Aula5 espacoesubespacovetorial

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Algebra Linear
Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler
•Introdução
•Definição de Espaço Vetorial
•Subespaço
•Combinação Linear
•Representação dos vetores no espaço
•Dependência Linear
•Base de um Espaço Vetorial
Introdução
Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores
no espaço em notação matricial.
Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor
pode ser escrito da seguinte forma.
),,( zyxOPv 

v

 zyxv 











z
y
x
v

x
y
z
v

O
P(x,y,z)
V é um conjunto no espaço.
3
321 }/),,{( RRRRRxxxxV i 
Desta forma:
Vetor nulo no espaço R3
Vetor oposto em R3











0
0
0
0















z
y
x
v

 Operações com vetores no espaço V=R3
Dados:
e
1) SOMA: 2) PRODUTO POR ESCALAR:











z
y
x
u
u
u
u












z
y
x
v
v
v
v





































zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
vu
vu
vu
v
v
v
u
u
u
vu












z
y
x
ku
ku
ku
uk













3
1
2
u












5
1
0
v












2
2
2
vu

Exemplos:
1) SOMA:
2) PRODUTO POR ESCALAR:
u

x
y
v

z
vu













3
2
0
u

2k






















6
4
0
3
2
0
2uk

u

x
y
z
u

2
Definição:
Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas 
operações
Soma: VvuVvu ,
Mult. por escalar: VkvRkVv  ,
E devem satisfazer, para quaisquer 
Vwvu ,,, Rba ,
e
As seguintes propriedades:
Existe tal que
Existe tal que
uvvu 
)()( wvuwvu 
V0 uu  0
Vu
0)(  uu
1)
2)
3)
4)
avauvua  )(
bvavvba  )(
)()( bvavab 
uu 1
5)
6)
7)
8)
Definição de Espaço Vetorial
É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V,
tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a
viii sejam satisfeitas.
 
Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo.
O vetor é um elemento do espaço vetorial.
Desta forma um vetor poderá ser:
•Vetor n-dimensional
•Matriz de qualquer ordem
•Polinômio de qualquer grau
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço. 











5
3
1
u

 RxxxxRV i  );,,( 321
3
É espaço vetorial













4
2
1
v












1
5
0
vu












10
6
2
2u

 RxxxxRV i
n  );,.....,,( 321

















nx
x
x
u
.
.
2
1

Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais
Ra




















nn yx
yx
yx
vu
.
.
22
11



































nn ax
ax
ax
x
x
x
aua
.
.
.
.
2
1
2
1


















ny
y
y
v
.
.
2
1

n=5
 RxxxxxxRV i  );,,,,( 54321
5

















5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
u























55
44
33
22
11
yx
yx
yx
yx
yx
vu



































5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
2
2
2
2
2
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
u


















5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
v

Neste caso o vetor nulo é:

















0
0
0
0
0
0

Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar:












 Rdcba
dc
ba
MV ,,,;)2,2(








43
21
A 








21
31
B 








22
10
BA









63
93
3B
Neste caso o vetor nulo é:







00
00
0
Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou
igual a n incluindo o zero.
n=2  RaxaxaaP i  );( 22102
2
1 21)( xxxf 
2
2 43)( xxxf 
xxff 64)(21 
2
1 242)(2 xxxf 
•Subespaços Vetoriais
São espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior:
u

x
y
v

vu


W Exemplo:
Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste
plano.
A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo
ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W.
Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um
escalar pelos vetores de W.
Definição:
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será subespaço
vetorial de V se:
1)Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W
2)Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.
Obs:
a)Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois W ⊂ V;
b)Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a
condição (2) quando a=0;
c)Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços
triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço
vetorial.
Exemplo1: V=R3
e W ⊂ V, é um plano passando pela origem do sistema .
Se W não passar pela origem ele
não é um subespaço vetorial.
Exemplo2: V=R5 e
W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula:
i)
ii)
),,,,0( 5432 xxxxu 

),,,,0( 5432 yyyyv 

Wyxyxyxyxvu  ),,,,0( 55443322

Wkxkxkxkxuk  ),,,,0( 5432

Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores.
W⊂R⇨W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do
produto por um escalar é triangular superior.
é
•Combinação Linear
Definição:
Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) 
v1,v2,....,vn ∈ V e a1,a2,......,an X R (ou C) 
nnvavavav

 ......2211
É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn
Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de 
todos os vetores de V, é subespaço vetorial.
Notação:
 nvvvW ,......,, 21


Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn
Formalmente:
 niRavavavavVvW inn  1,,......; 2211

Combinação Linear
Definição:
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), 
Vvvv n,,, 21 
e 
naaa ,,, 21 reais (ou complexos). Então, 
nnvavavav  2211
é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de Vvvv n,,, 21 
Ex:
kjiv 342 v
i
j
k
R³












