1, 0, 2), B(−1, 2,−1) e C(1, 1, 1); b) A(0, 0, 0), B(1, 1, 5) e C(−1, 1, 1); c) A(2, 0,−1), B(−2, 6, 3) e C(0, 3, 4); d) A(2, 1, 0), B(−4,−2,−1) e C(0, 0, 1); e) A(2, 1, 3), B(−3,−1, 3) e C(4, 2, 3). 5. Determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos: a) O plano passa por A(2, 0,−2) e é paralelo aos vetores ~u =~i−~j + ~k e ~v = 2~i+ 3~j. b) O plano contém os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e é perpendicular ao plano pi1 : 2x+ y − z + 8 = 0. c) O plano contém os pontos A(2, 1, 2) e B(1,−1, 4) e é perpendicular ao plano xOy. 4 d) O plano contém a reta r : x = 2 + t y = 1− t z = 3 + 2t e é perpendicular ao plano pi1 : 2x+ 2y − 3z = 0. e) O plano contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos pi1 : 2x+ y − 3z = 0 e pi2 : x+ y − 2z − 3 = 0 6. Obter uma equação geral do plano a) paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos A(0, 3, 4) e B(2, 0,−2); b) paralelo ao eixo dos x e que contenha os pontos A(−2, 0, 2) e B(0,−2, 1); c) paralelo ao eixo dos y e que contenha os pontos A(2, 3, 0) e B(0, 4, 1); d) paralelo ao plano xOy e que contenha o ponto A(5,−2, 3); e) perpendicular ao eixo dos y e que contenha o ponto A(3, 4,−1). BIBLIOGRAFIA: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 5
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