Lista de Exercícios I - Integrais Múltiplas

Prévia do material em texto

Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos / Cálculo IV 
 
1ª Lista de Exercícios: Integrais Múltiplas 2012.2 
 
Profs: Ilka Freire / Ricardo Luis Queiroz 
 
 
 
1. Calcule 
  Ad y,xfR
, sendo: 
a) 
  xyxey,xf 
; R = 
  1y0 e 3x1 /y,x 2 
. 
 
b) 
   xycosxy,xf 
; R = 
  2y0 e 2x0 /y,x 2 
. 
 
c) 
   xlnyy,xf 
; R = 
  1y0 e 3x1 /y,x 2 
 
d) 
x
xlny
)y,x(f 
; R = 
  1y1 e 2x1 /y,x 2 
. 
 
2. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais: 
a) 
 dydx y4x2
x2
x
1
0

 b) 
 dxdy xxy2
y
y
2
0


 c) 
 
dydx x
1
xln
e
1

 
d) 
dxdy x
2y1
0
1
0

 e) 
dydx x
2x4
2x1
1
1




 f)  dydx y2x 22
x
1
1
1


 
 
3. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: 
a) 
 dxdy x,yf
2y
0
4
0

 b) 
 dydx x,yf
2x
3x
1
0

 c) 
 dydx x,yf
x3
x2
1
0

 
 
4. Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver as seguintes integrais: 
a) 
 
4
0
2
y
dy dx)x/ycos(
x
1
 
; b) 
dx dy)yx(seny 
2/
0
4/2
2x
 
  ; c) 
dydx
y4
xe
 
2
0
2x4
0
y2
 

 
 
 
5. Calcule: 
a) 
 dxdy yx8R 
, sendo R é a região delimitada por 
4y e xy 2 
. 
b) 

R
xdA
, sendo R a região interior ao círculo de centro na origem e de raio 2 e acima da reta y = 1, no 
1º quadrante. 
c)
 dxdy yxR 
, sendo R é a região delimitada por 
1 x e 1 x ,1x y ,1+xy 22 
. 
d) 
dxdy e R
2x

, sendo R é a região limitada pela reta y = x, o eixo OX e as retas x = 1 e x = 2 
 
e) 
 dxdy yxR 
, sendo R é a região hachurada 
 
na figura . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Usando integral dupla calcule o volume do sólido Q nos seguintes casos: 
 
a) Q é limitado lateralmente pelos planos x = 0, y = 0; x = 1 e y = 2, inferiormente pelo plano z = 0 e 
superiormente pela superfície cilíndrica 2x1z  ; 
 
b) Q é o tetraedro limitado no 1º octante pelo plano de equação 
1
1
y
2
x
3
z

 
 
c) Q está acima do plano XY limitado pelo cilindro parabólico z = 1 – y2; e pelos planos x = 0 e x = 2 
 
 
 
7. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais: 
 
a) 
  dxdyyx8 R 
, sendo R delimitada por 
1yx 22 
. Interprete geometricamente. 
b) 
  dxdyyxln R 22 
, sendo R o anel delimitado por 
25yx e 16yx 2222 
. 
c) 
 dxdy eR
2y2x2





  , sendo R a região limitada pelo círculo 
4yx 22 
. 
d) 
dAyx
R
22
 
, sendo R a região limitada pelas curvas 
 cos2r
 ( círculo de centro em ( 1,0) e raio 1 ); 
 cos4r
( círculo de centro em ( 2,0) e raio 2 ); 
 
6


 e 
4


 
 
 
 
 
 
8. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais mudando para a forma polar 
 
a) 
dydx
)yx1(
2
 
1
1
2x1
0
222  
 ; b) 
dxdyxy
2
0
2y4
0
2
 
 
 
 
 
9. Usando integral dupla calcule o volume dos seguintes sólidos, resolvendo a integral correspondente na 
forma polar: 
a) Sólido acima do plano xy delimitado pelo parabolóide 
22 y2x24z 
. Esboce o sólido. 
b) Sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro 
1yx 22 
 e superiormente pelo 
parabolóide 
22 yxz 
. Esboce o sólido. 
c) Sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por 
4yx 22 
 e superiormente por 
8zy 
. 
 
