Alguns Critérios de Convergência e Propriedades

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia - Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
(Texto elaborado pelos professores Adelmo Ribeiro de Jesus e Ilka Rebouças Freire) 
 
 
Texto 03 Alguns Critérios de Convergência e Propriedades das Séries Numéricas 
 
 Em geral é difícil decidir através do estudo das seqüências das somas parciais se uma série 
é convergente ou divergente, principalmente porque nem sempre é possível estabelecer uma 
expressão geral para sn. 
 Vimos, até então, o caso da série geométrica, que sabemos através da sua razão se converge 
ou não e, no caso de convergir, qual é a sua soma. Calculamos também a soma de algumas séries 
em que a expressão de sn foi obtida com certa facilidade. 
 Vamos apresentar alguns resultados e estudar alguns testes ou critérios que nos permitem 
decidir sobre a convergência de uma série, mesmo que no caso da série ser convergente não 
possamos dizer o valor da sua soma. Neste caso, podemos aproximar a soma por uma soma parcial 
com termos suficientes para atingir o grau de precisão desejado. 
 
 
 
Critério do Termo Geral ou Teste da Divergência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1. O resultado acima é também chamado de Critério do Termo Geral (CTG) para a 
convergência de série, ou condição necessária para a convergência de uma série. 
 
2. Se ∑
1
na converge então 0alim n
n
=
+∞→
. 
 
3. Através do resultado do limite do termo geral, podemos garantir a divergência de certas 
séries. Como dito acima, se 0alim n
n
=
+∞→
 nada podemos afirmar sobre a série ∑
1
na . Ela pode ou 
não convergir. Ou seja, 0alim n
n
=
+∞→
 não conclui convergência!!! 
 
 
 
 
Teste da divergência 
• Se 0alim n
n
≠
+∞→
 então ∑
1
na é divergente 
• Se 0alim n
n
=
+∞→
 então ∑
1
na pode convergir ou divergir 
 
 2 
Exemplos: 
 
1) ∑
1
n diverge, pois +∞=
+∞→
nlim
n
. 
 
2) ∑
+1 1n
n
 diverge pois 01
1n
nlim
n
≠=
++∞→
 
 
 
A p- série 
 
Uma p- série, também chamada de série hiper-harmônica, é uma série da forma ∑
1 pn
1
 ( p > 0 ) 
 
 
Exemplos: 
 
1) ∑
1 n
1
; p-série com p = 1. Também chamada série harmônica 
 
2) ∑
1
2n
1
; p-série com p = 2. 
 
3) ∑∑ =
1
2/1
1 n
1
n
1
; p-série com p = ½ 
 
4) ∑∑ =
1
2/3
1 n
1
nn
1
; p-série com p = 3/2 
 
 
Vamos assumir sem demonstração o seguinte resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado acima pode ser demonstrado através de um critério chamado de Critério da Integral 
através do qual podemos concluir que a convergência da série ∑
1 pn
1
 é equivalente à 
convergência da integral imprópria ∫
+∞
1
px
dx
. 
 
A p-série ∑
1 pn
1
 ( p > 0 ) 
• converge se p > 1 
• diverge se 0 < p ≤ 1 
 
 3 
Exemplos 
 
1) ∑
1 n
1
 diverge ( p = 1 ) 
 
2) A série ∑
1 2n
1
 converge ( p = 2 ) 
 
3) A série ∑
1 n
1
 diverge ( p = ½ ) 
 
 
 
 
Algumas Propriedades 
 
1. A convergência ou divergência de uma série não é afetada pela retirada ou o acréscimo de um 
número finito de termos. Em outras palavras: 
 
“ Se ∑
1
na converge ( diverge), a série ∑
1
nb obtida de ∑
1
na acrescentando-se ou suprimindo-se 
alguns termos também converge (diverge) .” . 
 
