A Série Geométrica

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia - Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Texto 02 A Série Geométrica 
 
 
 
A Série Geométrica 
 
 
O nosso primeiro exemplo de série infinita 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... é um caso particular de uma série 
especial, chamada série geométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A série geométrica também pode ser dada na forma ...araraar 2
0
n +++=∑ , ou mais 
geralmente, ...arararaar 32
kn
kn ++++=∑
=
−
 
 
Exemplos: 
1) 0,1 + 0,01+ 0,001 + 0,0001 + ... = ∑
∞
−
++++
1
1n432 10
1
10
1
...
10
1
10
1
10
1
10
1
 é uma série geométrica 
de razão r = 1/10 e a = 1/10. 
2) 3 − 3.2 + 3.22 − 3.23 + 3.24 −..... = ∑ −
∞
0
)2.(3 n é uma série geométrica de razão r = −2 e a = 3 
 
Exercício: Coloque as seguintes séries na forma padrão ...arararaar 32
kn
kn ++++=∑
=
−
 e 
identifique a e r: 
 
1) 
1n
1
n
1 3
1
3
1
3
1 −
∑∑ 











=





. A razão 
3
1
r = e o 1º termo da série é 
3
1
a = 
 
2) 
2n
2
2n
2
2n
2 2
1
4
1
2
1
2
1
2
1 −
−
∑∑∑ 











=











=





. A razão 
2
1
r = e o 1º termo da série é 
4
1
a = 
 
Observemos que se a série tem índice inferior igual a k a razão deverá estar elevada a n – k 
 
 
Uma série do tipo ....ar...arararaa.r 1-n32
1
1n ++++++=∑ − onde a ≠ 0 é 
chamada de série geométrica e o número r é chamado de razão da série. 
 
 
 
2 
 
3) 
1n
11
1n
1n1n
1
n2
nn
9
5
9
5
9.9
5.5)1)(1(
3
5)1( −
−
−−






−





−=
−−
=
−
∑∑∑ . A razão 9
5
r −= e o 1º termo da série é 
9
5
a −= 
 
 
4) ∑∑ −− =
3
3n2
3
1n 444 . A razão r = 4 e o 1º termo da série é a = 16. 
 
 
 
O resultado seguinte nos diz quando a série geométrica é convergente e quando é divergente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
1) 1r = 
i) r = 1 
Se r = 1 a série fica ....aaaaa
1
++++=∑ ; a n-ésima soma parcial é sn = na e portanto 
±∞=
+∞→
n
n
slim ( o sinal depende de a ) e a série diverge. 
 
 
ii) r = –1 
 
Se r = –1 a série fica .....aaaaaa1)a(
1
1n +−+−+−=∑ − − . 
A seqüência das somas parciais nesse caso fica a, 0, a, 0, a, 0,..... e a série diverge pois o limite de sn não 
existe. 
 
 
 
2) 1r ≠ 
 
Consideremos a seqüência das somas parciais { }ns : 
1n32
n ar...arararas
−+++++= ( I ) 
n1n32
n arar...arararrs +++++=
−
 ( II ) 
A série geométrica ∑ −
1
1na.r a ≠ 0 e r ∈ R 
• Converge para 
r1
aS
−
= se 1r < 
• Diverge, se 1r ≥ 
 
 
3 
 
Subtraindo ( II ) de ( I ): nnn ararss −=− . Logo, 
r1
)ra(1
s
n
n
−
−
= . Calculando o limite obtemos: 





>∞
<
−=
−
−
=
+∞→+∞→ 1r se ;
1r se ;
r1
a
r1
)ra(1limslim
n
n
n
n
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Verifique se as seguintes séries geométricas são convergentes e em caso afirmativo determine a sua 
soma: 
 
A) ∑ −
1
1n2 
A razão r = 2. Logo diverge. 
 
B) ∑ 





0
n
2
13. . A razão r = 1/2 e a = 3; logo convergente. A série está na forma padrão, então podemos 
aplicar diretamente a fórmula 
r1
aS
−
= para calcular a soma. Assim, 6
2
11
3
r1
aS =
−
=
−
= 
C) ∑ 





1
1n
2
13.
-
 . Observe que esta série é a mesma do exemplo anterior e tem portanto a mesma soma. 
 
Ela poderia se apresentar em outras formas: ∑∑ 





=





−
3
3-n
2
2n
2
13.
2
1
.3 , etc. 
 
 
 
D) 
n
0 0
n
n
2
1
2
(-1)
∑ ∑ 





−= . A série está na forma padrão ( a = 1 e r = –1/2). Converge e tem soma igual a 
 
3
2
2
11
1
r1
aS =
+
=
−
= 
 
 
E) ∑
+
2
n
1n
3
(-1)
. 
 
Vamos inicialmente colocar a série na forma padrão: 
2n
22
2n2
2n3
2
n
1n
3
1
9
1
3.3
.(-1)(-1)
3
(-1) −
−
−+






−





−== ∑∑∑ . 
A série tem razão r = –1/3, logo convergente e a = –1/9. 
 
 
 
4 
 
A soma é portanto 
12
1
4
3
.
9
1
3
11
9
1-
r1
aS −=−=
+
=
−
= 
 
F) 
n
0 3
2 −
∑ 





 
 
Cuidado!!!. A série corresponde a 
n
0
n
0 2
3
3
2
∑∑ 





=





−
. A razão é r = 1
2
3
> . Logo diverge. 
 
 
 
2) Encontre os valores de x para os quais a série ∑ +
0
n
n
2
)3x(
 converge e a soma da série para esses 
valores. 
 
A série ∑
+
0
n
n
2
)3x(
 pode ser identificada como uma série geométrica 
n
00
n
n
2
3x
2
)3x(
∑∑ 




 +
=
+
 de razão 
2
3x
r
+
= e a = 1. 
Logo, a série converge para 1
2
3x
<
+
. 
 
1x523x223x1
2
3x
−<<−⇔<+<−⇔<+⇔<
+
. 
Assim, a série converge para [1,5]x −−∈ e sua soma é 
x1
2
3x2
2
2
3x1
1
+
−
=
−−
=
+
−
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. O Cálculo com Geometria Analítica, vol II – Louis Leithold 
2. Cálculo – Um Novo Horizonte, vol II – Howard Anton 
3. Cálculo – vol II – James Stewart 
4. História da Matemática – Carl Boyer