 
10. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos: 
a) 
0y e 2xy ,xy 3 
. 
b) exterior ao círculo r = 2 e interior ao círculo 
 cos4r
 ( centro em (2,0) e raio 2 ); 
 
11. Usando integral dupla, podemos calcular a massa (M) de uma lâmina plana não homogênea, com a 
forma de uma região (R) e com densidade de massa em um ponto (x,y) de R, dada pela função contínua 
 y,x
, através da integral dupla 
   R dAy,x M
 
 
 
a) Calcule a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa 
num ponto 
 y,xP
 é dada por 
   22 yxky,x 
, k constate real. 
b) Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas 
3xy e 1xy 2 
. Sua 
densidade de massa no ponto 
 y,xP
 é proporcional a distância desse ponto ao eixo x. Calcule a massa 
dessa lâmina. 
 
12. Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região plana R e a densidade de carga ( unidades de 
carga por unidades de área) é dada pela função 
)y,x(
 em um ponto (x,y) de R, então a carga total é 
igual a 

R
dA)y,x(Q
. 
Considere a região triangular R de vértices nos pontos (1,0); (1,1) e ( 0,1) tal que uma carga está 
distribuída sobre R com densidade de carga 
xy)y,x( 
 coulombs/m2. Determine a carga total. 
 
 
13. Calcule as integrais iteradas a seguir 
a) 
   

3
0
0
1
2
1
4z)dxdydz2y(x 
; b) 
  

1
0
x2
1x
zx
z
xdydzdx 
 
 
14. Seja f(x,y,z) uma função contínua de três variáveis. Expresse 

Q
dV)z,y,x(f
 como uma integral tripla 
iterada sendo Q a região do espaço: 
 
a) limitada pelo cilindro x2 + y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = 2. (1a integração em relação a z). 
 
b) no 1o octante, limitada pelo plano x + 2y + 3z = 6. (1a integração em relação a y). 
 
c) limitada pelo parabolóide z = 9  4x2  y2 e por z = 0. (1a integração em relação a z ). 
 
d) limitada pelo cilindro y = x2 e pelos planos y + z = 4 e z = 0 (1a integração em relação a x). 
e) acima do plano XY limitada pela superfície cilíndrica 
2x16z 
; e pelos planos y = 0 e y = 2. ( 1ª 
integração em relação a y) 
f) limitada pelo parabolóide 
z3yx 22 
 e pela esfera 
4zyx 222 
. ( 1ª integração em relação a z) 
 
 
15. Use integral tripla para encontrar o volume dos seguintes sólidos: 
 
a) Sólido limitado pelas superfícies de equações z = 9  x2; z = 0; y = 1 e y = 2. 
 
b) Sólido acima do plano XY limitado pelo parabolóide 
22 y2x24z 
 e pelo plano z = 2. 
 
c) Sólido limitado pelos parabolóides 
22 yxz 
 e 
22 yx8z 
. 
 
d) Sólido limitado pelas superficies de equações 
z + x2 = 4; y + z = 4; y = 0 e z = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) ) y2 + z2 = 1; x + y + z = 2 e x = 0. 
 
 
 
 
 
16. 
Se um sólido tem massa m e volume V e a massa é distribuída uniformemente pelo sólido dizemos que o 
sólido é homogêneo e a densidade de massa  se define como 
V
m

 ou m = V. 
Num sólido não-homogêneo, por exemplo, constituído de metais diferentes, a massa não é a mesma em 
todo ele. Estabelecido um sistema de coordenadas no espaço, podemos definir a densidade de massa 
num ponto P(x,y,z) do sólido. Utilizando o mesmo processo do limite das somas, que foi aplicado na 
dedução das integrais triplas, pode-se mostrar que 
 