No caso de convergir, a convergência da nova série é para valor diferente da soma ∑
1
na 
 
Exemplos: 
1.1) As séries ∑
−1 12
1
n
 e ∑
−3 12
1
n
 são ambas convergentes, mas para valores diferentes. 
1.2) As séries ∑ −
1
12n e .....1684211253b n +++++++−=∑ são ambas divergentes 
 
 
2. Se ∑
1
na e ∑
1
nb são duas séries convergindo a S e R respectivamente, então 
i) A série ( )∑ ±
1
nn ba converge a S ± R. 
ii) A série ∑
1
nka converge a kS., k ∈ R 
 
Exemplos: 
 
2.1) A série ∑
1
2n
3
 é convergente pois é o produto de uma série convergente ∑
1 2n
1
 por uma 
constante k = 3 
 
 4 
2.2) A série ∑ 





+
1
n2 2
1
n
1
 converge pois é a soma de duas séries convergente: 
A p-série ∑
1 2n
1
 e a série geométrica ∑
1
n2
1
 
 
2.3) A série ∑ 





+
−
1
n1n 2
1
3
1
 é convergente pois é a soma de duas séries geométricas de razão 
menor que 1. Podemos obter a soma da série separando as duas: 
 
2
51
2
3
2
11
2/1
3
11
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1 1n
11
1n
1
n1n =+=
−
+
−
=





+=





+
−
−−
∑∑∑ 
 
 
3. Se ∑
1
na é convergente e ∑
1
nb é divergente, então ( )∑ +
1
nn ba é divergente. 
 
Exemplo: 
 
3.1) A série ∑ 





+
1
2n
1
n
1
 é divergente pois é a soma de uma série divergente ∑
1 n
1
 com uma 
convergente ∑
1 2n
1
 
 
 
 4. Se ∑
1
na é divergente e k 0≠ , então ∑
1
nka é divergente. 
 
 
Exemplo: 
 
4.1) A série ∑
1 n
2
 é divergente 
 
 
Observação: Se ∑
1
na e ∑
1
nb são duas séries divergentes nada se pode afirmar sobre 
( )∑ +
1
nn ba . Pode divergir ou não. 
Exemplo: As séries ∑−∑ nn 2 e 2 divergem e ( )∑ − nn 22 converge a 0. 
 
 
 
 
 
 5 
As Séries Alternadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) ...
4
1
3
1
2
11
n
1)(
1
1n
+−+−=
−
∑
+
; 
n
1
a n = 
2) ...
8
1
4
1
2
1
2
1)(
1 n
n
+−+−=∑
−
; 
nn 2
1
a = 
 
3) A série ∑ −−
1
1n senn)1( não é alternada pois senna n = não é positivo ou negativo para todo n. 
 
O resultado a seguir nos dá um teste para analisar a convergência das séries alternadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) A série alternada ...
4
1
3
1
2
11
n
1)(
1
1n
+−+−=
−
∑
+
 é convergente pois satisfaz ás condições do 
Critério de Leibniz: 
 i) 0
n
1
lim
n
=
∞→
 
ii) A seqüência ,...
3
1
,
2
1
,1
n
1
=






 é decrescente. 
Uma série alternada é uma série que se apresenta numa das formas 
• ∑ +−+−=− +
1
4321n
1n
...aaaaa1)( an > 0; ∀n ou 
• ∑ −+−+−=−
1
4321n
n
...aaaaa1)( an > 0; ∀n 
Teste de Leibniz 
 
Se a série alternada ∑ +−+−=− +
1
4321n
1n
...aaaaa1)( (an > 0 ; ∀n ) é tal que 
 i) 0alim n
n
=
+∞→
 
ii) n aa n1n ∀<+ ( a seqüência é decrescente ) 
 
Então a série dada é convergente. 
 
