Aula determinantes

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Determinantes
Determinante: É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a 
partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos. 
Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras 
simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.
Cálculo do determinante
• Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. 
Ex: A = [3] e det A = |3| = 3
• Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos 
da diagonal secundária. 
• Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de 
Sarrus. 
Considere a matriz A =
• Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, 
que pode ser utilizado no cálculo do determinante de 
matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.
• Matriz reduzida e cofator: Considere a matriz
A = 
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a 
j-ésima coluna da matriz A. 
Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira 
coluna da matriz original:
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por:
Cij = (-1)
i + j . |A ij|, 
em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se 
cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu 
respectivo cofator e adicionando-se os resultados.











365
142
251
A
Escolhendo a 1a linha para calcular os 
cofatores.
• Propriedades de determinantes
1. O determinante de uma matriz que tem uma fila (linha ou coluna) nula é igual a 
zero.
2. Matrizes que possuem duas filas iguais têm o determinante nulo.
3. Numa matriz A, cujo determinante é det A, quando se multiplicam os elementos 
de uma de suas filas por um valor real k, o determinante passará a ser k . det A.
4. Se uma matriz possui duas filas proporcionais, seu determinante é igual a zero.
5. Trocando-se a posição de duas filas em uma matriz, o determinante da nova 
matriz passa a ser o oposto do determinante da matriz original.
6. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
Exercícios:
1) Dada a matriz A = (aij)3x3, tal que aij = 2, se i < j; aij = 3i + j, se i ≥ j, encontre o 
DETERMINANTE da matriz At. 
2) Determine A = a2 + b – c2, quando: a= , b= e c= .
3) Calcule o valor do determinante da matriz A = .
4) Resolva a equação:
4 3
1 2

1 3
7 21
 3 5
2- 1-










3 1 2
6 7 5
0 1- 4
2- 
1 4
2- 1 3 
5 1 
3 2 1
x
x
x


5) Dada a matriz A = , calcule:
a) det A b) det A2
6) Na matriz abaixo, calcule: 
a) seu determinante.
b) os valores de x que anulam esse determinante.
7) Efetue a2 – 2b, onde a= e b=
3 1
4 2










9 3- 1
4 2 1
 x x1 2
2 2
3 1
3 1 1
1 2 2
1 3 1