1
1
2
1v

2)Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma
combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2]











2
4
3
2v

21 2vvr


212 vvu


Solução:


































0
6
1
2
4
3
1
1
2
2u



































3
9
4
2
4
3
2
1
1
2
r

Exemplos:
1) Dados dois vetores: e determine os vetores:
Solução:







































18
13
43
5
4
5
34
5
3
1
ba
ba
b
b
a
a
bau















18
13
43
5
ba
ba
2
215133.513
33
19
57
5719
1841539
184)513(31843
513135







a
a
bb
b
bb
bbba
baba













4
5
3
3
1
2u

21 32 vvu


Dependência e Independência Linear
Definição:
Sejam V um espaço vetorial e Vvvv n,,, 21 . Dizemos que o conjunto 
é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I, },,,{ 21 nvvv 
se a equação
02211  nnvavava 
Implica que 021  naaa . Caso exista algum 0ia
é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D. },,,{ 21 nvvv 
dizemos que
Exemplo
é LD ou LI ? 
)}1,1(),0,1(),1,1{( 
O conjunto 
)}1,1(),0,1(),1,1{(  é LD ou LI ? 
Solução: 
)0,0()1,1()0,1()1,1(  cba
)0,0(),()0,(),(  ccbaa
)0,0(),(  cacba





0
0
ca
cba
)(
)(
II
I O sistema admite infinitas soluções. 
Façamos c a variável livre.
De ( II ) vem que
ca 
Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com
cb 2
Fazendo, por exemplo, 2c obtemos 2a e 4b
Encontramos a seguinte combinação linear
)0,0()1,1(2)0,1(4)1,1(2 
Logo, o conjunto é LD.
)}1,1(),0,1(),1,1{( 
Exemplo 1: Verifique se o conjunto 
Exercícios: (PARTE 1)
3) Expresse o vetor v = [3,4] como combinação linear de x=[2,1] e y=[1,1]. Ilustre a 
resposta graficamente. 
4) Escreva a matriz com comb. Linear de 
4) Escreva o vetor u = ( 1, -2, 5) como combinação linear dos vetores: x1=(1,1,1),
x2=(1,2,3) e x3=(2,-1,1). Ilustre a resposta graficamente.
5) Determine o valor da constante c para que (1, -2, c) seja comb. Linear de
x=(3,0,-2) e y=(2,-1,-5)
6) Verifique se os vetores abaixo são LI ou LD:
a) 
b) 
7) Mostre que as matrizes abaixo são linearmente dependentes:
8)Verifique se os seguintes conjuntos, com as operações usuais, são subespaços 
vetoriais de V.
a) e V=
b) 
c)
d) 
•Base de um Espaço Vetorial
Definição:
Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V 
se:
i) {v1,v2,.....,vn} é LI
ii) [v1,v2,.....,vn] = V 
Exemplo1: , 
2RV 
)1,0(ˆ)0,1(ˆ 21  eee
 21 ˆ,ˆ ee

















































0
0
0
00
0
0
0
1
0
0
1
0ˆˆ 21
b
a
b
a
b
a
ba
ebea
é base de V, conhecida como 
base canônica de V=R3
Exemplo2: Vamos examinar os vetores:
)1,0()1,1( 21 vev


 21
21
,
0
0
0
00
0
0
1
0
1
1
0
vv
b
a
ba
a
ba
a
ba
vbva




















































é uma base no espaço V
Exemplo3: Verificar se é base em R2
 21,vv

)2,0()1,0( 21  vv

baba
baba
ba
vbva
202
0
0
2
0
2
00
0
0
2
0
1
0
021














































Portanto a e b não são necessariamente zero.
é LD e portanto não pode forma uma base.
 21,vv

Exemplo: )}1,0(),1,1{( é uma base de ?2R
Temos que verificar se
)}1,0(),1,1{( é LI, e
2)]1,0(),1,1[( R
( i )
( ii )
Solução:
)0,0()1,0()1,1(  ba( i )
)0,0(),0(),(  baa
)0,0(),(  baa
)(
)(
II
I
0
0


ba
a Substituindo ( I ) em ( II ) 
encontramos
0b
Logo, 
)}1,0(),1,1{( é LI
Exemplo:
)1,0()1,1(),( bayx 
),0(),(),( baayx 
),(),( baayx 





bay
ax
²)1,3( R
)1,0)(4()1,1(3)1,3( 
)4,0()3,3()1,3( 
xa 
ayb   xyb 
)1,0)(()1,1(),( xyxyx 
Portanto, 2)]1,0(),1,1[( R
Logo, 
)}1,0(),1,1{(
é uma base de .2R
Exercícios: (PARTE 3)
1)
2)