 6 
2) A série 
n
π
sen1)(
2
n
∑ − é convergente pois satisfaz ás condições do Teste de Leibniz: 
 
i) 0
n
π
senlim
n
=
+∞→
; 
 ii) Para mostrar que a seqüência 






n
π
sen é decrescente, consideramos a função 
x
π
senf(x) = e 
calculamos a sua derivada. 
x
cos
x
π(x)f 2
pi−
=′ < 0 o que garante que a função é decrescente para 
x > 2. ( De fato: 
2
π
x
π02x <<⇒> . O arco está no 1o quadrante e o cosseno é positivo ) 
 
 
 
 
Somas Aproximadas de Séries Alternadas 
 
 
Se uma série alternada ∑ +−+−=− +
1
4321n
1n
...aaaaa1)( satisfaz às condições do Teste de 
Leibniz e S é a sua soma temos o seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A desigualdade 1nn asS +<− significa que o erro que resulta em aproximar S por 
sn é menor que o primeiro termo que não foi incluído na soma parcial 
 
 
Com este resultado podemos avaliar somas de sériesalternadas com precisão de k casas decimais 
usando que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ Se ε é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se k10x5,0ε −< .” 
“Se S for aproximada por sn, então o erro absoluto nsS −=ε é tal que 1nn asS +<− .” 
 
 7 
Exemplo: 
Vimos que a série alternada ...
4
1
3
1
2
11
n
1)(
1
1n
+−+−=
−
∑
+
 é convergente satisfazendo as 
condições do Critério de Leibniz: 
 
Se considerarmos, por exemplo, a soma 
4
1
3
1
2
114 −+−=s = 0,58333.. o erro cometido é menor 
que a5 = 1/5 = 0,2 
 
De fato, veremos mais tarde que esta série tem por soma ln2. Se calcularmos ln2 = 0,69314718... e 
tomarmos a diferença 0,69314718... − 0,58333.... = 0,1098... que é menor que 0,2 
Esta série não é uma boa série para aproximar ln2 pois a convergência é muito lenta. Só obtemos 
uma boa aproximação tomando um número muito grande de termos. 
 
Por exemplo, para conseguirmos precisão de uma casa decimal deveremos calcular a soma sn para 
n satisfazendo a condição 05,0
1n
1 ≤
+
o que nos dá 19n ≥ !!! 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule o erro ε cometido quando a soma da série ∑
−
−
1
5
1n
n
)1(
 é aproximada por s3. 
 
Solução: 
 
Observemos, inicialmente, que a série é alternada e satisfaz ás condições de Leibniz. Logo, ao 
aproximarmos a soma da série por s3, 55 3
1
2
11S +−= o erro é menor que o termo a4, isto é, 
0009,0
4
1
5 =<ε 
 
 
2) Dada a série ∑ −
0
n
)!n2(
)1(
 , determine 
 
a) A soma com precisão de 2 casas decimais. 
b) Qual a precisão se considerarmos a soma 
!6
1
!4
1
!2
11s3 −+−= 
 
Solução: 
 
a) 
Observemos, inicialmente, que a série é alternada e satisfaz ás condições de Leibniz. 
Para obtermos precisão de 2 casas decimais o erro 210.5,0 −<ε , ou seja, 005,0<ε 
 8 
...
!10
1
!8
1
!6
1
!4
1
!2
11)!n2(
)1(
0
n
+−+−+−=
−
∑ 
 
O termo 005,0...0013,0
720
1
!6
1
a 3 <=== . Logo, basta somarmos até a2. .!4
1
!2
11S +−= 
 
b) 
Se somarmos 
!6
1
!4
1
!2
11s3 −+−= o erro é menor do que 
44
4 10.5,010.248,0...0000248,040320
1
!8
1
a −− <==== . Logo, esixte precisão em 4 casas decimais 
 
 
Observação: Existem outros métodos para avaliar erros nas aproximações de séries não 
alternadas 
 
 
 
 Os testes da Razão e da Raiz 
 
Para enunciar os testes da Razão e da Raiz vamos introduzir o conceito de séries absolutamente 
convergentes 
 
