AULA 13 Aplicação Máximo e Mínimo de uma função

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UNIFACS 
DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA E ARQUITETURA
 
 APLICAÇÃO DE DERIVADAS
 CÁLCULO DIFERENCIAL 
Fernanda Laureano da Silva 
Máximo e Mínimo de uma Função
 Dentre as aplicações mais notáveis do Cálculo estão aquelas em que se buscam os valores máximos ou mínimos de funções.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 O dia a dia está cheio de tais problemas. 
 Um homem de negócios procura maximizar lucros e minimizar custos. Um engenheiro ao projetar um novo automóvel deseja maximizar a eficiência. Um piloto de linha aérea tenta minimizar o tempo de vôo e o consumo de combustível. 
 Dentre outros exemplos possíveis no qual podemos expressar tal situação em termos de variáveis e funções.
 Contudo os métodos do Cálculo estarão disponíveis para nos ajudar a compreendê-lo e resolvê-lo.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Exemplo 1 
 Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível.
Solução: Sejam x e y dois números positivos variáveis cuja soma é 16.
 Procuramos valores particulares de x e y que maximizem o produto.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 A dificuldade inicial é que P depende de duas variáveis, e o nosso cálculo de derivadas trabalha somente com funções de uma única variável independente.
 Logo a 1ª equação nos permite escrever 
 e, substituindo em P, temos: 
 O ponto onde P tem o seu valor máximo caracteriza-se pela condição: 
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Logo:
 O valor de y é também 8.
 É bastante claro que x = 8 realmente maximiza P, mas se desejarmos verificar isto, podemos fazê-lo calculando a segunda derivada.
 Concavidade para baixo. Logo o ponto é máximo.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Exemplo 2 
 Um jardim retangular de 50 m2 de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim já está protegido por uma parede de celeiro, quais as dimensões da cerca de menor comprimento?
Solução: Começamos desenhando um esboço e introduzindo uma notação conveniente para tratarmos com a área do jardim e o comprimento total da cerca.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 
 
 
 L é o comprimento da cerca. Onde
 Queremos minimizar L e está sujeito a restrição: 
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Escrevendo L em função de x temos:
 Derivando
 Logo y = 10. O jardim com a menor cerca tem 5 metros de largura e 10 metros de comprimento.
 
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 Exemplo 3
 Um fio de arame com 1 metro de comprimento é dividido em duas partes. Com uma delas se faz um círculo e com a outra um quadrado. 
 Onde se deve cortar o arame para que a soma das duas áreas seja mínima? 
 Onde se deve cortar o arame para que a soma das duas áreas seja máxima?
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 	
 Solução: 
 1 m
 
 x 1 – x
 Com a parte x será construído um quadrado de lado l e com a outra parte, um círculo de raio r.
 
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Área do quadrado 
Área do círculo
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Observando a função podemos concluir que :
S(x) é uma função quadrática
0 ≤ x ≤ 1.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Agora, conhecendo a função devemos procurar compreender muito bem o comportamento de S(x) no intervalo 0 ≤ x ≤ 1.
Se x = 1, significa que todo o arame foi utilizado para fazer o quadrado. 
E se x = 0, significa que não existe o quadrado portanto, todo o arame foi usado para fazer o círculo.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Para sabermos mais sobre a curva, vamos derivá-la.
Igualando a zero
Ponto crítico da função.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Fazendo a derivada segunda vamos saber mais sobre este ponto crítico da função S(x).
Ou seja; a derivada é positiva então o gráfico da parábola tem concavidade para cima.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
	A função é uma parábola, positiva que passa pelos pontos (0; 0,08) e (1; 0,06) e tem como mínimo da função o ponto x=0,56.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
	Para maximizar S, devemos escolher x = 0 e usar o arame para construção do círculo. 
	Como calculado anteriormente:
 Máximo da função
Para minimizar S, devemos cortar o arame x = 0,56 e com este pedaço de arame construir um quadrado e com o restante do arame construir um círculo. 	
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Como vimos por meio desses exemplos, as técnicas matemáticas exigidas nesse problema de máximos e mínimos são relevantemente simples.
 A parte mais difícil de tais problemas é usualmente colocá-los em forma conveniente. Esta é a parte de pensamento e análise do problema.
 
 Neste caso, diante de uma situação-problema, saiba compreender o mesmo e a traduzir suas palavras em linguagem matemática apropriada.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Dica:
Faça um esboço cuidadoso do problema. 
Coloque os dados na sua figura e verifique se você captou quais são as quantidades constantes e quais podem variar.
Esteja a par da relação geométrica entre as quantidades em sua figura. Anote essas relações e utilize-as quando for necessário.
Sendo Q a quantidade a ser maximizada ou minimizada, tente expressá-la como função de uma única variável. Faça um rápido esboço do gráfico dessa função num intervalo adequado; faça pequenos experimentos de pensamento nos quais você visualize os casos extremos e utilize derivadas para descobrir os detalhes.
APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Exercício: Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O material da tampa e da base deve custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados custa R$ 1,50 por centímetro quadrado. Quais as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.
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 Solução:
 Volume:
 Custo:
 Substituindo y:
 Derivando:
 Assim o custo do material será mínimo quando o lado da base quadrada for 10 cm. A profundidade será, então, de 20 cm, pois a área da base será 100 cm2 e o volume, 2.000 cm3.
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