AP1-CL1-2016 1-Gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 03/04/2016
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [1 ponto]
Se f(x) =
( x− 1
x2 + 1
)3
, calcule lim
x→−1
f ′(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que:
f ′(x) =
[( x− 1
x2 + 1
)3]′
= 3
( x− 1
x2 + 1
)2
·
[(1)(x2 + 1)− (x− 1)(2x)
(x2 + 1)2
]
= 3
( x− 1
x2 + 1
)2
·
[1 + 2x− x2
(x2 + 1)2
]
.
Logo,
lim
x→−1
f ′(x) = lim
x→−1
3
( x− 1
x2 + 1
)2
·
[1 + 2x− x2
(x2 + 1)2
]
=
−6
4
=
−3
2
.
Questa˜o 2 [1 ponto]
Se g(x) = (x5 + 3x− 1) cos(2x), calcule lim
x→0
g′(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que:
g′(x) = [(x5 + 3x− 1) cos(2x)]′ = (5x4 + 3) cos(2x)− 2(x5 + 3x− 1) sen(2x).
Logo,
lim
x→0
g′(x) = lim
x→0
[(5x4 + 3) cos(2x)− 2(x5 + 3x− 1) sen(2x)] = 3.
Questa˜o 3 [1 ponto]
Seja f(x) =

xex − 1, se x < 1
ex
2 − x
x2
, se x ≥ 1
. f e´ cont´ınua em x = 1? Justifique sua resposta.
CA´LCULO 1 AP1 2
Soluc¸a˜o:
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = 1, devemos ter:
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Temos que:
(i) f(1) = e− 1
(ii) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
xex − 1 = e− 1
(iii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
ex
2 − x
x2
= e− 1
Como (i) = (ii) = (iii), temos que f e´ cont´ınua em x = 1.
Questa˜o 4 [1,5 pontos]
Seja f(x) =

xex − 1, se x < 1
ex
2 − x
x2
, se x ≥ 1
. f e´ diferencia´vel em x = 1? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:
Para que f seja diferencia´vel em x = 1, devemos ter:
f ′+(1) = f
′
−(1) = f
′(1).
Temos que:
(xex − 1)′ = ex + xex e
(ex2 − x
x2
)′
=
(2xex
2 − 1)(x2)− (ex2 − x)(2x)
x4
.
Da´ı, f ′+(1) = 1 e f
′
−(1) = 2e. Logo, f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1.
Questa˜o 5 [1,5 pontos]
Seja g : R→ R um func¸a˜o deriva´vel e seja f(x) = (x− 1) · g(x− senx). Sabendo que g(pi) = −1
e g′(pi) =
1
2
, determine f ′(pi).
Soluc¸a˜o:
Temos que
f ′(x) = (1) · g(x− senx) + (x− 1) · g′(x− senx) · (1− cosx) =
= g(x− senx) + (x− 1) · g′(x− senx) · (1− cosx).
Da´ı,
f ′(pi) = g(pi) + (pi − 1) · g′(pi) · (2), pois sen(pi) = 0 e cos(pi) = −1.
Como g(pi) = −1 e g′(pi) = 1
2
, segue que f ′(pi) = pi − 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
Questa˜o 6 [2 pontos]
Se y = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o 2x − 2y = sen(x + y),
determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (pi, pi).
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente, obtemos:
cos(x+ y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2− 2 dy
dx
⇒ dy
dx
[2 + cos(x+ y)] = 2− cos(x+ y) ⇒
⇒ dy
dx
=
2− cos(x+ y)
2 + cos(x+ y)
, se 2 + cos(x+ y) 6= 0. Assim,
f ′(pi) =
dy
dx
∣∣∣
x=pi
=
2− cos(pi + pi)
2 + cos(pi + pi)
=
1
3
.
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (pi, pi) e´
y = pi +
1
3
(x− pi) = 1
3
x+
2pi
3
.
Questa˜o 7 [2 pontos]
Um bala˜o metereolo´gico e´ lanc¸ado do solo a uma distaˆncia de 400m de um observador fixo no solo.
Sabendo que o bala˜o sobe verticalmente a` raza˜o de 3m/s, determine a taxa de variac¸a˜o, em relac¸a˜o
ao tempo, da distaˆncia entre o bala˜o e o observador, quando a altura do bala˜o e´ de 300m.
Soluc¸a˜o:
Graficamente, temos
Portanto, usando o Teorema de Pita´goras, temos a relac¸a˜o x(t)2 + 4002 = s(t)2.
Derivando temos:
2x(t)
dx
dt
+ 0 = 2s(t)
ds
dt
=⇒ x(t) dx
dt
= s(t)
ds
dt
=⇒ ds
dt
=
x(t)
s(t)
dx
dt
.
Quando x(t) = 300, temos:
s(t)2 = 3002 + 4002 =⇒ s(t) =√(300)2 + (400)2 = 100 √32 + 42 = 500.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 4
Dai, quando x(t) = 300, obtemos
ds
dt
=
(300)(3)
500
=
9
5
.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o, em relac¸a˜o ao tempo, da distaˆncia entre o bala˜o e o observador, e´
9
5
m/s.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