Analisando exemplos vistos anteriormente podemos observar que 
A série ∑
−
+
1
1n
n
1)(
 é convergente e a série ∑=∑
−
+
11
1n
n
1
n
1)(
 é divergente 
A série ∑
−
+
1 2
1n
n
1)(
 é convergente e a série ∑
−
+
1 2
1n
n
1)(
= ∑
1 2n
1
também é convergente 
 
Temos a seguinte definição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) A série ∑ −
+
1
1n
n
1)(
 é condicionalmente convergente 
2) A série ∑ −
+
1 2
1n
n
1)(
 é absolutamente convergente 
Dada a série ∑
1
nu temos que: 
1) Se a série ∑
1
nu converge dizemos que a série ∑
1
nu é absolutamente convergente 
2) Se a série ∑
1
nu converge e ∑
1
nu diverge dizemos que ∑
1
nu é condicionalmente 
convergente. 
 
 9 
3) A série 
n
π
sen1)(
1
n
∑ − é condicionalmente convergente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1) Temos que se ∑
1
nu converge, então ∑
1
nu converge. A recíproca não é verdadeira. O fato de 
∑
1
nu convergir não implica que ∑
1
nu também converge. 
 Exemplo: ∑
−
+
1
1n
n
1)(
 converge e ∑
1 n
1
 diverge 
 
2) Se ∑
1
nu diverge nada podemos afirmar sobre ∑
1
nu . Pode convergir ou divergir. 
 
3) Se ∑
1
nu diverge podemos garantir que ∑
1
nu diverge pois, caso contrário, ∑
1
nu seria 
convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja: 
 
 Se ∑
1
nu converge então ∑
1
nu também converge 
Teste da Razão para a Convergência Absoluta ( TRZ) 
 
 Seja a série ∑
1
nu e considere o limite k
u
ulim
n
1n
n
=
+
+∞→
 
• Se k < 1 a série ∑
1
nu é absolutamente convergente, logo convergente 
• Se k > 1 ( ou ∞) a série ∑
1
nu diverge 
• Se k = 1 nada podemos concluir por este critério 
 
Teste da Raiz para a Convergência Absoluta ( TRI ) 
 
 Seja a série ∑
1
nu e considere o limite kulim n n
n
=
+∞→
 
• Se k < 1 ∑
1
nu é absolutamente convergente, logo convergente 
• Se k > 1 ( ou ∞) a série ∑
1
nu diverge 
• Se k = 1 nada podemos concluir 
 
 10 
Observações: 
 
1) Os Testes da Razão e da Raiz são gerais podendo ser aplicados em qualquer série. 
Garantem a convergência absoluta ( k < 1 ) ou a divergência da série ∑
1
nu ( k >1 ). 
2) Tanto no Teste da Razão quanto no Teste da Raiz podemos concluir a divergência se os 
respectivos limites forem +∞ 
 
3) Se k = 1 no Teste da Razão então k = 1 no Teste da Raiz. Ou seja, se encontrarmos k = no 
Teste da Razão, não é mais necessário testar com o outro critério. 
 
 
Exemplos: 
1) ∑
1
n
n!
2
 
Em geral quando a expressão do termo geral da série envolve fatorial o critério mais indicado é o da 
razão 
 
1n
2
1)n!(n
2n!
2
n!
1)!(n
2
u
u
n!
2
u
n
1n
n
1n
n
n
+
=
+
=
+
=⇒=
+
+
 ⇒ 0
1n
2
lim
u
u
lim
nn
1n
n
=
+
=
∞→
+
∞→
. 
Concluímos então que a série é convergente 
 
 
2) ∑ 




 +
1
2n
n
12n
 
 
Vamos usar o teste da raiz: 4
n
1n2
lim
n
12n
limulim
2
n
n
2n
n
n
n
n
=




 +
=




 +
=
+∞→+∞→+∞→
. Portanto, 
a série diverge 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. O Cálculo com Geometria Analítica, vol II – Louis Leithold 
2. Cálculo – Um Novo Horizonte, vol II – Howard Anton 
3. Cálculo – vol II – James Stewart