Q
dV)z,y,x(m
 
 
a) Considere um sólido não-homogêneo que tem forma de um cilindro circular reto com raio da base a e 
altura h. encontre a massa desse sólido sabendo que a densidade em um ponto P é diretamente 
proporcional à distância de P a uma das bases, ou seja, (x,y,z) = kz, sendo k constante real. 
 
b) Calcule a massa do sólido Q limitado acima do plano z = 2 pela esfera09zyx 222 
, sabendo 
que sua densidade em cada ponto P(x,y,z) corresponde à distância do ponto ao plano z = 2. 
 
 
Respostas 
1. a) 
2ee3 
 b) 
4
 c) 
  13ln23 
 d) 0; 
 
2. a) 8/3; b) 0; c) 
   434e2 
; d) 1/3; e) 0; f) –1/2 
 
3. a) 
 dydx x,yf
4
x2
2
0

 b) 
 dxdy x,yf
3 y
y
1
0

 c) 
   dxdy x,yf dxdy x,yf
1
3y
3
2
2y
3y
2
0

 
 
 
4. a) 
  
2
0
2x
0
2cos1dx dy)x/ycos(
x
1
 
; b) 
)
4
(sen
4
dy dx)yx(seny 
224/2
0
y
0



 
 
 
c) 
4
1e
dxdy
y4
xe
 
84
0
y4
0
y2 
 

 5. a) 896/15; b) 5/6; c) 0; d) (e -1)/2; e) 2 
 
6. a) 8/3 u.v. b) 1 u.v. c 8/3 u.v. 
 
7. a) 8. (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pelo plano de 
equação 
yx8z 
 ); b) 2[25ln(5) - 32ln(2) - (9/2)]; 
c) 
  1e2 8 
 d) 
)11210(
9
7

 
 
8. a) 
2
dydx
)r1(
rdrd2
 
0
1
0
22

 


; b) 
15
32
drdsencosr 
2/
0
2
0
24   

 
 
9. a) 4 u.v; b) /2 u.v; c) 32 u.v. 
 
10. a) 3/4 u.a. b) 
.a.u)32
3
4
( 

 11. a) 
2
k81 
 b) 11,7k. 12. 5/24 coulombs 
 
 13. a) 39/2; b) 1/12; 
 
 
14. a) 
  



3
3
2x9
2x9
2
0
dzdydx)z,y,x(f
 ou 
  



3
3
2y9
2y9
2
0
dzdxdy)z,y,x(f
 
b) 
  
 2
0
z36
0
2/)z3x6(
0
dydxdz)z,y,x(f 
 ou 
  
 6
0
3/)x6(
0
2/)z3x6(
0
dydzdx)z,y,x(f 
 
c) 
  



2/3
2/3
2x49
2x49
2y2x49
0
dzdydx)z,y,x(f
 ou 
  



3
3
2/2y9
2/2y9
2y2x49
0
dzdxdy)z,y,x(f 
 
d) 
  


4
0
z4
0
y
y
dxdydz)z,y,x(f
 ou 
  


4
0
y4
0
y
y
dxdzdy)z,y,x(f
 
 
e) 
  

4
4
2x16
0
2
0
dydzdx)z,y,x(f
 ou 
  


16
0
z16
z16
2
0
dydxdz)z,y,x(f 
 
f) 
  





3
3
2x3
2x3
2y2x4
3/)2y2x(
dzdydx)z,y,x(f
 ou 
  





3
3
2y3
2y3
2y2x4
3/)2y2x(
dzdxdy)z,y,x(f
 
15. a) 
108dzdydx 
3
3
2
1
2x9
0
  
 
 u.v. b)  u.v. c) 16 u.v. d) 
   
 4
0
y4
0
z4
0 5
128
dxdzdy 2
; 
e) 
  



1
1
2y1
2y1
zy2
0
dxdzdy 
= 2 ; 
 
 
16. a) m = kh2a2 /2; b) 
12
11
 u.m.